+ V ハ

の解 u

(

t)が 存 在 す る .

(

5..37)と 同 様 に し て こ の 区 間 で

u( t)

三ゆ (

t ) 

が 示 さ れ る . この解 u(t)はt= 0ま で 延 長 で き ， u(O)二 Oとできる. したがって

u(t)

ゆ

(t)

Oく 一 一 < 一 一 一

t ‑ t  '

O<t<一 σ 

(

5..39) 

と こ ろ が li叫nlltトト‑一叫‑

られた事実でで、ある. したがって

u(t)  11+ 

→~t一 = D+u(O) = 0 

( D

.4)の仮定より u(t)三

O

となり u(

σ )

=ゆ

(σ)>0

と 矛 盾 す る . ゆ え に ゆ(t)三

o . 

定 理 5.5 [0

， 

T] x R 上 の 有 界 連 続 関 数 σ(t

，

x)が 条 件 (D.4)をみたし， E[Iと 門 < ∞ と す る.

( . 5

.35)の 逐 次 近 似 解 は 収 束 し

，linl E I Sup IXk(t) ‑

x ( t ) 1

²¹ 

κ→∞ IO<t<T 

が な り た つ.

(証明〉最 初 に 1in1k→∞El[xk(t)‑x(t)12]= 0を示す.入(t)= limsuPk→∞E[lxk(t)‑x(t)12]と お く と 定 理 5.5の 証 明 と 同 様 に し て

c u  

F α

︑︑ ︐ ︐ ︐  

︐︑︑ ︐ ︐ ︐ ︐

︐q u

 

J'EE︑︑

ω  U Q ︑ 入

十 ︐ 九

fl lt  

<

一

︺ /

︑︑ ︐ ︐ ︐

J

IB

‑‑

千L︑︑i︐ノ/

l

μ E︑

い 入

︑ ︑ 八

3千心

一 川

川J

<

一

+

方

E  [ I X k + l ( t 2 )

一川(む

) ￨ 2 1 = E M M W ) ) d B (s)‑fl 山山))相 ( s

1 )

=  E I l ' わ ト f : 戸 ^{μ 川 2}

^σ叫(いS

^{山川 刈川川 ，}

^Z

^{九 X k 川}

^k

^{バ 山 ω( 山 州}

^いω

^{州 川}

^S

^け

^ω)

^リ

⁾

^初

^d

^訓

^B到船附

^酌

^(ωS

^山

^い

^{け )}

= 

l ^川川山川

^{kバ山州州(い}

^{ω 州}

^{S斗訓州)リ)}

< 

λMグ2(

い t

₂^一 t

し 川 け

I⁾ 

より E[IXk(t) 門~

Mt.

同 様 に し て

E [ l x ( t ) 1 2 J 三 Mt .

し た が っ て

t

→ Oと す る と き た に つ い て 一 様 iこれれ)は Oに L₂収 束 す る .また

九 ( t ) = 

E 

  o ' l ^{I σ (}

^{山 一}

^{l ( t ) ) ‑} 山 ^{( s ) ) 1}

² 

^{d s}  

^(5.41) 

と な る こ と に 注 意 す れ ば σ(t

，

X)は

[ 0 ， T J  

x R上 で 連 続 で あ る か ら (5.41)の 被 積 分 関 数 は t→ Oの と き kに つ い て 一 様 に Oに L₂収 束 す る . した が っ て 任 意 の ε

>

0に 対

しη(ε)> 0が 定 ま っ て

Oく入

k (t )   <

ε

t  (

0

三

t

三

η(ε))

こ れ か ら

︐ ずし

ε < 一

︑IEIJ4L ︐︐SE︐︑ ︑

tk  

‑‑市ABEJ︐ ︑ 入︑

山 庁

U↓ 

E K  

‑可i

可EEA

︑︑︐ ︐ ︐ 一 一

︐︐

︐ナL〆'a

目 ︑ ︑

︑ 入

ゆえに (5.40)で t→ 0+とするとき u(t) /t→

o .

