VibrationandBucklingofWebPlateofthePlateGirder プレートガーダーの腹板の振動および座屈に関する研究

長 崎 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第28巻 第51号 平 成10年7月 213

プ レー トガー ダーの腹板 の振動 お よび座屈 に関す る研究

高 橋 和 雄* ･呉 明 強**

中 津 聡 志***･筑 紫 宏 之****

VibrationandBucklingofWebPlateofthePlateGirder

by

KazuoTAKAHASHI*

,

SatoshiNAKAZAWA***andHiroyukiTSUKUSHI****

Thevibrationandbucklingoftheweboftheplategirderarestudiedinthispaper.Thesmaudeflec‑ tiontheoryoftilethinplateisused.Thefinitestripmethodisemployedtosolvevibrationandbucklingof theplategirder.Naturalfrequeniesofbucklingpropertiesareshown forvariousplategirderbridges.

I.まえがき

プ レー トガー ダー橋 に,列車荷重の ような動的荷重 が作用す る と,プ レー トガー ダー を構成 す るフランジ やウ ェブに, しば しば局部的な面外振動 が卓越 す るこ とが知 られている. この局部振動 は,構造騒音の放射 源 とな った り,フランジ とウ ェブを接合す る溶接部 の 疲労破壊の原因 とな るな ど種 々の不都合 を もた らす も のであ る.

そ こで, この局部振動 の発生 メカニズム と特性 を解 明す るこ とが必要 とな る. これ までに多 くの研究者 に よってプ レー トガー ダー橋 の腹板 の局部振動解析や動 的安定解析 が行 われて きた1)･2)･3).その多 くは腹板 を 上下 フ ランジ と対傾構 (垂 直補剛材)で囲まれた一枚 の長方形板 にモデル化 している.長方形板の境界条件 は,上下 フランジの位置で固定 も しくは単純支持 と仮 定 されている. しか し,実際の橋桁 に用 い られている こ とが多い Ⅰ型断面のプ レー トガー ダー橋 のフ ランジ の変形 の影響 を考慮 した研究は きわめて少 ない.最近 では,前述の ようなI型断面のプ レー トガー ダーの局 部振動特性 に関 して,上下 フ ランジ幅が等 しく,ウ ェ ブ高の低 い Ⅰ型鋼材 を解析 した研究が行われてい る4).

しか し,実際の橋桁 に用い られ るプ レー トガー ダーの よ うにフ ラン ジの大 きさの異 な った断面 の研 究 は な

し ヽ .

有限帯板法5)は一方 向には連続 した変位関数 を用 い るため,比較的少ない 自由度で解析 をす ることがで き る.特 にプ レー トガー ダーの ように長 さ方 向の境界条 件が比較的単純 な場合 には有利 であ る.そ こで,本研 究 は有限帯板法 を用 いて,建設省標準設計の活荷重合 成 プ レー トガー ダー橋 (道路橋)と下路式の鉄道 プ レー トガー ダー橋 の断面形状 を対象に, Ⅰ型 プ レー トガー ダー断面の面外振動 お よび座屈 を解析す る.数値解析 において,6種類のプ レー トガー ダーの固有振動解析 お よび座屈解析 を行 い,固有振動数 ,固有振動 モー ド お よび一枚の長方形板 にモデル化す る方法の妥 当性 , さ らに座屈特性 を検討 す る.

2. 計算方法

本研究では,Fig.1(a)に示 す ような上下非対称溶 接 プ レー トガー ダー断面 の橋桁 を解析す る.プ レー ト

ガー ダーの両端 の境界条件 は単純支持 とす る.プ レー トガー ダーの腹板の局部変形 を含めた振動 を取 り扱 う

平成10年4月13日受理

*社会開発工学科 (DepartmentofCivilEngineering)

**台湾

***大学院修士課程社会開発工学専攻 (GraduateStudent,DepartmentofCivilEngineering)

****住友建設 (秩)(SumitomoConstmction,Co.)

214 _{高橋 和雄 ･呉 明強 ･中津 聡志 ･筑紫 宏之}

6 7 8 07 0

(a)pbegrder 仲)elen℃ 山

Fig.1 Geometryandelementofthefinite stripmethod.

