I y = f(x) a I a x I x = a + x 1 f(x) f(a) x a = f(a + x) f(a) x (11.1) x a x 0 f(x) f(a) f(a + x) f(a) lim = lim x a x a x 0 x (11.2) f(x) x

第

11

章 微分と偏微分

与えられた関数の局所的な性質から関数の増減を調べる方法が微分・偏微分である．ある定義域で の関数の増減がわかれば，それによって関数の最大値・最小値などが調べられる．これが経済学にお いて微分を有効な分析手法とする主な理由である．

11.1

微分の定義

開区間 I において定義された関数 y = f (x) を考えよう．a∈ I をとる．a とは異なる点 x ∈ I に 対し，x = a + ∆x とおいて1， f (x)− f(a) x− a = f (a + ∆x)− f(a) ∆x (11.1) を平均変化率，あるいは差分商という．x を a に近づけたとき，あるいは ∆x を 0 に近づけたとき， ある有限の値に近づくならば，すなわち lim x→a f (x)− f(a) x− a = lim∆x→0 f (a + ∆x)− f(a) ∆x (11.2) が存在して有限の値をとるならば，f (x) は x = a において微分可能であるという．そしてその値 を a における微分係数といい，f(a)， d dxf (a)， df dx(a) で表す．もし関数 f (x) が開区間 I のすべて の点において微分可能ならば，f (x) は I において微分可能，あるいは単に微分可能であるという． f (x) が I において微分可能ならば，I の任意の点に対して，その点における微分係数を対応させる 関数を新たに考えることができる．このような関数を導関数といい，f(x)，_dxd f (x)，_dxdf(x) などで 表す．そして関数 f (x) の導関数を求めることを微分するという． では，閉区間 [a, b] で定義された関数の微分可能性についてどう考えればよいであろうか．上の微 分係数の定義において，x→ a (あるいは ∆x → 0) は x を a に近づけるあらゆる近づけ方を代表し ている．したがって，開区間 (a, b) では定義 (2) で十分である．ところが閉区間 [a, b] の端点 a では， x > a を満たしながら x を a に近づけることしかできないし，b では x < b を満たしながら b に近づ けることができるだけである．そこで，右連続・左連続と同じ記号を用いて，x→ a+ のとき (2) の 極限値が存在するならば，f (x) は a において右微分可能という．そしてその極限値を lim x→a+ f (x)− f(a) x− a = f  +(a) (11.3) で表し，a における右微分係数という．同様に x → b− のとき (2) の極限値が存在するならば f(x) は b において左微分可能といい， lim x→b− f (x)− f(b) x− b = f  −(b) (11.4) 1_{∆x を x の増分というが，∆x は x の値に依存しない独立変数である．多変数の場合の増分 ∆x も同様である．}

f (x) x 0 f (a + ∆x) f (a) P Q ∆x a a + ∆x 図 11.1: 微分係数 を b における左微分係数という．定義からただちにわかるように，f(a) が存在することと，f₊ (a) と f₋ (a) が存在し両者が等しいこととは同値である． 図 11.1 によって微分係数の意味を考えておこう．x を a の右側にとっているが (∆x > 0)，左 側にとれば ∆x < 0 となる．点 P (a, f (a)) と点 Q(a + ∆x) とを結んだ直線の傾きは平均変化率

f (x)− f(a) x− a = f (a + ∆x)− f(a) ∆x である．ここで x → a とした場合，平均変化率がある値 α に収 束するならば微分可能といい，α を a における微分係数というのである．∆x を0 に近づけていけば， 容易に理解されるように，この傾き (平均変化率) は点 P における接線の傾きに収束していく．した がって，微分とはグラフにおける接線の傾き，換言すれば関数の１次式による近似，曲線の直線によ る近似ということができる．この間の事情を厳密に述べたのが次の定理である． 定理 11.1 関数 f (x) が点 a において微分可能であるための必要十分条件は，ある定数 α が存在し て，関数 ε(x, a) を x = a のところで f (x) = f (a) + α(x− a) + ε(x, a) (11.5) となるようにとったとき， lim x→a ε(x, a) |x − a| = 0 となることである． (証明) 必要性：f (x) が a で微分可能とする．α = f(a) とおく．このとき lim x→a ε(x, a) x− a = limx→a{ f (x)− f(a) x− a − α} = α − α = 0 十分性： lim x→a ε(x, a) |x − a| = 0 とする．与式より f (x)− f(a) x− a = α + ε(x, a) x− a であるから lim x→a f (x)− f(a) x− a = α． ゆえに，f (x) は x = a で微分可能となり，f(a) = α ．□ ところで，関数 f (x) が x = a において微分可能とすれば，x→ a のとき f (x)−f (a)_x−a は有限の値に 収束する．その値を α とすると，x→ a のとき f (x)− f(a) = f (x)− f(a) x− a (x− a) → α · 0 = 0

