崎山

任意軸線形状を有する変断面アーチの座屈解析

崎 山 毅 * ・ 栗 原 和 夫 * 相 良 治 夫 * * ・ 宗 秀行***

1.

序

An Analysis of  Buck1ing of  Variable CFOSS 

Sectional Arches with Any Shape  by 

TakE:ishi  SAKIY A M A， Kazuo KURIHARA  (Department of Structural Engineering) 

Haruo SAGARA 

(Graduate Student in  Course of Structural Engineering)  Hideyuki SOU 

(Taihei Kogyo Co. 

L t

In‑Plane finite  deformation theory  of  the  rib  arch .as  a main structure  of  arch  bridge  has  been  developed  to  require  arbitrariness  and  generality  in  regard  to  loading  condition， variable  cross  section， plane Ishape of  the  arch  axis and boundary condition. 

At the  same time

， 

In  this  paper

， 

， 

， 

， 

As the resu1t of  numerical analysis concerning the buckling  load， the effect  of  span rise ratio， plane shape of  arch  axis， boundary condition  and loading  condition were c1arified 

‑ 号 言 ・ 日

アーチ系橋梁の主構として用いられるリブアーチの 軸面内座屈耐力問題に関しては，古くから数多くの研 究が行われてきている。 1900年代の初期より 30~40年

聞においては，等分布水圧荷重を受ける円弧アーチ あるいは鉛直分布荷重を受ける放物線アーチなどの

pure buckling 

に関する次のような研究が主として 行われた。

*  構造工学科

**大学院構造工学専攻

***太平工業制

 E．Gaber（1）は2ヒンジアーチ，固定アーチおよ び3ヒンジアーチに関して5支間180㎝の模型による 座屈実験を行い，既出の理論式との比較を試みた。F・

St廿ssi（2）は鉛直等分布荷重を受ける固定放物線アー チの座屈性状を理論解析した。A． Nasarow（3）は3

ヒンジ円弧アーチの座屈条件式を求め，これにもとつ く座屈強度公式を提示し，E． Gaberの実験との比 較を行っている。B． Busch（4）は固定アーチに関す る実験的研究を行い，アーチリブの断面の変化が座屈 強度に高なる：影響をおよぼすことを明らかにした。

S．Woinowsky−Kyieger（5）は3ヒンジ円弧アーチ の座屈強度を解析し，Nasarowと同様の結果を得て いる。A． N． Dinnik（6）は定断面および変断面の2 ヒンジ，固定，3ヒンジおよび単ヒンジアーチの座屈

 1960年代に至ってアーチクラウンに作用する集中荷 重に対する耐荷性能の解析問題を中心に，有限変形理 論に基ずく研究が，主として円弧アーチに関して盛ん に行われるようになった。

 A．Gjelsvik and S． R． Bodner（7）はエネルギ ー法により換矢比f／L＜0．05なる偏平な固定アーチ の飛移り座屈を理論解析し，また，実験的な解析も行

は偏平な固定アーチの分岐座屈を解析し，Gjelsvik らの実験結果との比較を行い，また水圧荷重が作用す る場合の耐荷性状をも解析している。

 H．D． Conway and C． F． Lo（9）は細長比

ゾAL2／1甥40，80なる2ヒンジアーチの座屈耐荷電を 供矢比f／L−0．0〜O．5なる場合に関して算定し，部 材軸の伸縮性の影響を明らかにした。J。V．Huddle−

ston（10）は方法論的立場から2ヒンジアーチの分岐座 屈について，two−point boundary−value problem としての解析法を提示している。D． A． DaDeppo and R． Schmidt（11）（12）は自重に対する2ヒンジ アーチの安定性に関する研究を行い，集中荷重に対す る島山性との比較から，自重の影響を無視しえないこ とを明らかにした。著者らの1人（13）も部分的分布 荷重に対する座屈二二性に関して，線形化有限変形方 程式による解析を行い，座屈モードにおよぼす撲矢比

と細長比の影響を明らかにした。

 円弧以外の軸線を有するアーチに関してJ．V．

H：11dleston（14）は文献（10）の方法を発展させ，集中

荷重に対する任意形状の軸線を有するアーチの座屈耐 霊力解析法を提示し，円形および放物線形の2ヒンジ アーチに関する解析を行った。またアーチの安定性に，

およぼす部材自重の影響について，J． S． Kennedy

and A． S． Aggarwal（15）・は偏平な固定円弧アー チの，集中荷重に対する座屈七一性能におよぼす部材 自重の効果を理論的および実験的に解析し，偏平な固 定円弧アーチの耐油性に対して，部材自重が危険側の 影響を与えることを明らかにした。

