一様断面俸の横振動時における端末条件 第1報:自由振動: University of the Ryukyus Repository

Author(s)

屋富祖, 建樹

Citation

琉球大学理工学部紀要. 工学篇 = Bulletin of Science &

Engineering Division, University of the Ryukyus.

Engineering(7): 1-9

Issue Date

1974-03-01

URL

http://hdl.handle.net/20.500.12000/26075

i

一様断面俸の横振動時における端末条件

第 1 報 : 自 由 振 動

屋 富 祖

建 樹 *

End C

o

n

d

i

t

i

o

n

o

f

t

h

e

Transverse Vibration

o

f

Uniform B

a

r

s

.

1st

Report: F

r

e

e

V

i

b

r

a

t

i

o

n

Tateki Y AFUSO The paper presents on equation of end condition involving the effect of rotary inertia for transverse vibration of unifonn bars and the effect of rotary inertia on angular frequency and end condition. Results were obtained as follows: (1) ln a case of a short bar and for higher nodes， the effect of rotary inertia became stronger. (2) Experimental results agree well with the presented theory. 第

1

章 緒 言 近年，技術の進7j去とともに機械が次第に大型化，高 速化され，工業上振動の問題がきわめて重要になって きている内 振動現象は工業上効果的に利用されることも決して 少なくはないが，多くの場合は障害となって現れる伶 そのため最近は振動問題の解決のために大きな努カが 払われるようになり，これまでにも多くの実験的・理 論的研究がなされてきた内 棒の横振動問題は構造物の振動において最も基本的 な現象であるため，一般の複雑な構造物の振動問題を 解析する際の重要な基礎となるものである内 従来，一様断面棒の横振動に対する運動方程式をた てる場合には，棒の断面寸法が棒の長さに比べて小さ いものと考えて断固の回転慣性やせん断変形の影響は 考慮されなかった拘しかし，は

P

が短かくなって断面 寸法がはりの長さに比べて大きてなっている場合や， はりがきわめて高い振動数で振動していてスパンがい くつかの切断固によって比較的短い部分に分られた状 受付:1973年10月31日 *琉球大学理工学部機滅工学科 態になる場合には，回転慣性やせん断変形の影響は無 視できないほど大きなものとなるの こ

r

ような揚合に

2

ず

ν

い、てのtまは

p

理 論 は s.τT百'imoぬ E 叩nk恥oや'A.V.Krisぬhin泡aaらによつて研究された内 本研究ははり理論をさらに拡張するために，一端支 持，他端固定の境界条件をもっ一様断面棒の横振動に 対して，断面の回転慣性をも考慮した運動方程式をた てることから出発して振動数方程式と溺末条件式を誘 導し，これらの理論式を従来の回転慣性の影響を考慮 しない場合の理論式と比較すると同時に，実験を行っ て導かれた端末条件式が実際に応用されうるものかど うかを検討したものである向 その結果，一般に，はりの長さがしだいに短かくな り，かっ高次の振動になればなるほど固有振動数や端 末条件に及ぼす回転慣性の影響は増大し，また導かれ た端末条件式は実際にも使用しうるものであることが わかったので報告するの 記号説明 ω :たわみ

M :

曲げモーメント S :せん断力

q (Xよ θ A E I K :荷重もしくは外カ :工断面の傾き角 :はりの断面積 :ヤング率 ;断面二次モーメント :回転半径 [1 :.重カの加速度

，

:スパンの長さ

θA:支持端

Aの傾き角

MB:閏定端

Bの曲げモーメント

RA:

支持端Aのせん断カ RB:固定端 Bのせん断力

P

t

:単位長さ当りの質量

ωn はりの固有角振動数 αn 位相差 第

2

章 横振動の運動方程式 図 Lは，はりのたわみ線を示している内

一

口

l

)

¥

!

