逐次近似解に対するもう一つのアプローチ

こ の 章 で は Picardの 逐 次 近 似 解 の 収 束 に 対 し 異 な っ た 観 点 か ら 考 察 す る . 5.2節 の 証 明 で 本 質 的 な 役 割 を 果 た し て い る の は ， 二つ の 関 数 列 {仇

( t ) } k = O

，1，...，{仇

( t ) } k = O

，1，  であっ た.関 数 ゆo

( t )

を O三 弘

( t )

三仇

( t )

(k=O

，

l

， . . . )

か っ 仇

( t )

は kの 単 調 減 少 列 と な る よ う に 構 成 で き れ ば よ い.そ の た め に Dieudonneに よ る 補 題 5.5を 必 要 と し た.山 田 [43]の 手 法 で は 時 間 に 関 し て 局 所 的 に ゆ 。

( t )

を 構 成 し ， ま ず 最 初 に 局 所 的 な 意 味 で 逐 次 近 似 解 の 収 束 を 証 明 し ， そ の 後 背 理 法 に よ り 実 際 は 時 聞 に 関 し て 大 域 的 な 収 束 に な っ て い る こ と を 示 す も の で あ る . 一般 に 大 域 的 に ゆ

O ( t )

を 構 成 す る の は 困 難 で あ る.こ の 章 で は 条 件

( D )

を 一 般 化 し た り ， そ の 他 の 条 件 の 下 で 問 題 を 考 察 す る と き は 別 の 異 な っ た 観 点 か ら の ア プ ローチ が 有 効 で あ る こ と を 示 す.

いま

σ: 

[ 0 ， ∞ ) 

X R^d→ R^d③ R^T

， 

b: [0

， ∞) 

X R^d→ R^d 

とする .与 え ら れ た 久bに 対 し 方 程 式

d x ( t )  

=σ

( s ，  x ( t ) ) d B ( t )   +  b ( s ，  x ( t ) ) d t  

^(5.22) 

を 考 え る.いま，係 数 CJ

，

bに つ ぎ の 条 件 を お く.

(A)  σ

( t

，

x )

，

b ( t

，

x )

は [0

， ∞)

X 

R

^{d上 で 連 続} (B) 正 定 数 Kが 存 在 し

￨σ

( t ， 

X)12 

+  I b ( t ， 

X)12三1{(1

+ 

Ix12)  ^(5.23) 

がな りたつ.

(D.l) (0，∞) x R上 の 連 続 関 数ω(t

，

u)は ， 固 定 し た 各tε(0，∞)に対し，

uの 増 加 凸 関 数 で、ω

( t ，

O)= 0をみたす. こ の と き す べ て の

い ，

x

，

y)ε(0，∞) X 

R

^d X 

R

^{dに対し，}

￨

σ

( t

， 

x )  ‑

σ

( t

， 

y ) 1 2

十

I b ( t

，

x )  ‑b ( t

， 

y ) 1 2

三ω

( t

，

I X  ‑ y 1 2 ) 

が な り た つ.

(.5.24) 

以 下 で は 任 意 の T

> 

1を 与 え て 区 間 [0，TJ上 で 考 察 す る.方程式(.5.22) の 逐 次 近 似 解 を(.5.3) と 同 じ よ う に 定 義 す る .

関 数 族 L2を

川

( t )

=

と + f o ' ^{σ (}

^山

^{( s ) ) d s ( s ) +} f o ' ^{b (}

^山

^{( s )) d s}  

X ( t )  

=ご

1. 

f ( t ，

ω)は

( t ，

ω)‑可視JI

2. 

f ( t

，')^は

F

t‑可視IJ

( t

三0)

3. 

E [ l f ( t ，

ω) 

1 2 J  <  + ∞ ( t ε [ 0 ，  T ] )  

をみたす関 数 の 集 合 とする L2^{の ノ ル ム を}

l I f l b

= 

[ E [ l f ( t

，ω)￨211tで 定める.定 理を 述 べ る前にいく つ か の 準 備 が 必 要 で あ る .

