崎 山

水圧荷重を受ける 2ヒンジ円弧アーチの座屈 および座屈後挙動について

崎 山 毅 * ・ 栗 原 和 夫 *

On t h e  B u c k l i n g  and P o s t b u c k l i n g  B e h a v i o u r  o f  2 ・ Hinged C i r c u l a r  Arch u n d e r  C i r c u l a r  Uniform Load. 

by 

T a k e s h i  SAKIY  AMA 

(Department o f  S t r u c t u r a l  Engineering) 

Kazuo KURIHARA 

(Department o f  S t r u c t u r a l  Engineering) 

The b u c k l i n g  b e h a v i o u r  o f  2

・

hingedc i r c u l a r  a r c h  having h y d r a u l i c  p r e s s u r e  d i v i d e s  i n t o  two main  c h s s e s  concerning t h e  span

^同

r i s er a t i o .   The a n t i s y m m e t r i c   b u c k l i n g   c o n t r o l s   t h e   b e h a v i o u r   o f   high  a r c h  with l a r g e  s p a n ‑ r i s e  r a t i o .   The symmetric  buck 1 i ng o c c u r s   on t h e   t h e   low  a r c h   w i t h   s m a l l   s p a n ‑ r i s e  r a t i o The aim o f  t h i s   paper i s   t o   draw a  c l e a r  d i s t i n c t i o n  between high and low  a r c h   on  t h e   e l a s t i c   buck 1 i ng p r o b l e m .   The n o n l i n e a r   d i f f e r e n t i a l   e q u a t i o n s   which  a r e   d e r i v i e d   from  t h e   equibrium c o n d i t i o n s  o f  deformed a r c h  e l e m e n t  a r e  a n a l y s e d  by t h e  p e r t u r b a t i o n  method.  The r e s u l t s   a r e  compared w i t h  t h e  r e s u l t s  o f  energy method and l i n e a r  b u c k l i n g  t h e o r y .  

1 . 序 言

2ヒンジ円弧アーチの部材軸面内弾性安定問題に関 して，古くから多くの理論的および実験的研究が行わ れてきている.

D i c k i e  and Broughton 

C 

1)は両端ヒンジ，両端固定 および一端ヒンジ他端固定の偏平な円弧アーチに関し て，アーチクラウンの集中荷重，半径方向等分布荷重 および半径方向三角分布荷重に対する安定性状の，エ ネルギ一法による解析を行い，逆対称型および対称型 の座屈荷重を算定し，模型実験による理論値の検証を 行った.実験によれば半径方向等分布荷重の作用を受 ける 2 ヒンジ円弧アーチにおいて，逆対称座屈は理論 値よりも若干大なる荷重で生じること，また，対称座 屈は理論値よりも小なる荷重で起ることが示されてい る. Dym

⁽2)

は等分布水圧荷重に対する 2 ヒンジアー チおよび固定アーチの逆対称型の座屈および座屈後挙

*構造工学科

動の解析を行った.その結果，線形理論に基づいて，

固有値問題として算定される逆対称座屈荷重は，より 厳密な非線形理論による算定値と一致すること，逆対 称座屈後円弧アーチのつり合い状態は不安定となるこ

となど明らかにした.著者〈おは先に円弧アーチの線型 化された有限変形方程式に基づき 2 ヒンジアーチの 水圧荷重に対する逆対称型および対称型の座屈性状を 解析し，限られた形状を有する 2 ヒンジ円弧アーチに おいて，対称座屈が逆対称座屈に先行して生じること を理論的に確めた. Kerr and S o i f e r

⁽4) 

は偏平な固 定アーチの弾性安定性状の解析において，線型理論に より算定される逆対称座屈荷重は非線型理論による算 定値と一致すること，また，対称座屈荷重の線型理論 値は非線型理論{直を大幅に上回ることをいくつかの例 によって示した.

