今週の内容後半全体のおさらいラグランジュの運動方程式の導出リンク機構のラグランジュの運動方程式慣性行列リンク機構のエネルギー保存則エネルギーパワー速度力の関係外力が作用する場合の運動方程式粘性粘性によるエネルギーの消散慣性粘性剛性と微分方程式拘束条件ラグランジュの未

(1)

力学

_{III GA}

工業力学演習

_X5

解析力学

_5X

１５週目立命館大学機械システム系２００８年度後期

(2)

今週

今週の

の

の内容

内容

今週

今週の

の

の内容

の

内容

後半全体のおさらい •ラグランジュの運動方程式の導出 •２リンク機構のラグランジュの運動方程式 •リンク機構のエネルギー保存則 •慣性行列 •エネルギー、パワー、速度、力の関係 •外力が作用する場合の運動方程式 •粘性によるエネルギーの消散 •粘性 •拘束がある場合の運動方程式 •慣性・粘性・剛性と微分方程式 •ラグランジュの未定乗数法 •拘束条件 •拘束力がある場合のエネルギー保存則

(3)

ラグランジュ

ラグランジュの

の

の運動方程式

運動方程式

運動方程式の

の

の導出

導出

ラグランジュ

ラグランジュの

の

の運動方程式

運動方程式

運動方程式の

の

の導出

導出

が成り立つことの証明（ハミルトンの原理、最小作用の原理） 0 d d = ∂ ∂ −       ∂ ∂ x x L L t _& レジュメ p.44, 45

(4)

ラグランジュ

ラグランジュの

の

の運動方程式

運動方程式

運動方程式の

の

の導出

導出

ラグランジュ

ラグランジュの

の

の運動方程式

運動方程式

運動方程式の

の

の導出

導出

が成り立つことの証明（ハミルトンの原理、最小作用の原理） 0 d d = ∂ ∂ −       ∂ ∂ x x L L t _& レジュメ p.44, 45 一般化ダランベールの原理から出発し、変分問題に帰着

(

)

0 1 = ⋅ − =

∑

= i i i x x f δ δ n i i m W _&_& 手順

(5)

２

２ ２リンク

リンク

２

２ ２リンク

リンク

機構

_機構

の

_の

ラグランジュ

ラグランジュの

の

の運動方程式

運動方程式

ラグランジュ

ラグランジュの

の

の運動方程式

運動方程式

運動エネルギー q1 q2 lg1 lg2 l1 m1 I1 m2 I2 xcom2 xcom1 q M q& T & K 2 1 = M: 慣性行列

(6)

２

２ ２リンク

リンク

２

２ ２リンク

リンク

機構

_機構

の

_の

ラグランジュ

ラグランジュの

の

の運動方程式

運動方程式

ラグランジュ

ラグランジュの

の

の運動方程式

運動方程式

運動エネルギー運動方程式 q1 q2 lg1 lg2 l1 m1 I1 m2 I2 xcom2 xcom1 q M q& T & K 2 1 = 0 d d = + = ∂ ∂ − + = ∂ ∂ −       ∂ ∂ h q M q q M q M q q & & & & & & & K K K t M: 慣性行列

(7)

慣性行列 M

∑

= = 2 1 i T comi i comiM J J M q J

x& _comi = _comi &

慣性行列

q1 q2 lg1 lg2 l1 m1 I1 m2 I2 xcom2 xcom1 : iリンク目の重心の速度 comi x_&           = i i i I m m 0 0 0 0 0 0 i M

(8)

一定の規則に従う（決定論的）にもかかわらず、予測不能な複雑な振る舞いをすることをカオスと呼ぶ。

非線形微分方程式

非線形微分方程式と

と

とカオス

と

カオス

非線形微分方程式

非線形微分方程式と

と

とカオス

カオス

0 =

+

h

g

q

M

&

例一定の規則（非線形微分方程式）カオス

q

は複雑に振舞う

(9)

ブラジルでの蝶の羽ばたきがテキサスでトルネードを引き起こすこと

バタフライ

バタフライ効果

効果

バタフライ

バタフライ効果

効果

•小さな初期条件の違いが、未来に大きな影響を及ぼすという意味 •天気予報が当たらない理由

(10)

