崎山

長崎大学工学部研究報告第8号 昭 和52年1月 25 

変 断 面 梁 柱 の 挫 屈 解 法 に つ い て

崎 山 毅 * ・ 栗 原 和 夫 *

An A n a l y s i s  o f   B u c k l i n g  o f   N o n u n i f o r m  Beam‑column 

by 

T a k e s h i  S A K I Y AMA   

(Department of Structural Engineering) 

Kazuo KURIHARA 

(Department of  Structural Engineering) 

The buckling equations of variable cross^四sectionalbeam‑column are formed by simultaneous  differential  equations  with  variable  coeffecients  which are  composed  of  the  moment of  inertia I(η)  and the cross‑sectional area A (マ)of members. 

On analyzing the buckling loads of  every type of beam‑column with variable cross‑section，  it  is  necessary to obtain the solutions of basic differential  equations with arbitrary variable  coeff icients. 

However it  is  impossible to obtain the analytical solutions under these  generalities， so we  must apply  the  approximate  methods  to  analyze  the  buckling  problems  of every type of  beam‑column. 

The  well‑known  approximate  methods  with  generality  and  simplicity  are  the  finite  defference method， the transfer matrix method and the finite  element method. 

The practical  approximate methods require the more superior convergency  and  accuracy  of numerical solutiion and the rationality of  the  time  of  numerical calculation， other than  generality and simplicity. 

In  this  paper， the  discrete  general  solutions  of  the  simultaneous  differential  equation  concerning the buckling problem of  variable  cross^回sectional beam‑column were obtained by  applying the transformation of the differential  equation into the integral  equation  and the  Simpson's  integral  formula， and a practical  approximate method is  proposed to analyze the  buckling problem of every type of beam‑column by applying the  discrete general solutions.  The buckling loads of trancated cone‑columns were calculated  under  the  four  boundary  conditions  of  fixed‑free， hinged‑hinged， fixed‑hinged  and  fixed‑fixed， and  the  present  method was compared with the  other  general  methods (finite  difference  method， transfer  matrix  method， finite  element  method)  concerning  the  convergency  and  accuracy  of  numerical solutions. 

As the  results  of  numerical  analysis  the  superiority  of  convergency  and  accuracy  of  numerical solution and the rationality of the time of  numerical  calculation were confirmed  on the present method. 

付帯造工学科

1．序   言

 構造物の合理的設計の見地から，単独構造物として，

あるいは骨組の構成部材として多用される変断面梁柱 の挫屈問題は構造力学における古典的問題の一つであ り，古くからこれに関して多くの研究が行われてきた が，今日なお，そめ汎用性ある実用的解析法の確立を 目指して，研究は継続されている．

 変断面例外の挫屈方程式は部材の曲げ剛性函数を係 数とする，いわゆる変数係数常微分方程式である．初 期のころにおいては，この基礎微分方程式の解の発見 を主眼とした解析的解法に関する研究が行われた．田 中（1）は1次的に変化する断面2次モーメントを有す る変断面柱，台形状フランジを有する1型断面柱およ び両端部を切断した菱形またはレンズ形のフランジを 有する1型断面柱などに関して，挫屈方程式の厳密解 を求め，両端単純支持条件の下で挫屈荷重を解析した．

中川（2）は幅あるいは高さが直線的に変化する矩形断 面柱，ウエブの高さが直線的に変化する1型断面柱お よび円錐台状の変断面柱に関して，ヒンジーヒンジ，

固定一自由，固定一ヒンジおよび固定一固定の4種の 境界条件の下で詳細な挫屈荷重の解析を行った．その 他にも，中川は若干の部分的変断面柱に関する挫屈解 析を行っている．

 （1）および（2）の研究においては，いくつかの変断面柱 の挫屈方程式に対して，Bessel函数およびNeumann 函数によって表示された解が求められ，これらを用い て挫屈荷重の厳密値が算定されているが，解法の汎用 性と数値計算の簡易性の観点に立てば，このような解 析的解法にはおのずから適用の限界が存在する．した がって，研究の次の段階として，何らかの近似解法の 必要性が生じることは明白であろう．

