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トラス構造の座屈（続報）
奥 田 克 己
1 はしがき
トラス構造とは多数の直線部材の結合より成る構造であって，節点はすべて剛節であ り，且つ節点以外の点に作用する外力は存在しない構造である。
したがって，トラス構造における各直線部材の軸力は，節点をすべて滑節であると仮定 して求めたときの軸力の値と完全に一致するはずである。このような構造が弾性座屈を生 ずると，全部材が一斉に座屈し，座屈後の各部材の弾性線は一斉に曲線に変る。それ故ト ラス梼造全体の座屈を考える代りに，任意の一部材のみに着目し（これを基本部材と呼ぶ）
この部材だけの単独座屈の問題と見倣して，座屈の限界荷重を求めることができる。
ただし，図一1のABを基本部材とすれば，節点A，Bには必ず何本かの隣接部材が接 続しているので，基本部材ABの両端末・4， Bにおける変形の条件は，単なる固定または 支持ではなく，一般｝C・A， B両端はある曲げ剛さを持つ弾性支持であると考えられる。
O c＝X
硫
図一1 2 基本部材の座屈公式
一般に基本部材ABが座屈して，図一1の点線のごとく変形し， A， B両節点の近くで は・Mo4・MOBなる曲げモーメントが発生し， A， B節点はそれぞれρ似，90Bだけ回転し たとし，図一1に示す矢印の方向を正とすると，
MoA＝kOA gOA， MoB＝leOBfPOB （1）
で，添字の最初の文字は部材を，後の添字は節点の記号を示す。ただし，kは直線部材の 端末における曲げ剛さで，kOA， kOBの値は隣接部材によって定まる。次に図一2に示すご とくB端にi本の隣接部材が接続している場合について考える。隣接部材iのB点におけ る曲げ剛さktBは，
80
k、B＿M・・
￠）tB
ピcLa
（2）
c
＼ Pi
図一2
で，これはB端末における隣接部材としてはi部材だけが単独に存在する場合の，B端六 における曲げ剛さであり，その値は弾性論によって求めることができる。 （次節）
またB節点は剛節であるから
％万＝9tB （3）
モーメントの釣合いから ゴ
M。B＝ΣA・f，． （4）
ii−t1
式（3）に，式（1），（2）を代入して，式（4）によって，MoBとA6，Bを消去すると， B点の曲げ副 さkOBは，
ゴ
k。B一Σk，。 （5）
i＝1
同様に，A端にj本の隣接部材が接続する場合のA点の曲げ剛さkOAは，
i
k。。一Σk，．， （6）
i＝1
基本部材の単独座屈の限界荷重をPOOとすると， POσは基本部材の固有の常数Hoと曲 げ剛さkOA， koBによって決まり，数式でかけぽ，
1）oσ＝F（kOA， kOB， Jlo） （7）
ただし Ho＝lo／Eolo （8）
ここで，koA， kOBは次元を持つので，取り扱いを簡単にするために次式のごとく無次元 の7770A， MOBとに書き換え，
fnOA＝たOAHo， 7210B＝夫OBHo （9）
この〃zを座屈係数と呼ぶことにする。式（9）を用いて式（7）を書きかえると，
P・σ一島。ゾ（m…m・・） Od
さらに，
α6a＝∫（MOA， MOB） ⑪ とおけば，式⑩は，
81
P・・一・b・』浮゜ ・
くの
となる。式⑪のα0σとMOA， fnOBとの間には，第一報の式㈱が成立する。この式を本報の 記号を用いて書き直すと，
αbe・inα。σ＋α。σ（・inα。。一α。σC・・α。σ）（M・A＋m・B）
＋｛2（1−c・・α。σ）一α。σsinα。，｝fn・A・m・B−0 ⑬
o。
ドA
v
誌
41 2ー ー
口
4c ダ
弘
4 心N
＼
鳥 ／
．
0 8 6 4 2 0ー 烏ピ
｜
縫s 1
ぞ、
参
グ
写
舎マ
．
ぺP
辱
2 4 6 8 iO 12 ／4
一一→＞tMcA 図一3
この式⑬のグラフを図一3に示す。MOA，物βが知れると，上式（i9によってαoσが定ま り，これを式QZVこ代入することによってPocが求まる。また，図一1で， A端が固定とす れぽ，MOA＝。。であるので，上式に代入すると，
・。。（・i・α。σ一・。。c・・α。，）＋｛2（1−…α。。）一・。・sinα・・｝M・B＝0 04
