↓ ト

〆iべ

n n z n E 2 3  

2

︐ い

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' c u c u /

l/一 t'¥ 

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g 7 Z F O  

l

‑

‑

什い

σ l l

︐ ナ

2υ/ーパ

h l l h

川1 4

門︑

J A υ 内勺JAぐu

l

‑

‑いれ﹁

1一T円l

‑ ‑ : ' h J

九 f

j h

r J U

ia

︐a

'' 'f rt ei t‑

‑t

﹃I

ll i‑

‑﹄

<一

﹁

11‑‑Lrill‑い

L i

f

ゆ ふ 一 E D

古川

引 お 同 引

CJ

﹁

一︐d

1 1 A 吐

引 く 一 + +

E 

こ こ で 条 件 (B)を 使 う と

E[  sup  Ixn(t) ‑xn(T1 ‑₅₀₎12J 

Tl‑50<t<Tl 

( rTl  ¥ 

三16JV250

+ 

4N²50 

+ 

161¥12 

I  I  ‑

^E[ sup IYn(t) 12Jds ) 

¥ J Tl ‑50  O<t<T  /  rTl 

+刊41¥11汚²50

バ I ‑ 町

^E

[

s叩up

ル

1U仇7nη(t

JT1一50 O<t<T  こ こ で (6.36)より

E [  

sup IYn(t)12J ~ 2E[ sup Ixη( 

t )  

12J 

O<t<T  O<t<T 

+2E[ sup IXn‑l(t)12J _~ 411‑2

く + ∞

^{3 η 1}

，

2

， ・

(6.43)

O<t<T  し た が っ て (6.42)

，

(6.43)より

I15280A42Iピ250

+ 

20JV250 

s

。 の 定 義 (6.38)式 よ り

1

，  <三

~ ‑ 10 

つ ぎ に ん を 評 価 す る. T1の 定 義 よ り N2

> 

0が 存 在 し

( 6.44) 

ん=E[lxn(T1 ‑50) ‑x(T1 ‑₅₀₎12J 

~二

_{̲̲̲:.  10'} 

η >Nっ

(6.45) 

最 後 lこ ん を 評 価 す る.

cu ︐d 

qu 

z 

q u 

司JU

1n

u 

ぐυ

mA

トPI.

︐︐︐ ︐ 円i

E ハUQU 

勺ん

十 九

11 11 11 11 ll lJ

qL ゐN

¥ljハU︑・l/11よ

c υ

川   山

︑ 二

h w c咋

q4

勺

&

σ N  

お

2

1

一 + r f 九 九

11 11 11 11 11 1 勺

&

E

N 

0 0 0 0  

<

一

<

qd

 

y'

i 

し た が っ て

1^'1. 

<三

υ ‑ 10  (6.46) 

ゆ え に (6.39)

，

(6.40) 

， ( 

6.44) 

， (  

6.46)から

)Il1!̲ E[ sup Ixn(t) ‑X(t)12J = 0 

叫「山 O~t 壬 T1

(6.4 7) 

が な り た つ .

95 

(3)背 理 法 に よ っ て T1

= 

Tを 示 す . T1ヂ^Tと し て 矛 盾 を 導 く .(2)よ り 正 数 列

{α

n } 7

凶 ，2， が 存 在 し

九 ↓

o

(η→ ∞) 

E[I

Xn ( T 1 ) 

‑x

( T 1 ) 1 2 J 三

αη

が な り た つ .

(i)正 数 九 >0が 存 在 し

T1十九三 T，

̲

̲lin}̲ 

E [  

sup 

I Y n   ( t )   1 2 J 

= 

0 

川 寸山 Tl <t<Tl +h 

と な る こ と を 示 す . Yn (t)の 定 義 か ら 九 三 t三

T ，

^こ対し

u 心)

= 

xn (T 1 )  ‑ xn ‑ 1 ( T 1 ) 

叫 ^{σ ( ( s ，}

Xn‑1(S))

一 山 日

(s

) ) ) d B ( s )   叫 ( 川 ‑ l ( S ) )‑ 川 ‑ 2 ( s ) ) ) d s

+  :   l r

^{九山(い仏Sム川ル?グ川Z叫7}

+  d 

^b

^{九 以}

^Z

^パ(い山

^，

^X

^{九nト 山}

^{n → ‑ 一}

^‑1

^{1( ( バ 巾 ( い s}

^S

^{け ω 州 州 州 州 ) リ 以 μ 川}

⁾

^{胤 胤}

^yU

^{払 胤 川 仏}

^?