 以上のごとくリブアーチの座屈耐荷力理論は荷重条 件，変断面性，軸線形状あるいは境界条件などに関し て任意性あるいは一般性を求める方向へ発展すると同 時に部材自重の影響あるいはアーチ製作三等における 軸線の初期不整，部材軸伸縮性，せん断変形性などの 影響を含めた，より高度の理論へと発展しつつあるこ

 本研究は任意荷重の作用を受ける，変断面を有する 任意軸線形状の，2ヒンジ，固定，3ヒンジおよび単 ヒンジアーチに関して，部材軸伸縮性およびせん断変 形を考慮した座屈耐荷力解析を行うものである。

2．基礎方程式の誘導  1）有限変形方程式

 変形状態におけるアーチの弧長ds＊および曲率半径 R＊を有する任意の微小部分に関する，平衡条件は図

1を参照して，次の3式にて表わされる。

P

Fig．lArch element

霊＋餐。＋P＊一・

器r冬＋q＊一・

灘一石一m・一・

（1．a）

（1．b）

（1．c）

 ここにM，NおよびQはアーチの任意断面におけ る曲げモーメント，軸力およびせん断力でありp＊

およびq＊，m＊は微小部分ds＊に作用する法線方向

および接線方向の分布荷重強度，分布モーメント荷重

 変形前のアーチの弧長および曲率半径をそれぞれ dsおよびRとし，はじめに微小部分dsに作用してい た法線方向および接線方向荷重強度，分布モーメント

P，q， mとの関係は，荷重方向が変形前後において 変らないものとして図1より次式のごとく求まる。

アーチ部材軸のたわみ角をθとして

   q＊＝psinθ十qcosθ     （2．b）

   m＊＝m       （2．c）

 任意形の軸線を有するアーチの変形状態での微小部 分ds＊は十分正確に円弧とみなすことができる。そ の中心角をdφ＊とすれば，変形アーチの任意点の曲 率は

  毒一譲一辛，讐 （3）

ここに，εはアーチ部材軸の歪を表わす。図1より，

φ＊＝θ＋φであるゆえ

  誓一濃＋一農一一諾＋濃一（4）

式（3）および（4）より，次の関係が誘導される。

  蓄一転（  dθRds十⊥）（5）

 また，変形前後の微小部分dsおよびds＊の中心角 dφおよびdφ＊の間にdφ＊≠dφなる近似関係を認めれ

       R＊

    ds＊「更一d・   （6）

 式（2．a）〜（2．c）および（3）〜（6）を用い れば，平衡条件式（1．a）〜（1．c）は次の諸式のご

とく書き改められる。

   讐＋暑＋（・・…一・・i・・）（1＋の

      （7．a）

  壽一一審＋（・・i・・＋・・…）（・＋・）

      dθ        ／

      （R−aξ一十1）＝0        ／

      （7．b）

  寒一《百＋m）（1＋の／（R一器＋・）一・

      （7．c）

 2）有限変形方程式の線形化

平衡条件式（7・a）〜（7・c）はθ≒・0およびε《1 であることより

  1＋ε÷1      （8．a）

  ・・…（1＋・）／（R審＋・）＊1−R一壽（8・b）

  ・i…（・＋の／（R塞＋・）÷・ （8・c）

  （・＋・）／（R暑1＋・）÷・ （8・d）

なる近似関係を用いれば次式のごとく線形化される。

  碧一＋一興＋・（     dθ1−R     ds）一・・一・（9・・）

  蓄一書＋・・＋・（・一R墓）一・（9・b）

  薯一一百一m一・   （9．c）

 3）断面力と変形量との関係

変断面任意形アーチの断面力Q，N， Mとたわみ角θ およびアーチ軸法線方向，接線方向変位u，wとの闇 には，部材軸伸縮およびせん断変形を考慮して，次の

  巫一一EI（・）普   （1・． a）

  鞘口EA（・）（暑薯一濃）） （…b）

  三一G箏s）（薯膿「・）（…c）

ここに1（s），A（s）， E， Gおよびκはそれぞれ断面

2次モーメント，断面積，弾性定数，横弾性定数およ

 4） 基礎微分方程式の無次元化

 変断面任意形アーチの座屈耐与力問題の基礎微分 方程式（9．a）〜（9・c）と断面力と変形の関、係式

（10．a）〜（10．c）の無次元化を行う。

