・波動方程式の導出

2016 年度数理情報セミナー 2016 年度数理情報セミナ

 0

に波源のある波動方程式の解の導出

・ばねと質点系の運動方程式

・波動方程式の導出

・フーリエ級数展開 フ リエ積分

 任意の関数を３角関数で表す (0, )

  任意の関数を３角関数で表す(- )

・フーリエ積分

・強制振動の特解

  任意の関数を３角関数で表す(- , )

 

 

( ) 1 ^t sin ( )

x t  t t f t dt

   

  

強制振動 特解

・複素関数の積分

 

 

 ^

・波動方程式の解

2

t x c

u x t f t dt

c



  

 

ばねにつながれた質点の運動方程式

ばねによる力

k  l

大きさ：ばね定数 ばねの長さ - 自然長

 l

向き：ばねの長さ

ばねが縮む向き





向き：ばねの長さ ばねが縮む向き

ばねの長さ ばねが伸びる向き

左がばねにつながれているとき 左がばねにつながれているとき

,

k l

0 x

ばねの長さ x t( ) 0  x t( )

0 _{x t( )}

大きさ 向き

 

| ( )|F t k x t| ( ) l |

 ( )

x t l^{F tx( ) k x t| ( ) l | k x t( ( ) )l}

向き x t( )l

 ( ) x t l

(

( ) | ( ) | ( ) )

F tx   k x t l  k x t l

( ) | ( ) |

| ( )|

F tx k x t l k l x t

 

| ( )

( ) )

| (

k l x t k x t l





 



右がばねにつながれているとき 右がばねにつながれているとき

,

k l

0 ( )t L

ばねの長さ L x t ( )

| ( )|F t k L| ( )t l |

0 x t( ) L

大きさ 向き

  

| ( )|F t k L x t| ( ) l |

 ( )

L x t l ^{F tx( )k L x t|  ( )l |}

向き ( )

 ( )

L x t l ^{   }

   

( ) | ( ) |

( ( ( )))

F tx k L x t l k l L x t



  

( ( ( )))

( ( ) )

k l L x t k L x t l

両方がばねにつながれているとき

m m m

0 _{x t1( ) x t2( )}

3( )

x t 4l

2

1( (

) ( )

) ( ( ) ) ( ) (2 ( ) ( ))

d x t

m ₂   k x t( ( ) )₁  l k(x t₂( ) x t₁( )  l) k x t(2 ( )₁ x t₂( ))

m k x t l k l k x t x t

dt   x t x t 

2

2( ) ( ) ( (

( ) ) ( ) ( ) ) ( ( ) 2 ( ) ( ))

d x t

m ₂  k(x t₂( ) x t₁( ) l) k(x t₃( ) x t₂( ) l) k x t( ( ) 2 ( )₁ x₂ t  x t₃( ))

m k x t x t l k l k x t x t x t

dt      x t x t    

2

3( )

( ( )t ( ) ) (4 ( ) ) d x t

k t l k l t l

3

2 3 2 3

( ) (x t( ) x ( ) ) (4 ( ) )

m k l k l x t l

dt    t    

1( ) l 1( ) x t₁  u t₁

2 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 3 l

l

x t u t

x t u t

x t l u t



 



　 u:つりあいの位

つりあい の位置 置か らの変位

3( ) 3 3( )

x t  l u t

2 ( )

d t

2 1

2

( ) d u t

dt

   

2 1

1 2 1

2 2

( ) ( ) ( ( ) ( ))

( ) d x t

m ku t k u t u t

dt

    

2 2

2 1 3 2

2

( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) d x t

m k u t u t k u t u t

dt

   

2 3

3 2 3

2

( ) ( ( ) ( )) ( )

d x t

m k u t u t ku t

dt

Nコの質点がつながれているとき Nコの質点がつながれているとき

2 ( )

d x t

0 x t1( ) x t₂( )

