確率微分方程式の逐次近似解に関する研究

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Kyushu University Institutional Repository

確率微分方程式の逐次近似解に関する研究

川畑, 茂徳

https://doi.org/10.11501/3054285

出版情報：Kyushu University, 1990, 工学博士, 論文博士 バージョン：

権利関係：

一 一 一 一 一

確率微分方程式の逐次近似解に関する研究

川 畑 茂 徳

1 9 9 0

年

1 1

月

2 6

日

‑・・・・・・・・・・・・・・・・・・・圃‑‑‑ 一一一一‑‑‑ーー園田‑‑‑‑・E・‑‑・E・‑・・園田園園田園・・・・・・・・・・・・・・・・・E・E・‑ ‑・E・‑・E・・・・・・・・・・・・園田・・・圃園田園・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・圃圃圃圃圃圃圃園田園・・・・・・・・・・・・・・・・・2 

a圃幽白幽幽h ι 一 一~

」 池 白 " " " " ィa品位三・'"'"心山 _...込"~】 、 ‑ ‑ ‑山首‑句制 --ι ム単品~也ι正 】 魁‑ ιー 白 峰 山 、 巳 地4己 冶 一 'ぬ‑巴 ‑...̲官4・a山白 、品且B，・̲ρ ~弘官幽白血~斗ι品目也ム出...い川ムム ヶk喧半必山一1'Øf'.""~正畠・岨・・也也姐‘a個睡盆a幽・・・・・・・・・・・・・・・・・

目 次

1 序 論

1.1 は じ め に

1.2 nonanticipat.ing functionsと そ の 確 率 積 分 l.3 本 論 文 の 目 的 お よ び 構 成

3 3

5 6  

2 確 率 積 分

2.1  確 率 空 間 .

2.2 確 率 変 数 ， 確 率 ベ ク ト ル ， 確 率 過 程 . 2.3  ブ ラ ウ ン 運 動

2.4 伊 藤 積 分 . 2.5 伊 藤 の 公 式

2.6  S.tratonovich積 分

9

9 9 1 2 4 6  

114噌Ii叶︐i噌Ei

3 確 率 微 分 方 程 式

3.1  解 の 存 在 定 理 と一意 性 条 件 .

，3.2  比 較 定 理 . 3.3  解 の 爆 発 問 題 3.4 解 の 安 定 性

3.5  確 率 微 分 方 程 式 の 解 法

円tウ

I 1 i 1 i

勺L A i

1 1

2 2 2 2  

4 確 率 微 分 方 程 式 の 解 の 安 定 性 4.1  問 題 の 定 式 化

4.2  芋 要 な 結 果

4.3  具 体 例

4.4  解 の 安 定 性 に 対 す る も う 一 つ の ア プ ロ ー チ

1 i 1 i

ヮ

00

っ ︐ ︐U

3 3 3 3 4  

4.5  非 線 形 フ ィ ル タ ー へ の 応 用 .• 51 

5 確 率 微 分 方 程 式 の Picardの 逐 次 近 似 解 57 

5.1  問 題 の 定 式 化 58 

5.2  ^{定 理 の 証 明} 60 

5.3  1次 元 の 場 合 65 

5.4  逐 次 近 似 解 に 対 す る も う一つ の ア プ ロ ー チ 66 

6 確 率 微 分 方 程 式 に 対 す る Newton法 83 

6.1 準 備 84 

6.2 Gateaux微 分 85 

6.3  確 率 微 分 方 程 式 に 対 す る Newton^{法 .} 88  6.4  Newton法 に よ る 近 似 解 の 大 域 的 収 束 条 件 93 

7 結 論 101 

7.1 要 約 . .  101 

7.2  問題点、と今後の課題 103 

2 

Chapter  1 

序 論

1 . 1   はじめに

確 率 的 な 項 を も っ 微 分 方 程 式 の 研 究 は 物 理 学 ? 工 学 ? 生 物 学 等 に お い て 非 常 に 重 要 と な っ て い る . 現 象 の ラ ン ダ ム な 側 面 を 積 極 的 に 考 慮 し て 系 の 時 間 的 ， 空 間 的 変 化 に一定 の 法 則 を 見 出 し て ， こ の よ う な 系 を 数 学 的 に 研 究 す る 手 段 が 発 展 し て き た.常 微 分 方 程 式 に よ っ て 記 述 さ れ る 系 に お い て は ， あ る 時 刻 に お け る 状 態 が 決 ま る と そ れ 以 後 の 状 態 は 一 意 的 に 決 定 さ れ る.こ れ に 対 し 例 え ば ラ ン ダ ム な 環 境 に よ っ て 系 の 状 態 変 化 が 影 響 を 受 け る と き ， 状 態 の 変 化 は 偶 然 に よ っ て 左 右 さ れ ， し た が っ て あ る 時 刻 の 状 態 が 定 ま っ て も ， そ れ 以 後 の 時 刻 に お い て は 種 々 の 状 態 が 可 能 で あ って そ の ど れ が 実 現 す る か は 確 率 的 に し か 述 べ る こ と が で き な い.こ の よ う な 系 の 数 学 的 モ デ ル は 確 率 過 程 と よ ば れ る.

確 率 過 程 を 記 述 す る 方 程 式 と し て 常 微 分 方 程 式

2 = ^{バ t ，}

^{x)  ︐a E︑︐︐︑ 11i  ム11 ︐︑︐︑ . ︐ ︐}

の 代 わ り に

生 =f

(t、X

，

y)  dt 

︑I EI

Jq/︼

11よ〆'aE︑

を考 察 し な け れ ば な ら な い.ここで y= (y(t))例 は あ る 確 率 過 程 で あ る.こ の よ う な ラ ン ダ ム な 項 を も っ 微 分 方 程 式 を と り 扱 う と き二つ の 場 合 を 区 別 す る 必 要 が あ る.一つ は 微 分 方 程 式 に 現 れ る ラ ン ダ ム 項 が 十 分 滑 ら か " で あ っ て ， 通 常 の 常 微 分 方 程 式 の 手 法 が 適 用 で き る 場 合 で あ る.通 常 の 微 積 分 の概念、を こ の よ う な 微 分 方 程 式 に 適 用 で き る よ う に 再 定 式 化 す れ ば よ い.Ladde‑Lakshrnikanthan[25]では san1pleLe besgue積 分 やp乗 平 均 Lebesgue

積 分 を 定 義 し ，こ の よ う な と り扱 い方 を salnplecalculus， L² calculusと よ ん で い る.もう

3 

一 つ は whitenoise型 の 確 率 過 程 の 項 を 含 む 微 分 方 程 式 の 場 合 で あ る . こ の と き 通 常 の 常 微 分 方 程 式 の 手 法 は 適 用 で き ず 新 し い 手 法 を 開 発 し な け れ ば 、 な ら な い .

方 程 式 (1.2)には二つ の 問 題 点 が あ る . 一つ は 解 が 単一の 関 数 で な く 確 率 過 程 で あ る こ と.二つ 目 は y(t)が一般 化 さ れ た 関 数 ( 超 関 数 〉 の 場 合 に は ， 各 々 の 軌 跡 に 沿って の 常 微 分 方 程 式 の 系 と み な す こ と が で き な く な る . 特 に (1.2)式 が つ ぎ の 形 に と き に 問 題 が 生 じ る .

