波動方程式の固有モード

(1)

. .

.. .

.

波動方程式の固有モード

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

現象の数学B L11(2011-12-20 Tue) 今日の目標

.

1 直観で波動方程式の解の時間発展を予想できるようになろう

.

2 波動方程式の固有モードが求められるようになろう

.

3 波動方程式の分散関係が説明できるようにな

ろう http://hig3.net

樋口さぶろお (数理情報学科) L11波動方程式の固有モード現象の数学B(2011) 1 / 20

(2)

前回の復習

Quiz略解:固定端の連成振動

.

1 波数 p1 = ₂₊₁^1π , p2 = ₂₊₁^2π . 固有周波数ω1= 2

√k

msin¹₂p1=

√k

m, ω2 = 2

√k

msin¹₂p2 =

√3k m. 固有ベクトルv₁ =

(sin 1p1

sin 2p1

)

= ^√₂³(¹₁),v₂ =

(sin 1p2

sin 2p2

)

= ^√₂³(₊₁

−1

). 固有ベクトルは定数倍してもいいので,^{固有モード}g^(`)(t, θ`)^は以前に求めたものと同じになる.

.

2 波数 p₁ = ₃₊₁^1π , p₂ = ₃₊₁^2π , p₂ = ₃₊₁^3π . 固有周波数ω₁= 2

√k

msin¹₂p₁= 2

√k

msin¹₈π =

√(2−√ 2)k m , ω₂ = 2

√

k

msin¹₂p2 = 2

√

k

msin¹₄π=

√

2k

m, ω3 = 2

√

k

msin¹₂p3 = 2

√k

msin³₈π=

√

(2+√ 2)k

m . ここでは半角公式を使ってsin¹₈π,sin³₈π を求めたが,まあできなくても許せるかも.

(3)

前回の復習

固有ベクトルv1 = (_{sin 1p}

1

sin 2p1

sin 3p1

)

= √¹ 2

( ₁

√2 1

) ,v2 =

(_{sin 1p}

2

sin 2p2

sin 3p2

)

=

√3 2

(₊₁

−01

) ,v3 =

(sin 1p3

sin 2p3

sin 3p3

)

= √¹ 2

( +1

−√ 2 +1

) .

固有ベクトルは定数倍してもいいので,^{固有モード}g^(`)(t, θ`)^は以前に求めたものと同じになる.

(4)

前回の復習

.

Quiz略解:波動方程式

.

1 u(x,_2v^L) = sin(^2π_Lx) cosπ=−sin(^2π_Lx)

.

2 u(³₄L, t) = sin(^3π₂) cos(^2πv_L t) =−cos(^2πv_L t).

-1 -0.5 0 0.5 1

0 L/2 L

$u(x,)$

x

-sin(x)

-1 -0.5 0 0.5 1

0 L/2v L/v 3L/2v 2L/v

u((3/4)L,t)

t

-cos(x)

.

3 u(x, t) = sin(^2π_Lx) cos(^2πv_L t) = 0が任意のtに対して成立するためには, sin(^2π_Lx) = 0となる必要があり,また十分である. よって,x= 0,¹₂L, L.

.

4 左辺=−(^2πv_L )²sin(^2π_Lx) cos(^2πv_L t). 右辺=−(^2π_L)²v²sin(^2π_Lx) cos(^2πv_L t).

今回の出題形式では, (3)でx= 0, Lを含むかどうかが不明確だったのでどっちでも正解にしてます.

(5)

前回の復習物体番号nとモード番号`って?

.

N

物体の固定端の連成振動の固有モード

.

.. .

.

0 ^Π

2 Π

p 2km

Ω

物体番号 n= 1,2, . . . , N.

固有モード番号 `= 1,2, . . . , N.

固有周波数 ω`

固有モード g^(`)(t, θ_`) =v_`cos(ω_`t−θ_`) =





sin(1p`) sin(2p`)

...

sin(N p`)



cos(ω_`t−θ_`).