 変断面梁柱り挫屈問題の近似解法は（i）たわみ波形 の仮定に基づく解法と（ii）挫屈微分方程式の近似解に 基づく解法とに大別される，（i）に属するものとして は，Rayleigh法を応用したMiesse（3）の解法や数値 積分を併用するSilver（4）の解法などがある．また

（ii）に属する解法としては，転変断面を有する柱の挫 屈に関するAbbassi（5）の研究や基礎微分方程式のべ キ級数展開にもとずく解法に関する横田（6）および GIUck（7）の研究などがある．その他，数値解法とし て実用性に富むNewmark（8）の解法がある．これら の近似解法および数値解法は，机上計算の可能なもの がほとんどであり，数値解析の簡易性にすぐれている が，急変断面柱あるいは不規則変断面柱などに対して は，計算誤差の増大を認めざるをえない．

 以上のごとき，変断面梁柱挫屈問題の古典的諸解法 に続いて，高速度演算の可能な電子計算機の出現に伴 い，その使用を前提とした多くの汎用性に富む解法が 提案された．

 差分法は早くから微分方程式の近似解法として用い られていた解法であるが，電子計算機の発達と共に，

一層その実用性が高められた．変断面梁柱の挫屈解析 への差分法の応用としては，開断面柱のねじれ挫屈に 関するCulver（9）らの研究や不連続的変断面梁柱へ の応用性を高めたGirijavallabhan（10）の研究など

ある．

 伝達マトリックス法の変断面梁柱解析への応用は，

原変断面梁柱の階段状変断面琴柱への置換を前提とし て行われる．変断面梁柱の挫屈問題におけるこのよう な基本概念にもとつく解法は，電子計算機の実用化以 前に，すでにThomson（11）によって提案されてい

る．

 有限要素法は極めて応用性に富んだ構造解析法であ り，変断面梁柱挫屈問題への応用はYettramおよび Awadalla（12）やTebedgeおよびTall（13）らによ

ってなされ，その適用性が確められている．

 理論的研究の外に，実験的研究もいくつか行われて いる。LackmanおよびPenzien（14）は円錐台より成 る変断面柱に関する挫屈実験を行った．またButler およびAnderson（15）は（2）の刺il理論の実験的検証 を実施し，理論挫屈値と実験値とが良好に一致するこ とを明らかにした．

 変断面梁柱挫屈問題の解析法の発達とともに，解法 の汎用性はもちろん，数値解の収束性および精度の向 上，所要計算時間の短縮，所要入力情報の縮小などが 要求されるようになり，このような要求を満足すべく，

挫屈解法の研究が発展しつつある．Seide（16）は柱の 挫屈解析に応用された，差分法と最初ポテンシャルエ ネルギー原理および混合変分原理に基づく2種類の有 限要素法に関して，それらの数値解の収束性および精 度の比較を行っている．