ZZ=f(tFZ)+g(tJ) N ( t ) ( 1 3 )   dt 

ここに JV(t)は 白 色 ガ ウ ス 雑 音 過 程 で あ る . (1.3)式 の 最 後 の 項 は 力 学 系 dx/dt= f(t

， 

x)に ラ ン ダ ム に 働 い た 力 と み る こ と が で き る . (1.3)式 の 素 朴 な 原 型 と も い う べ き も の は 物 理 では 1908年 に Langevin

[ 2 6 J

の ブ ラ ウ ン 運 動 の 理 論 に 現 れ て い る . (1.1)の 解 が 決 定 論 的 積 分 方 程 式

Z(t)=Z(to)+

〈

^f(sj(s))ds

を満たすのと同様に， (1.3)の解も

時

)=Z(to)+fhz(s))ds+fgMs))N(s)d

( 1.4) 

︑︑ ︐

'B '

Fh u 

‑ ‑

︐︐SE

目 ︑ ︑

を 満 た さ な け れ ば な ら な い . し か し 不 幸 に も 白 色 雑 音 fl(t)の 標 本 路 は 不 規 則 ( 超 関 数 ) で あ るから(1.5)式 の 右 辺 の 積 分 は ， 必 ず し も一意 的 に 定 ま っ た 意 味 を 持 た な い.いいかえれば，

い ろ い ろ 異 な っ た 積 分 を 定 義 す る こ と が で き る . ま ず 白 色 雑 音 の 積 分 B(t)= J~ N(s)dsは ウ ィ ナ 一 過 程 と し て 厳 密 に 定 義 さ れ る の で ， (1.5)の 最 後 の 項 の 代 わ り に 確 率 積 分

ル

^(s，

^の

^{))dB(s) ( 1.6)} 

を 考 え よ う . し か し B(t)の標本路は有界変動でないので(1.6)を 通 常 の Lebesgue‑Stieltjes 

積 分 と 考 え る こ と は で き な い.さらに [to)t]の 分 割

5

= {toく わ く .••

< 

tn = t}に 対 し て 代 表 点 をTkεtk[‑l， tkJ^{と す る と き}

Sn = 

L 

g(Tkl x( Tk))[B(

九)‑

B(tk‑1)J  (1. 7)  k=l 

は 151→ Oの と き 代 表 点 九 の 選 び 方 に よ っ て 異 な る 値 を も ち一意 的 に 存 在 し な い.しかし ながら ，Tkの 選 び 方 を 適 当 に 規 定 し，Sn^の二乗 平 均 極 限 が一意 的 に 存 在 す る よ う に す る こ とは可能である . 例として Jt~ B( t )dB( t)を 具 体 的 に 計 算 し て み る と よ く わ か る.B(t)の

step関 数 で の 近 似 と し て

伊入(t)=入B(tk)

+ 

(1一入)B(tk‑1)

，

tk‑1三^tく tk

を選ぶ.

ん = 玄 伊 入

( t

k‑1)

ム B ( t " . )

k=l 

=jz(BtJBti‑‑l)(Btk‑BtA:^ー1) 

+ ( 入

‑j)(Btk^一 Btkーl?

=  ~(B2(t)-B 2 (tO))+( 入 -ht(Btk 一九 ^J2

2k=1 

ム

B(九)=B(tk)‑B(tk‑1)?16￨=mpx

ム

tk

︑︑Ea︐ ︐

Fo o  

‑ ‑ 4  

r'EE︑︑

と お く と き ? 大 数 の 法 則 に よ り ，

2 ご し

1

( B

tk  ‑

B

tk̲1)2→

t  ‑ t o   ( n

→ ∞ ) だ か ら

￨jizI6=;(B2(t)‑B2(to))+(^入‑j)(t‑to) ^︑J^︑lJ

ハ 川

d

11よ〆

' ' E ︑

が な り た つ . た だ し 収 束 は二乗 平 均 の 意 味 で の 極 限 を と る . し た が っ て Wiener過 程 を 含 む 十 分 大 き な 確 率 過 程 の ク ラ ス

{Y

(t)}に 対 し て 確 率 積 分

j ; Y W B  

を 定 義 す る 際 に ， 確 率 空 間 (O，:F，

P)

の 標 本 ωε Qをパラメ ータ と し て 各 々 の 標 本 路 に 対 して通常の Legesgue‑Stieltjes積 分 に よ って 定 義 す る こ と に は で き な い . 以 下 で 確 率 積 分 の 定 義 に つ い て 簡 単 に 述 べ る .

1 . 2   nonanticipating functions _{とその確率積分}

確 率 積 分 は 非 常 に一般 的 な 設 定 の も と で 定 義 さ れ る が ， 以 後 確 率 微 分 方 程 式 の 観 点 か ら 議 論 す る .

( 1 . 9 )

式 を

1> ^{仰 (s)=~[ ゲ (t) 一的 0)] +  入 ( ‑ ; ) ( t ーら)}

^{︑EE'〆︑ ーlよ 11ム ハU ノ︑z︐ ︑}

で 表 す 入

=j

^のとき Str.atonovich積 分 と 呼 ば れ る . こ の 場 合 明 ら か に stochastic叫 uculus は 通 常 の Lebesgue‑Stieltjesca.lculusと 類 似 の も の に な る .一方伊入

( t )

が

B ( t

kー

1 )

^{に よ っ て}

生 成 さ れ る σ‑集 合 体 に 関 し て 可 測 ， し た が っ て 増 分 ム

B ( t k )

に 独 立 で あ る の は 入 =0のと きだけである.このとき伊入

( t )

^{は nona.nticip}

a .

tingと 呼 ば れ る . 定 義 さ れ る 積 分 は 入 =0の と き 伊 藤 積 分 と 呼 ば れ る .

5 

本論文では方程式(1.5) を よ り 正 確 に し て 積 分 方 程 式

州)

= x(O)

イ 山 ( 榊

^{︐ ︑ E' a〆︑ 11i  114  11ム ︑/FE︑}

を 考 察 す る が ， そ の 際 最 後 の 項 の 積 分 を 明 確 に す る 必 要 が あ る . 分 割 8= {Oくむ<...く

九=t}に 対 し 近 似 解 の 求 め 方 の ー っ と し て ，

ZAtd= [;fM 

$ 

州

= 

刈 州 丸 州

t

叫 1 ) い キ j [ : :   ^{れ川 S 、刈}

^Xo

^{吋 山 ω}

^o(

^{い川 {}

^t

xo(tn) 

=

内(tn‑1)

+ と

^lf(山

^{( t}

^n‑1)

^{) d s   + 仰}

^n‑1

^，

^Xo(tn‑1

^{) ) ( B (}

^九)‑

^B(

^九‑1)

^{】 )}

xo(t) = xo(

九)

， 

九三

tくtk+1とすると，

刈 川 州

t

け )

二 Xt句o0十

ル μ f ト ^{f パ 的 (}

^S

^{い 川}

で あ る . 極 限 x(t)= lilTIlol→o XO(t)が(1.11)をみたすためには

かの

^{))dB(s)=￨ji45}

^{川 似 ) ) 凡}

¹

^)一肌))

が な り た つ よ う に 確 率 積 分 が 定 義 さ れ て い な け れ ば な ら な い . こ れ は 前 述 の 確 率 積 分 と一 致する. 一般 に Y(t)が nonanticipa

t .

ingで あ る と き ， 伊 藤 積 分 は

fws=llizEY(tk‑1)(B(tk)‑B(tk‑1))  ^(1.12) 

に よ っ て 定 義 さ れ る.

1 . 3   本論文の目的および構成

本 論 文 は ， 上 記 の よ う な 観 点 か ら 確 率 微 分 方 程 式 を 考 察 し ， 解 の 係 数 に 関 す る 安 定 性 と 解 の 逐 次 近 似 解 の 収 束 に 関 す る 理 論 的 研 究 を 目 的 と し た も の で あ る .