補題 5.8p

三

1とする.係 数σ，bが条件 (B)をみたすとする.あ る 正 定 数 ]<(p，T) ( p， Tと

( B )

に お け る

K

の み に 依 存 す る 数 ) が 存 在 し

E l [ x  ( t )  1 2 p J

三]<(p

，

T)(l 

+ 

E[IC‑

1 2 P ] )   ( t ε [ 0 ， 

T]) 

E [ l x k ( t ) 1 2 P J  : : ;  

]{(p

， 

T)(l 

+ 

E[IC‑

1 2 p J )   ( t ε [ 0 ， 

T])  が な り た つ.

(.5.2.5)  (.5.26) 

補題 5.9係 数 σ，bが 条 件 (B)を み た す と す る.正 定 数 C1( 以 下 ， 単 に 定 数 と い う と き は， T

， 

]{， ]{(p

， 

T)と EI[c‑12

]の み に 依 存 す る 数 〉 が 存 在 し

E [ l x k ( t )  ‑X ( t ) 1 2 J  : : ;   C

1

t  E [ l x ( t )  ‑ X ( t ) 1 2 J

三

C

1

t

が な り た つ.ここで

x ( t )

と

x ( t )

は (5.22)の 解 で あ る.

67 

(.5.27)  (.5.28) 

(証明) (5.27)

，

(5.28)は 本 質 的 に 同 じ で あ る か ら(5.27)の み 示 す.

より

州)一仰) =  10'(山ト

1(S))

一 山

(s)))dB( s) 

+  I o '

^{(b(山 一1(S))一b(い (s))) ds} 

引いたい) ‑

x(t)12]

三叫

^t(

^{山 ト}

^1(S))

^{一 山}

^{(s)))必 (s)}

^{1 "} 

明

1 1 0 '

(b(s， Xk‑1 (s)) ‑

山 州 の l '

:C  2 

1 0 '  

E 

1 [ σ

(s

， 

Xk+1)

一 σ (

い (s))

1

^2] ds 

+ 吋

^{tE[lb(山 +1)‑}

^{6 (}

^{い (s)) 12] ds} 

:C  4 

1 0 '  

E 

1 [ σ (

^{引 い}

) 1

²

+  1 σ (

^い (s)) 

1

^2] ds 

+ 吋

^{tE[￨b(SA‑1)￨2+lb(}

^川

^))12]ds 

:C  8T 

l 

^E 

^{[ J {}  

^(1 + 1 X

^叫

^{S)12)+ 1((1 + Ix(s)12)] ds} 

::;  C1t. 

こ こ で (5.25)

，

(5.26)を 用 い た.

いま Ak(t)= lIxk(t) ‑x(t)lbとおいて A(t)と入(t)を

A ( t) = luu S U P A k ( t ) 

入(t)二 linlSUpE[lxk(t)  ‑x(t)12] 

によ って 定 義 す る .

補 題 5.10関 数 族 {Ak(t)}は 正 規 族 で あ る . す な わ ち

(1)  IAk(t)1 ::;  2

伝

^Tt

(2)  IAk(t1) ‑Ak(t2)1  ::;  2

f C ;

^lt1^ーら

I t

が な り た つ .

( 証 明 〉 ら > む と す る . E[lx(t2) ‑x(t1)12

]

三 加 I t ^山

^(s))dB(s)I'

⁺ 叫川内))の l '

(5.29)  (5.30) 

ゆ え に

同 様 に し て

ら>

t

1 とする.

< 

2 

J ^肝 f f ^{円 : !}

²

冶 司 ^{戸 川 町}

^E[1

^山 い ω (

^{州 州 川 川Sりめ州川川)リ}

^{y 川}

^川川川1

^門

⁾²

^可

^2川

^{] d s}

^{什山ベ+什叫2}

^{引 ( い}

<2fE[K(1+1 2 い ) 1

²

加 2 ( t 2 ‑ 叶戸川 ^{+ I x ( s ) 1 2 ) ] d s}  

:::;  C2(ら ‑

t

1) 

E[lx(

ら )‑ x ( t

1

) 1 2 ]  : : : ;   C 2 1 t 2  ‑

t11 

( t

11 

t 2 ε [ 0 ，  T ] )  

E [ l x k ( t 2 )  ‑ X k ( t

₁

) 1 2 ] 三C

21t2‑t11 (t1Jら

ε _{[ 0 ， T ] )}  

Ak ( t 2 ) 

