回轉軸の横振動に關する理論的研究（続報）
相
羽
三
良
1．緒 言
前報（Dに於て非対称回轄体をとりつけた回轄軸の
横振動、危険速度帯、重力の影響等について論じた
が、本報では横振動の振動数、危険速度帯、その他に
ついての其後の研究結果を報告する。
筒前報に2、3誤植があつたので、次の様に訂正す
るo
前報（1）の第1式第1項∫t（β一γ）は11ω（β一ω
夕），
（1）の第2式第2項11ω（βγ一ω）は∫1ω（β一
ωγ），第2，3，4図の横軸のωはω2と訂TK
する。
2．自由横振動の振動藪及び危瞼速度帯
前報に於て、廻轄座標系を用いた回轄軸の自由横振
動に関する蓮動方程式
…（1）
を導き、こXで
ツ＝：γ1θ炉‘，z＝＝−ir2eiptpβ＝（ρle if） ts 7＝一‘ψ2召わz・・《2）
とおき、結局振動数方程式
1一ρ211＋（lo−T2）（D 2−b’（τo−∫1−12）ωρ一at Ol
l
l（10−11イ2）ωρ一P212 ＋（10−li）ω2一ろ’0−a’
ib 。 （ρ・＋ω・）M＋a2M、、P
O b 2Mtup （P2 −t− to 2）M＋a
’ ＝＝0 ・・… 一・・（3）
を得た。但しこXでは前報のW／gの代りにMと書い
てある。
（3）を展開するとガに関する4吹方程式となり、
そのまxではωの種々の値に対してPの値を計算す
ることは困難である。然し次の様なパラメ’一 R 一一を用
いれば2次方程式を解くことによりPとωの関係を比
較的容易に求めることが出來る。
今片持軸の自由端に非対称回轄体が取付けられた場
合を考える。然れば
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at＝＝6EI／i‘2， b’＝−4EI／1， a＝一一12E1／13．
b ・6EI／12である。（前報参照）
ZO＝Mko2， 11 ・＝ Mle 12， Ig ＝・ Mk2 2
・一ﾅ；）2，β一（leol）2，・一（；）2＋（竿y−（；）2
とおき
・一z）2−G）2…（4）をパラメーターとする・但
しカ02＝3El／Ml3でPoは1ばが集中質量の場合のtU ・0
に於ける圓振動数を表わす。然れば（3）は無亥元数で
表わされた次の方程式に書き変えられる。
48・（−3・・＋2）惚＋｛9β・s3＋24（†6・＋9β・）
s2＋24（6βγ＋5β一4・）s−32（3・＋2）｝ほ）2＋9（・一
βγ）s4十12（6α一6βγ一β十γ）s3十4（36α一 36βγ 一・ 15β十
15γ十4）s2十16（−3β十3γ十2）s十16＝＝0 …… （5）
これは（P／Po）2に関する2吹方程式であるから、バ
ラメータ・一一 sに種々の値を入れsば（4）及び（5）から
カとωの関係を求めることが出來る。
、7
第1図振動数及び危険速度帯（Zo＞ll＞h）
冤
f
ノ
σ 1 2→％3
第2図 振動数及び危険速度幣（11＞To＞12）
昭和29年7月
山梨大学工学部研究報告
第 5 号
第3図 振動数及び危険速度帯（11＞h＞∬o）
第1図は（ko／1）2＝1，（か／’）2＝09，（か／’）2＝0・2；
第2図は（leo／z）2L1，（kl／1）2＝1．5，（k2／1）k’ ・・ O．6；
第3図は（ke／’）2 ・・ O．5，（kl／1）2 ＝1．0，（k2／i）2 ＝O．7
の場合の（4），（5）式で計算したP∼ωのグラフCあ
るo
振動数方程犬（3）：b s’ P2の負根即ちPの純虚根を有
するωの範囲は1つの危険速度帯であり、この種の危
険速度樽が種々の場合に如何に現われるかについては
蛭に前報に於て述べた。
この他に同方程式ががの複素根を有するωに於て
も軸系は不安定となり、かNるωも危険速度帯を形成
する。何故ならば、がに関する複素根を有する場合は
P＝＝土（λ＋初なる根を有することKなりカ＝一λ一iμ
（μ＞0とする）を（2）に代入すれば、回轄体の変位及
び角変位はe（“‘・ ’“ iλ ）tなる因子を有することXなり、こ
の場合は軸系は廻轄座標系内で楕圓振動を行いながら
次第に振幅を増す。郎ちかふるωの範囲も危険速度帯
である。以上2種類の危険速度帯の内、仮に前者を第
1種、後者を第2種の危険速度帯と呼ぶことにする。