以 下 ， 第 2章 で は 連 続 な 確 率 過 程 の 定 義 を 与 え ， そ の 基 本 事 項 を の べ る . さ ら に 確 率 過 程 の 時 間 的 発 展 を 記 述 す る の に 都 合 の よ い あ る Borel集合 体 の 族 に 適 合 し た 確 率 過 程 の概 念 、 を の べ る . と く に 確 率 過 程 の 理 論 で 基 本 と な る Wiener過 程 に 基 づ く 確 率 積 分 に つ い て

論 じ る . ブ ラ ウ ン 運 動 に 関 す る 微 積 分 学 と も い う べ き 数 学 理 論 は I tocalculusと よ ば れ る が ， そ の基本 公 式 で あ る 伊 藤 公 式 に つ い て の べ る . そ れ は 連 続 な 確 率 過 程 に 関 す る 解 析 を 行 う 際 の も っ と も 基 本 的 な 演 算 の 一 つ で あ る. ま た Stratonovich式 の 確 率 積 分 に つ い て も

触 れ る .

第 3章 で は 確 率 微 分 方 程 式 を 考 察 す る. ま ず 確 率 微 分 方 程 式 の 弱 い 解 と 強 い 解 の 概 念 に つ い て 論 じ る . 一 意性 に 関 し て も ， 道 ご と の一意 性 と 法 則 の 意 味 で の 一 意 性 に つ い て の べ る . 本 論 文 で は 強 い 解 の一 意的 存 在 の も と で 理 論 を 展 開 す る . そ の た め 強 い 解 の一意 的 存 在 の よ く 知 ら れ た 十 分 条 件 を の べ る . Skorohod[34]は 道 ご と の一意 性 の 証 明 で一次 元 確 率 微 分 方 程 式 に 対 す る 比 較 定 理 と も い う べ き も の を 用 い た . そ れ は一意 性 の 証 明 に 使 え る 以 外 に も 多 く の 応 用 が あ る . こ れ に つ い て も の べ る . 確 率 微 分 方 程 式 の 解 は一般 に ， 爆 発 時 間 と よ ば れ る ラ ン ダ ム な 時 間 ま で 存 在 す る . 本 論 文 で は 爆 発 時 間 は つ ね に 無 限 大 と な る 場 合 の み を 考 察 す る . しかし一般 に 有 限 時 間 で 爆 発 が お こ る か 否 か は 重 要 な 問 題 で ， そ れ に 対 す る 判 定 法 に つ い て も の べ る . 確 率 微 分 方 程 式 を 通 常 の 積 分 と 確 率 積 分 の 項 で 陽 的 に と

く こ と は一般 に 困 難 で あ る . そ こ で い く つ か の 解 法 を 論 じ る .

第 4章 で は 確 率 微 分 方 程 式 の 係 数 が 各 々 適 当 な 意 味 で 収 束 す る と き の 解 の 安 定 性 を 保 証 す る 条 件 に つ い て 調べ る . ま ず 最 初 に Lj.apunov関 数 列 の 存 在 に よ っ て 解 の 安 定 性 の 十 分 条 件 を 与 え る . 具 体 的 例 に 対 し ， Lja・punov関 数 を 構 成 し 必 要 な 条 件 を 満 た す こ と を の べ る . さ ら に 係 数 の 収 東 条 件 を 弱 め る た め に 問 題 を 再 定 式 化 し ， 主 要 な 結 果 を 導 く . さ ら に こ れ を 応 用 し て に 非 線 形 フ ィ ル タ ー へ の 安 定 性 に つ い て 論 じ る . 雑 音 の 混 入 し た 観 測 デ ー タ を 基 に し て シ ス テ ム の 状 態 を 推 定 す る 方 式 を フ ィ ル タ ー と言 うが， シ ス テ ム が 確 率 微 分 方 程 式 で 表 さ れ る 場 合 そ の 解 が 安 定 で あ れ ば フ ィ ル タ ー も 安 定 で あ る こ と を 示 す .

第 5章 で は 確 率 微 分 方 程 式 の Picardの 逐 次 近 似 の 方 法 を の べ る . 過 去 20年 間 に 道 ご と の 一意 性 を 保 証 す る 多 く の 条 件 が 求 め ら れ た . そ れ ら の 条 件 の 中 で 逐 次 近 似 解 が 真 の 解lこL²

収 束 す る こ と が 示 さ れ た 例 は わ ず か で あ る . 本 論 文 で は一般 化 さ れ た Osgood条 件 や 南 雲 条 件 を み た す 場 合 に 逐 次 近 似 解 が 収 束 す る こ と を 示 す . さ ら に Kras.nosel'skii‑1¥ rein  [20] や

Brauer[3]が 導 入 し た ク ラ ス に つ い て も 考 察 し ， こ の 場 合 に も 同 様 の 定 理 が 成 立 す る こ と を

示す.

第 6章 で は 確 率 微 分 方 程 式 の Newton法 に よ る 逐 次 近 似 解 法 を の べ る [19].確 率 微 分 方 程 式 に 対 し Newton法 を 定 義 応 用 し た 例 は 見 ら れ な い よ う で あ る. Bharucha.‑Reidと

Kanna.n [4]が一般 の 確 率 作 用 素 方 程 式 に 対 し ， Newton法 を 適 用 し た 例 が あ る . し か し 彼 ら の 研 究 は 確 率 微 分 方 程 式 を 陽 的 に 対 象 と す る も の で な い . 常 微 分 方 程 式 の 初 期 値 問 題 の 逐 次 近 似 解 を 構 成 す る Cha.plygin法 か ら 類 推 し て え ら れ る 確 率 微 分 方 程 式iこ 対 す る 逐 次 近

7 

似 解 が Bana.ch空 間 上 の あ る 確 率 作 用 素 に 対 す る Newton法 に 他 な ら な い こ と を 示 し ， 時 間 に 関 す る 局 所 的 あ る い は 大 域 的 収 束 条 件 を 求 め る .

第 7章 で は ， 結 論 と し て 本 論 文 で 明 ら か に な っ た こ と ， お よ び 逐 次 近 似 解 の 問 題 な らび に 今 後 の 課 題 等 に つ い て の ま と め を 行 う .

Chapter  2 

確 率 積 分

2 . 1   確率空間

( D

， 

F )

を可視JI空 間 と す る . 通 常 Qを 標 本 空 間 ， そ の 各 元 を 標 本 点 と い う . ま た

F

の元を 事 象 と い う . 可 測 空 間 (D，F)上 に 確 率 測 度 Pが与えられているとき， 三つ 組 (D，F， P)を 確 率 空 間 と い う .P‑測 度 Oの 集 合 の 部 分 集 合 が す べ て Fにはい って い る と き 確 率 空 間 は 完 備 で あ る と い う . 以 下 完 備 な 確 率 空 間 の み を 考 え る . あ る 可 測 空 間 (Dl'F₁₎から可視lJ空間

( D

2，F2)へ の 写 像XがFl/F2_可測であるとは Aε F2 ^{のときその逆像が ~y-l}

( A )

^εFlと な る こ と で あ る .

(D， F

，  P )

を 確 率 空 間 と す る .{Ft : 

t 

εR+}をFの 部 分 σ集 合 体 の 族 で つ ぎ の 性 質 を み た す も の と す る .

1)  む く ら な ら ば、FtlC Ft 2 ^{(単調増大性)} 2)  ns>o Ft+s = Ft  ^{(右連続性)}

3)  八(

c 

Fo

， 

ここで

M

はP‑損IJ度 Oの 集 合 全 体 このような族 {Ft}t~o が与えられた確率空間を (D，F， P; Ft)とあらわす.

