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例題

3

背理法を利用する証明

２

解

背理法

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   無理数 用 ，次 命題

証明 。 命題が成り立たないとして仮定し，その矛盾を導き，

もとの命題が真であると結論する方法。

【 証明の流れ 】

（      ）

命題が(      )と仮定する。

(Step１)

背理法

（証明）

(Step２)

成り立たない

(Step１)の仮定のもとで(       )する。

(Step３) (       )が生じる。

(Step４) (成り立たないとした) 仮定が間違い。

(Step５) もとの命題は成り立つ。

証明 矛盾

2

は無理数である。

1 + 2

は無理数でないと仮定すると，

1 + 2

は有理数となる。

1 + 2

1 + 2 = r ^{とおくと，} 2 = r − 1

が有理数ならば，

r − 1 r

も有理数であるので，

この等式は 2 が無理数であることに矛盾する。

したがって，

1 + 2 ^{は無理数である。}