ために,本研究では有限帯板法 を適用す る.橋桁 の境 界条件 が単純支持の場合,帯板要素の長 さ方 向の変位 はFourier級数 を用 いて近似 す るこ とがで きる.あ る 帯板要素 内の任意点 x',y',2'方 向の変位成分は次の よ

うに表 され る3).

･NP,C:osk‑<Nb,S:ink㌦

〕

(

{ { 芸 ]

)( 1 ,

ここに,r:Fourier級数 の採用項数,km‑m7T/l,m:x 方 向の半波数,<NP>,<Nb>:形状関数,I:スパ ン 長 .

式 (1)を用 いて運動 エネルギー とひずみエネルギー を求めて,全ポテンシ ャルエネルギー停留原理 を用 い る と,帯板要素 に対 す る運動方程式が得 られ る.本研 究 では高次帯板要素 (HO3モ デル) を用 い,Fig.1

(ち)に示 す ような要素分割 を行 う (国中の黒点 は境 界節線 , 白点 は中間補助節線 を示 す).局所座標 系 に 関 す る各 マ トリクス を全体座標 系 に関 す る量 に変換 し,すべての帯板要素 について重 ね合わせ るこ とによ り,プ レー トガー ダー断面 を持つ橋桁の運動方程式が 袴 られ る.運動方程式 はFourier級数の直交性の性質 に よ り,各m 項 ご とに独立 した方程式 に分離 され る.

[仇 ](dL(i))+[Km](dm(i))‑ (0) (2) ここに,[Mm]:質量 マ トリクス,[Km]:剛性 マ トリ クス, (dm(i)):変位ベ ク トル,(d^{'m(i)チ:加速度ベ ク}

トノレ.

座屈解 析 には 同様 に幾 何剛性 マ トリクス[KG]を誘 導 すれば よい.

3. プ レ‑ トガ ーダ ーの面有振動解析 3.1計算モデル

数値 計算 の対 象 とす る計算 モ デル と して,casel

〜case6を考 える.case1〜case5はフ ランジの大 き さの異 な る建設省標準設計の活荷重合成 プ レー トガー ダー橋 (道路橋)であ る.プ レー トガー ダーの長 さは case1〜case4は対債横 間隔,case5は垂直補剛材間 隔 を採 用 して い る.case6は下路 式 の プ レー トガー ダー橋 (鉄道橋)であ り,垂直補剛材間隔 を採用 して い る.材料定数 はヤング率E‑206GPa,ポア ソン比 V‑0･3,単位質量p‑0.784×104kg/m3とす る.帯板 要素 はFig.1(b)に示 す ように上 フ ラン ジ2要素 , 下 フランジ2要素 ,腹板8要素の計12要素 ,節線数25

とす る.解析モデルの諸元はTablelの とお りであ る.

Table1 Dimensionsofthemodel.

Case Span leng也 eweb eiglto wep仇ob wiuppedth dep也 wrflange idtlowehrfladeptngeh (m) I(Lm ) W(cm)加 (cm)bu(C7n)tu(m ) bE(em) tL(cm) 1 26 450 145 0.9 25 1.4 41 2.2 2 26 450 145 0.9 .31 1.9 47 3.4 3 40 450 215 1.1 29 1.6 .52 2.8 4 40 450 215 1.1 40 1.9 62 3 5 26 112.5 145 0.9 25 1.4 41 2.2

3.2 計算結果

(1) 固有振動数の比較

case1〜case6の固有振動数 はTable2‑7の とお り であ る.表 中のmはプ レー トガー ダーの長 さ方 向の 半波数 を表 し,iは振動次数 を表 している.

caselとcase2はスパ ン26mの断面 の異な るプ レー トガー ダーの対傾構間隔450cmを取 り出 した もの を計 算す る.表 中の固有振動数 を比べ る と, (m,i)‑(1,5) の固有振動数 は僅 かではあ るがcaselの方 がcase2 を上 まわ って い る.(1,5)以 外 で はcase2の方 が caselよ りも高い値 が得 られた.