2 . 2   確率変数，確率ベクトル，確率過程

(2.1 ) 

(2.2)  (2.3) 

Rの Boぱ 集 合 の 全 体 を β(R)で あ ら わ す . X:(D，F)→ (R，s(R))が 可 測 で あ る も の を 確 率 変 数 と い う.確 率 変 数 Xが 測 度 Pに 関 し て 積 分 が 定 義 で き る と き ， そ の 積 分 を

E[X]で あ ら わ し ，Xの 平 均 と い う.す な わ ち

E [ ̲ X ] こ か

^(ω)

^{叫 )}

9 

有 限 個 の 確 率 変 数 の 組 X= (/.yl， X2

，  . 

^.・ぅ"̲yd)を 確 率 ベ ク ト ル と い う . 時 間 Tをノマラメ ー ターに も つ 確 率 変 数 系 ま た は 確 率 ベ ク ト ル 系 ./yt

， 

tε Tを 確 率 過 程 と い う . 標 本 点 ωを 固 定 す れ ば、X(t，ω)，tε Tはtの 関 数 で あ る . こ れ を 標 本 路 (san1ple paths )という .T

からRdへ の 写 像 の 全 体 を (Rd)Tで あ ら わ す . 空 間 (Rd)Tは 時 間Tが 経 過 す る と き に 生 じ 得 る 軌 道 全 体 の 空 間 で あ る . 標 本 路 は Tから R^dへ の 写 像 で あ り ， )C(t，ω)は 瞬 間 tにお け る 軌 道 ωの 状 態 で あ る .

X(t)、tεTを以後連続ノマラメ ーターの 確 率 過 程 と す る . 任 意 の ε>0に対して，

?nP(iX(t+

九 )‑

X(t)1 

>

ε)ニ O (2

. 4 )  

を み た す と き ，̲X(t)は 確 率 連 続 で あ る と い う ."̲Y(t)ε LPで1unh→oIIX(t+九)‑X(t) 

I I p  

⁼ 

Oをみたすとき， LP一 連 続 で あ る と い う . た だ し p

三

1で E[1 

Y I

^P] <∞ を み た す 確 率 ベ ク ト ル の 全 体 を LPで あ ら わ す . LPの ノ ル ム を

1 1

 

Y l l p  

= 

E [ I   Y 門 戸 ( 2 . 5 )  

に よ っ て 定 義 す る .

定 義 2.1ほ と ん ど す べ て の ωに 対 し て ， 標 本 路 "̲Y(t，ω)が 連 続 の と き ，X(t)は 連 続 な 確 率 過 程 と い う .

確 率 空 間 (01

，

F1

，

P)か ら 可 測 空 間 (02

，

F2)へ F1/Fγ可 測 な 写 像 Xが あ る と き Px(A) 

= 

P{ω;./Y (ω)ξ A} 

= 

P(X

ε

A)， A

ε

F₂ 

に よ っ て 定 義 さ れ る

( 0

2

， F

2)  上 の 確 率 測 度 Pxを 像 測 度 (i^l11age 111eaSUre ) ま た は X

の 分 布 と い う . X = (X(t))の と き 確 率 過 程 の 分 布 と い う . 二つ の 連 続 な 確 率 過 程 X = (X(t))

，

X = (X(t))に対し， 円(=Pxがなりたつとき， /.Yと 文 は 同 法 員11の 確 率 過 程 で あ

るという. XとXが同法員11で あ る た め に は ， そ の 有 限 分 布 が一致 す れ ば 十 分 で あ る . で X= (X(t))の有限分布とは， 0三 むくらく ...< 九 に 対 し ，

ω ε 0→ (./Y(t1

，

ω)

，

X(t2

，

ω)

， . . . ，

X(t_n

，

ω))ε R^nd 

で 定 義 さ れ る nd次 元 確 率 変 数 の 分 布 の こ と で あ る .

にー にー

2 . 3   ブラウン運動

始 め に ， 確 率 過 程 の 時 間 的 発 展 を 記 述 す る の に 都 合 の よ い あ る Borel集 合 体 の 族 に 適 合 し た 確 率 過 程 の 定 義 を 述 べ る .

定 義 2.2 (0" 

F

， 

P ;  Ft )

を与えられた四つ組とする.0，上の確率過程

X =  ( X ( t ) ) t > o

が

F t '

こ

適 合 し て い る と は ， 各 t

> 

0に 対 し 確 率 変 数 /.Ytが Ft‑可 測 な る こ と で あ る . 一般 に 確 率 過 程

X

= 

( X ( t ) ) t >

^{。が可視JI}で あ る と は ， 写 像

( t ，

ω)→

X ( t ，

ω)ε

R

^d 

が ^β

[ 0

，∞)x F js(R^d)ー可測なることをいう.

定 義 2.3 (0" 

F

， 

P ;   Ft )

を 与 え ら れ た 四 つ 組 と す る . σ:0，→ [0， ∞ ) な る 関 数 が (

Ft

^に

関 す る ) マ ル コ フ 時 間 ， ま た は 停 止 時 (stopping tune ) で あ る と は ， 任 意 の tε[0，∞)に 対し， {ω;σ(ω) ::; t}

ε F

tと な る こ と で あ る ， 停 止 時 σに 対 し てσ‑集 合 体 Fσ ^を

Fσ

=  { A

ε

F ; V t

ε[0，∞)， 

A  n 

σ{

三 t }

ε

Ft }

に よ っ て 定 義 す る .

定 義 2.4B = 

( B ( t ) ) t > o

が

Ft

^{に 適 合 し た d}次 元 ブ ラ ウ ン 運 動 ( ま た は 単 に

Ft ‑

ブ ラ ウ ン 運 動 ) で あ る と は ， つ ぎ の 1 .2.が な り た つ こ と で あ る .

1.  B = 

( B ( t ) ) t

三oは，

F t

に 適 合 し た 連 続 な 確 率 過 程 で あ る

2 任 意 の

t

> 

s 三

Oに対し，

B ( t ) ‑ B ( s )

と

F s

は 独 立 で ， そ の 分 布 は 平 均 ベ ク ト ル O

， 分 散 行 列 (t‑s).Iの d次 元正 規 分 布 で あ る

定 義 2.5 (0" 

F

， 

P ;  Ft )

を 与 え ら れ た 四 つ 組 と す る

. F

∞=

V t > o  Ft

^とかく

Ft

^{に 適 合 し}

た 確 率 過 程

X ( t ) ， t

εR+が 可 積 分 で あ っ て ， 任 意 の 組 Sくtに 対 し て

E [ X ( t ) I F s J 三 . X ( s )

を み た す と き 劣 マ ル チ ン ゲ ー ル と い う . ま た 逆 向 き の 不 等 号 が な り た つ と き 優 マ ル チ ン ゲ ー ル と い う . 劣 マ ル チ ン ゲ ー ル か っ 優 マ ル チ ン ゲ ー ル な ら ば マ ル チ ン ゲ ー ル と い う .

こ の と き ブ ラ ウ ン 運 動 に 関 し て つ ぎ の 性 質 が な り た つ .

定 理

2 . 1Ft

に 適 合 し た ブ ラ ウ ン 運 動

( B ( t ) ) t > O

は 任 意 の

t >  s

三Oに 対 し つ ぎ の 性 質 を もっ.