= 

I I X k ( t 2 )  ‑x ( t 2 ) I I 2 

: : : ;   I I X k ( t

1) ‑

x ( t

1

) I I 2  + 

11

九(ら)一九(む

)112

+ I I x ( t

1) ‑

x ( t 2 ) I I 2 

< 川

1)

+ 

²

布 ￨ い

ら と む を 入 れ 換 え て

I A

k(t₂) ‑ A

k (

t1)1ο

布

^lt2‑t1lt

t

₁ 

= 

⁰

，  ^t 2  =  ^t

^とおくと

IAk(t)1

三2 j C ; ^{T t}

^(tξ

^{[ 0 ，  T ] )}  

補 題 5.11

(1) 

A ( t ) ，

^入

( t )

は 連 続 で あ る

(2)  任 意 の ε>0に 対 し ， 正 定 数 ηo(ε)が 存 在 し k

三 n o ( ε )

ならば

A k ( t ) 三 A ( t ) + ε ，  t ε [ 0 ，  T ]  

となる

(証明)最初に

A ( t )

の 連 続 性 を 示 す .

{ A k ( t ) }

は 同 程 度 連 続 で一様 有 界 で あ る か ら一様 収 束 す る 部 分 列 が と れ る . そ の 極 限 関 数 を ゆ

( t )

とする. {ゆ}で 極 限 関 数 全 体 を あ ら わ す と き ，

A ( t )  

= sup

ゆ ( t )

69 

である. し た が っ て 任 意 の ε>0に対し，

ゆ

1が存在し点、 t1^で

ゆ

1(tl)+;>A(tl)

となる.

仇 ( t )

の一様 連 続 性 よ り ， あ る 正 定 数 5(ε)が存在し，

Itl一川く伶)二今 ￨

仇

^(t1 ) 一 山)1_{く ;}

し た が っ て

A(t₂₎三 川2)_三仇(t1)‑;>A(t1)‑ε

む と ら を 入 れ 換 え て

A(t₁₎どA(

ら)

^‑ε 

ゆ え に It1‑t21^く 5(ε)=キ IA(t1)‑A(ら)1<ε . A(t)が 連 続 で あ る か ら 入(t)も連続と なる . [0

，  T

]上 で一様 連 続 で あ る か ら ， 任 意 の ε>0に 対 し 適 当 な 5(ε)を 定 め て s、企

ε [ 0 ，  T ]

^が Is一計く 5(ε)で あ る 限 り

￨的)‑ A ( S ) I   <  ' i

^ε 

^心

^(S)

一 州 ￨ < :

が な り た つ. [0

，  T ]

の 分 割 5

= 

^{O 

= 

^{Soく S1く く Sm}

=  ^{T }}

^{をとり ，} 151 

< 

^{5(ε)とする.} A(t)の 定 義 よ り 各 点 れ に 対 し正 定 数 Nε(Si)が 存 在 し

んど Nε (Si)₌刊 (St)5A(ST)+:

となる nO= ¹¹¹a.XO<t<m N，ε(Si)とすると

じ

η03AK(sJU(St)+; (t=011? 7 m)

t1

ε ^{[ 0} ，  T J

を 固 定 す る と い₁^‑

s t l

^{く 5(ε)と な る 分 点 Siが 存 在 す る.こ の わ と} S1，

，

_こ対し

一 様 連 続 性 よ り

￨A(t1)‑h)￨<‑1lM1ε  )‑ h)￨<; 

3  し た が っ て

︻ ニ 一

︑1 J F

﹄

一 勺

'u一A7J‑十︑︑BE︐J︐︐︑︑︐ ︐ ︐ ︐

︐

c u t  

‑ ‑

s  

'K

/

It‑ ‑ ︑

A A  

<

一

<

︐?'υ ︐︐a目︑︑'K A 

一 方

A(_む

) ‑ i

^{三A(si)ざA(tl)+:}

よりたど noな ら ば

Ak (t₁₎

三

A(ST)+;ε

::;  A(t₁

)+ 三

+2ε

=

A(t1) 

+

ε  3  3 

補 題

5 . 1 2

^{係 数 σ}

，

bが 条 件

( A ) ， ( B ) ，

(D.1)を み た す . さ らに (0

，

T]上 で 定 義 さ れ た 関 数 で ω(t

， 

u)三χ(t) (t

， 

u)εB 

となる Lebesgue積 分 可 能 な 関 数 χ(t)が 存 在 す る も の と す る . こ こ で Bは

( 0 ， T ]  

x R の 任 意 の 有 界 集 合 で あ る . こ の と き

が な り た つ .