次 に,case3とcase4を比較 す る.case3,4も case1,2と同様 にスパ ンが等 しく断面 の異 な る もの であ る.(m,i)‑(1,5), (1,6),(4,6),(5,6),(6,6) でcase3がcase4を上 まわ ってい る以外 ではcase4 の方 が高 い固有振動数 が得 られた.caselとcase2 の比較,case3とcase4の比較 か ら,全体 と しては 断面 が増大す る と固有振動数 が大 き くな っている. し か し, iの次数 が高 くな る とcase3,4においては逆 転 してい る ところが多 くみ られ る.

プ レー トガー ダーの断面 が等 し く, プ レー トガー ダーの長 さが異 な るcaselとcase5の比較 を行 う.

プ レー トガーダーの腹板の振動 お よび座屈に関す る研究

単純支持間隔が短 い と固有振動数が高 くなる.また, case5の長 さはcaselの対傾構 間隔の4分 の 1のた め,Table2‑7より,case5の半波数mが 1の場合 と caselのmが4の場合 は同 じ固有振動数 とな ってい

る.

Table2 Naturalfrequenciesofcase1.

m

1 6.841 16,743 31.950 59.946 106.899 152.079 2 15.080 37.619 64.532 103.685 138.941 173.667 3 21.837 51.547 93.159 138.489 189.219 244.357 4 29.897 62.107 110.322 170̲062 231.671 281.154 5 39.768 73.358 124.342 189.610 261.029 324.958 6 51.640 86.075 138.818 207.199 283.907 351.176

Table3 Naturalfrequenciesofcase2.

I

m

1 8.301 18.227 33.136 61.822 109.592 151.505 2 15.946 41.886 72.352 107.361 145̲913 185.270 3 22.581 53.769 99.627 153.807 205.261 257.049 4 30.574 63.935 114.242 178.982 253.429 322.990 5 40.362 75.041 127.657 196.242 276.783 358.899 6 52.149 87.624 141.852 212.986 297.522 385.280

Table4 Naturalfrequenciesofcase3.

ゝ

1 5.143 12.196 25.197 41.292 67ー914 104.017 2 ll.415 25.993 44.872 69.905 104.079 141.106 3 18.518 35.958 62.016 94.129 130.121 171.119 4 27.878 46.332 74.832 112.171 156̲414 203.873 5 39.762 58.675 88.311 127.743 175.760 229.548 6 54.253 73.360 103.654 144.275 194.302 251.691

Table5 Naturalfrequenciesofcase4.

I

m

1 6.904 17.330 30.401 47.038 65.787 94.511 2 12.189 29.340 54.737 84.724 113.569 141.766 3 19.079 37.698 66.024 102.572 143.570 181.810 4 28.318 47.678 77.374 116.151 160.792 201.911 5 40.111 59.808 90.404 130.745 178.502 225.167 6 54.535 74.328 105.493 146.957 197.060 250.008

Table6 Naturalfrequenciesofcase5.

ゝ

1 29.897 62.107 110.322 170.062 231ー671 281.154 2 81.708 116.899 171.834 244.280 329ー583 408.769 3 167.781 202.908 259.458 335.816 429ー992 536.552 4 288.613 323.219 379.842 457.421 554.780 669.838 5 444.172 478.296 534.579 612.341 710.816 828.940

Table7 Naturalfrequenciesofcase6.