^{巾 川}

^η

^ベ

^I

^{か ( い 山}

^A

^州

^S)MdS‑

^{A t}  

^bz 

^{(山一山))仇̲ l ( s ) d s}

となる. し た が っ て

E [  

sup IYn(s)12J 

+ 7 E [ I Xn (T 1 )  ‑ xn ‑ 1 ( T 1 ) 1 2 J 

+ 7 E L 2 2 t l b M ‑ i ( u ) ) ^{一 山 n ‑ 2 (}

^u)) 

^{) d B (}  

^U)n 

+ 7 E  [ L J 品 叫 ? ^忠 2 2 ; 2 兵 ^忠 込 J ミ ι U ; 叫 L i t J ￨ は b ^{山 ρ ρ} か ^{L 0 似}

^b(

^{川 一}

¹

^{バ μ 州 州 ( い u 叫 川 州 刈 ) リ ) ト 一 →}

^b

^{川 一 孔}

²

^{バ 州 山 州 ω 州 川 ( u 吋 州 い ) リ )}

+  叫 f 包 ; 芯 2 ι 2 2 2

^t

山 ¹ _Z か か ^{μ ( 仇}

^b

^{九以山 似}

^{バZ山山(いu叫い机川}

^{， X n ‑ l ( U ) ) Y 仇 川 η 山 J 山 川 ω 州 州 (}

^u

^{吋 川 い 刷 ) 仇 d l ベ u} イ ^{叶 l} 円 ^' ' ￨  ]  + 叫 7 2 t ￨ ぷ ^{( b}

^{x(山 一}

^{2 ( u )   ) Y n ‑ l  (U)dUn} 

+ 7 E   レ h ^凶

_[T

^{J ♂ 2 品 ? 包} h ^{; 芯 品 2 主 ι}

^t

^{刈 ル U I ぷ ￨ 心 ば か ( い 仇}

^{σ九 山z}

^{バ μ( い 仇 u}

^仏

^，

^X九η

^一

^{汁1山州州州(叫'υ吋'U，州い州州川)州け州州胤)y仏山川?寸η1什}

^μ

^A(山い

⁽

^，

^'

^'υU

+ 7 E [ T 7 2 t I C M  

( 6.48) 

(6.49) 

Doobの マ ル チ ン ゲ ー ル 不 等 式 と Schwartzの 不 等 式 よ り

E [ 

^sup  IYn(s)12] _~ 7E[lxn(T1) ‑xn̲1(T1)12] 

条 件 (A)より

+28E [.( I

山

n‑1(U))

一 山

n̲2(u))12

_ぬ l

川 ‑

T1)E 

ぷ [

^1b(

^{山 一}

^1(u))

^{一 川}

^η

^一山

^)Wdu]

+7(t一九 )M

判 ^{l r :}

^IYn(uWdu] 

⁺ 

^{7(t ‑T1)M2E} 

[ か い ( 吋

^12du]

+ 川

^2旬E

^{[ l} か μ ^{r :} I

^協

Y

^U

^仏州

^?巾η1

^{ベ μ}

^州(い川Au

^吋

⁾¹

^向

^匂2d

^{仇 ベ u ] ん} 卜 + 川判lr~ ト μt1v 〉 |MμU仇η一1バ山川州(い川州 u叫州仰)川|

Ib(u

， 

Xn‑1(U)) ‑b(u

， 

Xn‑2(u))1 ~ Mlxn‑1(U)一 九 一

2 ( u ) 1

(6.51) 

