座標、運動量、シュレディンガー方程式と波動関数

2 次元系における量子力学

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座標、運動量、シュレディンガー方程式と波動関数

2 次元系の自由粒子の波動関数： 2 次元平面波

角運動量演算子と方向量子化 2次元角運動量の固有関数の例

回転運動のハミルトニアンとエネルギー量子化 ２次元量子箱

座標、運動量、シュレディンガー方程式と波動関数

[ ] [ ] [ ]

ˆ , ˆ ; ˆ ˆ, i

i

ˆ , ˆ ; ˆ ˆ, i

i

ˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ , ˆ 0

x x

y y

y x x y

x x p x p

x

y y p y p

y

x p y p x y p p

= = ∂ =

∂

∂ ⎡ ⎤

= = ∂ ⎣ ⎦ =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

→ ⎣ ⎦ = = = ⎣ ⎦ =

= =

= =

2 2 2

2 2

ˆ ( , )

2

ˆ ( , ; ) i ( , ; )

ˆ ( , ) ( , ); ( , ; ) ( , ) exp( i / )

H U x y

m x y

H x y t x y t

t

Hψ x y Eψ x y x y t ψ x y Et

⎛ ∂ ∂ ⎞

= − ⎜⎝ ∂ + ∂ ⎟⎠+

→ Ψ = ∂ Ψ

∂

→ = Ψ = −

=

=

=

座標演算子、運動量演算子と正準交換関係

ハミルトニアンとシュレディンガー方程式

波動関数の規格化

*( , ) ( , )x t x t dxdy 1

+∞ +∞

Ψ Ψ =

∫ ∫

2 次元系の自由粒子の波動関数： 2 次元平面波

( )

( ) ( )

( , ; ) exp i ; /

cos isin

k kx y x y

x y x y

x y t k x k y t E

k x k y t k x k y t

ω ω

ω ω

⎡ ⎤

Ψ = ⎣ + − ⎦ =

= + − + + −

=

x y

( ,k k_{x y})

= k

同一位相面 ０

波数ベクトル

２次元量子箱

0 (| | / 2,| | / 2) ( , )

(| | / 2,| | / 2)

x a y a

U x y

x a y a

≤ ≤

= ⎨⎧⎩∞ > >

2 2 2

2 2 ( , ) ( , ) ( , )

2 U x y x y E x y

m x y ψ ψ

⎡− ⎛ ∂ + ∂ ⎞+ ⎤ =

⎢ ⎜⎝ ∂ ∂ ⎟⎠ ⎥

⎣ ⎦

=

x y

シュレディンガー方程式

変数分離型の解法 ψ ( , )x y = X x Y y( ) ( )

2

−

2

2 a

− a

2 a

( , ) ( ) ( ) U x y =V x +W y

2 2

2 ( ) ( ) ( )

2 V x X x E X x^x m x

⎡− ∂ + ⎤ =

⎢ ∂ ⎥

⎣ ⎦

=

2 2

2 ( ) ( ) ( )

2 W y Y y E Y y^y m y

⎡− ∂ + ⎤ =

⎢ ∂ ⎥

⎣ ⎦

=

2 2 2 2

2 2

2 , 2 , ( , 1, 2, )

2 2

( , ) ( ) ( )

x y

x x y y x y

E E E

E n E n n n

ma ma

x y X x Y y

π π

ψ

+ =

= = =

=

= =

"

(a=b)の場合には、二つの量子数の異なる

組み合わせでもエネルギーが

同じになることがある。(縮退、degeneracy)。

( ,n n_{x y}) = (2,1) ↔ ( ,n n_{x y})= (1, 2)

量子箱（井戸）ポテンシャル

角運動量演算子と方向量子化

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

z xpy ypx i x y

y x

⎛ ∂ ∂ ⎞

≡ − = ⎜⎝ ∂ − ∂ ⎟⎠ A =

cos , sin x = r φ y = r φ

波動関数の方向依存性の大きさとしての角運動量 角運動量の大きさは離散的である。

プランク定数

=

2 * 1

' ' 2

0

i

( ) ( )

( ) ( 2 ) 0, 1, 2,

( ) ( ) , ( ) exp(i )

z

M M

M M

M M MM M

M

M

d M

π

π

φ

φ φ

φ φ π

φ φ φ δ φ φ

= ∂

∂

Φ = ⋅Φ

Φ = Φ + → = ± ±

Φ Φ = → Φ =

∫

A =

A =

"

角運動量演算子（のz成分）

固有値方程式 角度の周期性

規格化

2 次元角運動量の固有関数の例

0

1

1

2

2

( 0) ( ) 1

2

1 1

( 1) ( ) exp( ) [cos sin ]

2 2

1 1

( 1) ( ) exp( ) [cos sin ]

2 2

1 1

( 2) ( ) exp( 2 ) [cos 2 sin 2 ]

2 2

1 1

( 2) ( ) exp( 2 ) [cos 2 sin 2 ]

2 2

M

M i i

M i i

M i i

M i i

φ π

φ φ φ φ

π π

φ φ φ φ

π π

φ φ φ φ

π π

φ φ φ φ

π π

−

−

= Φ =

= Φ = = +

= − Φ = − = −

= Φ = = +

= − Φ = − = −

量子系では対称な軸のまわりの回転は観測されない！

（→対称な軸のまわりには回転しない）

0 2π φ

1/ 2π

0( )φ Φ

0 2π φ

1/ 2π

Real ( )Φ1 φ

回転運動のハミルトニアンとエネルギー量子化

( ) 1 exp( )

M φ 2 iMφ

Φ = π

固有値

固有関数

2 2

| | M

2 E M

= = I

0, 1, 2, M = ± ± "

M=0 1 M = ±

2 M = ±

実例：２原子分子の励起エネルギースペクトルなど

l

2

( : )

2

H

I

= A I

慣性モーメント

古典物理学における 剛体の運動エネルギー

[ ]

2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

2 2

1

1( ) ,

2

1( )

2

2

z

Z j jy j jx

j

K m v m v v r v r

m r m r I m r m r

x p y p I

I

ω ω

ω

ω

=

= + = =

⎡ ⎤

= + ⎣ ≡ + ⎦

⎡ ⎤

= ⎢ = − = ⎥

⎣

∑

A A