Fig.工 はりの断面はその車曲線を含む鉛直面に対して左右対称 であるとし，振動はその面上で起るものとする内微小 部分dxfこ作用する鉛直方向の力の釣合いより(1)式が得 られる内 r Aヨ 宮 山 _ a S 一 二 一 一 一

+

q(工 t)

9

-

a

t

2

_o

_X (1) またはりがたわむ際，その切断面は回転運動を行う が，との時のモーメントの釣合いより(2)式 が 得 ら れ る内

rI

o

3 - 竺

+

EI -~ u ' : _

+

s

= 0

9

O X O t2 --O x3 (2) (2)式をエで微分し(1)式を使用すれば，せん断力Sが 消去されて(3)式が得られる内

。

4w.L rAo2ω rr θ4w EI ~一一十一_{O x4 .}

₉

_一吉t2-

_'

₉

a

_x2

_at

₂ = q(x，t) (3) 本式が断固の回転蹟性を考慮した一様断面棒の運動 方程式である内 第

3

章 自由振動の運動方程式の解と 端末条件式 自由振動に対する運動方程式は， (3)式 に お い て q(X，t)を 0とおいて EI

互

主

空

+ZJ1P1

竺

-Z1

1?f-

=0(4) θω4 .

9

a

t2

9

a

X 2

a

t2 ここで，次のよろな関係がある偽 P _ =

I

_

A l

9

1

=

AK2 これらを(4)式に代入してEIで割れば(5)式が得られるの

a

4 W _L

P

t

a

2 W

P

，

K2

a

4 W " (5) aX4

'EI

汗一王子瓦

x2

a

t

2 =v

3-1

運動方程式の解 図2は，一端支持，他端固定の境界条件をもつはり のたわみ線を示している内

:

伯

1

1

¥

w Fig. 2 たわみを W = a eSx sin (ωnt十 αn) (6 ) とおいて(5)式に代入すれば(7)式を得る内 (7) P ， ω~K2 _~

P

，

ω2 S4

+

一

王

EI 子 S-2 -

:

_

_

t

E

一

I

一

一

=

-0 V ここでAnを実数として

À~

=

丘

?

i

n EI (8) とおけば， (7)式は(9)式となる内 4 ~2 ，4 S4

+

K2 A ~ S~ -A ~ = 0 (9) (自)式をSについて解くと，次の 4つの根を得る内 Sl

ニ士川王平-叩

ここで， p， qを正の実数として

p

z

A

z

z

J

J

7

工事-

K221~

1

(10) q = とおけば， eSX_{は(10式となる.}

3 琉球大学理工学部紀要(工学篇〉 「 口2 1 RA可 +

L

L

-

-

p

-

2

-

p

，

+

z

+

qr'θqr' (jA -ー でp2+q2-→' EI

i

i

I

-

)

J

cos ql = 0 (19) (1$式よりRA宇 Oであるので θA q sinhPI-Psinql EI _{RA -}~一 一一ー一_{q3 s}一_i一一一一_{nh Pt + P}一←一_{3 s}一一_{in q}一_l 同様に側式より

。

A cosh pt - cosql EI

R

f

= -q2C~~h-;i - 1直面玩t 仰)式より (}Aを求めて制式に代入して整理し，そ れをさらに制式に代入すると(22)式が得られるの (20) (21) (11) (12) aeSX=

A

cosh px + Bsi叶1P工 + C cos qx + D sin qx ここでA，B， C， D;士定数である内 (11)式を(6)式に代入するとたわみは

ω

式になる W(x， t)= (A cosh pX + B sinh pX + C COS qx + D sin qX). sin(wnt +αn) = cp(x) sin(ωnt +αn) ここで cp (エ)=

A

cosh pX + B sinh pX 十 Ccos qx十 Dsin qx (_" q2 (q sinhpl-psinql)¥ W pq(p2-+q2)EIlq{1-q3~i而百平予五日sJ si凶 px-p{!