 本研究は，以上の考察にもとずき，解法の汎用性，

解の収束性および精度，数値計算システムの簡易性あ るいは計算時間などに関して，より高い実用性を有す る変断面梁柱の挫屈解法を提案するものである．

2．変断面柱の挫屈方程式と離散的一般解

 図心軸圧縮荷重Pの作用を受ける変断面直線部材 の変形状態における力の平衡条件は，曲げモーメント，

せん断力，たわみ角およびたわみをそれぞれルf，◎，

θおよびyとして，次の2式で与えられる．

崎 山 毅・栗 原 和 夫 27

万

69

7r

4π

P一軸．＿0  4κ

σ一〇

（1．の

（1．6）

 また，柱の断面力M，9と変形y，θとの関係は，

断面2次モーメントおよび断面積をそれぞれ堀）お よび疎ん）で表わし，せん断変形をも考慮すれば，次 の2式で表わされる．

  π一一E攻・・需      （…）

  σ一G4ω（θ＿4y   4κ）  （・・4）

 ここに，瓦σおよびκはそれぞれ弾性定数，横 弾性定数およびせん断係数である．

 連立微分方程式（1．の〜（1．4）により，軸圧縮力P を受ける任意の変断面柱の挫屈性状が解析されるが，

ここで解析の便宜上，次の無次元量を導入する．柱の 長さと基準断面2次モーメントおよび断面積をそれぞ れ，1，為および孟。として

M一一 ｽπ   （・・の

       12 ＿

       （2．6）

  ρ一一 E為ρ

  ・一丁一      （2・・）

η＝一 ^（2．4）

 無次元量（2．の〜（2．6）を用うれば，連立微分方 程式（1．の〜（1．4）は次のごとく書き換えられる．

49

吻

∠辺

λ・

   一ρ

多1一需，M

鴇一一θ一1 ^{沼（η）ρ沼。}

ただし

    μα2

λ・一ﾏ一，・2一ギ，   G

μ＝一D亙

（3．o）

（3．う）

（3．6）

（3．4）

 変断面柱の挫屈問題における基礎式は式（3．の〜

（3．のに示すごとく，部材の断面2次モーメント1（η）

および断面積沼（η）を変数係数とする連立微分方程式 である．変断面性状に関して任意性を有する柱の挫屈 荷重を解析するためには，断面2次モーメントおよび 断面積に一般性を保持したまま，基礎微分方程式の解 を求める必要がある．しかしながら，このような一般 性の条件下で基礎微分方程式の連続的一般解（解析解）

を求めることは不可能である．よって，本論文におい ては，変断面部材軸上の御等分点における，変数係

数連立微分方程式の解を求め，これらの不連続的な解 を基礎微：分方程式の離散的一般解と称することとす

る．

 変断面柱の挙動を支配する変数係数連立微分方程式 の解析解を一般的に求めることは前述のとおり不可能 であるが，変断面柱の挫屈特性の解析において，連続 変数ηの函数として表わされる解析解は必ずしも必 要なものではない．解析解がえられたとしても，独立 変数ηの特別な値に対する解式の値のみしか実際には 必要でないことを考慮してもこのことは明白であろう．

したがって，結局，部材軸の等分割点における解，す なわち，離散的一般解が求められれば十分である．

 変断面柱の挫屈の微分方程式の離散解を求める方法 としては，伝達マトリックス法，有限要素法あるいは 差分法など既往の汎用解法の応用が考えられるが，数 値解の収れん性および精度あるいは数値計算システム の簡易性などを考慮の上，本論文においては，既往の 汎用解法の応用を避けて①基礎微分方程式の積分方程 式への変換，と②積分方程式の数値解法の応用，とに より基礎方程式の離散的一般解を求めることとする．

また，本論文における解法と上記の既往解法とに関し ては，具体例について比較検討する．

 無次元変数ηの原点を部材端にとり連立微分方程 式（3．の〜（3．のを変域〔0，η〕で積分して，次の諸 式をえる．

ρ…一9…一怨∫論M・ξ・4ξ

M…一M…＋∫；ρ・ξ・4ξ

θ（・・一θ…＋∫論M…4ξ

（4．α）

（4．6）

（4．6）

・…一・…＋Yθ・ξ・4ξ一瓢∫；素ρ…4ξ        （4．の  変域〔0，1〕を図一1に示すごとく襯等分し，左 側分割点より順に，0，1，2，…，∫，…，初なる番号 をつける．