第1種危険速度帯は前報に述べた様に簡軍に求まる
が、第2種危険速度帯を式の上で求めるのは甚だ複雑
でちり、実際には第1∼3図の様にP∼ω線図を計算
によつて求め、実根ヵ（P≧0のもののみをとる）の数
が3以下である様なωの範囲を求め力ば、以上2種類
の危険速度帯が皆それに含まれる。第1∼3図はこの
檬にして求めた第1種及び第2種危険速度帯を示す。
斜線をほどこした区間の内1は第1種危険速度帯、兀
は第2種危険速度帯を示す。
3．静的並びに動的不釣合の影響
回轄軸に微小なる静的並びに動力不釣合のある場合
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勘ち回轄体の重心が軸線から少し外れ、回轄体の一主
軸が廻轄軸の軸線と微小なる角をなす場合を考える。
控み0の時ζ軸がX−Z卒面に平行である様に座標軸
をとり、その時の重心の「，Z座標を夫々yo，茗o；ξ軸
と』監Z平面、X−「干面とのなす角を夫々βo，70とす
る。（前報第1図参照）前同様廻鱒座標系を用いれば、
回轄体のζ軸の周りの角速度はβ一ω（γ十70），η軸の
周りの角速度は一γ一ω（β＋βo）である。
從つて運動方程式は
■ウ コ
‘Il（β一ωγ）一∫2 Z）｛γ十ω（β十β0）」十Jotu｛γ十ω（β十β0）｝
｝ −dy＋b’，
1 ．． ． ． ．
ll・（γ＋ωβ）＋1、ω1β一ω（γ＋γ。）｝−1。ω｛β一ω（γ＋γ。）｝
11i MY ＝ay ＋bp ＋M（w2（y ＋yo） ＋2wi ｝＝a’g＋b’7
。 ’
．，M2＝ag十bγ十M（ω2（z十Zo）−2ωツ｝
これを書ぎi変えると
lt（β一ωγ）−12ω（γ＋ωβ）＋10ω（γ＋ωβ）−dy−b’ xs
｜ 一（1，・−1。）ω・β。
1 ．． ． ． ◆
i∬2（γ一一ωβ）＋lltU（β一ωγ）−Toω（β一ωγ）−dz−−b’γ
1 ＝＝（li −10）ω2γe
lMb’ −ay＋bβ＋M（。・y＋2。2）＋M。・y。
1 ．． ．
lM z＝az＋bγ＋M（ω2z−2ω夕）＋Mω 2Zo
・・一・・… （6）
（6）の一般解は、これに於てYo＝ze＝：βo＝70＝Oと
t ロ t− ロ
おいた方程式の一般解と、（6）に於てy＝2＝β＝γ＝0，
57＝ Z＝＝β＝＝γ＝Oとおいて得られる代数方程式
「（1・−12）ωβ一α2’μβ＝（1・−1・）’2β・
1（IO−1・）ω2γ 一一 a’z−b’γ＝（li−IO）ω2γO
／ay十bβ十Mω 2y十MtU2yo＝ O ・…・・（7）
L。。輌＋M。・。＋M、、、2。。一。
の解との和である。前者は不釣合のない場合の振動と
同じであり、後者は時間的に変化しない、不釣合によ
る変位叉は角変位を表わす。
（7）の解は
1（10 ・一 12）e・・2−b”0 −−al O 1
［
o
b
O
（ lo ・一 li）ω2−b’
O
b
馳、2十a
0 −aS
＝0
0
0 1臨2＋ai
………（8）
の時。。になる。（8）は振動数方程式（3）に於てP＝o
とおいたものに等しい。從つて（8）を満足するωは第
1種危険速度帯の端であり、この廻轄速度に於ては不
釣合に起因する変位が非常に大きくなることが判る。
回轄体及び軸断面が対称であれば、危険速度はこの様
回轄軸の横振動に関する理論的研究
なものだけでおるが、非対称性が入ると、この様な危
険速度が2つづ」・．に分れ、その間でも軸系が不安定と
なることは既に前報で述べた通りである。
4．結 語
以上前報の補遺として非対称回輔体を取付けた廻鱒
軸の自由横振動の振動数方程式を解ぎ易い形に書き改
め、これを用いて代表的3つの例につき数値計算を行
い、廻縛数と振動数との関係を表わすグラフを求め
た。又これにより前報の危険速度帯の外に別種の危険
速度帯のあることを示した。更に静的及び動的不釣合
の影響を論じ、第1種危険速度帯の端は不釣合による
変位が。。になる從來の危険速度であることを示した。
最後に本研究に於て終始御指導を賜わつた山田嘉久
教授に深甚なる謝意を捧げるo
註
（1）相羽：回韓軸の横振動に関する理論的研究
山梨大学工学部研究報告第4号 昭28．7月
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