^ここで u(O)

= 

0に 注 意 す れ ば D+u^，(O)=  Oが え ら れ る . ゆ え に u(t)三 Oとなり，このことは υ(σ)

> 

0に矛盾する .結 局 Oく σ

<T

上 の ど の 点 σで も 入(σ)= 0となる. し た が っ て

J 主

ⁿ

E [ I X k ( t )  ‑ x ( t ) 12 J 

= 0

，  t ε [ 0 ，  T J 

方

E[ 0 2 2 T l z k ( t ) 一仰 w ] ^三 4 f

^w

^{判 的)ーの) ] )}

より

b E [ ^{。 ;V}

が 示 さ れ る.

注 5.5定 理 5.5は 南 雲 条 件 の 場 合 を 含 ん で い る.す なわち 方 程 式

仰 ) = ご + ' o l 山 ^{( s ) ) d B ( s )}

の 係 数 σ(t

，

x)が (t

，

x)の 連 続 関 数 で

を み た す と き

が な り た つ.

(1)す べ て の

( t

，x， y)ε(0， T] x R x Rに対し

I x   ‑ y l  

￨σ(仁x)一σ(t，y) 

I 三つ「

( 2 )

す べ て の

( t ，

x)

ε ^{[ 0} ， 

T] x 

R

に対し

￨

σ(t

， 

x) 

I 三

M

81 

82 

Chapter  6 

確 率 微 分 方 程 式 に 対 す る Newton 法

こ の 章 で は 確 率 微 分 方 程 式 に 対 し Newton法 を 適 用 す る [19]. 非 線 形 方 程 式 に 対 す る 反 復 解 法 と し て 重 要 な 解 法 が Newton法 で あ る.Picard法lこ対し Newton法 は 2次 収 束 す る の で 実 用 的 な 計 算 法 で あ る . Kantrovich [21]は Banach空 間 に お け る Newton法 を 考察し，現在， Kantrovichの 定 理 ， ま た は 1 ¥antrovich‑N ewtonの 定 理 と 呼 ば、れ る 定 理 を 証 明 し た . そ れ は ， 選 ば れ た 初 期 値 が あ る 条 件 を み た す と き ， Newton法 の 収 束 と 与 え ら れ た 方 程 式 の 解 の 存 在 を 保 証 し ， 解 の一意 的 存 在 領 域 ， 誤 差 評 価 等 を 与 え る も の で あ る . Chaplygin [5]は 常 微 分 方 程 式 の 初 期 値 問 題

x'二 f(t，x

  ， )

x(to) = Xo  ^(6.1 ) 

の 逐 次 近 似 解 を

u;z+1二 f( t

， 

^Un ( t )) 

+ん(

^t

， 

^Un ( t ) ) ( U_n + 1 ( t)  ‑^Uη(t) ) 

U_叶 l(tO)= xo  (6.2) 

で 構 成 し た . 一 方 Vidossich[45]^は Chaplygin法 に よ る 逐 次 近 似 解 が 実 は 作 用 素

F(x)(t) 

=仰

)‑z(0)‑hm(

榊

^(6.3)

に対する Newton法 に 他 な ら な い こ と を 示 し た .lf在 率 微 分 方 程 式 に 対 し て は Newton法を 定 義 応 用 し た 例 は 見 ら れ な い よ う で あ る.確 率 微 分 方 程 式

dx(t) =^σ(t

， 

x (t)) dB (t) 

+ 

^b (t

， 

x (t)) dt

，  0 : : ;  

t ::;  T 

x (

o

)  =ご

83 

( 6

. 4 )  

に対し， ChaIコlygin法 か ら 類 推 し て つ ぎ の 逐 次 近 似 解 が 考 え ら れ る .

XO(t)  =

乙

川 (t) =  x(O)

イ山

^n(s))dB(s)

^{+  . ! a '}

^6(s

^，

^xn(

^榊 + 卜

^(s

^，

xn(s))(:rn+l(s)‑山))必(s)

+ か ^{( s ， 丸山))  (川}

^(t)‑

^x

ⁿ⁽

^榊

^(6..5) 

実 際 (6.5)で 定 義 さ れ る 逐 次 近 似 解 は Stochasticoperator 

F(z)(t) = z(t) ‑z(O)

ー か ( 川 ) ) 酌 )