0   1    2 1 m−1 ^、t、

セ＝o

Fig．1 Discrete points

死・1

分割点ゴにおける断面2次モーメントおよび断面

積を4および」∫と表わし，連立積分方程式（4．α）

〜（4，4）に数値積分法を適用すれば，分割点ゴにお けるせん断力ρ勾曲げモーメント！鴎，たわみ角碗 およびたわみyfが求められ，次のごとく一般表示さ

れる．

ρゴ

鱈・

θゴ

：yゴ

ただし

ゴ雛ll：熾．幽

   ・1づ・2∫・3ゴ・4ゴ  θ0

   41出4，ぬ ・。／

       （5．α）〜（5．4）

％一舗一ｪβ・ブ書い6・の

   α々0−0（ゐ≒1）， α、。一1       ∫

6ゼ6・・橘β・陶  （6・6）

   6ん0−0（ゐ≒2）・ 62。一1

楠ち到β・ブ弁6・ノ （6・の

   ・ん0−0（ゐ≒3）・・3。一1

繕・＋ブ乱β・ノ（写漏困

        4々0−0（ゐ≒4）・44。一1（6・4）

式（・．・）一（6，6沖の係数β、ブー藩1まSim…n の多分割数値積分公式の重み係数である．なお，α，ブ の値は表一1に示すとおりである．

 微分方程式（3．4）右辺第2項はせん断変形に関す る項である．したがって，せん断変形を無視した場合 の離散的一般解に式（5．の〜（5．4）と同形であり，式

（6．4）において，右辺のカッコ内の第2項を削除し たものである．

5．高高面高の挫屈条件式  （1）両端単純支持柱

境界条件．Mo−yo−0， M窺一y z−0より，次のごと く，挫屈条件式および挫屈モードをえる．

  座屈条件式：61〃z・43初一63吻・41 z＝0 挫屈モード・・渦（      4（4・・一㌶43∫）

 （2）その他の境界条件を有する柱

表一2にまとめて，：境界条件，挫屈条件式および挫屈 モードを示す．

0 1 2 3 4 5 6 7 8

●   ●   ●

1 12 12

2 8 32 ⁸

3 9 27 27 ⁹

4 8 32

16

5 9 27 27

17

6 8 32 16 32 16 32 ⁸

7 9 27 27 17 32 16 32 ⁸

8 8 32

16

…

Table．1 α．Fvalue

3フ

Edge conditions Boundary

@ conditions

Buckling

@ conditions

Buckling modes One edge

@  clamped，the other free

e。＝y・＝O

p。＝M断＝o bZM＝0 ^{yし・M。・d・し} One edge clamped，the

@other simply supported

θ。＝y。＝O

lM＝y断＝0 ^{b1。・d，㎡b，． dl．＝0}

・、・Q．〔d1し一濫d・の

Both ends clamped ^{θ。＝y。＝0}

ﾆm＝y吊＝0 ^Ci．・g。一c2．・d1．＝0 ・、・Q．（d1・一鵠d・0

Table．2 Buckling condtions and modes

崎 山

毅・栗原 和 夫

 本論文における離散的一般解にもとずく変断面柱の 挫屈解析法と他の汎用解法（伝達マトリックス法，有 限要素法，差分法）との数値解の収れん性および精度 に関する比較を行う目的で，図一2に示すごとき円錐 台柱の4種の境界条件に対する挫屈固有値を算定した．