1( )

xn t x t_n( ) x_n1( )t x t_N( ) ^{(N  1)l}

 

      



1 1

2 2

1

( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )

( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) )

n

n n n n

d x t

m k x t x t l k x t x t l

d x tdt

k t l k t t l

     

       

1

1 2 1

2 2

( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) )

( ) ( ( ) ( ) ) (( 1) ( ) )

N

m k x t l k x t x t l

d x tdt

m ₂ k x t( ( )_N x_N1( )t l)  k N((  1)l x t_N( ) l)

m k x t x t l k N l x t l

dt

( ) ( ) : ( ) :

n n n

x t  nl u t nl つりあいの位置 u t 変位

2 ( )

d    

2 1

1 2 1

2 2

( ) ( ) ( ( ) ( )

( ) d u t

m ku t k u t u t

d u tdt

 



    

    

1 1

2

1 1

( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( ( ) 2 ( ) ( ))

n

n n n n

n n n

d u t

m k u t u t k u t u t

dt k u _ t u t u _ t

    

1 1

2 2 1

( ( ) ( ) ( ))

( ) ( ( ) ( ))

n n n

N

N N

d u t

m k u t u t

dt

2 ( )

( ( ) 2 ( ) ( )) 1

d u tn

k t t t N

 

 ₂( ) _{1 1}

( ( ) 2 ( ) ( )), 1,,,,

n

n n n

m k u t u t u t n N

dt    ^   ^ 



 u t₀( ) 0, u_N1( )t 0 境 条

  



境界条件

波動方程式の導出 波動方程式の導出

ステップ１　質点系のｎ番目の運動方程式 ステップ２ テイラー展開 テップ テイラ 展開

ステップ３　式の変形

ステップ４ 波動方程式

ステップ４ 波動方程式

( )t

n( ) u t

x

( , ) u x t

       

2

2ⁿ _n 2 _{n n} 1

m d u t k u t u t u t

dt ^

 

      

 ^{＋ 1} 

 

の 位 置 の 質 点 の 時 刻 で の 位 置 の 変 化

u t x n t

       

2 n n n

dt  

 

  ^{位 置 質 時 刻 位 置 変 化}

n

 

の 位 置 の 棒 の 断 面 の 時 刻 で の 位 置 の 変 化

u x t x t

  x n

 

^{位 置 棒 断 面 時 刻 で 位 置 変 化}

  x n

 

 

u t u x t

 



 ^{ }





 

 

u tn u x t

   

u_n₁ t  u x  ,t ^un1

 





2

 

     

2

2ⁿ _n 2 _{n n} 1

m d u t k u t u t u t

dt ^

 

      

 ^{＋ 1} 

dt  

     

 

 k





   

 

  k u x  ,t  2u x t,  u x  ,t

( ( ) ( ) ( ))

( ( , ) 2 ( , ) ( , )) k u x  t  u x t  u x  t

  

① ② ③

① ② ③に分けて考える

① ② ③

①,②,③に分けて考える

     

2 ( , )

( ( ) 2 ( ) ( ))

u x t

m  k u x  t  u x t  u x  t

 ₂ ( ( , ) 2 ( , ) ( , ))

m k u x t u x t u x t

t ①

①をテイラー展開

 

      1 ²   

( ) ( ) ( )( ) ( )

f x f x f x 2 f x

1 2

( , 1 2

( , ) ( , ) ) ( , )

u x t 2

u x   t  u x t     u x t    

1  2



（１）

2

2 2

( , ) ( 1 ( , )

, ) 2 u x t

u x t x

x

u t

x



  

   

  

＝

     

2 ( , )

( ( ) 2 ( ) ( ))

u x t

m  k u x  t  u x t  u x  t

 ₂ ( ( , ) 2 ( , ) ( , ))

m k u x t u x t u x t

t ③

③をテイラー展開

 

      1 ²   

( ) ( ) ( )( ) ( )

f x f x f x 2 f x

1

2

 

