多自由度系解析法による円板の非線形自由振動

多自由度系解析法による円板の非線形自由振動

主コ

I

A M u l t i p l e  D e g r e e ‑ o f ‑ F r e e d o m  Approach t o   N o n l i n e a r   F r e e  V i b r a t i o n s  o f   C i r c u l a r  P l a t e s .  

by 

Kazuo T  AKAHASHI 

(Department o f   C i v i l  Engineering) 

Nonlinear a x i  ‑symmetric  v i b r a t i o n s   o f   c i r c u l a r   p l a t e s   a r e   i n v e s t i g a t e d   by u s i n g   Karman' s  e q u a t i o n s  composed o f  terms o f  t h e  s t r e s s  f u n c t i o n  and t h e  de f 1 e c t i o n  o f  t h e  p l a t e .  

A  m u l t i p l e   degree  o f   freedom  approach  which c o s i d e r s   m u l t i p l e  modes  and corresponding  time f u n c t i o n s   i s   adopted  t o   o b t a i n   more r e l i a b l e   s o l u t i o n   t h a n   t h e   p r e v i o u s   s o l u t i o n s .   The  a p p l i c a t i o n  o f  a  Galerkin method t o   s o l v e   t h e   governing non 1 i near  simultaneous p a r t i a l   d i f f r e n ‑ t i a l   e q u a t i o n s  y i e l d s  non 1 i near simultaneous ordinary d i f f e r e n t i a l  e q u a t i o n s ，  o f  which t h e  s o l u t i o n   i s   o b t a i n e d  by t h e  harmonic b a l a n c e  method.  The s e t  o f  n o n l i n e a r  a l g e b r a i c  e q u a t i o n s  i s   s o l v e d   on t h e  d i g i t a l  computer by t h e  Newton‑Raphson method. 

Numerical r e s u l t s   a r e   p r e s e n t e d   f o r   simply  s u p p o r t e d   o r   c 1 amped p l a t e s   whose edges  a r e   immovable o r  movable i n  t h e  i n p l a n e  d i r e c t i o n  and compared with t h e  p r e v i o u s  s o l u t i o n .  

1.緒 Eヨ

円板は長方形板とともに最も基本的な構造部材の一 つで，これまで各種の静的・動的挙動の解明が数多く 行なわれてきた.円板の非線形振動に関しては 1 9 6 0 年 代から理論的，実験的研究が数多く行われるに至り，

それらを展望すれば次のとおりである. Herrmann  1 )   は板の有限変形理論として著名な Karmanの式の動 的拡張ともいうべき板の非線形運動方程式を提案し た. Yamaki

はたわみによる慣性力の影響のみを考 慮したいわば Herrmannの式の第一近似ともいうべ き運動方程式に基づいて，長方形板と円板の自由振動 と定常強制振動の問題を Galerkin法 に よ り 解 析 し た.以後 Yamakiと同様な簡略化された運動方程式 を用 L て数多くの研究が発表されている.すなわち，

円板の自由振動に関する Nowinski 

， 円板の自由 と定常強制振動の両者および実験を取扱った Chobot ov4)ら Kung5 ) ， 直交異方性円板の自由振動に関

*土木工学科

する Nowinski6 ) ，回転中の円板に関する Nowinski

7) 

，  Advani8)  ，不完全円板に関する Wi 1 1 i ams 9) ら ， E f s t a t h i a d e s1 0)などの各研究が見受けられる.また Huangらは Kantrovichの平均法を用いて空間に関 する非線形常微分方程式に分離のうえ非線形の固有値 問題を解く手法を用いて固定円板 1 1)不等厚円板 1 2 ) および異方性円板 1 3 ) を解析している.

Karman の式はたわみ関数と応力関数からなる連立

非線形偏微分方程式で与えられるため，その数学的取

扱いが困難であることから適用範囲が限定される.そ

こで， Berger1 4) は板のひずみエネルギーの第 2 不変

量を無視して数学的取扱いを容易にした実用近似式を

提案している. Wah1 5) は Berger の式から面内変位

の項を消去してはりの場合と同様の運動方程式を誘導

のうえ，その取扱いを更に容易にするとともに，円板

の自由振動について解いた.また， Gajendar1 6) は弾

性地盤上の円板を Chiang l7> らは剛体を取り付け

た円板を， Bergerの式に Galerkin法を適用してそ

れぞれ解析し， S r i n i v a s a n1 8)は R i t zの平均法を適

用のうえその振動特性を明らかにした．その他Pa 119）

は加熱された円板を解析している．

 以上のように，これまで円板の非線形振動問題に関 する数多くの研究があるものの，それらはいずれも円 板を1自由度と仮定して解析したものである．しかし ながら，現実には板は連続体であるために，その非線 形振動問題は無限自由度系として取り扱わなければな らない．Wah15），Gajendar16）の論文においてはす でに多自由度系としての運動方程式が提示されている が，実際の解析においては取扱いの便宜上から連成項