(証明〉

入

( t ) 三吋

^tω(S

^，

^，)

^{( s ) ) 九 日 ( 刊}

E

町 叫

1[九川川+刊川1バ(れ

ω ^{t )}

^{一 刈仰刷tけ引川)川￨州}

+吋

^t

^{山 k ( S ) )‑} い ( S ) ) ) イ

< ;  

2 

! o ' ^{E I 山 k ( S ) ) 一 山 い ) ) 1 2}

^ds 

+ 吋

tElb(SA(s))

一 い

(s))1

2 ds 

<  吋

^{t E町叫剛恥[レ}

M 川

ω刈内(いS只 叶 叶 山 ，仏

ぶ

川

1 川

IX^Z九k

バ ω (

<  吋

^t

〕

^ω

い (

s^{ゆ 判 ，}

， 引

EE町 恥 [ 補 題 5.11よ り 任 意 の ε>0に 対 し 正 定 数 no(ε)が 存 在 し て

たど no(ε)

コ

Ak(t)

三

A(t)

+

ε 

入た(t)= A~(t) = E[IXk(t) ‑x(t)1²]と お く と

入k(t)= A~(t) 三 (A(t)

+

ε)2 

< 峠

)+2)

三

^Ttε+ε2

71 

(5.31) 

(5.33) 

( 5 . 3 2 )

^とω(s

，

'U)^はuに 関 す る 増 加 関 数 で あ る こ と か ら 入糾1(t)

三 ト ( 山

(s))ds 

<  l a ' 山

^(s)

⁺ 

²

r c ;

^Tt

^ε+

^♂)ds 

Lebesgueの 有 界 収 束 定 理 よ り ε→ Oとして

入 川(t)

ざ か ( 川)

)ds 

lunsuPk→∞ を と っ て

入(t)

寸

^{tω(s，A(s))ds} 

さ て つ ぎ の一般 化 さ れ た Osgood条 件 を 仮 定 し よ う . こ の 仮 定 は 条 件 (D)の一般 化 に な っ ている.

(D 

.2)  (0， TJ上 の 連 続 関 数 ω(t

，

'U) 

=

ゆ(t)p(

' U )

は つ ぎ の 2条 件 が み た さ れ て い る も の とする.

(1)  (0， TJ上でゆ(t)^{は 連 続 で} 似 位 0，

。 え ゆ ^{( t) d t}  

^<

^∞ 

(2)  [0^， TJ上 でρ('U)は 非 負 の 連 続 増 加 関 数 で

p ( O )  

= 0， 

(三と

ん

oρ(

' U )

こ の と き ， す べ て の (t，久y)

ε

⁽⁰，TJ x Rⁿ x Rηに対し

￨

σ(t

， 

x)一

σ

(t

， y ) 1 2   + 

Ib(t

， 

x) ‑b(t

，  y ) 1 2

三ω(t

， I

x ‑

y 1 2 )  

をみたす.

つ ぎ の 定 理 は 定 理 5.1の 拡 張 に な っている.

定 理

5 . 3

係数 σ，b条 件

( A )

，

( B )

，

( D . 1 )

，

( D . 2 )

をみたし， E[I

と

12J< ∞ で あ る と き ，

，

lun E 1 s u p 1 x k ( 

t )   ‑

x ( 

t  ) 

¹²¹ 

= 

0 

κ→∞ IO<t<T 

が な り た つ.