1 )   E [ B t ( t ) I F s J   =  B i ( s ) ， 

^i二 1，2，・

， d

2 )   B t ( t ) B J ( t )  ‑

oりtは

Ft

^{ーマルチンゲール}

^， z ，

J=1

， 2 ， . . . ， d 

11 

2.4  伊藤積分

関数族[，2を

1)  f(t

，

ω)は [0

，

T] x 

n

^{で 可 測} (T 

> 

0)  2)  f(t

，

^・)は :Ft‑可 測 (t

三0

)

3)  任 意 の

T

> 0に対し， E [Jo^T If(t， w) 

1 刈 く ∞

を 満 た す 関 数 の 集 合 と す る .

ι 2

上 の ノ ル ム を

︐ ナb

α 

︐ ︐

qL ω 

f11  rl J 

T f

fO

 

E 

‑

乙

‑

rJ 

で 定 め る と Hilbert空 間 に な る . 空 間 5を 乙2の 部 分 集 合 で 条 件 1)，2)^】3) と さ ら に つ ぎ の 条 件 を み た す randa^，ll1step functionの 集 合 と す る .

4)  [0， 

T ]

の 分 割 o= {O = to^{く わ く .. く 九}

=T

}が 存 在 し て f(t

，

^・)= f(^ち?・)， t ^J三tく

tJ+1 

こ の と き つ ぎ の こ と が な り た つ .

定 理 2.2E の

11 1 1

ら に関する closucrを[とかくと[‑:J乙2 が な り た つ . つ ぎ に 関 数 族 ζ は ζ2と同様に

1)  f(t

，

ω)は [0

，

T] x 

n

^{で 可 測} (T 

> 

0) 

2 )  

f(t

，

^・)は :Fc^可視IJ (t三0)

. 5 )  

確 率 1で ， 任 意 の T>Oに対し Jo^TIf(

仁川

2dt

く∞

を み た す 関 数 f(t

， ω )

の 集 合 と す る .

ι

^{上lこノルム}

11 1 ι 1

を

1  1 JO^T If(t

，

ω) ¹² dt ^{12  1} 

I I f l l

ι=E 

1 ‑

^{1 ￨}

1 1  

I I   +  I J o

^T If(

仁川

¹²dtl2 

J 

で定義すると， ζはFrechet空 間 と な る.条件より ζ2Cζ で あ る . 明 ら か に

1 1 ん ‑ f l l ι

→  Oと確率 1で Jo^T

ん‑ f l

²dt→ 0とは同等で， Schwarzの 不 等 式 よ り

f ε

ん に 対 し て は

I l f l l

乙 三

I l f l l

乙2

また 5は 乙 で denseで あ る.す な わ ち 5

コ

^{ζ .}

まず

fε[

， こ 対 し て 確 率 積 分 を 定 義 す る ， た だ し B(t)を 1次 元 ブ ラ ウ ン 運 動 と す る .

! o '

^f(s，w)訓

s ) =Z

f(

い

)(B(

い

1)‑B(ti)) 

+ 

f(

い

)(B(t)‑B(わ)) (2.6) 

ti+l <t 

ここで J はわ三 t く t/+1 となる数である.以後確率積分を J~fdB(s)と 略 記 す る .J~ fdB(s) 

は 離 散 パ ラ メ ーターの マ ル チ ン ゲ ー ル 変 換 と み な せ る か ら ， こ れ は マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る.

5に 対 す る 確 率 積 分 か ら 作 ら れ る マ ル チ ン ゲ ール に つ い て は つ ぎ の こ と が な り た つ.

定 理 2.3

J~

^{fdB(s)と (川 崎 (s))2ー バf2dsは 連 続 な Ft‑マ ル チ ンゲー ル で あ る}

こ の こ と か ら 系 2.1

F u ︐

AU  

内JH1J叶J J J

1 α

ー

‑

‑

n‑M

U 

t

fl oE fi‑‑一

EI‑‑

﹂=久

qLペ4 パ川つU

B B   Iα︐

バ 凶 f J I l d   f﹄flG

r it

‑‑ s

E E  

1i

勺ん

(2.7) 

( 2 . 8 )  

が な り た つ.

つ ぎ に 一 般 の

f ε ι 2

に 対 し確 率 積 分 を 定 義 し よ う. 乙 に 属 す る 元 の 列 f(η)で Ilf(n)‑

fllL2→ Oを み た す も の を と る.列 {JfCη )dB}n~O は

ハU↓ 

qu

 

yd

 

qL 

fh 

fh f

tf tI

J E 

B  一 一

1 α

p fh   

i l l

J 

B 

f fh  u︐ バ

tf tI

J E 

より Cauchy列 で あ る.さらに Doobの マ ル チ ン ゲ ー ル 不 等 式 よ り

ハ 可

d

勺L

n u  

↓ 

qL B 

Y α

 

m flu 

n fld 

ρ' '

' 'a a ' nU

 

E ー

< 一 ジ

一

¥1

Il l‑

‑/

' ε > B 

IG

rJ  m   

f lO 

B 

ーαn fld 

pi

t'

ー︒

円 切 も ふ

b

u <

一

Q U S  

/J

Il

P  l‑ ¥ 

し た が っ て Borel‑Car巾 lliの 補 題 よ り 確 率 1で {JんdB}の 部 分 列 {Jfn]dB}はtに 関 し て 広 義 一 様 に概 収束 す る.こ の 極 限 を

J

fdBと書 くと，連 続 な L2̲マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る.

J 

fdBは列 {ん

} ζ 5

の と り 方 に よ ら ず一 意に 定 ま る .こ の と き つ ぎ の 性 質 が あ る. 定 理 2.4f1

，

f2ε乙2の と き

1) 

J  ( ^{ん+ ん}

^)dB= 

J 

^f1dB 

⁺  J ^ん

^dB

2) 

J  ^{k 川二 人 /川}

^{kε R}

(2.10)  (2.11 ) 

13 

3)  σを 停 止 時 と す る と き

l '

八

^σ

^削

⁽(²2^..¹13²)⁾   (2.14)  (2.15)  (2.16)  ここで Iはindica^，torfunctionである.

4) 

  l '

^{fdB(s)は 日 損IJで あ る}

5) 

  l '

^{fdB(s)は 確 率 1}で、連続な標本路をもつ つ ぎ の 補 題 を 利 用 す る と 関 数 族 ζ に 対 す る 確 率 積 分 も 定 義 で き る .

補 題 2.15(n)を Borel可 測 関 数 の 全 体 と し ，

p 

︐d 

v_{川 一}' 一

ω ヤ 戸

fld一l

ん f 一 +

一 一

s 

fl d 

な る ノ ル ム を 入 れ る と 5(n)は Frechet空 間 に な っ て い る ， こ の と き

llffdB￨￨sollf￨￨j?fぱ 2

が な り た つ .

任 意 の fε ζに 対 し て ん ε5を 選 ん で Ilf‑

f

η11乙 → Oとできる. 補題 2.1より

‑ 一

3Ln 

fl u 

" 

fl d 

d笠

< 一

s B 

V︐G fh T flO 

B ︐d n 

fJ 

T PF︐

t'

' n u 

がなりたち， 5(n)は Frechet空 間 で あ る か ら，

Y

ε5(n)が 存 在 し て

J 1 1 4 1 1 T M  

す な わ ち 確 率 1で Jo^TんdB→ Yとなる.fεζに 対 し て 確 率 積 分 JfdBを JfdB = Yと 定 義 す る .

f ε

^乙 に 対 し で も 定 理 2.4は成り立つことが証明できる.

2 . 5   伊藤の公式

連 続 な 軌 跡

x ( t )

が

仰) = 

x(O) 

+  i ' 州

^s

で 与 え ら れ て い る と す る. 通 常 の 微積 分 の 公 式 よ り

F ( x )

が

c

¹̲ ク ラ ス の 関 数 と す る と

F ( x ( t ) )

二

F ( x ( 小

_(2.17) 

がなりたつ.