I

m

1 27.052 58.293 102.405 154.669 214.653 282.665 2 68.726 104.867 160.345 233.366 322.224 424.550 3 137.503 173.624 231.162 308.518 404.602 518.352 4 234.274 269.666 327.199 405.655 504.093 621.744 5 358.985 393.689 450.686 529.118 628.203 747.277

215

(2) 固有振動モー ド

case1〜case6の固有振動モー ドはFig.2‑7の とお りである.固有振動モー ドは上下 フランジ と腹板の長 さは実寸の1/20に して,固有振動モー ドの最大値は1 としている.casel〜case5は10次まで,case6は5 次までの固有振動モー ドを示 している.

caselにおいては (1,1), (2,3), (2,2)でフラン ジの変位 が卓越 し全体振動 がみ られ る.m‑2‑6の i‑ 1と (3,2)で腹板の局部振動 がみ られ る.case2 ではcaselと全 く同 じように (1,1), (1,2), (1,3),

(2,2)で全体振動がみ られ,m‑2‑6のi‑ 1と(3,2) で局部振動 がみ られ る.断面 の大 きさの異 なるcase lとcase2の固有振動 モー ドを比 べ る と,全体の振 動次数 が異 な って もm とiについて着 目す る とすべ て同 じ形の振動モー ドが得 られる.

case3では (1,1), (1,2), (1,3), (1,4)と (2,2) で全体振動 が,m‑2‑5のi‑ 1と (3,2)で局部振 動 がみ られ る. これに対 してcase4では全体振動 は (1,2), (1,3), (1,4)だけでみ られ,m‑1‑5の i‑ 1と (2,2),(3,2)で腹板の変位が卓越 している.

case3とcase4の固有振動 モー ドを比較 す る と,上 下 フランジ と腹板の変形の大 きさを考慮 しない場合, モー ドはほぼ一致 している.

mとiについて着 目す る とcase5では全体の 1次

〜10次振動 までの中で比較的高い7次 と10次の固有振 動モー ドである (1,4),(1,5)で全体振動 がみ られる.

I Il

IIllllEIl IlIIIllIiI

(I,1) (^{2,1) (12) (3,I) (4,I)}

1s( 2rK1 3rd 4d1 5dl

(1,3) (22) (5,1) (32) (6,1) 6d1 7d1 8d1 9th 10dl

Fig.2 Modesofvibrationofcase1･

216 高橋 和雄 ･呉 明強 ･中帯 聡 志 ･筑紫 宏 之

(1,1) (2,1) (12) Ist 2nd 3rd

I i l 1 ll l l l II i l 1 ll l l l I (13) (5,1) (22) (6,1) (3,2)

6d1 7th 8血 9dl 10dl Fig.3 Modesofvibrationofcase2.

(22) (4,1) (32) (5,1) (1,4) 6d1 7血 8d1 9h 1Odl

Fig.4 Modesofvibrationofcase3.

(22) (I3) (32) (5,1) (1,4) 6d1 7d1 8d1 9dl l伽 I

Fig.5 Modesofvibrationofcase4.

‑I

l l Il I I

‑

‑ [

I I I l I l

‑E

(3,1) (1,4) (23) (32)

6d1 7dl 糾 1 9dl

Fig.6 Modesofvibrationofcase5.

プ レー トガーダーの腹板 の振動 お よび座屈に関す る研究

lI l lI lI

Ii ll l

‑ I I fl I l I l I l

(1,1) (12) (2,1) (1,3) 1sl 2rKI 3rd 4dl

Fig.7 Modesofvibrationofcase6.

caselとcase5は断面の大 きさが等 しく長 さが異 な る ものであ るが,固有振動 モー ドの波形は (2,1),(3,1) で一致 しただけであ る.

case6においては (1,3)で全体振動 が見 られた以 外は局部振動 であ る.