(証明)補題 5.12より

入(t)^三 lin

とおくと

川 t ) 寸

^tω

^{( s}

^，

^{A ( s ) ) d s   日 ( 刊}

条 件 (D.2)の (1)

，

(2)を み た す ω

( t ，

u)に 対 し 上 の 式 か ら 入

( t )

三

0 ， t ε [ 0 ，  T ]

^{が 導 か れ る}

の は よ く 知 ら れ た こ と で あ る . ま た

三 2 E L ; $ 1 1 5 ( σ (

^{川 (u))‑}

^{山 川 町}

^u)

1

² 

+ 2 E L 2 3 T l f ( b (

^{川 (u))}

^~

^b(u

^，

^X(U)))dun 

Doobの マ ル チ ン ゲ ー ル 不等 式 と Schwartzの不等 式 よ り

E [ 。おいたい)ーの w ]

三

81TE[￨

山 山 ) ) 一 山 い ^{) ) 1}

²]du 

+ 

^2T 

f 

^E 

^{[ I b ( いれ))‑}

^b(

^い

^(u))12]du 

三

^8T

f  ^{E [ ω ( 山山)ーの) 1 2 ) ]}  

^du 

三吋

^T

^州

^E[IXk(u)

^{ー の)}

^12])du 

入(t)=JPE[￨ZK(t)‑z(t)￨2]=0

(5.34) 

で あ る か ら (5.34)で k→ ∞ に す る と

̲ l i

^n1 E 1 su p ₁ X k (t)  ‑X ( t) ₁²₁ = 0 

K→∞ IO<t<T 

が 示 さ れ る.

常 微 分 方 程 式 の 一 意 性 の 十 分 条 件 と し て 有 名 な 南 雲 条 件 ω

( t ，

u) = 

U / t

^{は 条 件} (D.2)^をみ

た さ な い . ま ず Krasnosel'skii‑Krein[20]に始まり Brauer[3]が 導 入 し た つ ぎ の 条 件 (D.3)

を み た す ク ラ ス を 考 え よ う .

︑︑ ︐ ︐ ︐

ノ

qJ  

D 

〆' a

︐ ︑ ︑

•

1.  _Wi ( 

t ，  u )  

i = 1

， 

^2は

( 0 ， T ]  

x R上 で

( t ， u )

の 連 続 関 数 で 固 定 し た tに対し uの 非 負 増 加 凸 関 数 で

，

Wi(t

， 

0) = 0とする

73 

2.  A(t)

， 

B(t)は [0，TJ上 で 連 続 で A(O)= B(O) = 0， 1in1t→oA(t)/B(t) = 0でさ ら に つ ぎ の 2条 件を み たす も の と す る.

(a)  u' =ωl(t

， 

u)の す べ て の u(O)= 0と な る 解 に 対 し

u( 

i ) 三A

(t)

，

t

ε[0 ， 

TJ 

(b)  ザ=ω2(t

，

υ)の 解 で 1in1t→oV(t)/ B(t) = 0を み た す 解 は υ(t)三 Oに限る

こ の と き す べ て の い う ムy)

ε(0

，TJ x R d X R d に対し

￨

σ(t

， 

x) ‑σ(t

， 

y)12

三川

(t

，

Ix ‑y12) i = 1

，

2 

をみたす.

注

5 . 3

条 件

( D . 3 )

を み た す 例 と し て Krasnosel'skii‑Kreinは ω1(t

， 

u) = pU

ぺ

^ω2(t，u) =  仇

/ t ，

Oく k】p

，

Oく αく 1

，

k(1^ー α)く 1の 場 合 を あ つ か っ た . こ の と き

A(t)=p(l‑α)t

己 C ; ，

B(t) = t^k 

である.ま た こ の よ う な 連 続 率 を 持 つ 関 数 と し て

Z

Ft

一

//

'一k

<

一

f

し

l一 寸<

一

120 

4 k

<

一

<

fl11¥ハUZ 々b一c

z

ω

いム

dn

同

fl lj ti ll

‑ 一 一

Z σ 

を 構 成 し た .

以下 drift項

b ( t ，

x)三 Oの 場 合 の 確 率 微 分 方 程 式

dx(t) =σ(t

， 

x(t))dB(t) 

( 5 . 3 5 )  

を 考 え る .

命 題

5 . 2

^{係 数} σが 条 件

( A )

^，

( B )

^，

( D . 3 )

を み た す と き ， 方 程 式

( 5 . 3 5 )

^{の 強 い 解 が一意 的 に}

存 在 す る .

(証明) x (t)と金(t)を x(O)

=

会(0)となる (5.35)の解とする.

