磁場中の固体電子

第 10 講

磁場中の固体電子

~~ 磁場とフェルミ面の意外な関係 ~~

広島大学　井野明洋

固体物理学1

居室： 理D205、 放射光セ308

ホール効果の測定 ²

V

B I

I

x z

y

ホール効果 の 基本原理 ³

B

v e - v B e -

− − − − − − − − −

+ + + + + + + + +

x y

z

(a)

(b)

I

I I

I

過渡

定常

キャリヤの

種類と密度を 実験で決定

より

実験事実

価数 と ホール係数 ⁵

Li

Na KRb

Cu Ag

Au

Be Mg

Al In

As

SbBi

2

1

0

-1

, n

H e

/n

ぴったり -1

あまり
 合わない

なぜなのか？

古典論の限界

巨大なホール係数 貴金属の約1000倍

-1 0

Al

アルミニウム Al のホール係数 ⁶

弱磁場→強磁場で 符号が反転！！

量子振動現象 ⁷

磁場 B

磁化率χ

方位

磁化率χ

磁化率 : de Haas–van Alphen (dHvA) 抵抗率 : Shubnikov–de Haas (SdH)

Au の単結晶

何じゃこりゃ？

8

課題

磁場中の

固体が示す

謎の物性

9

方針

電子の運動を

逆空間で考える　

•群速度

•等エネルギー面

•フェルミ面

磁場中の電子の運動 ¹⁰

逆空間の速度ベクトル

実空間の速度ベクトル ローレンツ力

• ^{等エネルギー面}

• ^{B に直交する平面}

切り口の交線に沿って動く

逆空間の電子の軌道 ¹¹

B B

電子面 左回り ホール面

右回り

板書

軌道運動の周期

量子振動

閉じ込めると離散化する ¹³

ボーアの対応規則

n = 0, 1, 2, … γ: 位相定数

S = S FS で D(E F ) が増え S ≠ S FS で D(E F ) が減る

→ B の変化とともに物性が振動する

量子振動 フェルミ面の 


断面積 S FS

の観測手段 可能な状態

T: 周期

磁場 B

磁化率χ

方位

磁化率χ

量子振動 ¹⁴

Au

断面積 S

の観測

板書

実空間の運動

実空間 と 逆空間 の 軌道 ¹⁶

X

逆 空 間

等エネルギー面 に沿った軌道

B

S

実 空 間

等エネルギー面を

90°回して　 倍した軌道

B

周期 強磁場なら T ≪ τ

強磁場ホール係数 ¹⁷

振動成分 等速成分 強磁場 T ≪ τ

閉軌道 k(τ) = k(0)

電流にならない

B

電子面 と ホール面 ¹⁸

(i) 占有側が閉じた軌道

(iii) 開いた軌道 → 磁場を強くしても消えない電流 B

(ii) 非占有側が閉じた軌道

B

ホール係数 の 理論式 ¹⁹

弱磁場

強磁場極限

T ≪ τ 古典と一致

導出略、 紹介のみ

J. M. ザイマン、 「固体物性論の基礎」

home.hiroshima-u.ac.jp/tmatsu/Matsumura/Research_files/trnsprt.pdf 松村武、 「磁場中における

電気抵抗とホール効果」

弱磁場 p = 0

移動度

Al と In のホール係数 ²⁰

第3BZ 第2BZ 第1BZ

n

p − n = +1 × n _at

価数 3

p

ホール面 電子面

p = (1+ α) n _at n = α n _at

Al In

21

補足

電気抵抗のしくみ

（解説のみ）

金属抵抗 の 温度依存性 ²²

4

3

2

1

0

電気抵抗率 , ρ (10

! m)

400 300

200 100

0

温度 , T ^(K) Al

Au

Cu ∝ T

周期場 は 抵抗に寄与しない

23

• 周期場によるブラッグ散乱を取り込んだ固有状態が、 


実現する （ブロッホ状態）。

• 周期場によるブラッグ散乱は、 電流を散逸せず、 


電気抵抗にならない (結晶運動量の保存)。

• 電流を散逸させるのは、 周期性 （並進対称性） の破れ。

散乱 の 原因 ²⁴

格子欠陥 不純物

定数

フォノン 他の電子

低温で ∝T ⁵

高温で ∝T ^低温で ∝T ²

他にも、 磁気的な散乱など、 多様な原因がある。

典型金属では

比較的小さい

マティーセン則

高温領域 ( T ≫ T D )

25

格子振動

振幅の二乗 格子振動のエネルギー 励起されたフォノンの数 エネルギー等分配則

デュロン=プティ

3

2

1

0

, Cv /NkB

2 2

1 1

0 0

, T/T_D

5

4

3

2

1

0

, U(T)/NkBTD

0

, D(E) ,

低温領域 ( T ≪ T D ) ²⁶

• ^{後方散乱不可。 k ~ 0} フォノンによる前方散乱のみ。

• 散乱回数あたりの、 電気抵抗への寄与が低下。

• ^{散乱角を θ} とおくと、 重みは 1 − cosθ ~ θ ² 。

(c) (c)

(b)

Cu

1 0 2 3 4 5 6 7 8

, f (THz)

1 0 2 3 4 5 6 7 8

, k

(a)

(a) Cu

Δ

Λ Σ

Γ L

K X

X

(d) (d)

TD = 347 K

50 K 100 K

100 K = 2.1 THz

フェルミ面

θ

前方散乱 後方散乱

不可

ブロッホ＝グリューナイゼンの式 ²⁷

低温の ∝T ⁵ 則と、 高温の ∝T 則を再現する理論式

グリューナイゼン関数 ²⁸

1.0

0.5

0

F BG ( x )

1.0 0.5

0

x = T/T _D

フォノン散乱

による抵抗

グリューナイゼン関数との比較 ²⁹

3

2

1

0

,

ρ

300 250

200 150

100 50

0

, T

Al

Au

Cu Experiment

(a)

10^-5 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹

ρ

ρ

5 6 7

10 ^{2 3 4 5 6 7} 100 ^{2 3 4 5 6 7} 1000

, T ^(K)

Experiment

Grüneisen fit Au Cu Al

(b)

T

還元温度

,  T / T

還元抵抗

,   ρ / ρ

フォノンによる抵抗の普遍曲線 ³⁰

現実の金属では、

フォノン以外の散乱が、大きい。

• 電子ー電子散乱

• 磁気散乱

• 近藤効果

主に、sp 電子系で有効。

まとめ ³¹

量子振動

強磁場ホール係数

高温フォノン抵抗

フェルミ面の断面積

キャリヤー密度

残された謎 ³²

10^-12 10^-11 10^-10 10^-9 10^-8 10^-7 10^-6 10^-5 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

,

ρ

1 10 100 1000

, T (K)

Ag Cu Au

Si

なぜ、 半導体の抵抗は、

温度とともに低下するのか？

半導体 (Si, Ge など) は、

フェルミ面が無く、 n = 0 。 微弱な電流の担い手？

一般に、 散乱確率は

温度とともに増大する。

そして誰もいなくなった…

次回

第11講　半導体

真空、 からの 対生成

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刺激に敏感な物質

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