本研究は水圧荷重の作用を受ける円弧アーチの，変

形状態における力の平衡条件に基づいて導かれた，非

線型の有限変形方程式を摂動法により解析し，2ヒン ジアーチの逆対称型および対称型の座屈荷重および座 屈後の安定不安定性を明らかにし，線型理論およびエ ネルギー法による結果との比較検討を行おうとするも のである．

2．基礎方程式

 円弧アーチの任意の微小部分に関する，図一1の変 形状態での力の平衡条件は次の三式にて表わされる．

M _Q dS◎

N

α

R

斉P

dS

  Q＋dQ

勾隙

  NゆdN

Fig．1 Arch element 薯＋σ（4α十4θ4∫4∫）一9一・

π一亙（wvり十 4∫43）＋ρ一〇 4σ 4α  4θ

  σ＿翌＝o     埜一 ここに，M，

（1．a）

（1．b）

（1．c）

      NおよびQはそれぞれ円弧アぬチの任 意断面における曲げモーメント，軸力およびせん断力 であり，ρおよびgは変形したアーチの軸線の法線お よび接線方向の分布荷重強度函数である．また，4α は微小円弧の中心角，θは任意点のたわみ角を表わし，

∫は変形したアーチの軸線に沿う座漂である．

 アーチ部材のせん断力による変形を無視すれば，断 面力M，Nと変形量θ，εとの間には周知の次の関 係が成立する．

      冴一一E礁     （2）

      亙一一E孟・一一暑 、（3）

ここに，E，∫および・4はそれぞれ円弧アーチ部材の 弾性定数断面二次モーメントおよび断面積である．

また断面力M，Nの符号に関しては，図一1に示さ れたものを正とし，たわみ角θは時計廻り，図心軸 の歪εは伸びを正とする．

 円弧アーチの図一1に示す任意の微小部分の変形前 および変形後の艇長4∫。および4sは次の各式にて与 えられる．

      450 ＝ Ro 4α       （4．a）

      43 ＝ R （ 3α十4θ）         （4．b）

R。およびRはそれぞれ円弧アーチの任意点における 変形前および変形後の曲率半径である．また，微小弧 長4∫。と4∫との間には，アーチ部材図心軸の歪をε 遷して，深の関係が存在する．