２

２ ２リンク

リンク

リンク機構

機構

機構の

の

のエネルギー

エネルギー

エネルギー保存則

保存則

２

２ ２リンク

リンク

リンク機構

機構

機構の

の

のエネルギー

エネルギー

エネルギー保存則

保存則

２リンク機構に保存力だけが作用する場合、全エネルギーは時間によって変化しない

(11)

２

２ ２リンク

リンク

リンク機構

機構

機構の

の

のエネルギー

エネルギー

エネルギー保存則

保存則

２

２ ２リンク

リンク

リンク機構

機構

機構の

の

のエネルギー

エネルギー

エネルギー保存則

保存則

２リンク機構に保存力だけが作用する場合、全エネルギーは時間によって変化しない q1 q2 lg1 lg2 l1 m1 I1 m2I2 xcom2 xcom1 g { sin sin( )} sin ₁ ₂ ₁ ₁ ₂ ₁ ₂ 1 1gl q m g l q l q q m U = _g + + _g + q M q_&T _& K 2 1 = 運動エネルギー重力によるポテンシャルエネルギー U K E = + 全エネルギー運動方程式 Mq_&_& + h + g = 0

(12)

２

２ ２リンク

リンク

リンク機構

機構

機構の

の

のエネルギー

エネルギー

エネルギー保存則

保存則

２

２ ２リンク

リンク

リンク機構

機構

機構の

の

のエネルギー

エネルギー

エネルギー保存則

保存則

２リンク機構に保存力だけが作用する場合、全エネルギーは時間によって変化しない q1 q2 lg1 lg2 l1 m1 I1 m2I2 xcom2 xcom1 g { sin sin( )} sin ₁ ₂ ₁ ₁ ₂ ₁ ₂ 1 1gl q m g l q l q q m U = _g + + _g + q M q_&T _& K 2 1 = 運動エネルギー重力によるポテンシャルエネルギー U K E = + 全エネルギー ( ) 0 2 1 2 1 2 1 =       ₋ =       ∂ ∂ + + = ∂ ∂ + + + = h q M q q q M q M q q q q M q q M q q M q & & & & & & & & & & & & & & & & & & & T T T T T T U U E 運動方程式 Mq_&_& + h + g = 0

(13)

エネルギーエネルギーエネルギーエネルギー、、、、パワーパワーパワーパワー、、、、速度速度、速度速度、、、力力力力のののの関係関係関係関係エネルギーエネルギーエネルギーエネルギー、、、パワー、パワーパワー、パワー、、速度、速度、速度速度、、力、力力力のののの関係関係関係関係全エネルギー（単位は [J]）エネルギーの時間微分はパワー _{（単位は [W]）} 力 [N] ×速度 [m/s] = パワー [W] （回転系では、トルク [Nm] × 角速度 [rad/s] = パワー [W]）

(14)

エネルギーエネルギーエネルギーエネルギー、、、、パワーパワーパワーパワー、、、、速度速度、速度速度、、、力力力力のののの関係関係関係関係エネルギーエネルギーエネルギーエネルギー、、、パワー、パワーパワー、パワー、、速度、速度、速度速度、、力、力力力のののの関係関係関係関係全エネルギー（単位は [J]）エネルギーの時間微分はパワー _{（単位は [W]）} 2 2 2 1 2 1 kx x m E = _& +

(

mx kx

)

x

E& = _& _&_& +

速度 _力力 [N] ×速度 [m/s] = パワー [W] （回転系では、トルク [Nm] × 角速度 [rad/s] = パワー [W]）例エネルギーパワー

(15)

エネルギーエネルギーエネルギーエネルギー、、、、パワーパワーパワーパワー、、、、速度速度、速度速度、、、力力力力のののの関係関係関係関係エネルギーエネルギーエネルギーエネルギー、、、パワー、パワーパワー、パワー、、速度、速度、速度速度、、力、力力力のののの関係関係関係関係全エネルギー（単位は [J]）エネルギーの時間微分はパワー _{（単位は [W]）}       ₊

