波動方程式の導出①

波動方程式の導出①

∂ t

− ∂

=

×

∇ ( )

)

( B r

r E

( ^{∇ × E ( r )} ) ( ^{= ∇ ∇ ⋅ E ( r )} ) ( ^{− ∇ ⋅ ∇} ) ^{E ( r ) = − ∆ E ( r )}

×

∇

( )

2 2 2

2

) ( 1

) ( ) 1

) ( (

t c

t c

t t

t

∂

− ∂

=

 

 





∂

∂

∂

− ∂

=

×

∂ ∇

− ∂

∂ =

× ∂

∇

−

r E

r r E

r B B

の両辺に左から∇をかけると 左辺＝

右辺＝

2 2 2

) ( ) 1

( c ∂ t

= ∂

∆ E r

r E

したがって ←3次元波動方程式

波動方程式の導出②

t

c ∂

= ∂

×

∇ 1 ( )

)

(

E r

r B

( ^{∇ × B ( r )} ) ( ^{= ∇ ∇ ⋅ B ( r )} ) ( ^{− ∇ ⋅ ∇} ) ^{B ( r ) = − ∆ B ( r )}

×

∇

( )

2 2 2

2 2

2

) ( 1

) ( ) 1

1 ( )

( 1

t c

t t

c t

c t

c

∂

− ∂

=

 

 





∂

∂

∂

− ∂

=

×

∂ ∇

= ∂

∂

× ∂

∇

r B

r r B

r E E

の両辺に左から∇をかけると 左辺＝

右辺＝

2 2 2

) ( ) 1

( c ∂ t

= ∂

∆ B r

r B

したがって ←3次元波動方程式

波動方程式の解

2 2

2

) , ( ) 1

,

( t

t t c

∂

= ∂

∆E r E r

















∂

= ∂



















 





∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

) , (

) , (

) , 1 (

) , (

) , (

) , (

2 2 2

2 2 2

2 2

2

t E

t E

t E

t t c

E

t E

t E

z y

x

z y x

z y x

r r r r

r r

) , 1 (

) ,

(

2 2

2 2 2

2 2

2

t t E

t c z E

y

x

r

r

∂

= ∂

 

 





∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

成分をあからさまに書けば

電場はy軸方向を向いている（y軸方向に偏光している）とする

0 )

, ( )

,

( t = E t =

E

r

r

0 )

,

( =

⋅

∇ E r t

ところで、マックスウェル方程式 より

0 )

, ( )

, ( )

,

( =

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂ E t

t z y E

t

x E

r

r

r

0 )

, ( )

,

( t = E t =

E_x r _z r

であるので、これと より、必然的に

0 )

,

( =

∂

∂ E t

y

r

となる。したがって、y軸方向を向いた電場の波は、y軸方向には 空間依存性がない。つまり、電場の波はy軸方向に進行できない

電磁波は横波

電場の波は+x軸方向に進行しているとする（z軸方向の空間 依存性はないとする）と、波動方程式は１次元に帰着できる

) , 1 (

) ,

(

2 2

2 2

t x t E

t c x

x E

∂

= ∂

∂

∂

一般的な解の形はE_y (x ±ct)と表せるが、振動する解は

) cos(

) ,

( x t E kx t

E

= − ω

λ π

= 2

k

ω = 2 π f

k f

c ₌ ω ₌ λ

（λ：波長、 f ：周波数）

対応する磁場の解は

) cos(

) ,

( x t B kx t

B

= − ω

B = E / c

ただし

＋ x 方向に進行する電磁波

http://web.mit.edu/8.02t/www/

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{

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〜0.1 nm 放射線

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遠赤外線ヒーター

{

この講義の目標①

電磁気学の基本法則の理解

( ^{( ) ( )})

)

(r E r v B r

F =q + ×

時間変化しない電磁場（静電場、静磁場）

これらの基本法則は、その意味も含めて、すべて覚えましょう

∫

∫ ^{⋅ =}

V S

dV

d ( )

)

0 E(r S ρ r

ε

∫

∫ ^{⋅ =− ∂}_∂ ^⋅

S C

t d dr Br S r

E( ) ( )

∫

∫ ^{⋅ = }_^{ + ∂} _∂ ^_^⋅

S C

t d

dr j r E r S

r

B ( )

) ( )

( µ₀ ε₀

0 )

( ⋅ =

S∫

dS r B







=

⋅

=

⋅

− ⇔

=

∫

∫

∫ ⁻ ∫

（循環ゼロの法則） 

電場のガウスの法則

（クーロンの法則）  

   0

) (

) ( )

' ( '

) ' ( 4

) 1

( _{2 '} ^{0 ( )}

0

C

V S

d

dV dV d

r r E

r S

r e E

r r r r

E ρ _{r r} ε ρ

πε

時間変化する電磁場







=

⋅

⋅

=

⋅

− ⇔

= ×

∫

∫

∫ ⁻ ∫

）       

（磁場のガウスの法則

（アンペールの法則）

則）

（ビオ−サバールの法  

  0

) (

) ( )

' ( '

) ' ( ) 4

( ⁰ ₂ ⁰

S

S C

d

d dV d

S r B

S r j r

r B r

r e r r j

B ^{r r'} µ

π µ

( ( ) ( ))

)

(r E r v B r

F =q + × ^{（ローレンツ力）}

この講義の目標②

みんな理解できましたか？

・車の中は落雷に対して安全である（静電遮蔽）

・ウランが核分裂で放出されるエネルギーは原子核の静電エネルギー

（原子力エネルギーはウランの場合、実は電気エネルギー）

・磁気力とは、クーロン力と相対論的効果の現れである

（磁気力は座標系によってはクーロン力とみなせる）

・光は電磁場である

電磁現象の定性的理解