よって f (x)→ f(a) (x → a) だから，x = a で連続である．すなわち，微分可能ならば連続であ る．だが，この逆は成り立たない．たとえば，y =|x| は x = 0 において連続だが微分可能ではない． この例から直観的に次のような理解が成り立とう．ある関数が連続であるとは，そのグラフが一筆書 きで描けることであり，微分可能であるとは，一筆書きで描いたグラフが角のないなめらかなものに なっているということである．

11.2

微分の公式

次に微分可能性に関する基本的な性質を挙げておく． 定理 11.2 ２つの関数 f (x), g(x) が開区間 I において微分可能ならば，λf (x) (λ は定数)，f (x)±g(x)， f (x)g(x) も微分可能で， (λf (x)) = λf(x) (11.6) (f (x)± g(x)) = f(x)± g(x) (11.7) (f (x)g(x)) = f(x)g(x) + f (x)g(x) (11.8) が成り立つ．さらに g(x) = 0 ならば f (x) g(x) も微分可能で ( f (x) g(x) ) = f _{(x)g(x)− f(x)g}_(x) {g(x)}2 (11.9) となる． (証明) (11.6)，(11.7) はやさしいので省略する．(11.8) について， {f(x)g(x)} _{= lim} ∆x→0 f (x + ∆x)g(x + ∆x)− f(x)g(x) ∆x = lim ∆x→0 {f(x + ∆x) − f(x)}g(x + ∆x) + {g(x + ∆x) − g(x)}f(x) ∆x = f(x)g(x) + f (x)g(x) (11.9) について， f (x + ∆x) g(x + ∆x) − f (x) g(x) ∆x = 1 g(x + ∆x)g(x) 1 ∆x{f(x + ∆x)g(x) − f(x)g(x + ∆x)} = 1 g(x + ∆x)g(x) 1 ∆x[g(x){f(x + ∆x) − f(x)} − f(x){g(x + ∆x) − g(x)}] ここで ∆x→ 0 とすれば， ( f (x) g(x) ) = f _{(x)g(x)− f(x)g}_(x) {g(x)}2

□ その他の微分の公式を示しておく． (λ) = 0 (λは定数) (11.10) (λxa) = λaxa−1 (λ, a は任意の実数) (11.11) ここでは，f (x) = λx_n (λ は任意の実数，n は自然数) の導関数を求めておく． df dx = lim∆x→0 λ(x + ∆x)n− λxn ∆x 二項定理より (x + ∆x)n=  n 0  xn+  n 1  xn−1∆x +  n 2  xn−2(∆x)2+· · · +  n n− 1  x(∆x)n−1+  n n  (∆x)n ただし，  n k  = n! k!(n− k)!. ∴ df dx = λ lim∆x→0 ( n 1  xn−1+  n 2  xn−2∆x +· · · +  n n  (∆x)n ) = λnxn−1 (ln x) = 1 x (x > 0) (11.12) f (x) = ln x とおく． df dx = lim∆x→0 ln(x + ∆x)− ln x ∆x = lim∆x→0 ln,1 + ∆x_x -∆x ここで ∆x· t = x とおくと，∆x → 0 のとき t → ∞． ∴ df dx = t→∞lim t xln  1 +1 t  = lim t→∞ 1 xln  1 +1 t t = 1 xln e = 1 x (eax)= aeax (a は任意の実数) (11.13) y = eax _{とし，両辺の対数をとると} ln y = ax ln e = ax 両辺を x で微分すると 1 y · dy dx = a． ∴ dy dx = ay = ae ax