￨

σ(u

，

九一1(u))一σ(u

，

xn‑2(u))1三MIXn‑1(U)‑xn‑2(u)1  (6.52) 

で あ る . し た が っ て (6.50)，(6.51)ベ6.52)より

E [ 

sup ¹仇(S) 12] 

三時

n(T1)

一 川 1 2 ]

十 ( 川 + 叫 ‑T1)

山 [ ぷ ￨ 仇

^̲1(u)12du]

+(7(t一九)lv12

+

附 こ こ で ん >0を

η= (561v12h 

+ 

141v12h?)e7M2h2+28M2hく 1 と な る よ う にj塁手.，.. 

E[IXn(T1) ‑Xn^ー1(T1)12]三2αη+2αηー1三4αn‑1

で あ る か ら， (6.50)より T1~

t

三九 +hに 対 し

E [  

^SUp IYn(S)12] 

Tl<S<t 

三

28αn‑1

+ 

(56.1¥1

2  + 

14.l¥11²ん

2 )

111仇‑1111

+(28M2 

+ 

7 Ji!I2 

17，)  /̲ E[ sup 1仇 (U)12]ds

JT1  T₁ <u<s 

が な り た つ 。 こ こ で 111伊111

= 

Es叩 Tl<〆Tl+h1伊

( t )

12]で あ る.

97 

(6.54) 

(6.55) 

し た が っ て Gronwallの 不 等 式 か ら

E [  

sup 

I Y n ( s ) 1 2 ]  

T，壬s壬t

三{28α

n ‑ 1 + 

(56M

2  + 

14J11

2

_h

2 ) I I I Y n ̲ 1 1 1 1 } e ( 2 8 M

²

+ 7 M

²

h ) ( t ‑ T

t)  (6.56) 

となる.

̲.  ̲  f)O ̲  

̲ 2 8 M

²

h + 7 M

²

h

² 

γ1'1.  = !‑oαne  ( 6.57) 

とおこと， (6.56)より

I l l Y n l l 1   =  E [   s u p   I Y n (  

s) 

1 2 ] 三 ( η‑ γ 1+ η I l l Y n

^ー

1 1 1 1 ) 

T， ~s 三 T，十 h

(6.58) 

が な り た つ . こ こ で 最 初 に 述 べ た よ う に

_li~!_ E[  ^SUp 仇(t)

1 2 ]  =  l ̲

un̲ 

1 1 1

仇

1 1 1 = 

0 

Mづ V V T

， 

^<t<T1 

+ h  

f"~ 山

を示す.

ε> 0を 任 意 の 正 数 と す る . 正 数 N1を 選 ん で

%ー¹

三 ; ( 1 ‑ η ) ，

^η

ど N

₁

が な り た つ よ う に で き る . (6.58)から

(6.59) 

I I I Y N ^， + m l l l

三

γ

_N

_{， + m ‑ 1 +} η I I I Y N ，  + m ‑ 1 1 1 1  

<γ

N

， + m ‑ 1  + η ( γ

'N

， _{+m‑ 2}  + η I I I Y N ，  + m ‑ 2 1 1 1 )  

:::;  1 N

，  + m ‑ 1  +  γ 7 7

N

， _{+ m ‑ 2}   +  72 7 1 1 I Y N

1

+ m ‑ 2 1 1 1  

<  γ

_N

_，

_‑1(1 

₊ η + η2 +

・・・

+ η m ) + η m + 1 1 1 I Y N _， ̲ 1 1 1 1

< 立 に

i + 4 1 L F W m + 1 1 ‑ η  

ここで

N

_2> 0が 存 在 し

4kr+1<;Fm

_三

l ¥

^T₂ (6.60) 

となる. したがって

1 1

1 叫 1 1

^{<ム η}三N₁

+ 

^N2 

(ii)最後に，

̲

l

ⁱJC‑l].̲ E[ ^SUp 

I X n ( t )  ‑ x ( t ) 1 2 ] 

= 0 

，.~山 T，~t~T^，

+ h  

︑︑EE︐ ︐

J11ム Fh u  ph v 

〆f

a t‑︑

を示す. (6.61)は T₁の 定 義 に 矛 盾 す る こ と の な る .