 板を1自由度と仮定する方法では振幅にともなう振

動形の変動を考慮することが困難である．また非線形 にともなう高調波および分数調波共振，各自由度をも つ調波間の寄鮒などの諸現象も解明されていないよう である．最近収束性の証明された調和バランス法20）

および電子計算機を用いたNewton・Raphson法によ

る多元連立非線形代数方程式の解法を用いて，はり21）

および長方形板22）を多自由度系として解析する方法 が行われはじめ，その有用性が認められつつある．

 そこで，本研究は多自由度系解析i却こよるはりおよ び薄板の非線形振動の解析の第一報耕して，軸対称変 形の仮定のもとに，円板の非線形自由振動を多自由度 系として取り扱ったものである．すなわち円板のたわ みを境界条件を満足する線形曲げ振動の規準関数と未 知の時間関数の積の重ね合せの形に仮定して，面内の 境界条件から応力関数を決める．次いで，板の釣合式 にGa】erkin法を適用して時間に関する連立非線形常 微分方程式に変換のうえ，これらの微分方程式に調和 バランス法を適用してえられる非線形連立代数方程式

る．本法によれば振幅の増大にともなう振動波形の変 動や内部共振の現象を解明することができる．各種の 境界条件の円板の自由振動について円板を3自由度系 として解析した結果と既往の1自由度系の結果を比較