ま7こ

ゆ え に

仰州)

三 E

町 叫 ¥ 昨 [ 剛

^{( 川}

x

Z

刈 ( 例

一 E

削 ( れ

t

け ) 川 川

= 

E 

' 1

¹

^{山 (}

^s

^{) ) 一 山 ( s ) )}

^¥2 ds 

: s

;

    ' l

^E[同

^{( s ， ¥}

^X(s

^{) 一 刷 ¥}

²

^{) J d s ，}

^{z二 1】2}

: s

;

    ' l

^W

^{， ( S ，  E I}

^X

^{( S )一 件 ) ¥}

²

^{) d s}  

= 

  ' l

^W，

^{( S ， 仲 ) ) d s}  

ゆ

(t

+ 

h) ‑ct(t)  =  E[¥x(i 

+ 

h)一主(t十九

) ¥ 2 J ‑

E[¥x(t)  ‑X(t)¥2J 

f o ' + h   ^{E [ I} 山 ( s ) ) 一山い)) ¥

2

J d s  

‑ 1 ' ^{E [ 1 山}

^(s))

^{‑ 山 ( s ) ) ¥}

²

^{J d s}

=  [ + h   ^{E [ I 山 ( s )) 一 山 ( s ) ) ¥}

^2ds

<JHI L t ( ^ゆ

rt+九

φ( ￨

t 

+ 

h) ‑

ゆ

(t)¥

三 I

W! (s

， ゆ

(s)) ds  ^i = 1

，

2.  し た が っ て ゆ(t)は 絶 対 連 続 で あ り

D+

ゆ

(t)

三 ￨ ダ

(t)¥

三

ωi(t

， ゆ

(t))

，

i=1

，

2  (5.36) 

が な り た つ . こ こ で D+ゃれ)はゆ(t)の 右 微 分 係 数 で あ る . ゆ(t)

三A

(t)

，

t

ε [ 0 ，  T J

を導く . 証 明 は 背 理 法 に よ る.いま Oく σ

三

Tを み た す あ る 点 σで ゆ(σ)

>  A(

σ)と 仮 定 す る .

Caratheodoryの 存 在 定 理 よ り 点 σの 左 側 の あ る 区 間 で

u'(t) =ωl(t

， 

u)

， 

u(σ)=

ゆ

(σ)

> 

0 

の 解 が 存 在 す る .こ の 区 間 上 で

u(t)

三ゆ(

t)

( . 5

.37) 

が な り た つ. (5.37)を 背 理 法 で 示 す.ある

c

<5:σが 存 在 し u(ご)=ゆ(ご)しかもとに十分近 い点 tく ご に 対 し て は u(t)>ゆ り と な る .

u ( ご ) ‑ u ( ご‑ h )  

=

ι ^{山 い}

75 

u (

ご)=ゆ(ご)より

州 ‑ u ( c 一同 = t h ^{ω 川 州s}

一 方 uと ゅ の 大 小 関 係 よ り

ω1 (t

，

ゆ(t))三ωl(t

， 叫t

))

，

ご一九三 t三ご

また

( 5 . 3 6 )

より

ゆ(ご)一件(

c

‑h)三

J U 1 ( S ?

^{仲 ))ds} 

で あ る か ら

QU Jα ︑︑︐ ︐ ︐ ︐

︐

QU AV 

CU 〆'SEt︑︑ ー ム

ω 

L叫F

︑ 一

fl

> 一 ん ︑

c u 

Iα ︑︑BE︐︐︐︑︑︐ ︐

f

︑ 心

︑︑ ︐ ︐ ︐

/

︐

︐︐lh

い 一

u 

f c  

hい 刈

門

同 一

f斗

f A u u

il

点︑利判

二<一

︑︑ !

︑_{t v} /

fr

︑

υ 

︑︑︐ ︐ ︐︐片F¥ザ

i v  

ゆ え に

u (

^ご‑h)三学(ご ‑h)こ れ は と の 定 義 に 矛 盾 す る . し た がって

( 5 . 3 6 )

が な り た つ . 解 u(t)は t= 0ま で 延 長 で き る . も し Oくc<σ が 存 在 し u(c)= 0な ら ば u(t)= 0 (t

ε 

(0， c))と 定 義 す る.