さて連続な R^dの 確 率 過 程 x= 

( x ( t ) ) t > o

で

x(t) 

= 

X(O) 

+  ' i

^{σ(s)必 (s)}

⁺    ' i

^{b(s)ds  (2.18)} 

の 形 に あ ら わ さ れ る も の は ， 伊 藤 過 程 と よ ば れ る . こ の と き F(x)を

c

^2̲ク ラ ス の 関 数 と す ると ，F(x(t))は ま た 伊 藤 過 程 に な り ， そ の 際 (2.17)を 一 般 化 し た 公 式 が 伊 藤 の 公 式 と い わ れ る も の で あ る . こ れ は 確 率 積 分 の 理 論 に お い て も っ と も 重 要 な 公 式 の 一 つ で あ る . 関 数 族 ζ1を

1)  f(t

， ω )

は [0

，

T] 

x 

Dで可視JI (T 

> 

0) 

2)  f(t

，

・)は Fc可視JI (t三

0 )

6)  任 意 の T>O^に対し E

[ J o

^T If(t

， 

w)ldt]く ∞

を み た す 関 数 f(t，ω)の 集 合 と す る .

(B¹(t)

， 

B²(t)

， . . .  ，

BT(t))を F_tに適合 し た ァ 次 元 ブ ラ ウン運動，

σ ; ε ι

²

， 

b^t

ε ι

^1， Z 

1，2γ ・

， .

d

，

j = 1，2・，・.，rとする.このとき

ど(t)勺

WH E A t σ; (

^{い )dBJ(s)}

⁺  1 0 '  

^bi(s

，

w)九 戸 川

，

d (2

川

で 定 義 さ れ る 確 率 過 程 x(t)= (x¹(t)

， 

x²(t)γ ・

，

xd(t))は

F

_tに適合 し た 連 続 過 程 で あ っ て ， d次 元 の 伊 藤 過 程 と い う. こ の と き つ ぎ の 公 式 が な り た つ .

定 理 2.5[伊藤の公式]F=F(x)を Rdで 定 義 さ れ た C²ク ラ ス の 関 数 と す る . Fの偏 導 関 数 を 凡 ( = ま )

，

FXiX] 

(=蒜~)

^， i

^， 

^j

^{二 日 ，}

^{dで あ ら わ す} こ の と き 連 続 確 率 過 程 F(x(t))は 伊 藤 過 程 で ， つ ぎ が な り た つ .

町内)) = 内

(0))+

され川; . ^(川崎市)

+  さ 釘 訂 1 0 ' 凡引川(い川

FXi(X2

性1 主10'九円( x (s))σ~(s ， 州 (s， ω)ds

15 

(2.20) 

2 . 6   Stratonovich 積分

Strat.onovich [35]は ブ ラ ウ ン 運 動 に 基 づ く 別 の 種 類 の 確 率 積 分 を 定 義 し た .Str atonovich  積 分 可 能 な ク ラ ス は 伊 藤 積 分 可 能 な ク ラ ス よ り も せ ま い.

( B 1 (t  ，)B^2 ( t  ，)• • • ， BT ( t ) )を Ftに 適 合 し た ア 次 元 ブ ラ ウ ン 運 動

σ ; ε ι

2，6

1 ε _乙

_{1， z‑}

l，2γ^・，.d，j 

= 

1，2γ^・・，rと に 対 し て

r 

^{1'1  /.¥ ¥  1..，.......1，¥  1‑} ~ ^r ( ，tk+1 

+ 

tk¥¥ 

s ‑ j 

f(x(

の

)dB(t)=￨

相 手

^f(x

C"

^‑t‑1₂^1 V

^{/ C ) )} 

^{(B(tk+1) ‑B(}

^{九 ) )}

こ こ で (2.21)の 極 限 は 平 均 二 乗 収 束 で あ る . 一 章 で の べ た よ う に

(2.21) 

サ

bB(t)dB(t)=j[B2(b)‑ B2(α)]

t 

^{B(t)dB(t)二 jlB2(b)‑B2(α)]‑:(bー α) ((22..2232))}  

が な り た つ . こ れ ら の 式 よ り ， Stratonovich積 分 は 伊 藤 積 分 と 異 な っ て ， 確 率 過 程 B(t)を あ た か も 通 常 の 滑 ら か な 関 数 で あ る か の よ う に 考 え て 形 式 的 に 積 分 し た と き に 得 ら れ る 結 果 に ち ょ う ど 等 し い . ま た (2.22)(2.23)は Str at.onovich積 分 と 伊 藤 積 分 と の 関 係 も 示 唆 し て お り ， 一 般 に つ ぎ の 結 果 が え ら れ て い る.

で め 対

2こ

11i 

内 い 分 率積確しd 対 山 川

o 

t k d ω  

σ

竹 刀

aまμいt

QU  

1パ

Z

↓ボ しr / l

¥ f

'﹂

¥ j

¥

11 11

ノ バ

‑K

な叶ヴ噌ii

2 σ

日二口一

つ ん

B I

‑

‑

( ぺ

k一

月 と

) a

一

3

合

‑ B C /

fi ll

‑︑

日 目 り

寸

fj

ω

い れ

T h 分LM

非合︑dl連H

鳴 す

d Z

戸 附

ι

た1一2

苦 ノ

ス み 的 +

︐

げ そ

MD

的 る

f 式

︐

M T

あ ぴ の 万 凶 で ピ ぎ

rt

︑ ︒

分

一 も っ 山 科 積

ト は

fh

以 藤

義 分 一 千 九

J1 伊

定 積

TE

KT

芝

K

は 刀

で

d 5

=

ゆ た

連 予 灼

J︐

d v   R m

率 な を い

w

確 も

tkm

の 式

σ

針 辺 公

nb

'

右 藤

2

し で 伊 理 在 こ る 定 存 こ す

定 理 2.7[Stra的novich積 分 に 対 す る 伊 藤 公 式 ]F( x)を R^dで 定 義 さ れ た

c

³ ク ラ ス の 関 数 と す る と ， つ ぎ の 式 が な り た つ .

d  ftθF 

F(x(t)) = F(x(O)) 

+乞 s ‑   ̲ /

:~_ (x(t))が (t). (2.25) 

i=1 jo θXi 

注 2.1確 率 微 分 方 程 式 の 文 献 と し て は ， 園 田 [24J，田中ー長谷川 [38J等 が あ る.こ の 章 で 引 用 し た 定 理 の 証 明 は 上 記 の 本 を 参 考 に し た .

Chapter  3 

確 率 微 分 方 程 式

3 . 1   解の存在定理と一意性条件

B = (B(t))t~O をある四つ組 (D，F

， 

P; F

t )

上 で 与 え ら れ た ァ 次 元 の ブ ラ ウン運動とし，

つ ぎ の 方 程 式

ど

( t )

= x1^，

( O )   + 引

^tσ;

^{( s ， 沖 ) ) d B J ( s ) +}  l  ^{b ' ( s ， x ( s ) ) d s}  

^{'EE︐ ︑ 〆︑ qJ  11i  ︑J︑BE︐}

を 考 え る . あ る い は 簡 単 に

d X l

^，

( t )  

=

乞

σ

j (  t ， 

x ( 

t  )  )  d  B 

J ( 

t )   +  b 

^t ( 

t ， 

x ( 

t  )  )  d t  

^， i = 1， 2， .. • ， 

d 

と記す.いま

b : 

[ 0 ， ∞) 

X R^d_→ R d1 σ :  

[ 0 ， ∞) 

^X R^d→ R^d③ R^d 

は

( t ，

^{x)可 測 関 数 で， σ}

; . ( t ， 

x(ω))ε1:₂

，  b

¹

' ( t ， 

x(ω))ε ム と す る . こ の 正 確 な 定 式 化 は つ ぎ の と お り で あ る .