2．基礎式および境界条件

 円板の低次の曲げ振動を対象とすれば，板の面内方 向の慣性力，回転慣性およびせん断変形の影響を無視 することができ，かつ軸対称振動を取り扱うものとす

  ▽・F一一÷窪誰   （・）

L（w・F）一D▽・w＋・h袈罪一÷一三

（∂F ∂w∂r ∂r）一・     （2）

ここに，F；Airyの応力関数， w；板のたわみ，

E；板のヤング率，D＝Eh3／｛12（1一ソ2）｝；板剛

t；時間，r；板の半径方向の座標，

▽・一?黶mr一門｛÷舌（・÷）｝］

いま，Fig．1に示すような円板の中央面の応力成分

をσ・，σθとすれば，応力関数は次式により定義され

る．

Fig．1 Co−ordinate      1 ∂F     ∂2F

  σ・＝一τ一∂F，σθ＝頒    （3）

板の中央面の半径方向の変位をUとすれば，有限変形

ら応力関数と変位の関係は次のように表わされる．

÷馨一、葺，｛審＋÷（∂w∂r）・＋÷｝

籍一、薯，｛妻＋・二三＋董（霧）｝（4）

上式からwの項を消去すれば，面内変位uが応力関

数Fを用いて次式のように表わされる．

  ・一蓋（∂2F    ∂F∂r2 r ∂r）  （5）

 板の周辺が単純支持また固定されるものとすれば，

その境界条件は次のように表わされる．

  S（単繍）・w一・・M・一一D（誰＋÷寄）

  C（固定）・w一・・誓一・  （6）

また，面内方向の変位および応力に関する境界条件と して，板周辺で面内変位が拘束される場合と自由の場

より条件式が次のように得られる．

  （a）（面内変位拘束）・u一｛謬一÷一霧一6

  （b）（面内変位舳）・…÷嘉・（7）

3．解   法

 本題は式（6）および式（7）の条件のもとに，式

（1），（2）の図式を満足するようにwおよびFを決定 する問題となる．式（1）および式（2）の近似解をうる ために板のたわみwを次のごとく変数分離形に仮定す

る．

  w＝・hΣRn（r）Tn（t）         （8）

    n＝1

  ここに，Rn（r）；境界条件を満足する座標関数，

  T且（t）；未知の時間関数

式（8）の座標関数として，軸対称円板の線形曲げ振動 の規準関数を用いるものとする．規準関数はべき級数

       ㏄    2（k−1）

  Rn（r）＝  Σ  a丑ξ       （9−a）

      k＝1，2

  斑（・）一A｛J・（祐ξ）一輪評・（煽ξ）｝（9−b）

ここに，a呈＝1， a量；Σ鑑＝1 の条件によっ          k・＝1

て決る定数，a農＝凝ハ16（k−1）2（k−2）2｝・

  ・畏一・（k≧3）・祐一4／・h・蓬・・／D・次の暦数

  方程式により決定する固有値

  S；J・（λn）＋1・（λ・）＝2血          10（λn）

    Jo（λn）

       1一μ

         Ioαn）

    Jo（λn）

  ωn；固有円振動数，ξ＝r／a，An＝1／｛Jo（0）一Jo（λ   n）／lo（λn）Io（0）｝，Jo， J1， Io，および11；Bes

  se1関数

同じ問題に対する式（9−a）および式（9−b）の

両規準関数の使いわけは，式（1），（2）の微分方程式 を解く上で，いずれが好都合な式表現となるかによる

ものである．式（1）の歯形から判断すれば特解を求め

て，式（9−a）を式（1）の右辺に代入すれば，：Fに 関する次の微分方程式が得られる．

▽・F一一4景kヨ、1ヨ、珊i…2j曇2・当

  al （i−1）G−1）（2j−3）ξ2（i＋」一4）        （10）

上式の一般解はその斉次方程式から得られる余関数と 特殊解との和で求められ次のようである．

F幽幽・ξ＋㎎b・ξ＋㎎一?三、1≧、寒

      ご

  TlΣ Σ a｝a｝Mij（ξ2（i＋j『2）一Nijξ2）（11）

   i＝2j＝2

  ここに，Mij＝（i−1）（2j−3）（j−1）／｛（i十j−2）2   （i＋j−3）2｝，c1， c2， c3， Nij；積分定数

式（11）の積分定数は式（7）の境界条件および面内応力 σ・とσθが板の原点（ξ＝0）で特異とならない条件か

ら次のように決められる．

  c1＝c2＝0，c3；任意

  （a）；Nij＝（i＋j−2）（2i＋2j−5一の／（1一の，（b）

  ；Nij＝i十j−2      （12）

 残された問題は式（13）を式（2）に代入して時間関数 Tn（のを決定することであるが， これを直接解くこ

ることにする．

すなわち

  ∫aL（w，F）恥（・）・d・一・  （13）

   0

  ここに，q＝1，2…， Rq（r）；ここでは式（9−a）

  を用いるよりも式（9−b）を用いる方が望まし   く，したがって式（9−b）で与えられるものと   する．

 板の規準関数に関する直交性     

   0

およびD▽4Rn＝ρhωR2Rnなる関係を用いれば，式

（13）から時間に関するDuffing形の非線形連立微分 方程式が次のように求められる．

  玩（T皿）一蝋舞）・覧＋6罧至三、1曇、

  轟、T・留皿i三2j三2・｝・｝M・j（0・」R穿

   一P・jS碧q−P・jS胃q−N・jWm・）一〇 （14）

      ユ       コ    ここに・V・一∫Rlξdξ，R碧q一∫ξ2（ ＋」一3）

      0       0

       ユ

  躯dξ・S禦一∫。ξ2嚇塾ξdξ・

wm・一轤P（要＋ξdl舞）Rqdξ

  Oijニ（i＋j−2）（i＋j−3）， Pij＝i＋j−2，7＝ω1t，

  q＝・1，2，…

式（14）の厳密解をうることは不可能であるから，再び 近似解法を適用しなければならないが，非線形項の大

きな本問題には調和バランス法またはGalerkin法の

よ うなFourier級数解法が有効である．

 式（14）の周期解を次のようにFourier級数の形に

  Tq＝Σ（bf cosf〜万τ十cf sin価τ）      （15）

       q         q

    f＝1

  ここに，b昂cl；未定定数，の＝Ω／ωユ，Ω；非線   形自由振動数

復元力がすべて3次式であることおよび減衰が存在し

合のcosの項は零とおくことができるから，式（15）

は次のように書き改められる．

  Tq＝・Σ bf cosfのτ      （16）

       q

    f＝・1，3