波数 p_`= _N^π`₊₁,`= 1,2, . . . , N. 分散関係 ω とp の関係ω_`= 2

√k

msin(¹₂p_`)

一般解u(t) =

∑N

`=1

C`g^(`)(t, θ`).

u_n(t) =

∑N

`=1

C_`sin(n·_N^π`₊₁) cos ([

2

√

k

msin(_2(N+1)^π` ) ]

t−θ_` )

.

(6)

波動方程式の固有モード波動方程式の直観的意味

波動方程式

.

波動方程式

.

.. .

.

u(x, t): ^時刻 t^での,^弦の位置x ^{における変位}

∂²u

∂t²(x, t) =v²∂²u

∂x²(x, t) v >0: 速さの次元を持つ定数

波動方程式は

偏微分方程式

の一種有限区間 0≤x≤L ^{で考えるとき},x= 0, L ^で

境界

条件を課すことが必要. ^例: ^固定端=^{固定境界条件} u(0, t) =u(L, t) = 0.

さらに

初期

条件 u(x,0) =F(x),^∂u_∂t(x,0) =G(x)^{を定めると解が定} まる.

(7)

(8)

波動方程式で記述される世の中の現象

音波

弦の振動地震波電波(^電磁波) 弾性体の振動

いろんな偏微分方程式の出てくる科目現象の数学A(^{拡散方程式})

計算科学I(^{拡散方程式})

偏微分方程式(一般の1階偏微分方程式) 理論物理B(シュレーディンガー方程式) 電気・磁気(^{マクスウェル方程式})

↔ ^{常微分方程式} in 数理モデル基礎,物理数学

(9)

換算

5:

物体

n = 1, N

の隣は壁

→

ひもの端は動かない

(

境界条件

)

N ^物体

物体 n= 1, N の隣は壁 N → ∞

最初に壁の位置 x= 0, L にあったひも上のマークは動かない Ã^任意のt^に対して u(0, t) =u(L, t) = 0. ^境界条件

別の考え方

壁の位置(ひもの両端)にもう1個ずつ物体u₀, u_N+1 があって動かない, と思ってもいい.

u0(t) = 0 Ãu(0, t) = 0 u_N+1(t) = 0 Ãu(L, t) = 0

(10)

換算

6:

初期条件

→

初期条件

N = 2^物体

u₁(0) = 2, u₂(0) = 0, u⁰₁(0) =u⁰₂(0) = 0.

物体の初期位置と初期速度を決めると,任意定数C_i, θ_i が決まって運動が定まった.

N ^物体

u1(0), u2(0),· · ·, uN(0),

u⁰₁(0), u⁰₂(0),· · ·, u⁰_N(0)を指定. N →+∞

任意の x に対してu(x,0) =F(x),^∂u_∂t(x,0) =G(x). 初期条件

(11)

.

問題

(波動方程式の時間発展)

.

.. .

.

この状態からそっと手を放すと,この部分はどう動く?

.

1 上

.

2 しばらく動かない

.

3 下

.

4 爆発する

(12)

波動方程式の直観的意味

∂²u

∂t²(x, t): ^点x^が時刻 t^{に受ける力}(^に比例)

∂²u

∂x²(x, t): 弦の形が上に凸またば下に凸を表す弦がまっすぐなところ

力ははたかない

弦がでっぱってるところ

でっぱりをもとにもどす力

弦がへっこんでるところ

へっこみをもとにもどす力

(13)

波動方程式の固有モード波動方程式の固有モード

連成振動と波動の比較

連成振動波動

変位 u_n(t) u(x, t)

時刻 t t

位置 n= 1,2, . . . , N 0≤x≤L

N 物体の固定端の連成振動では,`^{番目の固有モードは} g_n^(`)(t) = sin(np_`)×cos(ω_`t−θ_`) =

f(n)× cos(ωt)

だった.

波動方程式に対しても u(x, t) =f(x) cos(ωt) ^{みたいな解を探そう}!