 アーチ軸長，アーチ支間，基準断面2次モーメント および基準断面積をそれ：それ4，L∫IoおよびAo

として

      （ll．a）〜（ll．f）

  Q一一一距N一一登語M…翻

  一÷可u一士瓦・一一老・

なる無次元量を導入すれば式（9．a）〜（9．c）およ び（10．a）〜（10．c）は次式のごとく無次元表示さ

れる。

  寄＋論N一（ユ『丹｝鷹

      ＋ 今一・（・2・a）

  昏論Q一座一〔1一嬰

       審〕畿一・（・2・b）

  dM      mL2

  可「ンQ＋ツEI「0   童⇒．聖LM

  dη

      1（η）

  壁一⊥。＿⊥，坐N

      a2 A（η）

  dη

      R（η）

  号一一論w＋ 一毒島Q

ただし・・一』

狽k2・・一子・・r岳

3．離散的一般解

（12．c）

（13．a）

（13．b）

（13．c）

 部材軸線形状および変断面性状に任意性を有するア ーチについて，部材軸伸縮性およびせん断変形を考慮 した座屈耐荷下問題に関する基礎微分方程式は一般 に，アーチ部材の曲率半径R（η），アーチ軸接線の傾 斜角φ（η），部材断面積A（η）および部材断面2次モ ーメント1（η）などに関する量を変数係数とする多元 連立微分方程式となる。アーチ部材の幾何学的諸量お よび荷重形態に一般性を保持したまま，これらの変数 係数連立微分方程式の解析解を一般的な形で求めるこ とはできない。したがって，本研究においては，①微 分方程式の積分方程式への変換，と②積分方程式の近 似解法の応用とにより，変数係数多元連立微分方程式 の，アニチ部材等分点における離散的一般解を求め た。なお，各種平面曲線アーチの幾何学的諸量は本文 末のAppendixに示す。

 任意軸線形状を有する変断面アーチの座屈耐活力方 程式のm等分点iにおける離散的一般解は次式となる。

Qi Ni

Mi

θi

Wl Ui

ll：1：：書：：1：：1：：1：淑曾訓＋

c、、q2、c3、c、ic5ic，、 M。

dli d2id3」d4i d5id6i  θo

／ll激lll l：：1：：1：l／／激

         （14．a） 〜 （14． f）

ただし，

       i

…一…一 ｰ…

      j＝1

a7j b7i C7i

d？i

        Po      Po

…一・・…一一…看，…一一・・α・・

童．塾一λ，，。、。一一、。，。一塾一、1，。，。一。，。一。，

6 Po         Po      i

…一・・2

ｰ］・・j一計     」＝O

｛一音b・・＋・・与寺

↓・・C・・＋・退上・・d・・｝

       i

一＋ ^{梶G、傷・｛÷一暑}

      暑・2C・・＋・一計・2山・｝

  b1・一…舌，b・・一・・b・・一一・・α・・｝

  率一λ・，b、。＿、α、。き一λ・，b、。＿b，。一〇，

   Po      Po

        i

  b・・＝以㍉乱・・」音

       i

…一…＋・Σ・・」a、・

      j−1

  clo＝レαio， c20＝0，c30＝1， c40＝c50        i

   一…一・・…一一慧2・Σ・・」舞       j−0

瓜・一山・

・ｩ・｛抽

  dlo＝d20＝0， d30＝ンαio， d40一ユ，

  d50＝d60−d70＝0

一・＋ 且ｷ傷・｛畜一÷飽・｝

  e・・＝0・e・・＝一α・・一評「・e・・＝e・・＝0・

      4

  e・・＝1・e・・＝α ・瓦「・e・・＝0

−1−

^{褐T・｛畜一岐・＋毒}

      舞…｝

       レ

  f・・＝一房・…f・・＝f・・＝0・f・・＝・α…

   f・・一一…舌・f・・一・・f・・一・

   ・2一響…j・雛翻貝樋み係数

4．座屈条件式

 任意の境界条件を有する変断面任意形アーチの座屈 条件式は，離散的一般解を用いて，通常の境界値問題 的手法で求めることができる。一例として，対称荷重 が作用する場合，次の結果をえる。