+が

(qsi出 pl-psinql

干

〉

L ψ s i吋1pl+が sinql) ) (22) S川 x)sin (ωnt +αn) 本式が自由振動に対する運動方程式.(5)の解である。 である内 支持端エ=0では，次の 4つの境界条件が存在する内 'P

x

=

o

=

0

(許)円

=(}A

(

E

I

i

L

3

)

工₌₀

。

(13) 振動数方程式 帥，(21)式を等しくおいて整理すると q sinh pl cos qt - p cosh pl sin qt = 0 あるいは

3-2

(14) ο3) (24) (25) となって，回転慣性の影響を考慮しない場合に対する 振動数方程式と一致する角 る あ で

t

J

i

怯

r

一

ω

一 方 対 一 仁 回 数 汁 一

ρ

二 a r b c w砂 一

q

臨 と

t

川 町 IIV 凶 引

q

p

で =

t

め = m と p 一

q

求 P じ こ h メ で = ' t 作 均 式 f し P 本 め P だ 由 。

G

油 た 句 る た 匂 な ま ﹄ ﹂ p = ( ユ5) 固定端

x=l

での曲げモーメントおよびせん断力は

MX=1

=

-

MB.

SX=l

=

-

RB であり，これと (16)式より (26).(27)式が得られる内 (' ( D02 D RA

、--E1l

L

_函

τq2・OA十

F

芋

q2. EI)Si凶 pl -{F45- OA-p-1142Ef}sinqr

〕

= -MBα6) 端末条件式

3-3

-t r J 一 Y -A 一E

-

、 ﹄

J A 一q R 平 一 一 9 戸 一 的 、 ， J 一 q e A 一_q

o

干 の emG D ゐ i p a r t a 、 一 0 . r

，

、

.

、

+

(16)

(d3?)-D

E

I

~::_-~-

1

= R dx3 工=0 この4式を用いて113¥式の定数A，B， C， Dを決定す れば A = 0 B

-

_P

₍q20A _{p2干 q2)}

I E

，

_{P (p2+} 全_{q2) EI} C = 0 D = q-(_pP20A _2二トq2)-q-

_C

_i

_記

_干

_:

RA

_:

_-

_q

2

了

目

よって113¥式は

r

q2θ_Jl._ ， ___.RA __ _

_'

_t

伊 (工_{) =LP(p叫 '}:q2)+ _)jep2

₊

_-

_'q2TEi

_J

sinh pX SlO qx となる内次に固定端工

=1

では ('P)

x

=l=

0

₁

(註)

x=l

= 0

j

なる境界条件が存在するので(1f>>式と(1司式より帥， (19)式 が得られる内 ( Q 2 1 RA 万 斗 ー い

一

ー

ト

inhPt p(p2 + q2) u ft T _{p(p2 + q2) EI} ( ~ 1 RA可

+t

訂

F

千

五

百

7

・θA-

_i

_i

_X

_i)2τ(2)'

E

I

-

J

sin ql = 0 (17) - EI

({P~等

θA+

託手一部

co叩

( p2 q2 " . q2 g~

i _

_

_

_{_}

_.

-t

p

2

平p--UA-t戸千己主.EI

J

cosqC (21) = - RB (18)

1

RAl

長2-+-q r百，!)cosh Pt 〆 n2 ~

-

;

:

;

2

;

_

n2-・(}A

+

-

t

p2

+

q

側，(19)， (26，う(27)式を連立させて coshpl， si曲 pl. cω ql， sin qlについて解けば cosh pl =

q2

E I R + h p M B inh pl

=石

2EIOA + RA RB ωs ql

=

-

p

2

EI 0瓦工支瓦 q MB n ql

=

-

::手百_E I " . 百 三 戸EIOA - RA となる内ここで cosh2 pl - sinh2 pl = 1

1

cos2 Ql + sin2 Ql c:::1

I

なる関係式を用いると(28)，(29)弐を得る向 (q2EI OA + RA)2 = R~ -

p

2

M~ο8) (p2EI OA - RA)2 = R~ - Q2 Mt (29) (28)， (29)荷式をM S，RSについて解けば οの， (31)式を得る角 M t = EIθA {(p2 - q2) EI