(ax) = (ln a)ax (a > 0) (11.14) (log_ax) = 1 ln a 1 x (x > 0, a > 0, a = 1) (11.15) (sin x) = cos x (11.16) (sin x) = lim ∆x→0 sin(x + ∆x)− sin x ∆x = lim∆x→0 2 cos,x +∆x₂ -sin∆x₂ ∆x = lim ∆x→0 sin∆x₂ ∆x 2 cos  x +∆x 2  = cos x 最後の部分は例 10.2 を用いた． (cos x)=− sin x (11.17) cos x = sin . x +π 2 / より y = sin u, u = x +π₂ とおくと， (cos x) = (cos u)· 1 = cos

. x +π 2 / =− sin x (tan x) = 1 cos2x, (cot x) ₌₋ 1 sin2x (11.18) (tan x)=  sin x cos x _ = (sin x)

_{cos x− sin x(cos x)}

cos2x = 1 cos2x (cot x)= ._{cos x} sin x / = (cos x)

_{sin x− cos x(sin x)}

sin2x =− 1 sin2x

11.3

平均値の定理

次の定理は，微分に関するさまざまな命題を証明する上で，極めて重要な役割を果たす． 定理 11.3 (ロル (Rolle) の定理) f (x) は，閉区間 [a, b] で連続，開区間 (a, b) で微分可能とし， f (a) = f (b) が成り立つものとすれば， f(c) = 0 (11.19) となる c∈ (a, b) が存在する (図 11.2 参照)． (証明)[a, b] で f (x) が定数ならば，任意の c∈ (a, b) に対して，f(c) = 0 が成り立つ．f (x) は閉区 間 [a, b] で連続だから，定理 10.9 より [a, b] で最大値，最小値をとる．定数でないとき，最大値，最 小値の少なくとも一方は f (a) = f (b) と異なる．いま最大値が f (a) と異なるとして最大値を与える

x 0 f (a) a c c b = f (b) 図 11.2: ロルの定理 x を c とすると，a < c < b である．|∆x| が十分小さいならば，a  c + ∆x  b．また，f(c) は最大 値であるから，f (c + ∆x)− f(c)  0．よって ∆x < 0 ならば f (c + ∆x)− f(c) ∆x  0 ∆x > 0 ならば f (c + ∆x)− f(c) ∆x  0 したがって，∆x→ 0− ならば，f− (c)  0．∆x → 0+ ならば，f+ (c) 0. ゆえに f(c) = 0． □ 定理 11.4 (平均値の定理)

f (x) が閉区間 [a, b] で連続で，開区間 (a, b) で微分可能とすれば，(ただし，a < b) f(c) = f (b)− f(a) b− a (11.20) となる c∈ (a, b) が存在する (図 11.3 参照)． (証明) F (x) = f (x)− f(a) −f (b)− f(a) b− a (x− a) とおくと，F (x) は閉区間 [a, b] で連続 (定理 10.6 参照) で，開区間 (a, b) で微分可能 (定理 11.2 参照) である．また，F (a) = F (b) = 0 である．よってロルの定理 11.3 より， F(c) = f(c)−f (b)− f(a) b− a = 0 となる c∈ (a, b) が存在する．□ 系 11.1 f (x) が閉区間 [a, b] で連続で，開区間 (a, b) で微分可能であれば，