（1）固定アーチおよび2ヒンジアーチ

 アーチクラウンが第s分割点にあるものとすれば，

  a）固定アーチ

    i）対称型

    θ。一w。＝u。＝0，Qs＝θs＝Ws＝0     座屈条件式  alsa2sa3s［一〇       dls d2s d3s       els  e2s  e3S   ii）逆対称型

    θo＝Wo＝Uo二〇，Ns＝Ms＝Us＝0     座屈条件式  b、sb2sb3s −O       CIs C2s C3s       fls  f2s  f3s b） 2ヒンジアーチ

  i）対称型

    M。＝w。＝11。＝0，Qs−Ws＝θs＝O     座屈条件式  a、sa2sa4s −0

ii）逆対称型

dls d2s d4s els e2s e4S

Mo＝Wo＝Uo＝0，Ns＝Ms鵡Us＝0 座屈条件式 bls b2s

C1、s  C2s

fls f2s b4s

＝0

（2） 3ヒンジアーチおよび1ヒンジアーチ   対称荷重に対する3ヒンジアーチおよび1ヒンジ  アーチの逆対称型の座屈耐荷力特性は，それぞれ2  ヒンジアーチおよび固定アーチの特性と全く同じで  あるゆえ，ここでは対称モードに関する座屈耐荷力

  中間ヒンジ断面が第s等分点にあるものとすれば，

 a） 3ヒンジアーチ

      Mo＝wo＝uo＝0，Ms＝ws＝0，

      Qs・cosθs十Ns・sinθ＝0

 座屈条件式は次のごとく誘導される。s点におけ る，曲げモーメントM，，接線方向変位Ws，および

 Ms−cls・Qo十。2s・N。＋c4s・θ。十。7s・λ2−O

       （15．a）

 ws＝e、s・Q。＋e2s・N。＋e4s・θ。＋e7s・λ2＝o

       （15．b）

 θs＝dls・Qo＋d2s。N。＋d4s・θo十d7s・λ2 （15．c）

連立方程式（15．a）〜（15・c）を解き，次のごとく

Q。一α、、・λ2＋α12。θs

No＝α21●λ2十α22●θS θ0＝α31・λ2十α32・θS ただし．

・・1一

ｾ隠：：：：1：：

    后，、d，、d、s

，

   1

（16．a）

（16．b）

（16．c）

C2s C4s e2s e4s

  一11

  D．

  一1

  D

D＝

ldls d2S d4、

ClsC7sC4s else7se4s dlsd7sd4s ClsC2sC7s else2se7s d1、d2sd7s

 C2s C4s  e2s e4S

α22一⊥！・… ρ…

   DelsO、e4S

，      Idls l  d4s

。、、一⊥i…c・・・…

，D ^M1：瓢

 C7、・λ2−C7、

 e7、・λ2＝e7、

 d？s・λ2＝d7s

 一方，中間ヒンジ断面におけるせん断力Q、および 軸力N・は，次式となる。

   Q、一a、、・Q。＋a2，・N。＋a4，。θ。＋a7、・λ2

       （17．a）

   N、＝b1、・Q。＋b2、。N。＋b4、。θ。＋b7、・λ2

       （17．b）

 式（17．a）および（17，b）に式（16．a）〜

 （16．c）を代入し

  境界条件 Q、・cosθ、＋N・・sinθ・一α

 を書き換え次式をえる。

   λ2（δ11・Sinθ、十δ12・COSθs）十θs・（δ21・Sinθs十       δ22・cosθ、）一〇 （18）

 ただし，

 δ11＝α11・bls十α21・b2s十α31・b48十b7s，

 δ12＝＝α11●als十α21●a2s十a31・a4S÷a7S，

 δ21＝α12。bls十α22・b2s十α32・D4s， b7sλ2＝b7S  δ22＝α12・a1S十α22●a2S十α32●a4S  a73λ2＝a7s

 ここで，たわみ角θsは微小量であるゆえ，COSθS÷

1，sinθs≒・θsとすれば，式（18）より次式をえる。

人       一 一 一

britical Loadλ1

@       ㍗

里E1●Cτitical Load 執璽

¥  葡  一  一  一

鋸

  Fig．2 Load−Deformation Curve

  δ21・θs2十（δ22十λ2δ11）●θs十λ2δ12＝0 これより

・・一

     ソ（δ22＋・・δu）・一4・・δ・2δ・・｝

（ユ9）

（20）

をえる。

 式（20）は荷重パラメーターλ一y／P。L3／Eπと中 間ヒンジ点の左側断面におけるたわみ角θ・との間の 図2に示すごとき関係を与える。すなわち式（20）

の右辺の平方根の中の値をDとすれば，D＞0なる場 合は図2における（λ〈λ1，λII＜λ）なる範囲1に対応 し，同一荷重に対して，安定なつり合い状態と不安定 なつり合い状態が存在する。またDぐ0の場合は，