0

A -2 RA) (30) Rt =

R~

+ 2 RA EIθA (q2ーが〉 +(p4ーがq2+ q4 ) (EI

0

A)2 (31) この2式が求める端末条件式である内さらに RAを くくり出して整理すると (，_" _'" (EI

0

A '¥ 2 ~~. fJA)

M~

= 拾 い

2_q2) ( 王 子

r

-2EI

な}

〆 EIOA R

色=

R~

i

1 + 2 (q2 - q2)

-

-

I

i

瓦 /EI OA

，

2 i + (が-p2 q2 + q4 ) l-.R'f~)

j

となり，この式に制式を用いれば(32)，(33)式が得 られる内 MB=R1{(P2-q2)SF3

出元

::33:

話

2 + 2 3

並 区 二 凶 叫

(32) q3 si出 pl+ p3sin ql )

(

.

~

，

_

"

_

"

，

q sinh pl - p

り

旦

qr

時 =

R~

tl-2 (q2 _p2)

否両五五p3

sinqt + c 十 内2+q4〉(qsinu

と

s

恒

9DLC33〉

日

誌

i而 pl+p3 sinql)2 よって，支持端の反カRAが求まれば， (32)，(33)式 より固定端の曲げモーメントMB，およびせん断カRB が容易に求められる内 帥式は，はりの任意の点におけるたわみを表わして いるから，これを δxとおいて整理すれば

Or

_:r-=

I

'

_-

l

P _一一

=-

q~

(p

=

~i$

2 + q2) _"

_

~~

_ー

，

+ ₊， q _ー

:.p:

(_ー

::~i!l.

p2 + q一

q~ ，

2_)J

-

1

-

0

~ V 一一 「 一一一 一

ト企

(34) { s i巾 px 副 qx

i

R P (p2 + q2 ) q (p2 + q2 )

J

EI となり，さらに帥式より OAを求めて(34)式に代入し て整理すれば次式になる角 RA

=

EI 0..，.一

一

月

ー

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!

t

_p!_

士

P

り

inq{ ふ sinhpx sin qt - sinqx sinh pt これをぐ32)，(33)式に代入すればい (35)(36)式が得 られる内

M~=

(日 Ox)2

{

(

p

2

-

q2 ) (si

由

主

;

r

J

ご

S2222pt〉2

+

:2(q3si呉区土E恒四2_J9~並立P!.一二?唖_<l{) l (sinh px sin ql - sin qx sinh pt)2

J

(35) [ (q3 sinh pl + p3sin ql)2 R~= _{B -}(回Or_{，~. V X /} )2~ _{l(sinh px sin ql -}一 一_si一 一_{nqx sinh pl)2}

_ 2 (q2 - p2) 白りinh __Eι土m世主!~_.9t)ー(貝 si型h pι三~P_~lll_91) (sinh px sin qt - sin qx sinh pl)2 (q sinh pl - p sin ql)2

t

+ (p4 _ p2 q2 + q4) 1_:_" _{(sinh px s}'~~":;:: _{in ql - s}:-: :::'~~'i:~~" _{in qx sinh pt))}

_

，

'

~ よって，任意点のたわみ

oX

が求まれば， MB， RBが求まることになる内また (35)， (36)式において p = q とおけばぐ37)，(38)式となる内 M t = 2 (EI

o

:r)2

川

- s i n h 2pl - ω p

f

sinh n/)2 } l(sinh p工 sinpl - sin p.:Z:sinh pl)2 ) ( sinh2 pt + sin2 p1

1

Rt = 2 (EI

む

)2がt

扇面下

xsin

pl 一山 p~

sinh pl)2

j

ただし，ここで

4

1

空 p

= ん =

j!L

竺

ら

'V EI (36) (37) (38) この2式が回転慣性の影響を考慮しない場合の固定端の曲げモーメントおよびせん断力を 求める式である内

琉球大学理工学部紀要(工学館〉 5 第

Ht

実験装置および実験方法 実験装置概要を写真Iと図3に示す"実験供試用は 銀刻匙滋弘、 ・険金丸、 _{岬 制 抑 制 糊 桝 桝 世 明 暗} Picture1 Experimentalapparatus ① Rail ③ 8eam