この式⑭のグラフを図一4に示す。
式（IZIこおいて
。a。−7z。π・ as
とおけば，式㈱は，
82
・。
ざ→
。20
18
16
1 1
14 2 0 1 ー
8
6
％
図一4
83 Poσ＝770r・2Eolollo2
で，通常オイラーの公式と呼ぼれているものと一致する。
c．rs・
．v．
3 端末における曲げ剛さk
図一2は・縫の部分図一（・ ・ ABCtg屈を考え磋本部材・を， BC麟翻枷を，点 線醜屈後の難曲線の波形を示す・隣接部」1・t・iの儲cが支持暢合と，固定暢合、こ 分けて曲げ剛さktBの導き方を説明する。
（1）隣接部枷の他端が支持の場合
tr−一一一‖i
QiB
g
図一5 Qic
図一5はpm−2の翻 撒を励出したもので， C端が端の場合己る．先ず，力
の釣合上QtB＝QtO，かっMεσ＝0であるから，
ハ4tB＝QtBlt Mx＝Q，BX＋Po したがって，
2＋ξ・・…iiz−・一・
ただし， Pf＝ξ♂E必 これを解くと，
・−A…ξ針B…ξ1・一警ex
x＝＝0 で Nニ0 とおくと， ．Bニ0
x＝ltで y＝ O とおくと，
ただし・ αt＝ξ，1，
式⑳に，式㈲，と助を代入して，
A＝ MεB Ptsinαt
う0
⑱
⑲
ツー警（sinξtX xSlnα包 1ε）
次に，x・＝ltでdN／dx ＝＝ 一 ｛otB，式（2）から，
AtftB＝ ktBPεBとすると，
一鷲τ一劉α・c筆：1蓑inα・）
⑳
⑳
⑫
⑳
整理して，
ll乙）慧；ll｝
この式臼のφ、（α）を図一βに示す。
図一6
85 次に，部材iの軸力が引張の場合には，図一5のPtを引張に改めて，同様にすればよ
い。
その結果は，
で，この式⑳のφ11（α）を図一6に示す。
（2）隣接部材iの他端が固定の場合
図一2のC端を固定とすると，図一7になる。
宿
←一一一Ri
QB
︐
、 ほ
M
＼
t
一一一一 ＿ 一 〆
斗
一一■
v
む 苫
Vd
Qic
図一7 したがって，
霊ゴ蕊ξ＋，，， ）1
これより，
；裟噺・（一・it・＋QIBX）／EI・・一・
これを解くと，
y＝AsinξtX＋BCOSξ，X−（一M包σ＋QtBx）／P，
x＝o で3，＝o とおくと，
B＝M・B；Q・・ち
Pt
x＝o で d5，／dx＝o とおくと，
A＝Q8
1）tξ《
x＝ttでS， ＝o とおくと，
Asinαt＋Bcosα一（−Aa，c＋q．x）／Pt＝o 上式に，式θ，㈱と㈲を代入して整理すると，
⑳
3D
3z
86
QεB＝ Z也Bξε（1−cosαt）
Slncrt一αtcoscrt
x＝ltで， dor／dx＝−COtB，式（2）で｛OtB＝A41tB／ktBとすると，
鷲一一Aξ・C・・crt＋Bξ・S・・α・＋一晋
上式に，式eg， BDと鱒を代入して，
：竃曇悉監｝
この式6Sのφ，（α）を図一6に示す。
9
s﹇D
B9
65
次に，部材iの軸力が引張の場合には，図一7のP，を引張に改めて，今と同様にすれ
ぽよい。
その結果は，
：ごタ蕊畿
で，この式⑯のφ、！（α）を図一6に示す。
｝ 60
4 座屈荷重の求め方
図一2において・座屈を考える基本部材0と部材iとの軸力PoとPtとの関係は，静力 学的釣合の条件によって決定されるから，一殻に
Pt＝CtPo BZi
で，C包は既知の定数である，式助の関係を図一8に示す。
一般にすべての隣接部材の軸力が零である場合には，前論文1）2）の手順によってktBを 求め，これを式（5）に代入することによってkOBを，また同様にしてkOAを求め，式（9）に
よってMOA，彿OBが求まるから，式⑬または図一3を用いて，αoσを，さらに式⑮⑯に よって720およびPOσを求めることができ， POと与えられた荷重との関係Wは，静的釣 合の条件によって最初から既知であるから，結局臨界荷重▽を求めることができる。と
ころが隣接部材の軸力が必ずしも零でない場合には，Pψが未知である以上， letBの値を 決定することができないから，その後の計算を進めることができない，そこでこの場合に は．巳σの値を適当に仮定し，試算法によって臨界荷重を求めなけれぽならない。図一8は 試算法の手順を示すもので，先づ斜線は式⑰の関係を示す。