      45 ＝＝・ 6♂50（1十ε）       （5）

式（4a），（4b）および（5）より

  量一讐＋誓一儲＋壽）・薯

r（1｝、）・（素＋藷）

_（6）

をえる．したがって，式（5）および（6）を用いて，変

，i数ξを5。に変換すれば，式（1．a）〜（1．c）および（2）

   し   コロ   ロ て

はそれぞれ次のごとく書き換えられる．

需±σ（＿1＿十dθRo 450）一・（1＋・）一・

需「ル（⊥＋4θRo 450）＋ρ（・＋・）一・

（・＋・〉σ一

一・

』（1＋・）禰一一E畷

（7．a）

（7・b）

（7．c）

（8）

 円弧アーチの任意断面における法線方向変位Oおよ び接線方向変位房は，図一2に示す方向を正として，

次の二式（5）により与えられる．

      Undefoτmed

．鴨一

         辺◎d秤 Hg．2 Positive displacements

需＋暑一（1＋・）吻θ

（9，a）

嘉一麦一（・＋・）…θ一・ （9・b）

5伽θおよびco∫θを級数展開して

1藷＋四一（・＋・）・（θ一興＋寄不……）

       （10，a）

  雅一岳一・＋（・＋・）・（一劣＋争干……）

      （10．b）

 断面力M，N， Qおよび変位露，勿，変数5。に関 して次の無次元量M，N， Q，％，測，ηを導入する．

Lは円弧アーチの変形前の軸長を表わす．

  砕一二鼠N一一妾，Q一一蕃σ

    痴     勿     ∫o

  π＝了・τσ＝了・η＝了

これらの無次元量を用いて，式（7．a）〜（7．c），（8），

（3），（10．a）および（10．b）を書き換えれば，1＋ε≒1 として，次の各式をえる．

・・」

ﾕ＋Q（   4θα十   4η）＋睾・

需一・・N（   4θα十   4η）一婦一・

Q一 ｿ一・

M＝」墾   吻     α N＝ε一＿ハ4     α2

．璽＋伽＿θ」生＋童干＿．．

       3！ 5！

^4η

寄α・一・一事＋砦……

ただし，

2乗である．

（11．a）

（11．b）

（11．c）

（11．d）

（11．e）

（11．f）

（11．9）

α2＝G4五2／1）は円弧アーチ部材の細長比の

3．逆対称変形

 逆対称変形発生直前まで円弧アーチは軸圧力状態に あるものとみなせぽ，・等分布水圧荷重ρoの作用を受 けるアーチの逆対称変形特性は次式にて表わされる．

任意の微小量をλとして

  ρ・L・／脹ん1＋・・々1＋・2・々1＋……（12．a）

  1レ1（η）＝＝λ・．Zレf1（η）十λ 2・。M2（η）十・・・…    （12．b）

  N（η）＝2＞・（η）＋λ・N1（η）＋λ2・N2（η）＋……

      （12．c）

  Q（η）＝λ ・Q1（η）十λ2・Q2（η）十・・・…     （ユ2．d）

 式（12・a）〜（12．d）を連立微分方程式（11，a）〜

（11．c）に代入し，摂動助変数λの各次の係数を比較 すれば，函数1匠1（η），…に関する次の各組の方程式を

える．

α2幽＝o

｛誠＋ん1一。

・・ ｾ＋αQ1一・

響α・・N・一・・N・M・一々1

誓Q・一・

1・・響＋αQ・一一Q・M・

｛

警Q・一・

（13．a）

（13．b）

（14．a）

（14．b）

（14．c）

（15．a）

響α・・N・一・・N・碗一・・N・M・＋諾

（15．b）

（15．c）

  1

・・ ｿ＋αQ・一一（Q11レf2十Q2M1）（16・・）

 

響α・・N・一・・脳一・（N・碗＋

／轟轟l ltl：1：

 無次元変数ηの原点を円弧アーチの左端にとれぽ，

2ヒンジアーチの逆対称変形条件，1レf（0）＝M（0．5）＝

．M（1）＝0，よりぞ式（12．b）を考慮して次の各組の境 界条件式をえる．

 また，摂動助変数λをQ（0）／2πに等しくとれば，

式（12．d）は

  Q（0）＝Q1（0）・Q（0）／2π＋Q2（0）・〔Q（0）／2π〕2＋…

となり，このとき次の補助的境界条件をえる．

  Q1（0）＝2・       （18．a）

  Q乞（0）＝0（∫ニ2，3，4，一・）       （18．b）

 連立微分方程式（13．a）〜（16．c）を境界条件（17．

a）〜（17．c）および補助酌境界条件（18．a），（18．b）の 下で解き，次の結果：をえる．

   

  ん。＝＝α（4π2一α2）      （19．a）

｝∵＿㌶〔：：

         

