発 見 の 喜 び の あ る 手受 業 づ く り 直 径 と 円 周 の 関 係 (円 周 率 )

岡山大学算数 ･数学教育学会誌

『パ ピル ス』第8号 (2001年 )17頁〜21頁

発 見 の 喜 び の あ る 手 受 業 づ く り

直 径 と 円 周 の 関 係 (円 周 率 )

深 井 文 雄 岡山大学教育学部附属小学校

研 究 の 要 約

円周 ‑直径

×3.1 4

,円の面耕 ‑半径 ×半径

×3 .1 4

といった公式 を覚 えている 人は多い｡ しか し.円周率の

3.1 4

は何 を表す数値 なのか を祝明で きる人は少ない のではないだ ろうか｡使 い方だ けを教 えて.その意味 を軽 く扱 うよ うな授 業を し ていたのでは.算数 を学習す る果 しさを味わわす ことはできない｡

この研究 では.直径 と円周の関係 (円周率) を子 ども自ら兄 いだ してい くこと のできる授業の あ り方 を実践 を通 して探 る｡

1 は じめに

円周率 というのは.その手の通 り ｢割合｣

を表 している｡では

.

｢何を基に した何の割

合｣なのだろう?

答えは.直径を基に した円周の割合である｡

これは, どんな大 きさの円でも一定であるこ とは皆 さんよくご存 じの通 りであるCそ して, その円周率 として

｢ 3 . 1 4

｣がよ く使われるo

Lか し,この

｢ 31 4

｣ばか りが矧 こ残 って.

肝心の ｢円周は直径の何倍か｣が原か ら消え て しまうのはなぜだろうか｡

次の2点が考えられる｡

(その 1) 円周率を

｢ 3 .1 4

｣ と数値だけを 教 え込んでいる｡

(その

2)

円周率の意味よりも

. ｢ 31 4 ｣

を活用 した円周を求める公式や円 の面積 を求める公式を使 う問題の 解決にばか り力を入れている｡

円周率を見つけだ したときの ｢発見の喜 び｣は大きい｡また.筋道立てて考えを進め ていった結果,円周率を見つけだす ことがで

きたとき.子 どもは

,

｢考えることの楽 し さ｣を感 じとるはずである｡ どうすれば,千 んな操業ができるだろうか ?この研究のスタ ー トはそこにある｡

2 研究の内容

(1) 円周 串 の意 味 を と らえや す くす

る教師の支援

難 しい鋭明を並べて ｢およそ〇倍｣ と考 え させる時間があった ら.少 しでも多 くの円周 を実測 させ,円と直径の関係 を調べさせた方 がよいという先生がいる｡確かに.円周を測

り取るといった作業的な活動を している間.

子 どもは非常に活発に動 く｡ しか し.ほとん どの子 どもは,何のために円周の長 さを調べ ているのか.なぜ.直径 との関係を研ぺな く てはな らないのかが分か っていない｡

ここでは.ます ,直 径 と円周 に は何 ら

かの関係があることに気づ くことが大

切 である｡それができては じめて.子 ども は.実測 して詳 しく調べたいと考えるのであ

‑ 17 ‑

る｡

また

,

｢およそ〇倍になっているか｣を考 える活動は,見た目に派手 さはないが, 中では

,

｢ここが こうなって ‑ ･ 同 じだか ら ･･･｣というように.

な考えを巡 らせているはずである｡

こまlつきこ のとまっ頭こざい

た内的な算数的活動も大切に したい｡

特に. ここでは.図形を扱 っているので.

視覚に訴 えなが ら考えを進めていきやすいと 考 えている

｡

｢およそ〇倍になっている｣ と 考えた子 どもは.実測する際に, 自分 の 予 想 に照 ら し合 わ せ なが ら進 め て い くこ とが で き る｡ これによ り,自分の論理の正 しさを実測 してい く中で確信できるので,考 えることがますます好きになる子 どもが育つ ことが期待できる｡

したが って.実測の学習に進む前に.直 径 と円周 に は何 らか の 関係 が あ る こ と に気づいた り. そ の 関係 を rお よそ

〇

倍 ｣ と推 沸 した りできるようにす る事が 大切であると考えた｡

( 2 ) r

算 数 的 な 活動 ｣ の 工 夫

吟味 した固形を観察する活勤

まず.大小

2

つの正方形や正六角形を観察 させ.周 りの長さについて自由に話 し合わせ る｡もちろん,ここで捷示する正方形 と正六 角形は.後で捷示する円に外接する正方形で あった リ.内接す る正六角形であった りする わけである｡

次に.正方形や正六角形の辺の長 さと周 り の長さとの関係が分か った ところで.大小2 つの円を捷示 し,旭察 させ る｡

このような活動の中で

. r

直径に着目すれ ば.どちらの円周が長いかはす ぐ分かる｣ こ とや ｢正方形や正六角形のようにロの〇倍 と

は表現 しに くい｣ ことに気づ くようになる｡

円と帥俵づけて観察する活動

次に,正方形や正六角形の周 りの長 さと円 周を比較 させ る｡ここで取 り扱 う正方形や正 六角形は,円に外接 (内接)する関係にある ので,重ねて比べると簡単に判断できるはず である｡これによ り.それぞれの周 りの長 さ は

.