図2のλ1＜λ＜λIIなる範囲∬に対応し，平衡状態は 存在しえない。そして，範囲1とHとの境界におい て，D−0となり，これに対する荷重ゾP。L3／EI。

は，広義の座屈荷重とみなされる。したがって，3ヒ ンジアーチの座屈耐荷力は次の条件式

   D冨（δ22十λ2δ11）2−4λ2δ12δ21＝O   （21）

により算定されることとなる。

 b） 1ヒンジアーチ

    θ。一w。一u。一〇，Ms−Ws−0，

    Qs・cosθs＋Ns・sinθs＝0

 1ヒンジアーチQ座屈由仁式は，3ヒンジアーチの 場合と同形の式（21）にて与えられる。

  ただし，

  δ11・＝α11bls十α21b2s十α31b3s十b7s   δ12＝α11a1S十α21a2S十α31a3S十a？S   δ21＝α12bls十α22b2s十α32b3s，

  δ22口α12a1S十α22a2S十α32a3S     −1一           1

  α11＝万    α・2「ヲ

  一1

  D

…一 ｾ

    1d、，d、s万7S

D＝

   1・OAD TYPE I      LOAD TYPB 1 〔HALF）

｛工［［；［［；［［［［［［｝｛工［E工｝

   LOAD TYPEπ  L・AD TYP班（HALF）

《二翁忌一＼

LOAD TYP且廠 LOAD TYPE皿   〔HALF〕

C 7s C2s 

e7se2s e3S d7、d2sd3s ClsC7sC3s else7se3S

dls d7sd3s

else2se7S

Cls C2s C3S els e2s e3S

dlsd2s d3s

5．座屈耐重力特性

，

，

   1 α22 uヲ

   1

磁

Fig．3 Loading Condition

oc，sc、・1 0 e2s e3s

l d2sd3s

cls O c3s els O e3s dls l d3s cls c2s O els e2s O dls d2s l

 得られた3ヒンジアーチ，2ヒンジアーチ，ユヒン ジアーチおよび固定アーチの座屈条件式を用いて，図 3に示すごとき荷重載荷形態 ①法線方向等分布荷 重，②水平単位長当りに荷重強度p。を有する等分布 荷重，③単位弧手当りに荷重強度p。を有する等分布 荷重のもとで，カテナリー，サイクロイド，放物線お よび円弧を軸線とするアーチの座屈耐荷力を算定し

L

Fig．4 Cycloid， Circle， Catenary and     Parabola Curves

た。なお荷重載荷形態①，②および③をload type I，Ioad type∬，および10ad type皿と称すること

 また，円弧，放物線，サイクロイドおよびカテナリ ーの4平面曲線の外形比較を換矢比f／L−0．3の場合 について，図4に示す。

 図5はload type I，皿 および皿の荷重を，全 載する放物線アーチの座屈二三力ゾp。L3／EI。と操矢 比f／しとの関係を3ヒンジ，2ヒンジ，1ヒンジおよ び固定アーチについて示したものである。これより，

 1）固定アーチが最も座屈耐労力が大きく，1ヒ ンジ，2ヒンジ，3ヒンジアーチの順に小さくなり，

棋矢比f／L−0．2〜0．3で各々のアーチにおける座屈

 2）荷重形態が耐荷力におよぼす影響は棋矢比 f／L−O．1ではほとんどないが，操矢比が大きくな るにつれ，その影響は大きく表われ，耐荷力は10ad type lが最も小さく，1oad typd皿：，10ad typd豆