定 義 3.1与 え ら れ た σ

，

bに 対 し ， 方 程 式 (3.1)の 解 と は ， あ る 四 つ 組 (D_，F

， 

P; Ft)上 で

定 義 さ れ た

Ft

に 適 合 し た 確 率 過 程

x ₌ 

(x， 

B )   =  ^{( X ( t ) ，}  B ( t ) ) t > O

で つ ぎ の 性 質 を み た す も の の こ と で あ る .

1.確率 1で，

X ( t )

と

B ( t )

はtに 関 し て 連 続 で，

B ( O )  

= 0 ， 

2. 

B ( t )

は

F

_t‑ブ ラ ウ ン 運 動 で

E [( 

B

ⁱ 

( t )   ‑B

ⁱ 

( s ) )  ( B J  ( t )   ‑ B J  ( s ) )  

_I

久 ] = 月 ^{( t‑ s ) ，} 

17 

3.確 率 1で， (3.1)が な り た つ . こ こ で (3.1) 右 辺 第 一 項 は 伊 藤 積 分 で あ る .

こ の よ う な 解 を 弱 い 解 (wea.k叫 ution)という.さらに x(t)が 任 意 の t

三

Oに対し Ff‑可 測 で あ る と き 強 い 解 (strong solution ) と い う . こ こ で

F P

^はσ‑集 合 体 σ(B(s):s三t)を

Ptこ 関 し て 完 備 化 し た も の で あ る .( P札 恨 Oの 集 合 の 部 分 集 合 は す べ て Ffに 含 ま れ る )

定義 3.2与 え ら れ た R^d上 の Borel確率 測 度 μに対 し ， 初 期 分 布 μの 解 が一 意 で あ る と

はう

( 3 .

1)の解 (x(t)

，

B(t))で x(O)の 分 布 が μ に 一 致 す る も の が 存 在 す る と き ， そ の よ う なx= 

( x ( t ) ) t > o

の 分 布 は す べ て一致 す る こ と を い う . と く に す べ て の R^{d上 の} Borel確 率 測度 μに 対 し ， 初 期 分 布 μの 解 が 一 意 で あ る と き ， 方 程 式 (3.1) の 解 は 法 則 の 意 味 で一意 的 で あ る (uniqueness in the sense of a  d.istribution law， weak uniqueness )という.

定義 3.3(3.1)の解が道ごとに一意的であるとは，同じ確率空間(S1，F

， 

P; Ft)上 の二 つ の 解 X= (x(t)

， 

B(t))， X = (x(t)

， 

B(t))^{で， (確率} 1で)

x(O)二王(0)

，

B(t)三 B(t)

と な る も の が 存 在 す る な ら ば ， 必 ず x(t)三 x(t)と な る こ と で あ る .

:F_tー適合過程 x(t)，y(t)^ぅB(t)で つ ぎ の 条 件 を み た す と き 道 ご と の一意 性 は な り た つ ， す な わち

Bは ブ ラ ウ ン運 動 で あ る

x(t) = x(O) 

+ れの

^))dB(s)

山) =以 0 ) +  ' i ^{σ ( 山))必 ( s ) ，} 

ならば P(x(t)= y(t)， V t) = 1 .道 ご と に一意的であれば， 一意 的 な 強 い 解 を も っ.山 田‑渡辺

[ 4 0 J

は 道 ご と に 一 意 的 で あ れ ば ， 法 則 の 意 味 で 一 意 的 で あ り ， さ ら に 弱 い 解 の 存 在 の 仮 定 を つ け 加 え る と 一 意 的 な 強 い 解 で あ る こ と を 示 し た . Gilllnan‑Skorohod[12Jに よ れ ば，方程式 (3.1)が 弱 い 解 を も っ と い う 条 件 の も と で ， 強 い 解 が 存 在 す れ ば 必 ず 道 ご と の 一 意 性 が な り た つ . し た が っ て 方 程 式 (3.1)が一 意的 な 強 い 解 を も っ 必 要 十 分 条 件 は ， 弱 い 解 が 存 在 し ， さ ら に 道 ご と の 一 意 性 が な り た つ こ と で あ る . 1次 元 の 確 率 微 分 方 程 式 の 場 合， σ(x) = sgn(x)のとき， Stroock‑Varadhan[36Jは 弱 い 解 は 存 在 す る が 強 い 解 が 存 在 し な い ， し た が っ て 道 ご と の 一 意 性 は な り た た な い こ と を 示 し た . Barlow[lJはも っと一般 に

σ:R→ R， 0く 6く σ

( x )

く K

を み た す 連 続 関 数 で 強 い 解 が 存 在 し な い 例 を 構 成 し た .

強 い 解 の一意 的 存 在 の よ く 知 ら れ た 十 分 条 件 は つ ぎ の Lipschitz条 件 で あ る [14J. 

定 理 3.1[伊藤J1σ12 ₌ 

L i

^，] 1σ~12 ， Ibl2 

= 

L ， 

16¹1²と お く と き ， つ ぎ の 3条 件

1)  1σ12 

+ 

1612

三

^C1(1

+ 

Ix12)なる (t1 x)に 無 関 係 な 定 数 C1が 存 在 し

2)  σ1(t^ぅx)‑σ(t

， 

y)12 

+ 

Ib(t

， 

x) ‑b(t

， 

y)12

三

C₂1x‑yl2となる (t

，

x

， y )

に 無 関 係 な 定 数

C

2が 存 在 し

3)  任 意 の t

> 

0に 関 し て x(O)とB(t)は 独 立 で E[lx(O)¹²¹く∞

を み た す な ら ば ， 強 い 解 が 存 在 し 一 意 的 で あ る .

一 方 Skorohod[34Jは 任 意 の 与 え ら れ た x(O)の 分 布 に 対 し て σと bが 連 続 で あ れ ば

弱 い 解 が 存 在 す る こ と を 示 し て い る の で ， 解 の 存 在 と 一 意 性 と は 別 々 に 議 論 し な け れ ば な らない.

Lipschitz条 件 は 連 続 率 (1110dUlus of continuity ) に 関 す る 条 件 で あ る . 1次 元 の と き に は 道 ご と の 一 意 性 を 保 証 す る 条 件 と し て ， Lipschitz条 件 よ り ず っ と 弱 い 条 件 を 与 え る こ と ができる .Skorohod[34Jと田中 [38Jは 任 意 の x

， y

εRに対し， σ1(x)一σ

( y )

1

三1

{lx‑ylα を み た す 定 数 1{

> 

0と

α>j

が 存 在 す る と き 道 ご と の 一 意 性 を 証 明 し た.山田一渡辺 [40Jは， 田 中 の 方 法 を 精 密 化 し ， 1次 元 の 場 合 連 続 率 に 関 す る 条 件 と し て は ほ ぼ 最 良 の 結 果 を 得 た .

定 理 3.2[山田‑渡辺Jn^二 1と し て 確 率 微 分 方 程 式

dx(t) 

=

σ( t

， 

x ( t ) ) d B ( t) 

+ 

6 ( t

， 

x ( t ) ) dt 

を考える.こ こ で σ(t

，

X)

， 

b(t

， 

x)は 連 続 関 数 で ， あ る 定 数 1(

> 

0 ，こ対し

￨σ( t

， 

x ) 12 

+ 

1 6 ( t

， 

x ) 12 

: s ;  

1\.~ (1 

+ 

1 x 12 ) 

を み た す と す る.さ ら に つ ぎ の 2条 件 が 満 た さ れ て い る と す る.