( 5 . 3 7 )

^より，ゆ(0)= 0で あ る か ら 1UUt→ou(t) = 0 . そ こ で u(O)= 0と 定 義 す る . 条 件

( D . 3 )

^より

u(t) _~ A(t) 

と こ ろ が u(t)の 定 義 と ゆ(σ)> A(σ)より u(σ)

> 

A(σ)こ れ は 上 の 式 と 矛 盾 す る の で

ゆ

(t)

三A

(t) 0<t 

< 

T 

( 5 . 3 8 )  

つ ぎ に ゆ

( t )

^三 Oを 導 く . あ る ηOくTくTが 存 在 し て ゆ(7)

> 

0と す る . 前 述 の 議 論 と 同 様lこしてがい)=ω2 (t

，

υ(t))の 解 で υ(ァ)=ゆ(ァ)， 0 ~ v(t)三ゆ(t)

，

v(O) = 0となる も の が 存 在 す る . し た が っ て

l~__ V(t)

ゆ

(t) ./  _{l~___} A(t)  lin1 ‑=‑一一<luu ~一一< lIIn ~一一二 o

l→OB(t) ‑=t^→

o 

B( t)  ‑= :i::‑o B( t) 

ゆ え に 仮 定 よ り υ

( t )

三 Oこ れ は υ(ァ)=ゆ(ァ)

> 

0に 矛 盾 す る . し た が っ て ゆ

( t )

三

o

(0三

t三T). 

定 理

5 . 4

^{係 数 σが 条 件}

( A )

^，

( B )

^，

( D . 3 )

を み た す も の と す る.

E [ I

と

1 2 J

^{く∞ で あ る 限 り}

( 5 . 3 5 )

の 逐 次 近 似 解 は 収 束 し

l p[023Tlzk(t)‑z(t)￨21=0 

が な り た つ.

( 証 明 〉 最 初 に

J 主 EE[lzk(t)‑z(t)￨21=03tε[0 ， T J  

を 示 す . 証 明 は 定 理

5 . 3

の 場 合 と 同 様 で あ る . ん

( t )

=

引いたい)‑

X 

( t )   1 2 J

と お く と

九 川 川 + バ

¹

刊 ( 川 山

一

E l l ( σ ^{( s ， X k ( S ) )  ‑山 ( s ) ) )d B ( S ) 1 2} 

=  [ + h   ^{E [ I 山 k ( S ) ) 一 山 州 2 J d s}

< ;   [川以 ( S

，

I X k ( S ) ーの)

¹²) J

久

^2二 1

，

2

<fL(sE[￨ 山 ) ー の) 1 2 ] ) d s  

入

( t )

= 

l

Iln s叩 k→∞入k

( t )

と お く と

￨

入

( t + 

h)一入

( t )

¹

三

lin

( 5 . 3 3 )

よ り 任 意 の

ε>

0に 対 し

n o ( ε )

が 存 在 し

た ど 町

(ε)= 今川)三川 t ) + 

2

布 T t ε + ε 2

ゆ え に

￨

入

( t

十九)一入

( t )

¹ 三

[ +

^件

h

^{州川+村刊l九 Z}

ε>0は 任 意 で あ る か ら

￨

入

( t

刊 ) 一 入

( t ) ₁

_三

f (sj(s))ds

ゆえに￨入

' ( t ) 1 : : ; ω ( t ，

^入

( t ) )

^{、 i = 1、2}が い え る . こ の 式 か ら 定 理

5 . 3

の 議 論 と ま っ た く 同 様 に し て 入

( t )

^{三 O}が 示 せ る . つ ぎ に

E [

ペ

^[lhhbO4

^{♂ 芯}

^;2

^{ぜ 品 巴}

²

^{: ι}

^?

^T

^￨川

²

^九州

^k

^バ(

< ;   4  f  ^{E [ ] 山 ト 1 ( S ) ) 一 山 ( S ) ) 1 2 J d s}

< ;  

4 

f ω i   ^{( s ， E [ l x 山 ) ‑ X ( s ) 1} つ の z = ^口

か ら

bE[022Tlh(t)‑z(t)￨21=0 

が 導 か れ る .