rN・（・）一一轟   （2・・の

  N・（・）一一帝・蜘   （2・・b）

       2

  N・（・）一、6差，。，〔・翫・一α・一1飯・・」窪一＋

    （α2十4π2）co34πη〕         （20．c）

  M1（η）＝廟2πη       （21．a）

      （21．c）

  Q1（η）士2πco∫2πη      （22．a）

／1：：：：1烹：1：：堀∴

      （22．c）

       2

 算定された馬一値を式（12．a）に代入して，次の ごとく2ヒンジ円弧アーチの等分布水圧荷重による逆 対称変形の特性を表わす関係式が求められる．

  ㌔解一（4・・一α・）一…〔（2・・一号）＋α・

      （ユ＋12 4π2）〕＋……   （23）

特性式（23）の右辺第1項は2ヒンジ円弧アーチの第1 次逆対称座屈荷重♪，。L3／αEIである．

4．対称変形

 等分布水圧荷重ρ。を受ける円弧アーチの対称変形 特性は，摂動助変数をγとして，次の各式にて表わさ

れる．

醐E7一γ・々1＋…ん1＋…

Z4（η）＝γ・Zq（η）十γ2・Z62（η）十…

（η）＝γ・割1（η）＋γ2・ω（η）＋…

θ（η）＝γ・θ・（η）十γ2・θ2（η）＋…

M（η）＝＝7●」M1（η）十γ2●1レf2（η）十…

N（η）＝γ・N1（η）十γ2・N2（η）＋…

Q（η）＝γ・Q1（η）十γ2・Q2（η）十…

（24．a）

（24．b）

（24．c）

（24．d）

（24．e）

（24．f）

（24．9）

 式（24．a）〜（24．9）を微分方程式（11．a）〜（11．9）

に代入し，助変数γの二次の係数を比較して，次の各 組の連立微分方程式をえる．

・・ ｾ＋αQ・一・  （25・・）

響α・・N・一遺   （25・b）

誓一Q・一・

密一M・一・

寄＋伽・一θF・

α・・一

ﾋ＋N・＋彦M・一・

・・ ﾔ＋αQ・一一M・Q・

薯α・・N・一ゐ1＋・・M・N・

警Q・一・

三一三一・

警＋伽・一θ・一・

α・・一

ｿ＋N・＋一艶一者θ1

・・ ｿ＋αQ・一一（エ㌧f1Q2十M2Q1）

（25．c）

（25．d）

（25．e）

（25．f）

（26．a）

（26．b）

（26．c）

（26．d）

（26．e）

（26．f）

（27．a）

響一α・・N・一々1＋・・（M11＞ 2十1レf2エ〉 1）

警Q・一・

誓M・一・

警＋伽・一θ・一一÷θ1

・α…一 ＋N・＋一無一θ・θ・

（27．b）

（27．c）

（27．d）

（27．e）

（27．f）

 無次元座標ηの原点をアーチ部材中央点におけば，

2ヒンジ円弧アーチの対称変形条件け

  θ（0＞＝＝τσ（0）＝＝Q（0）＝＝π（0．5）Fτσ（0．5）＝

    M（0．5）：＝0

となり，したがって次の境界条件式をえる．

  θ乞（0）：＝ω盛（0）＝Q葛（0）＝＝z碗（0．5）ニ＝籔リ盛（0．5）＝

    エレfヒ（0．5）＝0       ． （28）

 次に，摂動助変数γを2ヒンジアーチの左支点のた わみ角θ（一〇．5）に等しくとれば，変形の対称性よ りθ（0．5）＝一θ（一〇。5）であるゆえ，式（24．d）より

  一θ（一〇．5）＝＝θ（一〇．5）・θ1（0．5）十

    〔θ（一〇．5）〕2●θ2（0．5）十・。・。…

となり，このとき次の補助的境界条件をえる．

  θ1（0．5）＝一1，  θ言（0．5）＝0

  σ＝2，3，4，一・）       （29）

 各組の連立微分方程式（25．a）〜（25．f），（26．a）〜

（26．f），（27．a）〜（27．f）の一般解式中の積分定数を 境界条件（28）により決定し，定数ん￠2／αを補助的境界 条件（29）により決定すれば次の結果をえる．

2

た1

 ＝1（。L1

α

  

互＝K．L2

α

  

垂＿＝K・L3

α

（30．a）

（30．b）

（30．c）

ただしκ一 ﾕ〔伽÷・（α…号一2・ゴ・号）〕一1

L・一（  α23−2  〃2）・ゴ・α一α（…α＋2）

     α

  L2， L3 三 省田各

 細長比α＝50，100，150，200の場合の，種々の中 心角を有する2ヒンジ円弧アーチの解／αの値を表一 1（a）〜（d）に示す． 2ヒンジ円弧アーチの等分布水 圧荷重による対称変形の特性は面一1の々信2／α値を用