f (b) = f (a) + (b− a)f(a + θ(b− a)) (11.21) となる θ∈ (0, 1) が存在する．

f (x) x 0 P c b a 図 11.3: 平均値の定理 (証明) 定理において θ =c− a b− aとおけばよい．□

定理 11.5 f (x) が閉区間 [a, b] で連続，開区間 (a, b) で微分可能とする．このとき f (x) が [a, b] で単

調増加 (減少) 関数となるための必要十分条件は，任意の x∈ (a, b) に対して f(x) 0 ( 0) が成り立つことである． (証明) 必要性：f (x) が単調増加 (減少) 関数ならば，任意の x∈ (a, b) に対して ∆x > 0 である限 り，f (x + ∆x)− f(x)  0 ( 0) が成り立つ．したがって f(x) = f+ (x) = lim ∆x→0+ f (x + ∆x)− f(x) ∆x  0 ( 0) を得る． 十分性：任意の x₁，x₂が a x₁< x₂ b を満たすとき，平均値の定理 11.4 より f(c) = f (x2)− f(x1) x₂− x1 となる c∈ (x1, x2) が存在する．(a, b) において f(x) 0 ( 0) が成り立つならば，f(c) 0 ( 0) である．したがって，f (x₂)− f(x₁) 0 ( 0)．□ 定理 11.6 (コーシー (Cauchy) の定理) 関数 f (x), g(x) はともに閉区間 [a, b] で連続で，開区間 (a, b) で微分可能とする．また，任意の x∈ (a, b) に対して g(x) = 0 とする．このとき， f(c) g(c) = f (b)− f(a) g(b)− g(a) (11.22) となる c∈ (a, b) が存在する．

(証明)

F (x) = f (x)g(b)− g(a) − g(x)f(b) − f(a)

とおくと，関数 F (x) は [a, b] で連続，(a, b) で微分可能，かつ F (a) = F (b) = f (a)g(b)− f(b)g(a)， したがってロルの定理より

F(c) = f(c)g(b)− g(a) − g(c)f (b)− f(a) = 0

となる c∈ (a, b) が存在する．仮定より g(c) = 0. また平均値の定理を g(x) に適用すれば， g(c) = g(b)− g(a)

b− a

となる c∈ (a, b) が存在する．任意の x ∈ (a, b) に対して g(x) = 0 であったから，g(b) − g(a) = 0. したがって，等式 F(c) = 0 を g(c)g(b)− g(a) = 0 で割ることができて， f(c) g(c) = f (b)− f(a) g(b)− g(a) □ コーシーの定理において g(x) = x とおけば平均値の定理が得られ，平均値の定理で f (b) = f (a) とおけばロルの定理が得られる，という関係に注意しておこう．

11.4

不定形の極限値

コーシーの定理の応用として，ロピタルの定理を証明する． lim x→cf (x) = α, limx→cg(x) = β におい て，α，β がともにゼロまたは無限大であるとき，lim x→c f (x) g(x) は不定形であるという．不定形の極限値 を評価しようというのが，ロピタルの定理である． 定理 11.7 (ロピタル (L’hospital) の定理)

関数 f (x), g(x) は閉区間 [a, b] で連続で，c∈ (a, b) とする．開区間 (a, b) に属する c 以外の点で 微分可能で，x = c に対して g(x) = 0 とする．このとき lim x→c f (x) g(x) = limx→c f(x) g(x) (11.23) これは右辺が定義される限り成り立つ． (証明) i) 0/0 のケース．f (c) = g(c) = 0 とする．任意の x∈ (a, c) をとると，f, g は [x, c] で連続，(x, c) で微分可能であるから，コーシーの定理より f (x) g(x) = f (x)− f(c) g(x)− g(c) = f(d) g(d) を満たす d∈ (x, c) が存在する．x → c− のとき d → c− であるから lim x→c− f (x) g(x) = limd→c− f(d) g(d) = limx→c− f(x) g(x) 最後の等号は， lim x→c f(x) g(x) の存在が仮定されていることから導かれた．