= q& Mq&& M& q& & 2 1 T E 角速度トルク力 [N] ×速度 [m/s] = パワー [W] （回転系では、トルク [Nm] × 角速度 [rad/s] = パワー [W]）例エネルギーパワー q1 q2 lg1 lg2 l1 m1 I1 m2 I2 xcom2 xcom1 q M q&T & E 2 1 =

(16)

外力

外力が

が

が作用

作用

作用する

する場合

する

場合

場合の

の

の運動方程式

運動方程式

外力

外力が

が

が作用

作用

作用する

作用

する場合

する

場合

場合の

の

の運動方程式

運動方程式

レジュメ p.47 系に外力（トルク）が作用する場合、運動方程式の右辺に外力（トルク）を加える

(17)

外力

外力が

が

が作用

作用

作用する

する場合

する

場合

場合の

の

の運動方程式

運動方程式

外力

外力が

が

が作用

作用

作用する

作用

する場合

する

場合

場合の

の

の運動方程式

運動方程式

レジュメ p.47 系に外力（トルク）が作用する場合、運動方程式の右辺に外力（トルク）を加える f kx x m x L x L t ∂ = + = ∂ −       ∂ ∂ & & & d d 例 x m k f 運動方程式

(18)

外力

外力が

が

が作用

作用

作用する

する場合

する

場合

場合の

の

の運動方程式

運動方程式

外力

外力が

が

が作用

作用

作用する

作用

する場合

する

場合

場合の

の

の運動方程式

運動方程式

レジュメ p.47 系に外力（トルク）が作用する場合、運動方程式の右辺に外力（トルク）を加える f kx x m x L x L t ∂ = + = ∂ −       ∂ ∂ & & & d d τ h q M q q _ =     = + = ∂ ∂ −       ∂ ∂ 2 1 d d τ τ & & & K K t 例 x m k f q1 q2 lg1 lg2 l1 m1 I1 m2I2 xcom2 xcom1 τ1 τ2 運動方程式運動方程式

(19)

粘性

速度と逆方向に速度に比例した力・トルクを粘性力・トルクと呼ぶ例

x

m

k

-dx

(20)

粘性

速度と逆方向に速度に比例した力・トルクを粘性力・トルクと呼ぶ

x

d

kx

x

m

_&

+

=

−

_&

例運動方程式

x

m

k

-dx

(21)

粘性

によるエネルギー

による

_による

_{によるエネルギー}

エネルギー

エネルギー消散

_{エネルギー消散}

_{エネルギー}

消散

_消散

系に保存力と粘性による力が働く場合、系の全エネルギーは時間の経過に伴い単調に減少する t E

x

m

k

-dx

(22)

粘性

によるエネルギー

による

_による

_{によるエネルギー}

エネルギー

エネルギー消散

_{エネルギー消散}

_{エネルギー}

消散

_消散

系に保存力と粘性による力が働く場合、系の全エネルギーは時間の経過に伴い単調に減少する 0 2 1 2 1 ₂ ₂ ≥ + = mx kx E _& x m k -dx 全エネルギー _{運動方程式}

x

d

kx

x

(23)

粘性

によるエネルギー

による

_による

_{によるエネルギー}

エネルギー

エネルギー消散

_{エネルギー消散}

_{エネルギー}

消散

_消散

(

)

0 2 ≤ − = + = + = x d kx x m x x kx x x m E & & & & & & & & & 系に保存力と粘性による力が働く場合、系の全エネルギーは時間の経過に伴い単調に減少する 0 2 1 2 1 ₂ ₂ ≥ + = mx kx E _& x m k -dx 全エネルギー _{運動方程式}

x

d

kx

x

(24)

慣性

慣性・

・粘性

・・

粘性

粘性・

・・

・剛性

剛性と

剛性

と

と微分方程式

微分方程式

慣性

慣性・

・粘性

・・

粘性

粘性・

・・

・剛性

剛性と

剛性

と

と微分方程式

と

微分方程式

0 =

+

d

x

kx

x

m

_&

運動方程式

x

m

k

(25)