｢正六角形 <円く正方形｣ という関係に なることが明 らかになる｡

また,観察 してい く中で.正方形や正六角 形の辺 と直径の関係に気付 くことが期待でき.

次の活動へとつなが りやす くなる.

｢ /一十｢‑＼ l 円の周りより 方形の周りの方

､ 直径は1辺と 同じ長さだね｡

円の周りより 正六角形の周りの 方が短いよ｡

轄 集

^を

も と に推測 す る活動

次に

.

｢正方形や正六角形の周 りの長 さは.

円の直径の何倍 にな って いるか｣ とい う着眼 点 を明確 に してか ら,円 と.その円に外接 ･ 内接関係 にある正方形,正六角形 を観零 させ るよ うに し,その観察結果 をもとに ｢円周は 直径の何倍 にな っているか｣ を推測 させ るよ

うにす る｡

3 授業実践

(1) 具体 目棟

円.その円に外接す る正方形,内接す る正 六角形の周 りの長 さを比べ てい く中で.直径 が円周の長 さに関係 していることに気づ くと ともに.円周 は直径の3倍 よ り長 くて4倍よ り短 いことを筋道立てて説明す ることがで き る｡

(2)授業の実際

円周はtL径の長さに蘭係 があることに気付 く

A

まず .辺の長 さが2 :1の大小2つの正方 形 を掲示 (後か ら,正六角形 も提示) し,周 りの長 さは どち らが長 いか と問 いか けた｡

C そ りゃあ,大 きい方が長 いよ｡

T 測 っていないのに どう して分か るの ?

C

だ って,見ただ けで分か るよo

C そ うだよ｡大 きい方は辺が長 いんだもん｡

｢

､ J □

周 りの長 さは1辺の4倍だ か ら.辺の長 さを比べた ら どち らが長いかわか るよQ

この よ うに,子 どもた ちは,周 りの長 さと 辺の長 さの関係 に気付 いて きたので.次の よ

うに整理 した｡

･辺の長 さを比べ るだ けで.周 りの長 さ を比べ られ るO

･辺の長 さを4倍 (6倍)すれば,周 り の長 さが分か る

･大 きい方の辺の長 さは.小 さい方の2 倍 にな っているか ら.周 りの長 さも2 倍 にな っている

正方形や正六角形の周 りの長 さについて十 分に話 し合 った ところで.それ らの図形 と内 接 ･外接関係 にある大小2つの円 を捷示 し, その 円周 について同 じよ うに問いか けた｡

C 大 きい円の方が円周が長 いに決 ま ってい るよo

T 円には辺がないのに.なぜ分か ったの ? C だ って.大 きい方が,半径 (直径 )が長

いんだ もん｡

C 直径が短い円は.直径が長 い円にす っぽ りと入 るか ら,周 りが短 い と思います｡

(賛成 多数) T なるほ どO じゃあ.大 きい円の周は,小

さい円の周の何倍だ ろう?

‑ 1 9 ‑

C

(口々に適 当な予想 を したが ‑ ･) は っき り分か りません｡

C 正方形や正六角形み たいに ｢周 りは.1 辺の〇倍｣ といえた ら.分かるけど ･･･

C 円だか ら

,

｢1辺の〇倍｣ではな くて^.

｢直径の〇倍｣にな って るのではないです か｡

T ｢円周は直径の〇倍｣ と言 えそ うなんだ け ど ･‑ と考 えている人が 多いよ うです ね｡

T では.今 日のめ あては

.

｢円周は直径の 何倍にな っているのか考 えよ う｡｣ とい う

ことになるかなO (賛成 多数)

正方 形や正六 角形と円 を関 係づけて 観幕する

A

め あてが決ま ったか らとい って も.自由に 考 えさせておいたのでは,円 と正方形や正六 角形 とを結 びつけるはすがない｡

そ こで.まず

.