式（16）を式（14）に代入して，非線形項に含まれるcos 関数の積を三角関数の加法定理を用いて展開のうえ，

cosの各氏波の係数を比較すれば，未定定数blに関 する非線形連立代数方程式が得られる．これをNewt

on・Raphson法により解けば， b lを決定することが でき，本題がとけることになる．

4．計 算 例

 ボアソソ比ア＝0．3なる円板を3自由度系に仮定す

れば，単純支持および固定の各境界条件に対する固有

れる．各固有値に対する振動モードを求めればFig．2 に示す通りである．Table 1の三値を用いて，式（14）

を書きなおせば本題の運動方程式が次式で与えられ

る．

  ㌔＋α盆臨＋α呈、、Tl＋α丑、2 T呈T・＋廓珊、3

   T萱T3十α呈22 TIT豊十α呈23 TI T2 T3十αヨ33

   TIT§十α量22 T一十α塗23 T塁T3十α量33 T2

   T§十α§33T§＝・0        ．  （17）

  ここに，αm．αf11α呈12…，α§33；曲げおよ

       ，        ，

  び面内の変位，応力の境界条件によって決まる定

Table l constants λ，n and a易in Eqs．

     （9−a）and（9−b）

S

C

π

λ  ノ α穿 ^λ  〜

 ・亮α穿

1 2．2215 一1．3280 3．1962 一2。2844

2 5．4516 一7．4215 6．3064 一9．9932

3 8．6114 一18．5396 9．4395 一22．2711

一〇▼5      −0．5      −0．5

 。  ・．5ゑ…。  ・・5髪凶0。

 コら      ロら       ロら

Rl     Rl     R1

1．0       1．0       1．0 噛、         lst      2nd

Fig．2

    rted circular plate

 数（Table 2，3，4，参照），

0．5  宝1．0

3rd

Vibration modes of a simply suppo・

      n＝1，2，3，

時問関数Tqについて，第2高調波まで採用すれば次 のように表わされる．

  Tq＝・bl cos〜万τ十b3 cos 3面τ十b5 cos5面τ （18）

     q         q

      q   ここに， q＝・1，2，3

式（18）を式（17）に代入して，調和バランス法を適用す れば，b且を決定するための9元連立非線形3次方程 式が次のようにえられる．

  （α盆一あ2）b呈＋α呈、、f…＋α量、3f・・3＋α呈、5f、、5

 ＋α呈33f133＋α呈35f135＋α呈55f155＋α§33f333

 十α量35f335十α§55f355十α§55f555＝ 0

（α三一9あ2）b§＋α呈、、9…＋α呈、39・・3＋α呈、5

響、5＋α呈339133＋α呈359・35＋α呈559・55＋α§33

 9333十α§359335十α§559355十α君559555＝0

（α盈一25蕾2）b君＋α呈、、h…＋α至、3h・・3＋α呈、5

h115十α呈33h133十αヨ35h135十α呈55h155十α§33

h333十α§35h335十α§55h355十α君55h555＝0

ここに，f・jk瓢0．75bib彊＋0・25（b櫨b§＋blb§

b量＋b§blb量）＋0．50（blb彗b量＋b§b量b雪＋b§b含b量）

T・b1・2C・・ffi・i・nt・・α・・αh1・…・α§33ρf Eq・（17）f・・f・u・typ…fb・u・d・・y

     conditions

α1 ^{α｝11 α｝12 α｝13 α｝22 α｛23} α133 α122 ^1α｝23 α133 α133

S《a） 1．0000 1．8082 0．4581 一〇．0468 5．1844 1．1260 7．3114 1．3086 2．8057 3．9066 1．1626 S一（a） 1．0000 0．2731 0．7503 一〇．2088 1．9019 1．2552 2ほ833 1．5161 2．6833 4．2359 0．9823 C一（a） 1．0000 0．5008 0．9825 一〇．2795 2．3071 1．3599 2．8345 1．3278 1．8097 3．1258 0．3214 C一（b） LOQoo 0．1729 0．6151 一〇．0271 1．3337 1．1846 1．3983 0．9985 1．9236 2．6828 0．6787

Table 3

conditions

α2 α111 α112 α113 α122 α123 α133 α122 α223

2  α133

S一（a） 6．0221 0．3766 12．7869 13．8890 9．6861 13．8438 9．6970 30．5757 30．4613 73．6353 21．0392

S一（b） 6．0221 0．6170 4．6919 1．5481 11．2216 13．2403 10．4496 13．3957 31．3957 46・7030i21・5142 C一（a） 3．8931 0．5876 4．1397 1．2201 7．1474 6．4945 5．6088． 9．6532 15．1909 24．7778 9．0038 C一（b） 3．8931 0．3679 2．3930 1．0628 5．3746 6．9032 4．8140 5．3968 13．0124 17．8075 7．8569

Table 4 Coefficients，α3，α量11，…，α患30f Eq．（17）for four types of boundary

     conditionS

     （S；simply supported edge， C；clamped edge，（a）；immovable edge，

     （b）；movable egde）

α3  α111 ^{αl12 α113  3α122 α123} 433 α122 ^3α223 α133 馴

S一（a） 15．0261 −0．0604 ^2．1781 28．2796 10．8551 30．2303 13．4952 15．9237 115．4761 98．9808 139．9587 S一（b） 15．0261ト0，2694 2．4277 8．4463 10．3815 32．7766 11．4033 16．3991 73．2397 101．2159 73．7992｝