慣性

慣性・

・粘性

・・

粘性

粘性・

・・

・剛性

剛性と

剛性

と

と微分方程式

微分方程式

慣性

慣性・

・粘性

・・

粘性

粘性・

・・

・剛性

剛性と

剛性

と

と微分方程式

と

微分方程式

0 =

+

d

x

kx

x

m

_&

運動方程式

x

m

k

-dx

慣性粘性剛性（弾性）各力の物理的性質と微分の次数が対応している

(26)

拘束条件

幾何学的・力学的拘束を関数で表したものレジュメ p.49 0 ) (x x = f , _&

(27)

拘束条件

幾何学的・力学的拘束を関数で表したもの三平方の定理拘束条件（位置）例レジュメ p.49 m (x,y) (xr,yr)

(

) (

2

)

2 r r y y x x r = − + − ( ) ( ) 0 ) , (x y = x − x 2 + y − y 2 − r = f _r _r 0 ) (x x = f , _&

(28)

拘束条件

の

の例

_の

_の例

例

_例

q1 q2 x lkabe π 4 [rad] 0 ) , (q₁ q₂ = q₁ + q₂ = f& _& _&

0 )

,

(q₁ q₂ = q₁ + q₂ = f& _&_& _&_&

& 位置速度加速度 0 4 sin 2 ) , (q₁ q₂ = q₁ + q₂ − l_kabe π = f

(29)

拘束条件

の

の例

_の

_の例

例

_例

q1 q2 x lkabe π 4 [rad] 0 4 sin 2 ) , (q₁ q₂ = q₁ + q₂ − l_kabe π = f 0 ) , (q₁ q₂ = q₁ + q₂ = f& _& _&

0 )

,

(q₁ q₂ = q₁ + q₂ = f& _&_& _&_&

& l2 l1 q1 q2 f x ykabe 0 ) , (q₁ q₂ = y − y_kabe = f ) sin( sin ₁ ₂ ₁ ₂ 1 q l q q l y = + + 位置速度加速度位置速度加速度 0 ) , (q₁ q₂ = y = f& _& q J_y _& & & &

& = l₁q₁ sinq₁ +l₂(q₁ + q₂)sin(q₁ + q₂) =

y

0 )

,

(q₁ q₂ = y = f& _&_&

&

q J q

J& _y _& _y_&_&

&

(30)

ラグランジュ

ラグランジュの

の

の未定乗数法

未定乗数法

ラグランジュ

ラグランジュの

の

の未定乗数法

未定乗数法

拘束条件 f = 0 がある場合、関数 g(x) が 極値をとる条件は

(

+ ⋅

)

= 0 である ∂ ∂ f λ x g

(31)

ラグランジュ

ラグランジュの

の

の未定乗数法

未定乗数法

ラグランジュ

ラグランジュの

の

の未定乗数法

未定乗数法

拘束条件 f = 0 がある場合、関数 g(x) が 極値をとる条件はである 各辺の長さが a,b， 周囲の長さが l (定数) の長方形の 面積が最大となる条件を求めよ例 g(a,b) = ab 2(a+b) = l 最大化したい関数拘束条件 a b

(

+ ⋅

)

= 0 ∂ ∂ f λ x g

(32)

ラグランジュ

ラグランジュの

の

の未定乗数法

未定乗数法

ラグランジュ

ラグランジュの

の

の未定乗数法

未定乗数法

拘束条件 f = 0 がある場合、関数 g(x) が 極値をとる条件はである例 a b

(

+ ⋅

)

= 0 ∂ ∂ f λ x g 極値の条件 ( ) ( ) 0 0 = + ∂ ∂ = + ∂ ∂ f g b f g a λ λ

(

)

0 2 0 2 0 2 = − + = + = + ∴ l b a a b λ λ λ: ラグランジュの未定乗数 4 , 4 , 8 l b l a l = = − = ∴λ

