(lim s ; lim S ) (3) n s • I • S I = f ( x ) dx Z (2) s = m ( x ¡ x ) S = M ( x ¡ x ) X X (1) [ x ;x ] f ( x ) m M ¢ :0= x <x < ¢¢¢ <x = a n ( x = ) ian 7 f ( x )= x [0 ;a ] I = f ( x ) dx Z

7 f(x) =x² の [0, a] での定積分I = Z a

0

f(x)dx を計算したい。

分割∆n: 0 = x0 < x1 <· · ·< xn=a を n 等分な分割(即ちxi = ia

n)とする。

(1) 各小区間[x_i−1, x_i]での f(x) の下限m_i および上限 M_i は？

(2) s_∆n = Xn

i=1

m_i(x_i−x_i−1) 及びS_∆n = Xn

i=1

M_i(x_i−x_i−1) を計算せよ。

(3) 任意の n に対してs_∆n ≤ I ≤ S_∆n であることから、I = Z a

0

f(x)dx を求めよ。

( lim

n→∞s_∆n, lim

n→∞S_∆n が、それぞれ存在して等しくなることを確かめよ。)