(6.48)，(6.49)式 が な り た っ て い る の で ， 正 数 列 {S71}71‑1，2， が存在し，

6

n↓

o 

η(

→∞) 

S E [ l x

n

( T

1) ‑

x ( T I )

12] 

十(60M2_h+ 15M2_h2_)E[  sup  IYn(t)12]

三丸

が な り た つ . 過 程 Xn

，

Xの定義より

E[ sup  ^1 Xn 

( s )  ‑

^X 

( s )  

12] 

T1 <s<t 

三SE 

  1 [

^X n (T₁₎ ‑ X (T₁ ) 

1 2 ]  

T1:三 t~Tl+ 九

+5EL22tlL(

山

^η

^{‑ 1 (}

^'U))

一 山 川 町

_uln

+ 

^5E 

↓ [ T 品 J 凶 _{? 2} 忠 J

^兵芯叫巳

包 ^{ι U t J ￨ ば 乙} ρ _か ^{μ ( 例}

^{b川 ((}

+ 

^5 E _[ 

TJ♂品叫 f2 ^{志芯凶;旦込剖主} ι~ ^{，I山ぷト(い仇 σ 九山 Z}

+5EL72tlL(bz(U1271‑1(u))

山 ) d U n

(6.62) 

T1三^t三T1

+

ん (6.63)

条 件 (A)の (6.10)，(6.11)に注意すれば， (6.63)から

が 導 か れ る .

E[ SUp IXn(s) ‑X(S)12] 

T1<s<t 

三 S E [ I X

^η

( T

1)‑

x ( T

1)1²] 

+ 川

2L E [ T 芯

^IXn‑lCU)

ーの)

^12ds 

+M2LE[T 忠￨九一

1( 'U)

ーの

)1²ds

+ 

20hM2_E[  SUp  IYn(U)'12] 

T1壬^{u~TI+ 九}

+ 

SM2h2E[  SUp  IYn('U)12]

， 九三

t

三

T1

+

^{九 (6.64)} 

T1壬^u三T1+九

E[ SUp  ^IXn‑l('U) ‑ X('U)12] 

Tl <u<s 

2E[  SUp  IYn(^'U)12] + 2E[ SUp IXn(^'U) ‑ X(^'U)12]

， 

T1三^u三T1+17，  TI <U<S 

T1 ~ ^S ~ T1 

+

九 99 

であるから， (6.64)より

E [  

sup  IXn^ーl(U)‑X(U)12J 

T1<u三s

三 5 E [ 1

_Xn (T_1) ‑ X (T₁₎ 

1 2 J  + 

40Ji12 

[ t   E [ ̲   S ~lp_

^{IXn (U) ‑X (U) 12Jds} 

JTI  T₁三^u三s

10NJ2h 

( t   E [  

sup  IXn(u) ‑X(v.)12Jds 

JT1  Tl <U<S 

+ 

(40M2 h 

+ 

10M2 

h ?  + 

20M2

九 十

5M2h2)E[ sup  IYn(t)1²J 

Tl三t三Tl+九

三九 +

(40M2 

+ 

^10M2h) 

[ t   E [  

sup  IXn(u) ‑X(U)12Jds

， 

JT1  T1壬^U壬s

T1 ~ t ~ T1 

+

九.

し た がって Gronwa11の不等式より

E[ sup IXn(s) ‑X(S)12J ~ 6_ne(40M²h+l0M²h²⁾

，  九三

t

三九十九

T1壬^s壬^t

ゆ え に

lim E[  sup  Ixn(t) ‑X(t)12J = O. 

n →∞ TI~t 三 T1+h

が 導 か れ ， こ れ は T₁の 定 義 に 矛 盾 す る .