 伝達マトリックス法，有限要素法および差分法にお ける基本式は以下のとおりである．

〔1〕伝達マトリックス法

図一3に示すごとく，第ゴ要素の断面2次モーメント を■とすれば，伝達マトリックス法における基本式

  z

は次式である．

r （号

0  1

Fig．2 A trancated cone−column

2  ．．  i−1  i

：yゴ

θ∫

Mゴ

ρ∫

1 0 0 0

1加

1 0 0

（1−c・sλゐ加）／λ2

（匹／λ）・inλゐ加 C・Sλノ｝加

一λノlsinλノ1／吻

骨ヨ

11  12        1i      Im−1 1m Fig．3 A column divided into elements

（初／初一・inη｝加）／（λ3み）

（1一…えみ加）λ2

sinλしろ／吻／（λノ ）

C・Sλノ1加

ただし，加腰素数であ幅イ倍である．

〔2〕 有限要素法

前図一3に示すごとく，第∫要素の断面2次モーメン トを■とすれば，有限要素法における基本式は次の

  z2式である．

（12ろ」Σλ2  1  5翅2   0）写・一〔・2（先＋㍗）一廓〕・、

＋（  ろ＋16λ212 も一一万初・）％．、＋（・拙誰）θ卜1

＋・（ろろ．1∫10 0）θ「（6福誰）θ、．、一・

（ろ 1λ・6∫一16初2   0）・一・（考

 1   1λ2      1

努1）・、

（8．α）

千・（■ゴ   ■ゴ十1   1 λ273＋も 一1醇〃22）θ・＋（・も

（・＾㌘1一赫   0）…1＋（・肴＋赫）θ ．・

 1 1       ろ。1

＝0

＋蒲）θ、。1

なお，境界条件は次の諸式で表わされる．

（i）左支点（∫一〇）

   ①ヒンジ端：yo−O       I  1λ2     1

       0       0

    一（・考＋最）ら一・

   ② 固定端：夕。−0・θo−0

（ii）右支点σ一翅）

（8．6）

（6ナ一期）・、一4（デー㍊）θ・

〔 y卜1

 θゴ＿1  Mゴ＿1

 q＿1

（7＞

    ①ヒンジ端：y−0

   （十講一1＋（・警＋最）θ一、

     ＋（41勉＿旦丑も 15吻2）θ初一・

    ② 固定端：y勉一〇，θ〃z＝0     ③ 自由端：

    （6砺＿■翌㌔ 10初2）（・＿・勉）

   ＋（・毎＋蒲M・毎一齢）θ吻一・

    （12㌔」Σλ・  る 5初2）偏一・翅）

   ＋（6㌔＿⊥λ2㌔ 10御2）（θ一1＋θ吻）一・

〔3〕差分法

 等分点ゴの断面2次モーメントを毛とすれば，差 分法における基本式は次式である．

 ㌃1

 る         も

       乃一1  乃  乃＋1        1b  為       誰一2π＋」塾

      ろ＋1      ＋一ア『yゴ＋2＝0        0

境界条件式は次のとおりである．

（i）左支点σ＝0）

与・＋〔藁一・（・㍗＋丑）〕・卜、

＋（T＋4一＋一一一2轟）・ゴ

＋〔葺一2（考＋篶）〕・辞1

（9）

（ii）

① ヒンジ端：yo＝0・y＿1一一y1  ②固定端：yo−0・：y＿1 ry1

右支点（z二卿）

①ヒンジ端：y z＝0，ツ〃3＋1」一ツ吻＿1  ②固定端：y吻＝0，ツ 2＋1−y ￠＿1

③ 自由端：

     y勉一1−2伽＋夕勉。1−0

等㌔．，一（砺1比一11λ・る＋2も一2；殖）・勉一、

＋（・著＋ヤ）・ガ（弁＋言前）・初．1

       ＝0

 変断面柱の離散的一般解（5．・o）〜（5．．4）およびそ の他の汎用解法の基本式（7），（8．の，（8．6）．，（9）に より．算定された図一2の円錐台柱の挫屈固有値を表．3

（α）〜3（めに示す．離散解法および差分法にお．ける分 割数および伝達マトリックス法および有限要素法にお ける要素数初に6〜20とした．なお，ζの変断面柱 の挫屈荷重は中川（2）によって解析的に厳密値が求め られている．本塗ではせん断変形の影響は無視した．

表3（の〜3（4）より，汎用諸解法における挫屈固有値 の精度および収れん速度に関して，次の事柄が明らか

となる．

      m

高・狽・盾 6 8 、10 ¹²

¹⁴

The present

@   method 0，755 0，760 ^σ，761 0，762 0，763 0，763 0，763 0．76 Transfer matrix

@    method 0，749 0，755 0，758 0，760 ^0，761 0，761 0，761 0．76 Finite elment

@    methed 0，749 0，755 0，758 0，760 ^{0，76！ 0，761} 0，762 0．76 0，763 Fiﾕ離8ぎ一 0，761 0，761 0，761 0，762 0，762 ^一Z，762 0，762 0．76