3.3‑枚の長方形板モデル との比較

プ レー トガー ダー橋 の振動 解 析 をす る場 合 に, プ レー トガー ダーの腹板部分 を上下 フランジ と対債構 あ るいは垂直補剛材で囲 まれた一枚 の長方形板 にモデル 化す ることが一般 であ る.本節 では各ケースのプ レー トガー ダーの腹板 を取 り出 し,一枚の長方形板 として モ デル化 した もの を解析 し,前節3.2で得 られたプ レー トガー ダーの計算結果 と比較 す る.一枚の長方形 板モデルは境界条件 を2辺単純支持 ･2辺固定 お よび 単純支持 としている.

Fig.8‑11は,各 ケー スにおいて一枚 の長方形板 モ デル とプ レー トガー ダーの固有振動数の比較 を した も のであ る.また,Table8‑11はcasel〜case5の1次 か ら10次 までの固有振動数 (case2,case4はそれぞ れcasel,case3に対応 してい る) お よびcase6の 1次か ら5次 までの固有振動数 と,各 ケース ご とに対 応 す る長方形板の固有振動数 を示 した ものであ る.さ らに,表 中の記号a,bはFig.12に示す固有振動 モー ドの区別 に対応 してい る.Type aはフランジの変形 が卓越 している固有振動 モー ド,Type bは腹板 の変 形 が卓越 し,フランジに回転 が生 ず る固有振動 モー ド

を示 している.

Fig.8においてcaselとcase2は腹板 の大 きさは 等 しいため同時 に比較 す る.m‑ 1の場合 にはプ レー トガー ダーの固有振動数 と単純支持長方形板 ,2辺単 純支持 ･2辺固定長方形板の固有振動数の間に差があ

217

るが,m‑4,5の場合 には,プ レー トガー ダーの固有 振動数は単純支持長方形板の固有振動数 に近づ くこと がわかる.

Fig.9のcase3,4について も腹板 の大 きさが等 し いため同時 に比較 してあ る.case3,4と単純支持長方 形板,2辺単純支持 ･2辺固定長方形板の固有振動数 はmの値 が小 さい ときはcase1,2の時 と同様 に固有 振動数 に差 があ る. しか し,m‑4,5にな る とcase3, 4の固有振動数 と単純支持長方形板の固有振動数は, case1,2よ りも近づ くことがわかる.

case1〜case4は対傾構間隔 にモデル化 しているが, case5はcase 1,2の1/4の長 さの垂直補剛材間隔 にモ

デル化 されてい る.Fig.10を見 る とm‑ 1のiの低 い 次数 ではす でにcase5の固有振動 数 と単純 支持長 方 形板の固有振動数 は近 い値 を とっている.さ らに,m の値 が大 き くなる と,case5の場合は2辺単純支持 ･ 2辺固定長方形の固有振動数 に も近づいていることが わか る.

case6も垂直補剛材間隔 を長方形板 としてモデル化 した もので,Fig.11において もcase5と同様の傾 向が 且 られ,m‑ 2でcase6の 固有振動 数 は周辺単純 支 持板 の固有振動 数 を上 まわ り,m‑3‑5で 2辺単純 支持 ･2辺固定長方形板の固有振動数 に近づいている.

(HzL) 350 300

250 200

150 100

50

0

▲

▲＼ノ

▲【コ ▲ 己rpt▲白▲ ^▲.ロ▲ 白▲ロ▲ ▲畠(▲コ

▲コ

▲d

Lj ▲白 a▲

12345 12345 12345 12345 12345(i) rrF1 rRF2 1F3 巾=4 rq=5

□ casel ◇ simplysupportedendsandclampedends

▲ case2 0simplysupportededges

Fig.8 Na山ralfrequenciesofcases1and2.

(Hz) 250

200

150

100 500

▲

▲

▲ ^{A:▲:‑令;pH}▲^{lめ▲▲li1'▲lLJ}▲^{､1＼ t▲Jl￠▲}日▲^{lr++{▲1▲LL■i}lL▲f̲)

12345 12345 12345 12345 12345(I) ITF1 M=2 巾=3 打F4 1TF5

Fig.9 Nahralfrequ.enciesofcases3and4.