③ BaU bearir官 ③ Transducer

④ りは，一方を固着用鉄板⑤とボノレトで基礎⑦に固定さ れ，他端にはポーノレベアリングで作った車輪(2)が取り つけられており支持端レール①の上を自由にすべるこ とができる合 実験は，はりを木槌で軽く叩いて自由振動させ，そ のときのたわみを差動トランスで測定するの差動トラ ンスのコアの先端ははりに強く接着されているe コア の変位量に比例して生じた電圧変化は変位計によって 再びコアの変位丞に直されて指示される。また変位形 は電磁オシログラフに直結されているので，電圧変化 は記録紙に正弦波形となって記録されるe固定端の曲 げモーメントは，固定端にごく接近した点にひずみゲ ージを貼り振動によって発生する曲げひずみを信磁オ ③ Stra川 剛 氏'J ⑦ B .... ⑤ F以ingpla阻 ③ Fig. 3 Rough sketch of ExperimentalApparatus シログラフに記録させ，その振幅を曲げモーメントに 換算して求めた内 なお，固定端の反カは測定方法に疑問が生じたため 今回の実験からは除外することにした。 実験に用いた軟鋼はりの諸元を表Lに示す。使用し た機器は以下の通りである内 Table 1 Beams 供試ばり 全 長 深 さ 市直 ヤ ン グ 率 断面2次モーメント 比質量 番 号 l (ClII) h (cm) b (cm) E (kgc1II2 ) 1 (cm4) P(kg・52/C1Il4 ) S-l 94.5 2.523 1.489 2.07X106 1.9928 7.97x10-6 S-2 100.3 1.995 0.897 2.07X106 0.5935 7.99X10-6 S-3 100.2 2.191 2.191 2.10X106 1.9204 7.98XlO-6

I

動ひずみ測定器(携帯用DPM) 直記式電磁オシログラフ 変 位 計 (Type6111) 変動変圧器 (Type 1511) 変 圧 器 (Type5-130-20) 万能分析器 (SA-33B) 整流子モートノレ (SSC-611E) 第

5

.

実験結果および考察 共和電業 横河電機 新光電機 新光電機 山菱電機 リ オ ン 松下電器

5-1

振動数および固定端の曲げモーメントに及 ぼす回転慣性の影響 従来の実験的研究によれば，実験によって求めたは りの振動数は，従来のはり理論より求められた振動数 1) 8) よりも低くなることが示されている内小野も片持ばり の場合について同様の結果を報告しており，はりの長 さが短かくなり振動数が高くなるほど実験値と理論値 の差が増大することを確かめている" 表 2は， 回転慣性の影響を考慮した振動数方程式 (23)式と回転慣性を考慮しない従来の振動数方程式 (24)式より得られる振動数ω1:'>ωoの比を，はりの長 さ，深さ，振動の次数を種々に変えてた場合について 示したものである向これより回転慣性の影響を考慮し た場合の振動数が常に低くなっており実験によって得 られる振動数に近くなる内また，一般にはりの長さが 短かくなり，深さが深<.振動次数が高くなるにし たがってωTとω0の差は大きくなり，振動数におよ ぽす回転慣性の影響が増大してゆくことがわかる内 表 3は，回転慣性の影響を考慮した端末条件式より 得られた曲げモーメント MBTと回転慣性を考慮しな い端末条件式より得られる曲げモーメント MBOの 比 を上と同様に示したものである内これらの結果から， 固定端の曲げモーメントもまた，回転慣性を考慮した 場合の方が値が小さくなることがわかり，また，はり の長さが短かく，深さが深く，振動次数が高くなれ ばなるほどMBTとMBOの差が大きくなることがわか る内

5

-

2

端末条件の実験結果 関4 -図9は，はりのたわみの実験値と固定端の曲 げモーメントの理論値と実験値を縦軸に，時間を横軸 にとり Lサイクノレについて示したものである内理論値 と実験値はよく合っており，誤差は最大のもので25 %.最小のものでは