Chapter 7 

結 論

7 . 1   要約

以 上 ， 本 論 文 で は 確 率 微 分 方 程 式 の 解 の 係 数 に 関 す る 安 定 性 と 解 の 逐 次 近 似 解 の 収 束 に 関 す る 理 論 的 研 究 に つ い て の 考 察 を 行 っ て き た.要 約 す る と 以 下 の 通 り で あ る .

ま ず 第 1章 で は 序 論 と し て white noise型 の 確 率 過 程 の 項 を 含 む 微 分 方 程 式 に 生 じ る 問 題 点 、 に つ い て 論 じ た . そ こ で は 通 常 の 常 微 分 方 程 式 の 方 法 に 替 わ る 新 し い 解 析 方 法 の 必 要 性 を 明 ら か に し た.伊 藤 に よ る ブ ラ ウ ン 運 動 lこ 関 す る 積 分 概 念 、 の 直 観 的 定 義 を 与 え ， そ れ に 基 づ く 確 率 微 分 方 程 式 に つ い て 論 じ ， な ら び に 本 論 文 の 目 的 お よ び 構 成 に つ い て 述 べ た .

第 2章 で は 以 後 の 章 の 基 礎 と す る た め に ， 連 続 な 確 率 過 程 の 定 義 を 与 え ， そ の 基 本 事 項 に つ い て 述 べ た . さ ら に 確 率 過 程 の 時 間 的 発 展 を 記 述 す る の に 都 合 の よ い あ る Borel集 合 体 の 族 に 適 合 し た 確 率 過 程 の 概 念 を 述 べ た.確 率 過 程 の 理 論 で 基 本 と な る ブ ラ ウ ン 運 動 に 基 づ く 確 率 積 分 の 定 義 を 与 え ， そ の 基 本 公 式 で あ る 伊 藤 公 式 に つ い て 論 じ た . 伊 藤 積 分 と 異 な る 種 類 の 確 率 積 分 で あ る Stra.tonovich積 分 と の 関 係 に つ い て も 述 べ た.

第 3章 で は 確 率 微 分 方 程 式 に 関 し 以 後 の 章 で 必 要 と な る 事 項 を 総 合 的 に 解 説 し た.まず 確 率 微 分 方 程 式 の 解 に 関 し て、弱 い 解 と 強 い 解 の 概 念 、 を 導 入 し 両 者 の 関 係 に つ い て 論 じ た. 解 の 一 意 性 に つ い て も ， 道 ご と の一意性と法員IJの 意 味 で の一 意性の概念、を定義しその相互 関 係 に つ い て 述 べ た.本 論 文 で は 主 と し て 強 い 解 の 道 ご と の 一 意 的 存 在 の も と で 理 論 を 展 開 し た.そ の た め 強 い 解 の 道 ご と の 一 意 的 存 在 の よ く知 ら れ た 十 分 条 件 を 述 べ た. 一次 元 確 率 微 分 方 程 式 に 対 す る 比 較 定 理 に つ い て そ の 概 略 を 述 べ た.確 率 微 分 方 程 式 の 解 は 一 般 に ， 爆 発 時 間 と よ ば 、 れ る ラ ン ダ ム な 時 間 ま で 存 在 す る.本 論 文 で は 爆 発 時 間 は つ ね に 無 限 大 と な る 場 合 の み を 考 察 した. しか し 一 般 に 有 限 時 間 で 爆 発 がおこ る か 否 か は 重 要 な 問 題 で ， そ れ に 対 す る 判 定 法 に つ い て も 述 べ た.確 率 微 分 方 程 式 の 解 を 通 常 の 積 分 と 確 率 積 分

101 

の 項 を 用 い て 求 積 法 で も と め る こ と は一般 に 困 難 で あ る . そ こ で い く つ か 古 典 的 な 解 法 を 総 合 的 に 解 説 し た .