~   ' l

^6(s

^， 

^{z(s))ds  ( 6.6)} 

に 対 す る Newton法 に よ る 逐 次 近 似 解 で あ る こ と を 示 す. (6.4)の逐次近似解の時間に 関 し て 局 所 的 ま た は 大 域 的 な 収 束 に 関 し て 考 察 す る .我々の考察は， Bha，rucha.‑Reidと Kanna^，n [4]の 仕 事 に 刺 激 さ れ た も の で あ る.彼らは一般の確率作用素方程式に対し， Newton  法 を 適 用 し た が 陽 的 に 伊 藤 型 の 確 率 微 分 方 程 式 を 対 象 と す る も の で な い.本 質 的 な 違 い は

な い の で 簡 単 の た め d=lの 場 合 を 考 え る. d

三

2の 場 合 に も 容 易 に 拡 張 で き る .

6 . 1   準備

B = 

( B ( t ) ) t > o

を あ る 四 つ 組

( O ， : F ， P ; : F t )

上 で 与 え ら れ た 1次 元 ブ ラ ウ ン 運 動 と す る. いま

σ: [0

， ∞) 

x R→ R

， 

b: [0

， ∞) 

x R→ R 

はBorel可視JI関 数 と す る .与 え ら れ た

ι

b

，

^こ対し

作)

= x(O) 

+ かいい))必

(s)+

f o '

^6(s

^，

^x(s) 

を考える.係 数 σ，bに つ ぎ の 条 件 を お く.

• (A) 

1. σ(t

， 

x)とb(t

，

x)は (t

，

x)に関して連続で， xに関して偏微分可能で，

DxCJ(t

，

x) =σx(t

， 

x)

， 

Dxb(t^ぅX)=bx(t

，

l;)は zに関 して 連 続 で あ る

( 6 . 7 )  

2.正 定 数 ]<，M が 存 在 し ， す べ て の (t，x)ε[0，∞) x Rに対し

が な り た つ.

￨σ

( t ， 

x) 1三]{(1

+ 

X2 )

， 

Ib(t

，

x)1

三]

<(1

+ 

X2

)

， 

￨σx(t

，

x)1

三

M

，

￨九

( t ，

x)1~ M 

( 6.8)  (6.9)  (6.10)  (6.11 ) 

注 6.1(6.10)，(6.11)は σ(t，

x )

，b(t，

x )

に 対 す る 大 域 的 な Lipschitz条 件 で あ る . さらに (6.8)，(6.9)の 条 件 か ら (6.7)の 一 意 的 な 強 い 解 が 存 在 し

sup E[lx(t)1²] <∞  tε[O，T] 

を み た す.ここで OくTく∞ は 与 え ら れ た 任 意 定 数 で あ る.

以 後 E[Ix 

( 0 )

門 く ∞ と仮定する.

6 . 2   Gateaux 微 分

こ の 節 で は Banach空 間 上 の 作 用 素 iこ対する Gateaw微 分 を 定 義 す る .関 数 族 乙T を 1.  ゅは :Ft‑可 測 で tに 関 し て 連 続

( t

三0)

2.  E[suPO<t<T 1ゆ(s

，

ω)12] <∞ 

をみ た す [0，∞)x R上 の 実 数 値 関 数 の 集 合 と す る.

ι T

の ノ ル ム を

で定める とBanach空 間 に な る. 1

1<TI1² = E[ sup 1ゆ

( s ，

^ω)12]

O<t<T 

ι T

上 で 定 義 さ れ る つ ぎ の 作 用 素 Fを考える.

時 )

= 

F ( z ) ( t )  

= 

z れ (

t

い 川 川 ， 叫

Wω

)

一

刈 巾 刷

0

仏 川

⁷

一

! o '

^b(s

^，

^{村 山)ds，}

o 

~

t 

~ T

， 

z

ε ι T 

85 

(6.12) 

補 題 6.1条 件 (A)の 下 で F:

乙

T→

乙

T となる.

(証明) zξ

乙

T とする .Fの定義から， F(z)(t)は F_t‑可視JIで かっ tに 関 し て 連 続 で あ る .

E [   s u p  

IF(z)(t)1²Jく ∞ O<t<T 

を 示 せ ば よ い .

qJ 

1i

p o    

斗

￨ l

り

)

ドキュメント内 確率微分方程式の逐次近似解に関する研究 (ページ 83-90)