C一（a） 8．7222 一〇．2522 1．8406 7．6721 ^4・898串 16．9222 2．6104 7．6391 37．3783 40．7491

39．723gl        E

C《b） _8．7222 一〇．0244 1．6033 3．7851 5．2071 14．5247 5．5121 6．5436 26．8646 35．5590 23．7090

＋・・25（blbld量＋b§b§b雪＋bきb彗b塁）＋・・5・（b｝

b§b量＋bきb量b量＋blb§b量）＋0．25（b｝b§b量＋blb§

b§＋b§b皇b量＋b§b§b量＋b迭b呈b雪＋b言b§b皇），9・jk

−0・25blb§b量†0・75bきb§b量＋0・50（blb釜b§＋

bib§b量＋b§b皇b塁）＋0．25（blb呈b量＋blb§b量＋b言 b量b量）＋0・50（b§b§b量＋b迭b§b彗＋bきb§bき）＋

0・25（blb§b言＋blb§bl＋blb§b彗＋b毒b§bl＋bき b塁b§＋b邑b§b量），h・」k−0．75b占b§b言＋0．25（bl blbl＋blb§bl＋b§b§bl）＋0．50（blb釜b琶＋bl b§b量＋b邑b釜bl）＋0・25（b｝b§b暑＋b毒b呈b§＋b§

b§b量）＋0・50（b毒b§b量＋b毒b§b器＋b言blbl），

   n＝1，3，5      （19）

 式（17）の非線形項において，互いに異なる自由度間 の連成を無視すれば，既往研究と同様な一自由度系と しての運動方程式が次のように求められる．

  Tn十α盈Tn十αRml T盆＝0      （20）

 上式はJacobiの楕円関数を用いて厳密に積分する

ことができる．楕円関数の周期から任意の振幅に対す

 任意の振動数比斎に対して，Newton・RaPhson法

の繰り返し計算を用いて適当な初期値のもとに式（19）

を解けば各自由度の振幅成分囑を決定することがで

きる．これを式（18）に代入すれば時間関数Tnが，ま

た式（8）から任意の時刻における円板の振幅および振

動波形の時間的変動がえられる．基本調波の振幅の絶

対値が最大となるあτ＝nπ（n＝0，1，2，…）の時刻に

おける円板中央点の無次元変位を本題の振幅比として 定義すれば次のように表わされる．

  A＝bl十b量十b杢十b三十b§十b§    （21）

 曲げと面内の境界条件の組合せからなる4種の異な る円板について，1次振動数近傍の振動数比石の各値

示すような結果をうる．比較，対照のために，式（20）

で表わされる1自由度系の解を付記すればTable 5，

6のA1およびFig．3および4の点線のようであ

る．

 表より明らかなように上例は1次固有円振動付近の 自由振動を取扱っているために，1次振動の基本波の

微小振動では変数分離が可能で，系は特定の自由度の

る．また，変数分離が可能な非線形系では，式（20）の ような1自由度系の運動方程式に支配されるため，基 本波の成分b｝の他に同じ自由度の高調波成分・球が 存在するのみである．これに対して板などの連続体を 多自由度として取扱う場合には一般に変数分離をする

ことが無理であるから，式（17）のように非線形項にお

Table 5 Components， bl， b量，…， and bl and an amplitude A30r AI of a simply suppo・

     rted and immovab】e plates（A3；three mode solution， A1；single mode solution）

σ

1．0 0．0000 0．0000 0．0000 0．0000 0．0000 0．0000 0．0000 0．0000 1．1 0．3921 0．0029 一〇．0005 一〇．0002 0．0000 0．0000 0．3943 0．3949 1．2 0．5660 0．0074 一〇．0014 一〇．0007 0．0000 0．0000 0．5714 0．5732 1．3 0．7033 0．0124 一〇．0025 一〇．0013 0．0000 0．0000 0．7159 0．7194 1．4 0．8328 0．0176 一〇．0039 一〇．0023 0．0001 0．0000 0．8444 0．8501 1．6 1．0589 0．0281 一〇．0073 一〇．0050 0．0003 0．0001 1．0751 ^1．0＄65 1．8 1．2666 0．0384 一〇．0111 一〇．0095 0．0005 O．0003 1．2851 1．3043 2．0 1．4640 0．0482 一〇．0148 一〇．0175 0．0008 0．0005 1．4812 1．5115 2．4 1．8393 0．0659 一〇．0117 一〇．0946 0．0014 0．0020 1．8023 ユ．9071 2．6 2．0090 0．0753 一〇．0768 0．1866 0．0008 一〇．0016 2．1933 2．0991 2．8 2．2024 0．0857 二〇．0563 0．0612 0．0022 0．0004 2．2952 2．2885 3．0 2．3823 0．0945 一〇．0585 0．0394 0．0029 0．0005 2．4611 2．4795 3．2 2．5601 0．1031 一〇．0635 0．0299 0．0035 0．0009 ^12．6340 2．6617 3．4 2．7365 0．1116 一〇．0693 0．0244 0．0042 0．0012 2．8086 2．8462 3．6 2．9118 0．1200 一〇．0755 0．0207 0．0049 0．0015 2．9834