→
0
関係
一一ラP｛
図一8
87 この式⑰は座屈の瞬間まで成立し，
1）tC＝C，1）oo
B⑨
但し・添字C願界座屈鐘（cri・ical・b・・kli・g 1・ad）を示し式68姻一8の点Cを示
す。
そこで，座屈鯨の求め方の手順の例として，図一2の部枷の他端c澱持で，舗
iが圧縮を受ける場合，すなわち，前節の（1）llついて説明する。
求める座屈荷重Poc， PtCは式⑫と0θから
P・σ＝n・・2E・1・／L・2−・・σ2E・∫・／i・2 ω P・・＝n・π2Etlt／1・2・・tEllt／II2 ㈹
である・座屈樋P… P・σを求める・とと…。，・，C又は7Z。鋤を求める・とは同臆 味である・先ず部JH−iの・・σを・1・・と仮定して，蜘からP、a、を求める．次、．。，σ、を式 臼に代入し・さらに式（・）・（・）1・・代入して…9・を求め，又，同樹・してA点での，。。Aを 求め・このm・At m・Bを式⑬e・代入して…σカ・求ま》砥・の時の部材・とi、、DiEig Poa1， PtOiは
㌃：蕊別 eD
上式9Dを図一8での点1とする．・の上式力・式晒満たせぼ，すなわち点1カ・縮線上に 乗ればこれが求める座屈荷重．Poσの値である。もし，式臼を満たさない時は，更に部材i
のαtσをαtC2として今と同様に計算をして，
鴛：㌻巖；｝ （e
を得たとする。上式を図一8での点2とする。
上式が式B8を満たせば，これが求める座屈荷重1）ooの値である。
まだ，満たさない時は，満たすまで計算を試みる代わりに，図一8での点1と2を結ぶ 直線が式励直線と交わる点C（P・σ・P・c）よ腱屈荷重P・σ鰍定する・ともできる。
また，他端Cが固定の場合も全く同様な手順にて，座屈荷重を求めることができる。
5計算例
図一9に示す二辺からなるトラス構造に圧縮荷重Wが作用した時の座屈荷重W，を求め
る。
ただし，A， C点は固定とする。
部材0と1の軸力1）o，P、は
P・ ＝・1／百Po ㈹
P・一コW P・一警 ＠
座屈の瞬間まで・鵡と鱒1誠立すると考える．部材0と1の座屈樋P。。， P、。は式（、Z，．
⑯から
；ll：蕊㍑き㍑8｝ 臼
88
4
↑2
7
0
図一9
①
5 2
2 2 3
→・n lc
図一10
89 式⑬と倒から
銘。σ＝ンー｛i n、σ ㈹ 上式のグラフを図一10に示す。
先づ，部材1は，一端固定で他端支持の棒に近いから，フ7、c、≡2と考え，これを式⑮に 代入すると，α、c、＝4．439となる。これをround numberに直して，α、σ、＝4．40と仮定
した。従って，これに相当するn、σ、は1．964と仮定したことになる。従って，式臼から
φ、（α10）＝φ、（4．40）＝0．259 禦力
上式を式θと式（6）に代入して，更に式（9）に代入して，
MoB ＝ RoBHo＝RエBHo：＝0．4486 ⑱
を得る。基本部材0のA端が固定であるから式⑭によって，αoσ、＝4．65を得る。これを式
㈲に代入して，フZo、＝2．193を得る。このnoo、＝2．193とフ1、ot＝1．964を図一10の点1とす る。次に部材1のα、σの値を変えたα、c2＝4．70すなわちIZ，c，＝2．24と仮定して全く同様に 計算すると，αoσ、＝4．03すなわちnoe、＝1．647を得る。このnoσ2＝1．647とn、c、＝2．24を
図一10の点2とし，点1と点2を結ぶ直線が式㈹の直線と交わる点が求める座屈のnoσ，
7Zlcで
noσ＝2．83 7Z1σ：＝ユ．64 ag）
上式と式㈹から
｝ 6・） 1）oσ＝＝2．83π2Eolo／lo2
P，c＝1．64π2E111／1，
を得る。上式を式⑭に代入すると 求める座屈荷重Woは
II7e ＝＝ 5．66π2Eo∫o／lo2
又は
IIIc＝＝1．895π2Eili／112 となる。
参 考 文 献
く1）奥田克己：構造部材の座屈について，明星大学研究紀要理工学部第3号1997年3月 く2）塩崎恵一：トラス構造の座屈（第1報）日本機拡学会論文集No 720−10（1972）