いて，式（24．a）により明らかにされる．

5，弾性安定特性

9 ｝9i題

陶〃a ^{レ？22ば 掩3潔}

20

2．42856メ10z 一1．76555×10ヨ 3。噛31822x103

30

3，07756・10習 一1，72128×103

1．64107r103 4G

3．85047x10電 一1，65767×10ヨ

8．32739x107 50 4，68190x103

一1，57301・103 5．52954x10竃

60 5．55246x107

一1，46495κ10∋

7．57007x102 70

6．45613x10〜 一1，33046罵10う 1，50456x10∋

90 8．36236x102

一9．65339x10凄 5，18701×103

120

1．15190x10∋ 一8，01072×10巳

2．01747x104 150

1．15821・103 1．48325x10ラ

6．00605x104 180

1．96350・10ヨ

4．35249x103

1．63778κ10写

Table 1（a） ki・value（a＝50）

   ．3

怐@ 1冒

^{控・シ8 kし％♂ 掩3％〜}

10

^{4．86360・10} 一7．07818×10∋

2．67382x104・

15

6．15328メ10切 一6，89791x1伊

1．34396x10 20 7。67674x102

一6。64392x10∋ 7．10479x10，

25 9．29801xloz

一6．31459メ10∋ 4．89647x10ヨ

30

1．09728・10∋ 一5．90778・103 6，23545x10，

35

1．26832x10召 一5．42086・103 1．12177罵104

60

^2．

P5978×103

一1．65164・103 1．09402x10弓

90

3．31046x10，

6．62002x103

5．16785x10ぢ

120 4．58840x103

2．12195メ104

1．62358x106 150

6．06435x10ヨ 4．68906メ104

4．38917x106 180

7．85398x10き 9．37939x10ら 1．13776x10？

Table 1（b） ki−value（a＝100）

d・己｝を

ぬ1シ穣 ぬ〜／醒 惚，「廠

10 922945x10乙 一155257・104

4．55547×104

15 127068x103 一146066x10

1．90089x10↓

20

1．64237x10魯 一1．33117x104

2．11735x104 25 2．02461x103

一1．16328×10

5．03206x104 30

2，41316x10∋ 一9．55895x109

1．10104x105 60

4．83400翼10ヨ 1．21329x10ら

1．49486x106 90 743416貿103 542684x104 635244x106 120 103i59x104 _128586x10ぢ 1，92477x107 150 136412x106 2．59162x105

5．11840x10？

180

1．76715x10◇

497542x105 1．31516x106 Table 1（c） ki・value（a＝150）

d・iね hl磁

怜茄 ^に3『ん

5 9．73043・102

一283286x104 147715，105 10 153417x103 一265890x104 5．76408x104

15 2，18818x10ヨ 一2．36771×10

5．02766x104 20

2．86694x10顎 一1．95747x104 1．56523・16写

30

4．25539x10， 一7．68531×103

7．98306x105 60

8，57791×10∋

6．10322x104 8．93805x106 90 1，32073x104

1．94489λ10写

3．66401x107 120

1，83344κ104 4．29822x10写

1，09651x108 150

2．．42489x104 8．43186，105 2．89939・108

180 3．14159x104 1．59761x106 7．42726x108

Table 1（d） ki−value（a＝200）

 等分布水圧荷重に対する2ヒンジ円弧アーチの逆対 称変形特性は式（23）より明らかとなる．式（23）の右辺 第1次は2ヒンジ円弧アーチの第1次逆対称座屈荷重 であり，この結果は従来の線形座屈理論による値と一        エ 致している．三一3に式（23）よりえられる（ρ五3／αE1）2

一λ曲線を示す．逆対称座屈後2ヒンジ円弧アーチの つり合い状態は不安定となることを知る．

1QO

5．0

   α＝10。

  90，

 。150。

180

      0

       λQ5

Fig．3 Char琴cteristic curve of antisymmetric     buckling

 等分布水圧荷重に対する2ヒンジ円弧アーチの対称 変形特性は式（24．a）により示される．式中の定数碍 は表一1（a）〜（d）に示すごとき値をとる．図一4（a）

〜（d）に式（24．a）よりえられる（ρL3／αEI）一ILγ

曲線を示す．図は式（24．a）の右辺第3項の値が第1 項の値の10％に達したところまで描かれている．これ らによれば，円弧アーチの中心角αと細長比αに関し て，限られた範囲内にある2ヒンジアーチにおいて，

等分布水圧荷重の最大値が存在することすなわち対称 型座屈の生じうることが明らかとなる．対称座屈後，

2ヒンジ円弧アーチのつり合い状態は不安定となる．

隅一2に対称座屈荷重の値を示す．

   ◎くo

5 10 15 20 25 30 40 50 60 50 一 一 一 ^{3．16 3．49 3．90 4．89 6．08 7．71} 100 一 一 ^{3．90 4．88 6．04 7．59} 一 一 一