77 

注 5.4 η =1のとき

x 

(t)

こと+10'山 ( s ) ) d s ( s )

の 係 数 が

す べ て の

( t ，

x

，

y)

ε (

0

， T

] x R x Rに対し

Ix 

‑y

l 

￨σ(久

x )

一σ

t ( ， y ) 1

~ J

つ 「

^?0<J51

す べ て の (t

，

x)

ε[ 0 ，  T ]  

x Rに対し

￨

σ(t

， 

x) 1

三

]{(1

+  I x  1 2 )  

を み た す と き 道 ご と の 一 性 が な り た つ [9].定 理 5.2よ り 逐 次 近 似 解 は Oく

J < 

1のとき 収 束 す る か ら J=lの 場 合 が 残 さ れ た 問 題 で あ る.

そ こ で つ ぎ の 条 件 を 考 え よ う.

• (  D 

^.4 ) ( 

0

^， 

T ]  

^x 

R

上 で 定 義 さ れ た ω(t

，

u)は(t

，

u)の 連 続 関 数 で 固 定 し た t^に対し υの 増 加 凸 関 数 で あ っ て ， つ ぎ の 性 質 を も っ と す る .

イ(t)= ω(t， U)， 0ヲt三T υ(0) 

= 

D+μ(0) 

= 

0 

を 満 た す 解 は

u ( t )

三 Oの み で あ る.こ の と き す べ て の

( t ， x ， y ) ε

(0

，

T] x R x R に 対し

￨

σ

( t ， 

x) ‑σ

( t ， 

y)12三ω(t

，

^{IX  ‑}

y

12) 

が な り た つ.

命 題 5.3 [0， 

T ]  

x R上 の 有 界 な 連 続 関 数 σ(t

，

x)が 条 件 (D.4)をみたすとき，方程式 (5.35) の 強 い 解 が 一 意 的 に 存 在 す る .

(証明) x 

( t )

と

x( t )

を

x (

O

) = 

X(O

)

となる (5.35)の解とする ゆ(t)

= 

E

[ l x ( t )  ‑

x(t)12]と おく .命 題 5.2の 証 明 と 同 じ よ う に し て

￨グ

( t )

¹

三

ω

( t ， ゆ( t )

)

， t ε

(0

， 

T] 

がなりたつ. ゆ

( t )

三 Oを 背 理 法 に よ っ て 導 く. 0 <σ

<T

を み た す あ る 点 で ゆ(σ)

> 

0と 仮定 す る Caratheodoryの 存 在 定 理 よ り 点 σの 左側の あ る 区 間 で

イ(t)=ω(t^ぅ

u ) ， u (

σ)

ニゆ

(σ)

> 

0 

の解 u

(

t)が 存 在 す る .

(

5..37)と 同 様 に し て こ の 区 間 で

u( t)

三ゆ (

t ) 

が 示 さ れ る . この解 u(t)はt= 0ま で 延 長 で き ， u(O)二 Oとできる. したがって

u(t)

ゆ

(t)

Oく 一 一 < 一 一 一

t ‑ t  '

O<t<一 σ 

(

5..39) 

と こ ろ が li叫nlltトト‑一叫‑

られた事実でで、ある. したがって

u(t)  11+ 

→~t一 = D+u(O) = 0 

( D

.4)の仮定より u(t)三

O

となり u(

σ )

=ゆ

(σ)>0

と 矛 盾 す る . ゆ え に ゆ(t)三

o . 

定 理 5.5 [0

， 

T] x R 上 の 有 界 連 続 関 数 σ(t

，

x)が 条 件 (D.4)をみたし， E[Iと 門 < ∞ と す る.

( . 5

.35)の 逐 次 近 似 解 は 収 束 し

，linl E I Sup IXk(t) ‑

x ( t ) 1

²¹ 

κ→∞ IO<t<T 

が な り た つ.

(証明〉最 初 に 1in1k→∞El[xk(t)‑x(t)12]= 0を示す.入(t)= limsuPk→∞E[lxk(t)‑x(t)12]と お く と 定 理 5.5の 証 明 と 同 様 に し て

c u  

F α

︑︑ ︐ ︐ ︐  

︐︑︑ ︐ ︐ ︐ ︐

︐q u

 

J'EE︑︑

ω  U Q ︑ 入

十 ︐ 九

fl lt  

<

一

︺ /

︑︑ ︐ ︐ ︐

J

IB

‑‑

千L︑︑i︐ノ/

l

μ E︑

い 入

︑ ︑ 八

3千心

一 川

川J

<

一

+

ドキュメント内 確率微分方程式の逐次近似解に関する研究 (ページ 70-83)