2．6 1．9731 0．0678 一〇．U53 0．3647 一〇．0014 一〇．0014 2．2864 2．8 2．0164 0．0594 一〇．1919 0．7459 一〇．0064 一〇．0210 2．6025 3．0 2．0730 0．0551 一〇．2303 0．9873 一〇．0092 一〇．0418 2．8342 2．6「 1．9892 0．0648 0．0209 一〇．3387 一〇．0012 0．0093 1．7443 2．8 2．0751 0．0523 0．0393 一〇．6330 一〇．0098 0．0263 1．5502 3．0 2．1170 0．0371 0．0358 一〇．8995 一〇．0212 0．0499 1．3191 3．2 2．1247 0．0218 0．0211 一1．1473 ^{一〇．0330} 0．0786 1．0650

Table 6 Components， b｝， b量，…， and b§and an amplitude A30r AI of a simpy

     supported and movable plate

σ

bl

bl

1．00 0，．0000 0．0000 0．0000 0．0000 0．0000 0．0000 0．0000 0．0000

1．02 0．4455 0．0007 一〇．0011 一〇．0005 0．0000 0．0000 0．4447 0．4444 1．04 0．6353 0．0020 一〇．0032 一〇．0014 0．0002 0．0000 0．6329 0．6320 1．08 0．9131 0．0054 一〇．0093 一〇．0041 0．0007 0．0003 0．9062 0．9038 1．12 1．1365 0．0095 一〇．0172 一〇．0077 0．0015 0．0006 1．1232 1．1190 1．16 1．3333 0．0140 一〇．0266 一〇．0120 0．0024 0．0010 1．3120 1．3057 0．0188 一〇．0375 一〇．0170 0．0036 0．0015 1．4834 1．4749 1．20

P．24

1．5141

P．6843 0．0238 一〇．0497 一〇．0228 0．0051 0．0021 1．6427 1．6318

1．28 1．8468 す

0．0289 −0．0630

一1．32 2．0038 0．0341 一〇．0774 一〇．0362 0．0088 0．0037 1．9368 1．9208

1．36 2．1564 0．0393 一〇．0928 一〇．0438 0．0111 0．0047 2．0749 2．0563 1．40 2．3056 0．0445 一〇．1092 一〇．0519 0．0137 0．0058 2．2085 2．1873 1．44 2．4521 0．0497 一〇．1264 一〇．0606 0．0165 0．0071 2．3383 2．3145 1．48 2．5963 0．0548 一〇．1445 一〇．0699 0．0197 0．0085 2．4650 2．4385 1．52 2．7387 0．0599 一〇、1634 一〇．0797 0．0231 0．0102 2．5889 2．5598 1．56 2．8796 0．0650 一〇．1830 一〇．0900 0．0289 0．0119 2．7103 2．6787 1．60 3．0191 0．Q700 一〇．2033 一〇．1008 0．0309 0．0138 2．8296 2．7959 1．64 3．1574 0．0750 一〇．2243 一〇．1122 0．0353 0．0158 2．9470 2．9106