の順に大きくなる。

 図6（a）（blは放物線，円弧カテナリーおよびサイ クロイドを軸線とする固定アーチ，2ヒンジアーチ，

3ヒンジアーチおよび1ヒンジアーチにload type I の荷重が二二する時の座屈下荷力｝／p。L3／EI。と供矢 比f／しとの関係を示す。これより，

 1） アーチ軸線の形状が座屈耐勢力におよぼす影

響は，挨矢比f／L−0．1ではほとんどないが，操矢

比f／L＝0．2〜0．3においてはその影響は，2ヒンジ

アーチが最も大きく表われ，固定アーチ，3ヒンジア

一チ，1ヒンジアーチの順に小さくなる。

黒

10．O

5。0

a冨2◎0     ，！！

   〆

  ／

！！

   一 ●■P、

ノ        、

へ

＼

、

＼

              、

      ノ       

一  、       ＼

   LOAD TYPE 1

＿＿＿一＿ 工OAD TYPB竃

＿＿＿ LOAD TYPE璽

ao

50

a＝200

1−hinge

3−hinge

Cyclold

Cycl◎kゴ

Circle

Catenary Rarabola

Circle C猷enary

臣隔bola

 α0 0．1 0．2 Q3 Q4 0．5 f／L Fig．5 Relation between Buckling Load

CLO     Oj   α2   0．3   0．4    f／L

Fig．6 （b）Re圭ation between Buckling Load

100

a＝200

Fix

    Catenary Cydold    Parabda       Circle

5，0．  2−hinge

Cycloid

αrcle

Ca竃enary

R｝rabob

O：σ．『

p1・Q203 α4 ，／、

Fig．6（a）Relation between Buckling Load

 2）操矢比f／L−0．2〜O．3で2ヒンジアーチお よび3ヒンジアーチの耐荷力は，サイクロイドが最も 大きく，円弧，カテナリー，放物線の順に小さくな り，1ヒンジアーチおよび固定アーチにおいては，

カテナリーが最も大きく，放物線，円弧およびサイク

 図7は，円弧アーチにload typeI，五および 血の荷重が半載および全載する時の，座屈耐与力 ゾP。L3／EI。と撲矢比f／しとの関係を2ヒンジアーチ および固定アーチについて示したものである。これよ

り，

 1）半載の時も，全載と同様，座屈耐庫入は2ヒ ンジアーチの方が大きく，また，f／L−0．1において は荷重形態が耐荷力に与える影響はほとんどなく，

供矢比が大きくなれば，その影響は一般的に大にな

 2）供矢比f／L−Q．1においては，2ヒンジアー チおよび固定アーチともに耐荷力は半載が大きいが，

2ヒンジアーチにおいて操矢比が大きくなるにつれ，

全載が大きくなる傾向がある。

 3）半載荷重を受ける固定アーチの座屈耐荷力 は，全載荷重を受ける場合と同様にIoad type Iが 最も小さく，10ad type皿，10ad type皿の順に大き くなる。また，半載荷重を受ける2ヒンジアーチの座 屈耐剛力は，全載荷重を受ける場合とは異なり，load type皿が最も小さく，load type l，10ad type∬

の順に大きくなり，全載の場合における10ad type I

100

5．0

 エ   し      

a濫200

    ノ

  しド しむ  

庶／

   ／

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HALF LOAD ／  2−hinge∠，

   ゐz

   ，    

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／r軸＼

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   LOAD TYPE 1

一＿＿一一LOAD TYPE璽

．＿＿＿ LOAD TYPE圃

 00 0コ Q2 0．3 α4  f／L Fig 7 Relation between Buckling Load

10の

5．0

＆留200

HALF LOAD  Fix

／／

  ，ケ

／，／

   ノ

つ＼

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 二／一  ＼

〃

  じ  

   CIRCULAR ARCH

一畳輌噛■一一

bYCLOTn  ARCH

62鱒一一一一bATENARY ARCH c＼、

＼

とload type皿が入替ったものである。

 図8は放物線，円弧，カテナリーおよびサイクロ イドを軸線とする2ヒンジアーチおよび固定アーチ に，10ad typeIが半載および全載する時の座屈耐荷 力1／P。L3／EI。と供矢比f／しとの関係を示す。これ

より，

 1）半載の時も全載と同様，洪矢比f／L＝0。1に おいては，軸線形状が座屈耐荷引に与える影響はほと んどなく，供矢比が大きくなれば，一般的にその影響

 2）操矢比f／L−O．1一においては，2ヒンジアー チ，固定アーチともに半弓の場台が座屈蔽荷力は大 きいが，洪矢比が大きくなれば，2ヒンジアーチの場 合，心止の耐過力が大きくなる傾向がある。

 3） 2ヒンジアーチの半載においては，全載と同 様，耐荷力は放物線が最も小さく，カテナリー，円 弧，サイクロイドの順に大きくなる。また，固定アー チの半長においては，全載の場合と異なり，操矢比 f／L＝0．2〜0．3において，座屈耐荷力はサイクロイ ドが最も小さく1円弧，カテナリー，放物線の順に大 きくなり，全載の場合の放物線とカテナリーが入替っ