1 )   [ 0

，∞)上の増加関数 p(u)で

f η 7 1. 

p(O) = 0

，  ん I 

+~ー=+∞

p 2 ( U )  

な る も の が 存 在 し

￨

σ(t

， 

x) ‑σ(t

， 

y) 1

三

p(lx‑yl)

， 

tεR+

， 

x

，

yεR 

2 )   [ 0

，∞) 上 の 増 加 凸 関 数κ

( u )

^で

19 

(3.2) 

(3.3) 

(3

. 4 )  

κ(0) 

= 

0

、 /iL=

ん

+κ(

吋

と な る も の が 存 在 し

Ib(t

， 

x) ‑b(t

，  y ) 1三

κ(Ix‑

y

l

) ， 

tεR+

， 

x

，

yε R   こ の と き ， 方 程 式 (3.2)に 対 し 道 ご と の一意 性 が な り た つ.

(3.5) 

とくに p(u)=α. u (α> 0は 定 数 )， κ(u) =α.uは そ れ ぞ れ (3.4)

，

(3.5)を み た し ， こ れは Lipschitz条 件 の 場 合 で あ る . ρ(u) =α.u^β

， s

三 ; で あ っ て も (3.4)をみたす.これ は

F

三

i

^{次 の} Hるlder条 件 の 場 合 で あ る .

中尾

[ 2 8 ]

^はσ(x)に 多 く の 不 連 続 点 が あ る 場 合 に つ い て 考 察 し た . す な わ ち σ(x)

，

b(x)^が

有界 Borel可視JIの と き ， 任 意 の コ ン パ ク ト 区 間 上 で σ(x)が 有 界 変 動 の 関 数 で ， σ(x)三 C

， 

^XεR と な る 定 数 c

> 

0が存在すれば、， (3.2)に 対 し 道 ご と の 一 意 性 が な り た つ .

常 微 分 方 程 式 の 一 意 性 に 関 す る 南 雲 [29]の 条 件 は ， 上 述 の Lipschitz条 件 や Hふlder条 件 の 場 合 と は 多 少 趣 が 異 な っ て い る.南 雲 の 条 件 に 相 当 す る 確 率 微 分 方 程 式 の 場 合 の 条 件 は Gard[9]によって求められ， 1次 元 の 場 合 以 下 の と う り で あ る .

定 理 3.3[GardJ 

1 )  

σ(t

， 

x)は(t

，

x) 

，

こ 関 し て 連 続 で あ る 2)  0く J三1な る 定 数 が 存 在 し

￨ J 

σ(t

， 

x) ‑σ(t

， 

y) 1

三;712‑u￨?(t321U)ε(

0， 

T ]  

x R x R  (3.6) 

このとき x(t)= x(O) 

+ 必

σ(s

，

x(s))ds(s)の 解 は 道 ご と に 一 意 的 で あ る . 常 微 分 方 程 式

生 =

f(t

， 

x) 

dt  ^(3.7) 

の 初 期 値 問 題 の 解 が 一 意 的 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 が 岡 村 [31Jによって与えられている.す なわち fがDで連続のとき Dの 任 意 の 点 か ら 右 へ 出 る 解 が た だ 一 つ で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は ， つ ぎ の よ う な 関 数 lI(t

，

y

，

z)が 存 在 す る こ と で あ る.lI(t

，

y

，

z)は(t

，

y)ε D

， 

(t

， 

z)ε  Dとなる (t

，

y

，

z)で 定 義 さ れ た

C

¹ク ラ ス 関 数 で y=zのとき lI(t

，

y

，

z)= O

，

y

手

zのと

きlI(t

，

y

，

z) 

> 

0かっ

8 ^，  ~ θ r-\ 8 

ニ

11( t

， 

y

， 

z) 

+  L 

C)~ 11 ( t 

， 

y

， 

z) 

f i  ( 

t

， 

y) 

+ χ ‑ i ‑

lI(t

， 

y

， 

Z)fi(t

， 

z)

三 o

(3.8)  8t

ケ

θ u i 1 3

ケ

θZi

がなりたつ.こ の 岡 村 の 方 法 は 確 率微分 方 程 式 へ も 適 用 さ れ 多 くの 結 果 が え ら れ て い る.道 ごとの一意性への岡村の 方 法 によるアプローチは岡部‑清水 [32J

，

Gard[9Jによっ て な さ れ た.

3 . 2   比較定理

SkOIOhod[34]に よ る 道 ご と の 一 意 性 定 理 の 証 明 は ， 1次 元 確 率 微 分 方 程 式 に 対 す る 比 較 定 理 と も い う べ き も の を 用 い て い る . 比 較 定 理 は 道 ご と の 一 意 性 の 証 明 に 使 え る 以 外 に も 多 く の 応 用 が あ る . SkOIOhodの 比 較 定 理 の 拡 張 は 山 田 [41]によ ってなされた.

定理 3.4[山田]つぎの二つの確率微分方程式を考える.

dx(

，

.)(t) =σ(t

， 

x(i)(t))dB(t) 

+ 

bi(t

， 

x(

け い )

)dt

， 

i = 1

，

2  (3.9) 

ここに， σ(t

， 

x)とん(t

，

x)は (t

，

x)に関して [0，∞)x R上 で 連 続 で あ る . さ ら に つ ぎ の 2 条 件 が み た さ れ て い る と す る .

1)  [0，∞)上の増加関数p(u)で

p(O) = 0

，  _ん ( 

_+p

_~/U

_2(U)^{¥  = ∞}  

な る も の が 存 在 し

￨

σ(t^】x)‑σ(t

， 

y)! ~ p(!x ‑y!)

， 

t

ε[0

，∞)，  x

， 

y

ε R  

2)  b₁ (t

， 

x)くわ(t

， 礼

(t

，  1 : ) ε [ 0

，∞) x R 

こ の 条 件 の 下 で ， X(l)  = (x(1)(t)

， 

B(l)(t))と X(2)= (X(2)(t)

， 

B(2)(t))が (3.9)の解で，

x(1

) ( O )  

= x(2

) ( O ) ， 

B(l)(t)三 B(2)(t)三 B(け と な る も の が 存 在 す る な ら ば ， 確 率 1 で， X(l)(t) ~ X(2)(t)、

t ε[0

，∞)がなりたつ.

竹 内 [39]は， Ljapunov関 数 列 の 存 在 に よ っ て 解 の 存 在 と 一 意 性 を 保 証 す る 岡 部 一 清 水 の 条 件 の 下 で 比 較 定 理 を え て い る.山田‑小倉 [L14]は 強 い 比 較 定 理 が な り た つ た め の 十 分 条 件 を ほ ぼ 最 良 と 考 え ら れ る 形 で 与 え た.

3 . 3   解の爆発問題

1次 元 の 確 率 微 分 方 程 式

dx(t) =σ( x ( t ) ) d B ( t) 

+ 

b ( x ( t ) ) dt  (3.10) 

を考える. (3.10)の 解 は 爆 発 時 間 Oく 九 三 ∞ ま で 定 義 さ れ る . こ こ に 九 は T_{e :} 

n

→ 

( 0

，∞]なる関数で T_e<∞ の と き ， X( T_e一) = 一 ∞ ま た は + ∞ が な り た つ.もし P(T，ρ く

∞)く 1であれば，(3.10)の初期 値 問 題 は 過 程 を 一 意 的 に は 定 義 し な い.な ぜ な ら 過 程 が 無

21