(33)

f(x) = 0

ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数法未定乗数法未定乗数法未定乗数法によるによるによるによるラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュののの未定乗数法の未定乗数法未定乗数法による未定乗数法によるによるによる拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合場合のの運動方程式のの運動方程式運動方程式運動方程式のののの導出導出導出導出拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合の場合の運動方程式のの運動方程式運動方程式運動方程式のののの導出導出導出導出レジュメ p. 50

L = K - U

極値を求めたい関数拘束条件

(34)

f(x) = 0

ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数法未定乗数法未定乗数法未定乗数法によるによるによるによるラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュののの未定乗数法の未定乗数法未定乗数法による未定乗数法によるによるによる拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合場合のの運動方程式のの運動方程式運動方程式運動方程式のののの導出導出導出導出拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合の場合の運動方程式のの運動方程式運動方程式運動方程式のののの導出導出導出導出レジュメ p. 50

L = K - U

極値を求めたい関数拘束条件極値をとる条件（運動方程式）

0 d

d

=

∂

′

∂

−













∂

′

∂

x

L

t

_&

f

λ ⋅

+

=

′ L

L

(35)

ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数未定乗数未定乗数未定乗数ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのの未定乗数のの未定乗数未定乗数未定乗数のの物理的意味のの_{の物理的意味}_の_の_の物理的意味物理的意味物理的意味_{物理的意味}_{物理的意味}_{物理的意味}

拘束条件が位置のとき、

ラグランジュの未定乗数は

運動方程式において

力

を表す

(36)

ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのののの未定乗数未定乗数未定乗数未定乗数ラグランジュラグランジュラグランジュラグランジュのの未定乗数のの未定乗数未定乗数未定乗数のの物理的意味のの_{の物理的意味}_の_の_の物理的意味物理的意味物理的意味_{物理的意味}_{物理的意味}_{物理的意味}

拘束条件が位置のとき、

ラグランジュの未定乗数は

運動方程式において

力

を表す

運動方程式

0 =

−

+

T

λ

y

J

h

q

M

&

l2 l1 q1 q2 f x ykabe 式の次元はトルク

λ

は

力

ヤコビ行列       = λ 0 f 例

(37)

拘束拘束拘束拘束があるがあるがある場合がある場合場合場合ののののエネルギーエネルギーエネルギー保存則エネルギー保存則保存則保存則拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合場合ののののエネルギーエネルギーエネルギーエネルギー保存則保存則保存則保存則拘束力によって系の全エネルギーは変化しない

(38)

拘束拘束拘束拘束があるがあるがある場合がある場合場合場合ののののエネルギーエネルギーエネルギー保存則エネルギー保存則保存則保存則拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合場合ののののエネルギーエネルギーエネルギーエネルギー保存則保存則保存則保存則例 拘束力が系に加えるパワー P 全エネルギー E q_&TMq_& 2 1 = 運動方程式 _M_q_&_& + _h − _JT_y λ = ₀

( )

= 0 = = q_& T JT_yλ λ J_yq_& P 速度の拘束条件 _&y = J_yq_& = 0 拘束力によって系の全エネルギーは変化しない q1 q2 lg1 lg2 l1 m1 I1 m2I2 xcom2 xcom1

(39)

拘束拘束拘束拘束があるがあるがある場合がある場合場合場合ののののエネルギーエネルギーエネルギー保存則エネルギー保存則保存則保存則拘束拘束拘束拘束があるがあるがあるがある場合場合場合場合ののののエネルギーエネルギーエネルギーエネルギー保存則保存則保存則保存則 0 2 1 2 1 = =       ₋ ₊ =       ₊ = P

E& q_&T Mq_&_& M& q_& q_&T M& q_& h JT_yλ

例 拘束力が系に加えるパワー P 全エネルギー E q_&TMq_& 2 1 = 運動方程式 _M_q_&_& + _h − _JT_y λ = ₀

( )

= 0 = = q_& T JT_yλ λ J_yq_& P 速度の拘束条件 _&y = J_yq_& = 0 拘束力によって系の全エネルギーは変化しない q1 q2 lg1 lg2 l1 m1 I1 m2I2 xcom2 xcom1