円に内接および外接する正 n 角形の周長を計算する方法で, 3.141&lt

2016年度・後期・計算機数学基礎・第７回 1

● 講義資料

▼ 円に内接する正 n 角形の周長を計算する

• ℓ_n: 単位円に内接する正 n 角形の周長の1/2,

• L_n: 単位円に外接する正 n 角形の周長の 1/2,

10 50 100 500 1000 5000

3.0 3.1 3.2 3.3 3.4

図 1: ℓ_n, L_n

10 50 100 500 1000 5000

10^-6 10^-5 10^-4 0.001 0.010 0.100

図 2: |ℓ_n−π|, |L_n−π|

Nov. 25, 2016, Version: 1.2 [email protected]

2016年度・後期・計算機数学基礎・第７回 2

▼ Taylor ^{展開を使う}

• a_n(x): arctan(x) の x= 0 での 2n+ 1 次までのテイラー展開,

1 5 10 50 100

10^-21 10^-16 10^-11 10^-6 10^-1

図 3: |a_n(x)−arctan(x)|, (x= 1, 99/100, 9/10)

• π/4 = 4 arctan(1/5)−arctan(1/239) (マチン)

• π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3) (オイラー)

● 実習内容

1. 円に内接および外接する正 n 角形の周長を計算する方法で, 3.141< π <3.142 で あることを Mathematica で計算しなさい.

2. ライプニッツ級数を用いて, π の値を小数点以下 3 桁 (3.141) まで求めなさい. (必要ならば Reduce を使う)

3. マチンの公式を用いて, π の値を小数点以下 100 桁 (3.14· · ·70679) まで求めな さい.

4. 図 1, 図 2,図 3 を Mathematica で作成しなさい. (ListLogLinearPlot,ListLogLogPlot を使う)

Nov. 25, 2016, Version: 1.2 [email protected]