 得られた結果を要約すれば，任意軸線形状を有する

αbコα2α3。為 ，／、

Fig．8 Relation between Buckling Load

アーチの耐一筆特性に関してつぎの事柄が明らかとな

った。

 1）挨矢比f／L＝O．1より小さい，いわゆる，偏 平アーチにおいては，軸線形状および荷重載荷形態が 座屈耐荷力におよぼす影響はほとんどない。この場合 には，ヒンジ数の違い，つまり，アーチタイプの違い による影響のみを受け，その耐荷力は固定アーチが最 も大きく，1ヒンジアーチ，2ヒンジアーチ，3ヒン ジアーチの順に小さくなる。

 2）高ライズアーチにおいては，耐荷力におよぼ す軸線形状および荷重載荷形態の影響は大きく表わ れ，2ヒンジアーチおよび3ヒンジアーチにおいて，

放物線が最も耐強力が小さく，固定アーチ，1ヒンジ

10ad tyde Iの荷重が作用した時が，最：も耐荷力は小

 3） ヒンジ端をもつアーチにおいては，端部の回

転が自由なため，水平方向の変形が生じやすく，アー

チクラウンにおいて，最も尖った形をもつ放物線アー

チの耐荷力が最も小さく，また，固定端をもつアーチ

においては，端部の回転が拘束されるため，アーチの

上下方向の変形が生じやすくなり，中央部分において

平らなサイクロイドアーチの耐荷力が最も小さくな

る。

6．結  語

 任意荷重の作用を受ける任意軸線形状の3ヒンジア ーチ，2ヒンジアーチ，1ヒンジアーチおよび固定ア ーチに関して，部材軸伸縮性およびせん断変形を考慮 した座屈志和力解析を行った。解析にあたっては，① 微分方程式の積分方程式への変換，と②積分方程式の 近似解法の応用とにより，変数係数多元連立微分方程 式の，アーチ部材等分点における離散的一般解を求め た。この離散的一般解を用いることにより，任意の境 界条件を有する変断面任意形アーチの耐荷力問題を，

通常の境界値問題的手法で解析することができた。

 数値計算は本学FACOM 270−30によった。

参考文献

（1）S．Timoshenko， Theory of Elastic Sta−

 bility， P．297，1936

（2）平井 敦，鋼橋皿，p．784，1967

（3）A．Nasarow， Zur Frage der Knicksiche−

 rheit eines Bogens， Bautechnik， Jahr．14，

 Heft 7，1936， PP．1ユ4−1］，5

（4）・平井 敦，鋼橋皿，p．785，1967

（5）S．W．Krieger， Uber die Stabilitat des  Kreisbogentragers mit Zwischengeienken，

 Stahlbau， Jahr． 10， Heft 24， 1937， PP・185

 −188

（6）S．Tirnoschenko， Theory of Elastic Sta−

 bility， p．300，1936

（7） A．Gjelsvik and S・R．Bodner， The Energy

 Criterion and Snap Buckling of Arches，

 Proc． ASCE， EM 5，0ct．，1962， pp．87−134

（8）H。L，Schreyer and E．F．Masur， Buckling  of Shallow．Arches， Proc． ASCE， EM 4，

 Atlg．，1966， PP．1−19

（g）H．D．Conway and C．F． Lo， Further Stu−

 dies on the E王astic Stability of Curves

 pp．707−718

（1① J．V． Huddleston， Finite Deflection and

 Snap−Through of High Circular Arches，

 Jour． ApPL Mech．， December，1968， PP．

 763−769

（11＞D．A． DaDepPo and R． Schmidt， Stability

 of Heavy Circular Arches with Hinged，

 Ends， AIAA Jour． Vo1．9，No．6，1971， pp．1200

 −1201

（1助 D．A． DaDepPo and R．Schmidt， Stability

 of Two−Hinged Circular Arches with Inde−

 pendent Loading Parameters， AIAA Jour．

 Vol．12， No．3，1974， pp．385−386

⑬ 崎山 毅，2ヒンジ円弧アーチの面内座屈特性に  関する研究，土木学会論文報告集，第217号1973，

 1〜10頁

（1の J．V．Huddleston， Nonlinear Analysis of  Steep， Compressible Arches of Any Shape，