(14)

(波) ∂²u

∂t²(x, t) =v²∂²u

∂x²(x, t) (^境) u(0, t) =u(L, t) = 0 を解こう. u(x, t) =f(x) cos(ωt) とおいてみる.

(波)Ã−ω²f(x) cos(ωt) =v²f⁰⁰(x) cos(ωt) f⁰⁰(x) =−(^ω_v)²f(x) よって,f(x) =

Acos(^ω_vx −φ⁰) = Asin(^ω_vx − φ)

. A, φ は任意定数.

一方,

(^境)Ãf(0) cos(ωt) =f(L) cos(ωt) = 0 よって,sin(−φ) = 0^かつsin(^ω_vL−φ) = 0.

φ= 0 かつ ^ωL=π` (`∈Z).

(15)

波動方程式の固有モード

.

固定境界条件の波動方程式の固有モード

.

.. .

.

g^(`)(x, t;θ) =Csin(px) cos(ωt−θ)

p:^波数. p= ^`π_L. `∈Z ^{はモード番号}. ω: 固有周波数.

分散関係

ω =pv で定まる. 比較:連成振動と波動

連成振動波動

波数 p の現れ方 sin(pn) sin(px)

pの値 _N+1^`π ^`π_L

`^の範囲 `= 1,2, . . . , N ?

波数の単位無次元(radian) radian/m 分散関係 ω= 2

√k

msin(¹₂p) ω =vp

(16)

波動方程式の固有モードは何個ある

?

`∈Z ^{っていうけど},^{本当にぜんぶいるの}? sin(px) = sin

(`π Lx

)

役立たず:

` = 0

sin(px) = 0. ほしくない. かぶってる:

`,−`

. Csin(−px) = (−C) sin(px).

結局,`= 1,2,3, . . .で十分.

比較連成振動では `= 1,2, . . . , N.

1 1 2 123 1 2 3 4 1 2 3 4 5

1 2 123 1 2 3 4 1 2 3 4 5

123 1 2 3 4 1 2 3 4 5

1 2 3 4 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

(17)

.

問題

(波動方程式の時間発展)

.

.. .

.

固定端の弦の振動を考える. 横軸x,縦軸u のこの状態からそっと手を放すと,^{どう変化していく}?

2 4 6 8 10

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

.

1

.

2

.

3

.

4

.

5

.

6

(18)

.

問題

(波動方程式の固有モード)

.

.. .

.

固定境界条件の波動方程式の固有モードについて,次のうち間違ってるのはどれ?

.

. ^.

1 ω ^は p^{の三角関数で書ける}

.

2 uはtの三角関数で書ける

.

3 振動の(^時間的)^{周期が長いほど},^{波数は大きい}

.

4 波数が大きいほど(^時間的に)^{速く振動する}

.

5 波数は固有周波数に比例する

(19)

.

問題

(波動方程式の固有モード)

.

.. .

.

固定端の波動方程式

∂²u

∂t²(x, t) =v²∂²u

∂x²(x, t), u(x, t) =u(L, t) = 0 の,u(x, t) = sin(^3π_Lx)f(t) ^{という形の解を考える},

.

1 f(t) の満たす常微分方程式を求めよう.

.

2 u(¹₂L,0) =√

3,^∂u_∂t(¹₂L,0) = ^3πv_L であるとき,f(0), f⁰(0) を求めよう.

.

3 上の初期条件のもとで f(t) ^{を求めよう}.

(20)

今日の範囲に対応する教科書のお奨め問題

¨

§

¥

小形§4.2(p.64-70)¦

¨

§

¥

小形例題4.1(p.68)¦

¨

§

¥

小形例題4.2(p.69)¦

¨

§

¥

小形4章演習問題[4](p.81)¦

三角関数の和積公式. ^{フーリエ級数}(計算科学や現象の数学でやった人は) 予習復習問題明日水曜日の昼にはeラーニングシステムで公開するのでやってね〜締切は来年の月曜夜.