Table．3（a） λ一values of Fixed−free columns

metho     m ^{6 8} 10 12 14 16 ¹⁸ 20 _exact

The present

@     fhethod 1，022 ^．1，036 1，042 1，044 1，046 1，046 1，047 1．04 Transfer matrix

@    method 1，022 1，034 1，039 ^1，041 1，043 1，044 1，045 1．04 Finite e1狙ent

@     methed ．1，023 1，034 1，039 1，041 1，043 LO44 ^{1．04 1．04 1，047}

Finite differ−

@ence method ^1．C036 1，037 1，040 1，042 ^1，042． 1，043 ^{1，044   ゐ．} 1ア044 Table．3（b） λ一values of Hinged−ended columns

metho     m ^{6 8} 10 12 14 16 18 20 exact

The present

@     method 1，417 1，457 1，479 1，488 1，493 1，495 1，496 1．49 Transfer matrix

@    method 1，456 1，474 1，483 1，488 1，491 1，492 1，494

し494

Finite elment

@     methed 1．459・ 1，475 1，483 1，488 1，491 1，492 1，494 1，494

髄1，498

Finite differ−

@ence method 1，462 1，464 1，472 1，479 1，483 1，486 1，489 1，490

Table．3（c） λ一values of Fixed−hinged columns

metho     m ^{6 8}

10

16

The present

@    method 1，836 2，167 2，126 2，111 2，104 2，101 ^{．2．09．8} 2，097 Transfer matrix

@    method 2，177 2，140 2，122 2，113

2」07

@    methed 2，186 2，145 2，125 2，114 2，108 2，104 2，102 2，100

    一 Q，094 Finite differ−

@eτ1ce method 1，685 1，825 1，930 1，990 2，023 2，042 2，062 2，062 Table．3（d） λ一values of Fixed−ended columns

崎山 ^{毅・栗 原 和 夫 31}

〔1〕変断面柱の形状をほぼ忠実に衷わしうる程度   に分割を細かくした範囲においては，境界条件   のいかんにかかわらず，挫屈固有値の精度は離   散的一般解を用いた本解法において最も良好で   あり，伝達マトリックス法および有限要素法が   ほぼ同程度でこれに続き，差分法における解が   最も精度が悪い．

〔2〕解の収れん速度は本解法において最も速い．

  伝達マトリックス法，有限要素法および差分法   の各解における収れん速度はほぼ同程度である．

5．結

 変断面性状に関して任意性を有する柱の挫屈荷重を 算定するためには，汎用性および簡易性のある近似解 法の応用が必要である．ここで提案した変断面柱の挫 屈解法によれば，変断面柱の挙動を支配する変数係数 連立微分方程式の離散的一般解を用いることにより，

通常の境界値問題としての挫屈解析が可能となる．

 基礎微分方程式を積分方程式に変換し，積分方程式 の解法にSimpsonの多分割積分則を応用することに よって基礎微分方程式の離散的一一般解が求められた．

 離散的一般解を用いた本解法と既往の近似解法（差 分法，伝達マトリックス法，有限要素法）とを解の収 束性および精度について比較した結果，境界条件のい かんにかかわらず，本解法において，解の収れん速度 が最も速く，また変断面柱の形状をほぼ満足できる範 囲に分割するならば，解の精度も最も良好であること が明らかにされた．

 なお，本解法の考え方は変断面梁柱の挫屈解法のみ ならず， その他，非一様要素をもつ骨組構造物の静 的問題，振動問題にも適用できる． 数値計算は本学 FACOM 270−30によった．

参考文献

（1）Y．Tanaka；On strength of columns with  variable cross sections，土木学会誌，第15巻，第  3号，昭和4年3，月

② 中川 元；薄い等辺梯形板，薄い変厚矩形板，蔵  頭円錐柱のかがまり，機械学会論文集，第2巻，第  8号，昭和11年8月

  ；勾配部を有する矩形板の挫屈，機械学会論文集，

 第3巻，第11号，昭和12年5月

  ；勾配部を有する円柱の挫屈，機械学会論文集，

 第3巻，第11号，昭和12年5月

  ；両端固定きれた勾配を有する板及び柱の挫屈，

 機械学会論文集，第4巻，第14号，昭和13年2月

  ；断面の厚さと巾が反比をなす板の挫屈，機械論  会論文集，第4巻，第16号，昭和13年8，月．

  ；指数函数の品変断面を有する長柱の挫屈（第2  報），機械学会論文集，第8巻，第32号，昭和17年  8月

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      ，       ，

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