150 一 ^{3．90 5．43}

^』7．57．

一 一 一 一 一

200 3．05 4．87 7．56 一 一 一 一 一 一

Tablβ2 Symmetric buckling loads

・．諸種の中心角αおよび細長比￠をもつ，．等分布水圧 荷重をうける2ヒンジ円弧アーチの対称および逆対称 の座屈荷重を図一5に示す．小なる中心角を有するア ーチすなわち偏平なアーチにおいては，逆対称座屈荷 重に比して対称座屈荷重の方が小さいことが明らかで ある．両座屈荷重が等しくなるときの中心角αの大き

さは

α＝50のとき α＝100のとき α＝150のとき α＝200のとき

1α0

雁

50

0

  ・  120。

 150

18D。

9げ  BO。

70。

60。

a＝50

Fig．4（a）

 5．  1ぴ γ 15．

Charact6ristic curve of symmetric buckling（a＝50）

α＝：51。

α＝25．5。

α＝17。

α＝12．75。

100

5ρ

18δ

6げ．   。

   25

2げ

  15。

㏄コ100

a．＝150

        0      5。Y

．Fig．4（c） Characteristic curve of symmetric       buckling（a＝150）

4げ

1QO

1QO

5．0

0

9げ 6ぴ

O（司0。

15。

3げ

200 3げ

25・

aニ100

5．0、

6げ

  2げ

  10

朕＝5。 、 15。

aニ200

      5．「Y lq．

Characteristic curve of symmetric buckling（a＝100）

        0     γ 50．

Fig．4（d） Characteristic curve of symm6tric       buckling（a＝200）

1QO

50

Fig．4（b） 0

     らリ

アろ：男ノ

    ／

100

a＝5d

1， ／ ／

／／   ／／

〃∠

！

ご、ntisVnUnetric

Syn、n、etric

   nσnhnear

一一一一一一 @  Iinear

  10   20   30  40   50   60

Fig．5 Symmetric and antisyrnmetric

    buckling Ioads

である．このとき細長比αと中心角αとの間には，

αをラジアンで表わして，次の関係が成立する．

      α・α＝44．5

したがって，等分布水圧荷重を受ける2ヒンジ円弧ア ーチの座屈形式は

      α・α＞44．5のとき 逆対称型       α・αく44．5のとき 対称型

となることが理論的に明らかとなる．なお，エネルギ ー法（1）および線形理論（3）においては，それぞれ       α・α＜36．7

      α・α＜19．2

の領域において対称型座屈が弁行ずるとの結論をえて いる．図一5中の点線は線形理論より得られた結果で ある．逆対称座屈荷重に関しては，両法の結果が一致 するが，対称座屈荷重については，線形理論によれば 座屈荷重が過大に算定されることが明らかとなる．

 図一6は2ヒンジ円弧アーチにおいて逆対称座屈お よび対称座屈の先行する領域を示すものである．③は 線形理論から得られた結果であり，②はエネルギー法 により算：定された領域である．

6げ

逆対称型および対称型いずれの座屈が先行するかにつ いて主に検討し，線形座屈理論による結果との比較を 行った．座屈後挙動に関しては，つり合い状態の安定 不安定性を明らかにすることを目的として，座屈直後 附近における挙動を考察した．得られた結果を要約す れば

（1）逆対称座屈荷重に関して，線形理論による値と非  線形理論による喧とが一致する．

（2）対称座屈荷重に関して，線形理論による値は非線  形理論による値に比して大きく算定される．

（3）座屈形式に関して，逆対称型座屈が支配的である  が，アーチの中心角および細長比のいかんによって  対称型座屈が先行する場合がある．特に偏平アーチ  において対称型座屈が支配的となる．

参考文献

（×

56

4δ

36

 む

20，

 む

10

0

3

①

②

Symmetric

Antisymmetric

①：・・nli・・ar th・・ry

②；Energy m・th・

③＝1i・ea・th…y

Fig．6 50100150200a

Pattern of the first buckling mode

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 −1014

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6．結 ^語

 等分布水圧荷重を受ける2ヒンジ円弧アーチの座屈

および座屈後挙動を解析した．座屈性状については，