      1 ²   

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

u x t u x t u x t 2 u x t

u 1 ²u

 

     

  1 ₂ ²

( , ) ( , ) ( , )

2

u u

u x t x t x t

x x ^（２）

2 ( , )u x t

 

    

   

2

2 2

( , ) ( , ) 1 ( , )

2

u u

u x t x t x t

x x ^（１）

 x 2  x

 

     

   

2

2 2

( , ) ( , ) 1 ( , )

2

u u

u x t x t x t

x x

＋

 

2

( ) 2

u x t   

 ₂ ( , )x t  x

2u x t( )



2 ( , ) 2 ( , ) ( ,

( , ) )

( )

u x t u x t u x

u

m  t  k   t  x  t

  

2u

2 

2 ( , ) u x t k x

  

m  S  



S S

k 





k 



2 2

2

2 2 ( , )

u S u

S  ^  ^{ } x t

 

 



 : ^棒の密度

2 2 ( , )

t x

   

2u 2u

 

S:棒の断面積

：ばねの自然長

2 ( , ) 2 ( , )

u u

x t x t

t x

 ^   ^

 

：ばねの自然長

：ヤング率

波動方程式

x( ) F t

v E

 



数理情報セミナ

数理情報セミナー

★未知の関数を既知の関数の無限和で表す

★未知の関数を既知の関数の無限和で表す

(0 )

区間 の関数 三角関数



( ) ( )

f

(0, )

区間 の関数 三角関数



 

1

( ) _{n n}( )

n

f x c e x

 

 

(1) _n( ) 2 sin(n )

e x x

0

(2) e x( )  1



 

 

( ) 2 cos( )

x

e x n x

2 2 1

(3) ( ) sin( )

n 2

e x  n ^ x

 

間 直交関数 例

  

 

 1 n m

(0, )

区間 の直交関数の例

   

 

    

0^

( ) ( ) 1

0

m n

n m

e x e x dx mn

n m

  

（１） 境界条件 e (0)  e ( )  0

（１）　境界条件　e_n(0) e_n( ) 0

  

 2  ² 

( ) sin(n ) (n ) 1 2

e x  x    n 

  

( ) sin( ), ( ) , 1,2,...

n n

e x x n

0

( ) ( ) 1

0

m n

n m

e x e x dx mn

n m 

  

 

    

^

 

    



sin( )sin( )

cos( ) cos( )

(1)

の場合

0 

 

0

2 sin(m )sin(n ) ?

x x dx

 

^ 

  

2

0

2 cos(m n ) cos(m n )

x x dx

   

 

  

 

 

^

 ⁰ (   ) (   )

2

 

 

     

 

 

     

 

^

 ⁰  

1 cos( x m n( )) cos( x m( n dx)



のとき

m n ( ) ( ) ¹ n m

e x e x dx  ^ ^{ }  mn

^



のとき

m n

^

1 2

( ( m ))

d

0 ( ) ( )

0

m n

e x e x dx mn

n m 

    







 

 



  



0

1 2

(1 cos( ))

1 2

i ( )

m x dx

m 



 

   

 

 

 

 

0

sin( )

2

1 2 2

( sin( ) (0 sin( 0))

x x

m

m  m 

 

    

  

 

  

 

( sin( ) (0 sin( 0))

2 2

1 0

m m

  1

とき

( ) ( ) 1 n m

e x e x dx  ^ ^{ }  mn

^

 



のとき

m n ^{0e x e x dxm( ) ( )n  }_^{0 n  m }_ ^{ mn}

0

1 ^cos( x m n( _ )) cos(_  x m n dx( _ )^

 

 

^

  

2 ( sin( ( )) sin( ( ))

( ) m n ( ) m n

m n m n

 

 

   

 

 

 

  

( sin( (0)( )) sin( (0)( )))

( ) m n ( ) m n

m n m n

 

 

   

 

 

 