2%

である内また，はりのどの点 でたわみを測定しても結果に大差のないことがわか る内一般に，同ーのはりについては，スパンの短かい 場合に誤差が少なく，スパンの長い場合に誤差が大き くなっている合これは主として長いスパンの場合の支 持端の条件が不完全であったためと思われる肉 第7章 結 論 l 本研究では， 一端支持・他端固定のはりの横振 動に対する回転慣性の影響をも考慮した振動数方程式 (23)と端末条件式(35).(36)を求めた内これらの式 は，はり理論を拡張すするのに役立つものである勾 2 振動数および固定端の曲げモーメントに及ぼす 回転慣性の影響は，いずれもはりの長さが短かくな り，深さが深く，振動次数が高くなるほど増大する内 また，回転慣性を考慮した場合の方が考慮しない場合 より実験健に近い値を与える内 3 本研究で求めた固定端の曲げモーメントを表わ す端末条件式(35)は実際にも十分使用できるもので ある《 最後に本研究にあたって，終始熱心に御指導いただ いた，鹿児島大学富武満初受，問中豊ー助教授に対レ心 からの感謝の意を表します肉 また終始熱心に実験の逐行に協力下さった，有富正 男，荒谷明教の両君に深く感謝の意を表します角 文 献 1) S.Timoshenko. Viblation Problem in Engineening (1955) Third EditionDvpn Nostrand 2) A. V. Krishina Murty. Viblation of Short Beam AlAAJ. 8 -1 (1970) 34 3) J. P. DEN. Hartog.Mechanical Vibrations (1956) Fourth EditionMcGRAW-Hill 4) 井町 勇，機械振動学 (昭39) 朝倉書 底 5) 古川英一，振動および衝撃測定 (昭41) 誠文堂 6) 谷口 修，改訂振動工学 〈昭32) コロナ社 7) 酢

f

源六郎，振動工学 〈昭44) 誠文堂 8) 小野洋一，一様断面棒の検振動時における端 末条件 鹿 兜 島 大 学 修 士 論 文

琉球大学理工学部紀要(工学鱗〕 7 Table 2 Coparison of angular freguency *ωT/ω

。

日

J

J

3 3

l

日

三

J

Z

1

5

直王

60 0.9904 0.9873 I 0.9824 I 0.9753 0.997] 0.9921

I

0.9833

I

0.9712 一一一一一一 l一一一一一←一一一一lーー一一一一一一一一i一一一一一一一1-ー←一一一一一一!一一一ー一一一i一一一一一一一一』 一一一 一一ーl一一一一一一一

I

40

1

_

0竺竺J竺竺己主竺巳竺と己竺~

I_

O竺乙

日

.

963

1

l

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1

L

竺

____1_ 0

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I

0 制6

L

~竺oI

-

I

0竺竺

L

竺竺と

ー

L~

:_

9~=と

|

ωm

h:はりの深さ n:次数 ωT: (23)式より得られる振動数

t

:

はりの全長 ω

。

:

(24)式 "

Table 3 Comparison of bending momeut

*

MBT

!M

BO

一 一 一 一 一 一 一 一

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Fig. 4 Bending moment and def1ection for S・1

-0-__ Th~orClj，;・18endin~ )..I'"Mnl メーー-E足 p~r irM n"，18endilurトb伽 峰 叫 W鋤ー・I20

一

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Fig.6 Bending moment and deflectio for5-2

4トー 5 t (><Ill'~e") _，8ト 10 -12トー15 目e 1 ()o;II)o'~~.-) 201 1 {xIO'..吃} ゐト 5 -10

琉球大学理工学部紀要ぐ工学鱗〉 9 ( ・1 '10"1801 (.) -60

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E~~r ..，en凶 tlefteÇI剛、

ω・舗7.2-((t.d/，) ，四7:J.IO(cm) E幽 おlS{"，，) ~ :1::-.4.1.15 (..j Fig. 8 Bending moment anddef1ectio. for S・3 C.j -6ト..，101

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