第 4章 で は 確 率 微 分 方 程 式 に お い て ， 係 数 が 各 々 適 当 な 意 味 で 収 束 す る と き 解 の 安 定 性 の 十 分 条 件 を 確 立 し た .Stroock‑Var.adhanは 確 率 微 分 方 程 式 の 解 の 安 定 性 を 111artingale problenlの 枠 内 で 議 論 し て お り ， 法 員IJの 意 味 で の 安 定 性 (weak stability ) を 考 察 し て い

る . こ れ に 対 し 我 々 は 解 の 道 ご と の 意 味 で の 安 定 性 (strong stability ) に 関 す る 十 分 条 件 を 導 い た . ま ず 最 初 に Ljapunov関 数 列 の 存 在 に よ っ て 解 の 安 定 性 の 問 題 を 定 式 化 し た . 具 体 的 例 に 対 し Lja.punov関 数 列 を 構 成 し ， 必 要 な 条 件 を 満 た す こ と を 確 か め た . Gihma.n‑ Skorohodに よ っ て 示 さ れ た 結 果 の 拡 張 に な っ て い る こ と を 明 ら か に し た . 一 般 に 具 体 的 例 に 対 し Ljapunov関 数 列 が 必 要 な 条 件 を み た す こ と を 示 す の は 容 易 で な い こ と を 考 慮 し ， さ ら に 係 数 の 収 束 条 件 を 弱 め る た め に 問 題 を 再 定 式 化 し て ， 主 要 な 結 果 を 確 立 し た . これ を 応 用 し て 非 線 形 フ ィ ル タ ー の 安 定 性 に つ い て 研 究 し ， シ ス テ ム が 確 率 微 分 方 程 式 で 表 さ れ る 場 合 そ の 解 が 安 定 で あ れ ば フ ィ ル タ ー も 安 定 で あ る こ と を 論 じ た .

第 5章 で は ， 確 率 微 分 方 程 式 の Picardの 逐 次 近 似 解 に つ い て 研 究 し た . 確 率 微 分 方 程 式 の 係 数 が 連 続 で あ れ ば 道 ご と の 一 意 性 を 示 す だ け で ， 強 い 解 の 一 意 的 存 在 が わ か る . よ く 知 ら れ た 十 分 条 件 は Lipschitz条 件 で あ る . こ の 場 合 は 伊 藤 に よ って Picardの 逐 次 近 似 の 方 法 で 直 接 に 証 明 さ れ た . 一 方 過 去 20年 間 に 道 ご と の 一 意 性 を 保 証 す る 多 く の 条 件 が 求 め ら れ た . し か し そ れ ら の 条 件 の 中 で 逐 次 近 似 解 が 真 の 解 に L²収 束 す る こ と が 示 さ れ た 例 は わ ず か で あ る . 本 論 文 で は 確 率 微 分 方 程 式 の 強 い 解 の 一 意 的 存 在 を 保 証 し ， さ ら に 逐 次 近 似 解 が 真 の 解 に L²収 束 す る い く つ か の 異 な っ た 条 件 に つ い て 考 察 し た . 一般 化 さ れ た Osgood条 件 や 南 雲 条 件 の 一 般 化 で あ る Ka^.lllkeの 条 件 を 満 た す 場 合 に 逐 次 近 似 解 が 収 束 す る こ と を 示 し た . さ ら に Krasnosel 'skii‑E reinや Bra^，uerが 導 入 し た ク ラ ス に つ い て も 同 様 の 結 果 が 成 立 す る こ と を 明 ら か に し た . 即 ち 常 微 分 方 程 式 の 一 意 性 を 保 証 す る 多 く の 条 件 の 下 で Picardの 逐 次 近 似 解 は 収 束 す る こ と が 明 ら か に な っ た .