0．0

 ！@7

@！ ^S−la1．3

．O

̀．0

s一（bト3 r一〔b月

s一〔aトI 刀￨lal−3

  ！

@！

@！

◎

 ！ 〆

  ！@！！

Y！

4

 ！^ﾚ！

C！

④ ⑤

0

1響0       1．5       2．0 2．5       3．0  ω

Fig．3 AmpIitude・frequency curues of a     simply supPorted circular plate

いて各自由度の間の連成項が存在する．このため，特 定の自由度の調波成分のみが存在することは不可能で

b｝の増大とともに必然的に同じ自由度の高調波成分b§

および他の自由度の調波成分（bl，磯，b§およびb§）

が含まれることになる．この2次および3次振動の調

波成分の存在は振幅が増大するにともなって円板の振 動波形が線形振動のそれから変化することを意味する

ものである．

 Table 6およびFig．3，4に示すように面内変位

が自由な円板の振動数と振幅の関係には3自由度系の

結果と1自由度系の結果の差異がほとんどないことが

わかる．しかしながら，表より明らかなように2次振

動の基本波および高調波の振幅成分場，b舞はかなり

大きく，必ずしも両者が同じ結果を与えているとはか

ぎらない．単純支持の場合のの＝1．6，固定の場合の

め＝1．4の振動数比に対応する円板の振動波形を求め

由度の解よりもふくらんだ形となる．従って，面内変

位が自由な円板の非線形自由振動においては振動波形

は線形振動の波形とかなり異なるが，振動数比は振動

3．0

・｛

2．Q

1．0

0 1．0

 ！@ノ

C一（b）一3 C一（b）4

  ／

@／

@／

／ C一一（a）一1

 ／

  ／

@／

C一（a）・一3

／

C一（a）一3

 ／

@／

1．5 一一一 Q．0

σ

Fig．14 Amplitude−frequency curues of a

    clamped circular plate

ために振幅A3は減少することになり，図に示すよう な振幅と周波数の関係が上側に凸な曲線となる．ま た，b舞にはblと同位相の振幅成分をもつ共振が存 在するためにFig．3，4の右上部に示すような不連

続な曲線がえられる．表から明らかなようにb｝と同 符号のb塗は振動数比の高い領域から振動数比が減少 するにともなって成長してくるものである．振動数比

よりもはるかに大きい．このため，振幅はある位置で 鉛直接線をもつことになる。この点を境としてb塁は 振動数比の増加とともに増大する．自由振動の振幅曲 線が鉛直接線をもつために，これより上部の解は不安

曲線上の点④，⑤，◎および⑥における板の中心の変

④および◎は1次振動の基本調波が卓越する振動で 1自由度の場合とよく似た時間的変動と振動波形を

もつ．これに対して⑤の場合には，1次振動の基本波

一1

ωτ

Table 7 Vibration modes of a circular plate

ξ 0．0 ・0．2 0．4 0．6 0．8 1．0

S一（b）一1 1，000 0，947 0，797 0，569 0，292 0，000 S一（b）一3 1，000 0，963 0，851 0，655 0，360 0，000 C一（b）一1 1，000 0，911 0，675 0，371 0，109 0，000 C一（b）一3 1，000 0，956 0，814 0，544 0，193 0，000

A3

一一一P 0  1 A3

5

ω＝2．0

10

ωτ

波形の変動に鈍感で振動波形を1自由度の振動波形に 固定してえられた結果よりもわずかに小さくなる．

 次に，面内変位が拘束される場合にはTable 5お よびFig．3，4に示すように振幅比が単純支持では

1，5，固定では1．0付近までは3自由度の解と1自由度

が，更に振動数が増加して，1次振幅の基本波の振幅

由度の場合に比較してはるかに複雑になる．

 表より正の符号をもつ振幅成分b｝が増大するにつ れて負の符号をもつ振幅成分暖が係数的に励起され

て共振状態となり，その値が急激に大きくなる．この

一一Q

−1 0  1 2 A3

5

（b）  〜更）＝3．0

10

一2

−1  0  1 2 A3

ωτ 5

（c）  の＝3．0

10

のτ 5

（d）  Zδ ＝3．0

10

Fig．5 Time histories of the center of a

    simply supPorted circular plate

と2次振動の高調波が逆位相で重り合った振動を示

す．最大振幅は基本波が最大となる時刻では生じない ために，式（21）で定義した振幅Aは最大振幅を意味す るものではない．なお，この場合の板のたわみの時間

の高調波が卓越する振動で，最大変位は基本波形が最：

大となる時刻に生ずる．

5．結 ^語

 本論文は，軸対称円板の非線形自由振動を多自由度 系として取扱ったものである．多自由度系の振動では 各自由度の連載が非線形項に含まれるために，特定の 自由度の自由振動によって別の自由度の振動が励振さ れることになる．このため，ある条件のもとでは励振 された振動が共振することがある．この場合の振動の 様相は1自由度の場合に比較してはるかに複雑になる

ことがわかった．

 振幅が比較的小さく板厚程度までは振動数と振幅の 関係は1自由度の解析で十分目あるが，振幅の大きい 領域では振動波形が線形の波形から変動することや各 自由度間の連曲による共振現象などが見受けられるた めに，多自由度としての解析が本質的である，

 時間関数の周期解を求めるのに用いた調和バランス 法は物理的意味が明確であるため，非線形の大きい問 題に使用できるのみならず，自由振動や定常強制振動 の主共振・分数調和共振および高調和共振などの諸現 象の解明に威力を発揮するものと期待される．今後，