 Jour． ApPl． Mech． Decem．1971， PP．942−

 946

（1励 J．S．Kennedy and A．S．Aggarwai， Effect  of Weight on Large Deflections Arches，

 Proc． ASCE， EM 3，、 June，ユ971， PP．637−

 644

〔Appendix）

 各種平面曲線アーチの幾何学的諸量

 各種の平面曲線を軸線とするアーチの解析において は，任意点の曲率半径および水平軸と接線のなす角，

すなわち傾斜角をあらかじめ求めておく必要がある。

 図9に示すごとき，円，サイクロイド，カテナリ

り罵0

．町  り■05

φ φ

f

o 6

L

R

、

φφ

o o

司

Fig． g Arch of Arbitrary Plane Shape 一および放物線を軸線とするアーチに関して，その幾 何学的諸量は次の各式で与えられる。

（1）円弧アーチ

毒・・an−1（、i 4f／L証一4（f／L）の一州・

 φ（η）＝α（1−2η），4＝2Roα， L＝2Rosinα，

 f＝Ro（L−cosd）

 円弧アーチにおける，操矢比f／しと半開角αお

Table l Geometrical Properties of Arch       Axis（Circle）

f／L 0．1

α 0．394791 0．761013 1．080839 1．349482 ^π／2

〃L 1．026457 1．103469 1．224951 1．383219 ^π／2

よび弧長弦長比4／しとの関係は表1に示すとおり

である。

（2）サイクロイドアーチ

論＋・・＋÷・・t・α）港，

φ（・）一・・s一・ i2撃・i・・）・4−2R・si・傷

L与（2α十sln2α）・f一与（・一…2・）

 サイクロイドアーチにおける，撲矢比f／しと半 開角αおよび弓長弦長比4／しとの関係は表2に示

Tabie 2 Geornetrical Properties of Arch       Axis（Cycloid）

f／L 0．1

配 0．4∩0235

〃L 1．026602 1．105956 1．240447 1．273240

（3）カテナリアーチ   4     2tanα

φ（・）一・・ざ・｛（論÷・…）告｝・4−2R加

 f＝Ro（secα一1）

 カテナリアーチにおける，洪矢比f／しと半開角 αおよび弧長弦長比〃しとの関係は表3に示すと

おりである。

Table 3 Geometrical Properties of Arch      Axis（Catenary）

f／L

0．5

α 0．384967 0．697707 0．921061 1．073698 1．178574

〃L 1．026187 1．099718 1．209410 1．344189 1．495834

（4｝放物線アーチ

 放物線アーチの場合には，前3種の平面曲線アー

で表わすことができない。

調一2・一Lφ（・）一・・ざ・｛（施論）吉｝

4−2R ・n傷L−R・9（・），f一㌻t・n・α

こζに，

9（φ）≒浩＋÷4・（｝圭翻

 放物線アーチの撲矢比f／しと半開角αおよび弧 長弦長比〃しとの関係および9（α）値は表4に示

Table 4 Geometrical Properties of Arch      Axis（Parabola）

f／L

0．3 0．4 0．5

α 0．380506 0．674741 0．876058 1．012197 1．107149

〃L

LO26061

9ωし， 0．820848 1．757168 2．890433 4．267857 5．915771

T・bl・5著rVau・・f Discre・・P・i・・

     （m−20）

f／L

0．3

0 0．657016 0．836657 0．758360 0．635379 0．529122

1

4 0．752728 1．247920 1．394390 1．315600 1．160330 5 0．772224 1．367220 1．647220 1．645790 1．503520 6 0．789024 1．484690 1．941300 2．090820 2．015170 7 0．802626 1．592200 2．261830 2．672720 2．788820

8

9

Table 6 φ1 Value of Discrete Point（m＝20）

f／L

0．3 0．4

0 0．380SO6 0．674741 0．876058 1．012200 1．107150 1 0．347042 0．630734 0．835328 0．977783 1．078390 2 0．312240 0．582034 0．788309 0．937222 1．044170 3 0．276269 0．528094 0．733610 0．888459 1．002500 4 0．239172 0．468626 0．669253 0．829127

^{0．950817．}

5 0．201085 0．403326 0．593337 0．755583 0．884817

6

7 0．122188 0．254967 0．398850 0．544175 0．678873 8 0．081817 0．173129 0．277749 0．393403 0．512921

9

10 ^{0 0 0 0 0}

 撲矢比f／L＝O．1，0，2，0．3，0．4および0・5の 5種の放物線アーチの，20等分点における6／R（η）

およびφ（η）の値を，左半分について表5，表6，に