第 6章 で は ， 確 率 微 分 方 程 式 の Newton法 に よ る 逐 次 近 似 解 の 収 束 条 件 に つ い て 研 究 し た . 常 微 分 方 程 式 の 初 期 値 問 題 の 逐 次 近 似 解 を 構 成 す る Chaplygin法 に 注 目 し ， こ れ を 確 率 微 分 方 程 式 に 適 用 し た . さ ら に こ の 方 法 に よ る 逐 次 近 似 解 が Ba.nach空 間 上 の あ る 確 率 作 用 素 に 対 す る Newton法 に 他 な ら ぬ こ と を 明 ら か に し た . 時 間 に 関 し て 局 所 的 収 束 条 件 を 求 め ， 近 似 誤 差 ( 収 束 速 度 ) の 評 価 式 を 導 い た . さ ら に 時 間 に 関 し て 大 域 的 収 束 の た め の 必 要 十 分 条 件 を 確 立 し た .

7 . 2   問題点と今後の課題

本 論 文 で 考 察 し て き た 逐 次 近 似 解 法 に 関 し て は ， ま だ 多 く の 問 題 点 や 課 題 が 残 さ れ て い る . 要 約 す る と 以 下 の 通 り で あ る .

l . 道 ご と の 意 味 で の 解 の 安 定 性 に 関 す る 結 果 を 応 用 し て 非 線 形 フ ィ ル タ ー の 安 定 性 を 考 察 し た 際 ， 通 信 機 構 を 表 す 確 率 過 程 F_tを 系 過 程 Xtだ け の 関 数 と 仮 定 し た . 確 率 過 程 Ftは 観 測 に も と づ く フ ィ ー ド パ ッ ク を 含 む こ と も あ る の で ， こ の と き 非 線 形 フ ィ

ル タ ー の 安 定 性 の 確 立 が 残 さ れ た 問 題 で あ る .

2.常 微 分 方 程 式 の一意 性 を 保 証 す る 多 く の 条 件 の 下 で Picardの 逐 次 近 似 解 が 収 束 す る こ と が 明 か と な っ た . し か し 確 率 微 分 方 程 式 に 特 有 の 条 件 の 場 合 ， 特 に α

三 i

HddeI  条 件 の 場 合 に は 第 5章 の 手 法 は 有 効 で な く 新 し い 手 法 の 開 発 が 必 要 で あ る . さ ら

に α>jmde17条 件 の 場 合 に は Piωdの 逐 次 近 似 解 が 収 束 し な い 可 能 性 も あ り ， 難 し い 問 題 で わ か っ て い な い .

3.確 率 微 分 方 程 式 の Newton法 に よ る 逐 次 近 似 解 の 収 東 条 件 に 関 す る 研 究 は 始 ま ったば か り で あ る . Lipschitz条 件 の 場 合 を 除 い て わ か っ て い な い .Lipschitz条 件 を 弱 め る こ と は 今 後 の 課 題 で あ る . 本 論 文 で の Newton法 は 1次 収 束 す る . こ の 点 に 関 し て は， Banach空 間 上 の 確 率 作 用 素 に Newton法 を 適 用 し た Bharucha‑ReidとKannan の 結 果 も 同 様 で 逐 次 近 似 解 は 1次 収 束 す る . しかし Newton法 は 本 来 2次 収 束 す る の が そ の 特 徴 で あ る か ら ， 今 後 誤 差 評 価 の 改 良 が 望 ま れ る .

4.一 般 に ， あ る Hilbert空 間 に 値 を と る 確 率 微 分 方 程 式 の 逐 次 近 似 解 の 収 東 条 件 を 論 ず る こ と が で き る . 無 限 次 元 空 間 上 の 確 率 微 分 方 程 式 に 対 す る 関 心 が 高 ま っ て い る の で ， こ の よ う な 場 合 の Pica.rd法 や Newton法 の 収 束 条 件 の 研 究 は 今 後 の 課 題 で あ る .

5.確 率 微 分 方 程 式 の Newton法 に よ る 逐 次 近 似 解 の 電 子 計 算 機 に よ る 数 値 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン も 考 え ら れ る . 解 を 数 値 的 に 求 め る た め の一 手 法 と し て の NewLon法 の 興 味 深 い 問 題 で あ り 今 後 の 研 究 が 望 ま れ る .

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ドキュメント内 確率微分方程式の逐次近似解に関する研究 (ページ 98-114)