 0

sin( 

整数

^整数



区間 で定義された関数 は 式

(0, ) f x( )

これらの関係式を用いて表すことができる



( ) ( )

f  

^

係数

( ) ( )

( ) ( )

n n n

f x c e x

f d



^{係数　 c}









 cos( ) cos( ) 2

cos( x ) _{n n n} 2 sin( x )

c e c

 _ ^ _ ^ 

 

 _n1 ^{n n} _n1 ⁿ  

  

n

^ sin( )cos( ) 

0 ( )cos( )

2

n n

c e x n x dx

x x



 

 







 ^{sin( ) sin(}2 ⁾

    



0

2 sin( )cos( )

?

x x

x dx

 





^

  

 ?

2 1 ^ (  1) 1 ^ ( 1) 

0 0

2 1 ( 1) 1 ( 1)

sin( ) sin( )

2 2

1 ( 1) ( 1)

n

n n

c  ^   x dx    x dx^

 

  

 

^ ^

 

  

 

0 0

1 ( 1) ( 1)

cos( ) cos( )

( 1) ( 1)

2 1

n n

x x

n n

 

 

   

 

     

 

 

 



 

1 (1 cos( 1) ) (1 cos( 1) )

( 1) ( 1)

2 n n

n  n 

 

 

         

 

 n  1

1 1 1 2 ( 1) ( 1)

2( ) n n

c   

    

2

2( )

1 1 ( 1)( 1)

2 2 2 cn

n n n n

n

 

  

   







2 4 6

2 1

 n _ n  2, 4, 6,...

y

0.5 1.0

y y  cos(x)

3 M 

10 M 



0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 5

x

10 M 

1

cos( ) ( )

2

n n n

x c e x

 ^





 



-1.0 -0.5

1 2

2 sin(2 )

M m m

y c m x



 

1

2 _n sin( )

n

c n x





 _  _

2

2 2 2

cos( ) sin( )

1

n n

x x

 _ 

 ^

 _:  ² 

2

( ) ( )

1

4 sin( )

1

n n

n n

n x

 











  



偶数

:偶数 1

n 偶数  n  

数理情報セ ナ

数理情報セミナー

フ リエ変換とフ リエ積分 フーリエ変換とフーリエ積分

( ) 1



f x( ) F k e dk( ) 2 ^





f x F k e dk ( ) 



F k( ) f x e( ) dx



F k f x e dx



 





( ) ( ) に

2

n n n

f x c e x 区間 (0, )



 



 

    

 



 





 

c を代入すると

0

( ) ( ) , { ( )} { 2 sin , 1, 2, 3...}

( ) 2 i ( ) i ( ) ( )

n n n

e y f y dy e x n x n

n n

f f d

 



 

 

  

ここで、  とすると

1 0

( ) sin( ) sin( ) ( )

n

f x x e y f y dy

k 和と積分の関係









    ^ 



1 0

2 sin( ) sin( ) ( )

2

n

k knx dy kny f y





    

 ⁰ 

0

( ) ^k ( )

n

k f n k f k dk





 ^ 

0 0

2 dk sin( )kx dy sin( ) ( )ky f y









 

0

( ) 2 _s( ) sin( )

f x dk F k kx

フ リエ正弦変換

(0, ) 区間





 

0

( ) 2 sin( ) ( )

F ks dy ky f y

フーリエ正弦変換

  

   

を

ととると ( )

{ ( ) 2 cos 1 2 3 }

e xn

e x   n x  n 

 

  ととると、

同様にして...

{ ( )e x_n cos x , n 1, 2, 3...}



 

   ^{が得られる。}

0 0

( ) 2 cos( ) cos( ) ( )

f x dk kx dy ky f y





 ² 

( ) _c( ) cos( )

f x dkF k kx

(0, ) 区間













0

0

( ) 2 cos( ) ( ) F kc dy ky f y

フーリエ余弦変換

 ₀