｢円 (直径10cm),正方形 (1辺10cm).正六角形 (1辺5cm)では, どの周 りが一番長いか｣ と問いか けた｡

円 には最 初 か ら直径 を示 しておいた

子 どもは,配布 された3種類の図形 を手に とってながめた り.重ねた りして しば らく考 えて いたが.次のよ うに発表 して きた｡

C 一番長いのは正方形で.次が円,最後が 正六角形です｡

C 重ね て辺が中を通 っている方が短 いので, す ぐに分か ります｡

L:

｢正方形の周 り > 円周 > 正六角形の周 り ｣ という槻係が分か っても.正方形や正六 角形の周 りの長 さを円の直径で表す ことがで

きな くては意味がない｡ しか し,今まで.辺 の長 さとの関係で とらえていたもの を.全 く 違 う図形 である円の直径 で表す ことに気付 く ことので きる子 どもは.ほんの少数である と 思われ る｡そこで.正方 形や正六 角形の辺の 長 さと正径の関係 に目を向けることができる よ うに,次の手順 で教師 が導 くことに した｡

ここで取 り上 げるのは,関係に気付 きに く い正六角形である｡正六角形の辺 と直径の関 係 を見つ けることができれ ば.正方形の方 は 自力で解決できる と考 えたか らで ある｡

《考 えさせ る手順》

① 正六角形 と円を重ね る

② 正六角形の対角線が直径 にな って い る ことを見 つけだ させる｡

③ 正六角形 は正三角形が6つ集ま った 形 であることか ら,直径 を2辺分 と考 える｡

④ ｢正六角形の周は,直径の3倍の長 さ｣である ことをま とめる｡

この よ うに して.正六角形の周 を円の直径 で言 い表す ことがで きた ところで.正方形の 周は どうなっているか を自分 で考 え させ るよ

うに した｡

最初は

,

正六角形の時 と同 じよ うに.対角 線 を引いて考 えていた子 どももいたが.正方 形の辺 と円を重ね て比べ るうちに.正方形の 辺の長 さが直径 と等 しいことに気付 いてきた｡

円の直径は は.同 じだ

ここになるよ ね

C 円の直径 と正方形の辺の長 さは同 じだか ら,正方形の周 りは.円の直径の4倍です｡

(賛成 多数 )

楯 臭 をも とに推 測す る

A

正六角形の周 りは直径 の3倍 .正方形の周 りは直径の4倍の長 さであることがわか った ところで.円周は直径の何倍 になるのか を推 測 させた｡

T 正方形や正六角形の ことはわか ったんだ けど,肝心の円の周 りは どうなの ? C だか ら,円の周 りは.直径 の4倍 よ り短

いんです｡

C それ に.3倍 よ りも長い こともわか りま した｡

この とき

.

｢

35

倍 ぐらいかな｣ とつぶや く 子 どももいたが.はっき りわか った ことと し て ｢円周は,直径の3倍 と4倍の間である｣

こと.予想 と して

｢ 3 . 5

倍 ぐらいか も しれな い｣ ことをま とめてい ったO

授業の最後 に.意図的 に ｢この円の ときだ けではないか?｣ と意地悪 な賞間 を したが.

子 どもは全 く当然の よ うに.授業の前半で使 った別の大 きさの正方形,正六角形.円のセ ッ トを使 って.ほかの 円で も同 じよ うにな る ことを悦明 して きた｡

このよ うに して.特別 な円の周だ けが,港 径の3倍 と4倍の肌 こなるのではな く. どの 円で も同 じよ うにな りそ うな ことがわか った ところで授業 を終 えた｡

4 実践 をおえて

授業後にも

.

｢きっと.35倍 ぐらいだよ｣

｢いや.正六角形の方 に近 いか ら

3 . 5

倍 と3倍 の間 ぐらいだ ろ う｣ な どとさらに詳 しい結果 を求め よ うとす る姿が見 られた｡次時では.

いろい ろな円を実測 しなが ら ｢や っぱ りそ う だ｡ 4倍 よ り3倍 にだいぶ近 いよ うだぞ｡｣

と.前時に推測 した ことと照 らし合わせなが ら何倍 にな っているのか をさらに詳 しく調べ てい った｡

政価的な調査は して いな いが, このよ うに.

意欲的に円周 と直径の関係 を見つ けだそ うと している子 どもたちの姿か ら

.

｢発見す る喜 び

｣

｢新 しいもの をつ くりだ してい く喜 び｣ を十分怒 じることがで きた｡

参考文献

(1) 文部省 r小学校 指導要領解脱 算政軌 平成11年 (

2 )

｢新版算数5年下｣新興出版社啓林館平成 11年

(平成 13年3月30日受理 )

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