本法を用いて周期外力が作用する場合の定常解および 減衰の影響を解析する予定である．

 なお，非線形代数方程式の解法にあたっては Newton・Raphson法を使用したが， Newton・Raphson

みである．必要な周波数領域で実数解が何組存在する か予測するのが困難である．計算を能率的に行なうた めにはあらかじめ解を予測する手法の利用が望まれる なお，本題の円板において面内変位が拘束される場合 には振幅が鉛直接線をもつ付近ではNewton・Raphson 法の初期値の与え方が解の算定に敏感で計算労力を多

．く要した．

 最：後に本研究を行なうにあたり貴重な助言と批判を

Raphson法についてお世話になった九州大学大型計 算機センター研究開発室の皆様に感謝の意を表しま

す．計算および図面の整理に陽力頂いた本学土木構造 研究室柿山幸隆・永田正美両技官，計算を行なうにあ

たり協力を頂いた卒論生小西昭彦君（現在三菱重工）

に感謝します．また，本論文の数値計算には，九州大

付記する．

参考文献

1）G．Herrmann：Influence of Large Amplitudes

 TN 3578，1955．

2）N．Yamaki：Influence of Large Amplitudes  on Flexural Vibration of Elastic Plates，

 ZAMM， Vo1．41， No．12，1961， pp．501〜510 3）J．Nowinski＝Nonlinear TransverseVibrations

 undary， Pro．4th U．S． Nat． Congr． Appl．

 Mech，1962， pp，325〜334．

4）V．A． Chobotov and R． C． Vison：Nonlinear  Response of A Circular Membrance tb Sinuso・

 ida】． Acoustic Excitation， J． Acoust． Soc．

 Ame．，Vol．36， No．1，1964， pp．59〜73．

5）G．C． Kung and Y．H．PaQ：Nonlinear Flexural  Vibrations of A CIamped Circular Plate， J．

 App1． Mech， VoL 40，1972， pp．1050〜1054．

6）J．Nowinski：Nonlinear Vibrations of Elastic

 tropy， ZAMP， Vol．14，1963， pp．112〜124．

7）J．Nowinski：Nonlinear Transverse Vibrati・

 ons of A Spinning Disk， J． App1． Mech， Vo1．

 31，1964，PP．72〜78．

8）S．H． Advani and P．Z． Bulkeley：Nonlinear  Transverse Vibrations and Wave in Spinning

 Vol．3，1968， pp．123〜127．

9）C．J．H． Williams and S． A． Tobias：Forced

 Undamped Non・1inear Vibrations of Imperfect

 Vo1．5， No．4，1963， pp．325〜335．

10）G．」．Ffstathiades：ANew Approach to the

 cular Disks Using Galerkin s Procedure， J．

 Sound Vib．，Vol、．16， No．2，1971， pp．231〜

 253．

11）C・L．Huang and B． E． Sandman：Large A・

 mplitude Vibrations of A Rigidly Clamped Ci・

 rcular Plate， Int． J． Non・linear Mechanics，

 Vol．6，1971， pp．451〜468．

12）C・L．Huang and Y．J． Meng：Non−1illear Os−

 cillations of a Nonuniform Fixed Circular Pl・

 ate， Int． J．］Non・1inear Mechanics， Vol．7，

 1972，pp．557〜568．

13）C−L．Huang：Non・1inear Axisymmetric Fle・

 xura1 Vibration Equations of A Cylndrically

 10， No． 10， 1972．

14）H．M． Berger：ANew Approach to to the

 Appl． Mech．，Vo1．22，1955， pp．465〜472．

15）Thein Wah：Vibration of Circular Plates at

 EM5，1963， pp．1〜15．

16）N．Gajendar＝Large Amplitude Vibrations of

 1inear Mechanics， Vol．2，1967， pp．163〜172．

17）D．C．Chiang and S．S．H． Chen：Large Amp・

 litude Vibration of A Circular Plate with Co・

 ncetric Rigid Mass， J． Appl． Mech．，Vo1．40，

 1972，pp．577〜583．

18）A．V． Srinivasan：Non−1inear Vibrations of

 Vol．1，1966， pp．179〜191．

19）M．C． Pal：Large Amplitude Free Vibration

 970，pp．301〜313．

20）占部実：たとえば，非線形振動の解析法（その2）

 一周期解を求めるガレルキン法一電子通信学会誌，

 Vo1．56， No．9，昭和48年9月， pp．1266〜1271

 eam Vibrations， AIAA Journal， Vol．8， No．

 4， 1970，pp．734〜739

22）八巻・永井：一様分布周；期横荷重をうける長方形  板の非線形曲げ振動， 日本機械学会論文集，第39  巻，第327号，昭和48年11月，bp．3334〜3341 23）S．Weiner， The Effect of Constant Axial

 Beams and P】ates， Northwestern University，

 PhD．，1962．