x→ c+ の場合も全く同様に証明すればよい． ii)∞/∞ のケース．lim x→cf (x) = limx → cg(x) = ∞ とし，x0∈ (a, c) とする．任意の x ∈ (x0, c) を とる．f, g は [x₀, x] で連続，(x₀, x) で微分可能であるから，コーシーの定理より f (x)− f(x₀) g(x)− g(x0) = f(d) g(d) を満たす d∈ (x0, x) が存在する．ところで左辺は， f (x)− f(x0) g(x)− g(x₀) = f (x) g(x) 1− f(x0)/f (x) 1− g(x₀)/g(x) であるから f (x) g(x) = f(d) g(d) 1− g(x₀)/g(x) 1− f(x0)/f (x) (11.24) となる．いま，存在が仮定されている極限を lim x→c− f(x) g(x) = α とおくと，(11.24) は f (x) g(x) = f(d) g(d) − α 1− g(x0)/g(x) 1− f(x₀)/f (x) + α 1− g(x0)/g(x) 1− f(x₀)/f (x) (11.25) と書き換えることができる．極限の定義より，任意の ε > 0 に対し適当に正数 δ をとったとき，すべ ての x∈ (c − δ, c) に対して f(x) g(x)− α < ε が成り立つから，x0を c に十分近くとれば f(d) g(d) − α < ε となる．x₀を固定し x→ c− とすれば，f(x) → ∞，g(x) → ∞ であるから lim x→c− 1− g(x₀)/g(x) 1− f(x0)/f (x) = 1 (11.26) ここで，(11.25) の両辺を x→ c− とすれば，(11.26) より lim x→c− f (x) g(x) = α = limx→c− f(x) g(x) を得る．x→ c+ の場合も全く同様に証明できる．□ x→ ∞(−∞) の場合も同様の定理が成り立つ．例えば，f(x), g(x) が開区間 (a, ∞) で微分可能， [a,∞) で連続であるとき (ただし a > 0)， lim x→∞f (x) = limx→∞g(x) = 0 となるケースを考えてみよう． まず lim x→∞ f (x) g(x) = limx→0+ f (1/x) g(1/x) が成り立つことに注意しよう．f (1/x), g(1/x) は (0, 1/a) で微分可能で，[0, 1/a] で連続となるから， ロピタルの定理より lim x→0+ f (1/x) g(1/x) = x→0+lim (−1/x2)f(1/x) (−1/x2)g(1/x) = lim x→0+ f(1/x) g(1/x) = lim x→∞・ f(x) g(x)

y 0 x₁ x2 a1 a2 図 11.4: 偏微分

11.5

偏微分の定義

微分とは，独立変数が１つのケースで与えられた関数を１次近似することであった．変数の数が増 えた場合，いかなる方法で近似を考えればよいであろうか．この問に答えるのが偏微分と全微分であ る．この節では，偏微分の定義を与えることにしよう． 点a を含む n_{の開集合 A において定義された関数 f (x) を考えよう．もし極限値} lim xi→ai

f (a₁, . . . , a_i−1, x_i, a_i+1, . . . , a_n)− f(a) xi− ai

= lim ∆xi→0

f (a₁, . . . , a_i−1, a_i+ ∆x_i, a_i+1, . . . , a_n)− f(a) ∆xi (11.27) が存在するならば，f (x) は点 a において xiに関して偏微分可能であるという．そして，この極限値 を fi(a), ∂ ∂xif (a)， ∂f ∂xi(a) などと書いて，点 a における f (x) の xi に関する偏微分係数，あるい はa における第 i 偏微分係数という．ここで ∂ はラウンド・デルタ，ラウンド・ディー (round d) な どと読む．また，a においてすべての xiに関して偏微分可能であるとき，単にa において偏微分可 能という (図 11.4 を参照せよ)． 定義域 A の各点で f (x) が xi (i = 1, . . . , n) に関して偏微分可能ならば，f (x) は xiに関して A において偏微分可能であるという．f (x) が xiに関して A において偏微分可能ならば，微分の場合と 同様に，各点に対して，各変数に関する偏微係数を対応させる関数が定義できる．これを f (x) の xi に関する偏導関数，あるいは第 i 偏導関数といい，fi(x)， ∂ ∂x_if (x), ∂f ∂x_i(x) などで表す．f (x) か ら偏導関数を求めることを，f (x) を偏微分するという． 偏微分係数も微分係数同様，接線の傾きを表しているが，偏微係数の場合，問題としている変数以 外は点a の大きさで固定されている，つまり定数と見なされていることに注意しよう．偏微分とは， 多変数の世界を１変数の世界から眺めてみようという簡易な方法なのである．したがって，偏微分す るという操作は，当該変数以外を定数と見なした微分であり，微分に関する基本的な性質がそのまま 当てはまると考えておいてよいのである．ただし，xi→ aiとするにしても，他の変数をどこに固定

y 0 x₁ x2 a2 a₁ 図 11.5: 全微分 したかで偏微分係数の値は異なるから，注意しておかなければならない． だが，偏微分のこのような簡易さは，偏微分の欠陥をも生じさせる原因である．当該変数以外はす べての変数を定数と見なすということは，先の図 11.4 からも明らかなように，軸に垂直な平面での 切り口のみに注目しているということであり，さまざまな方向での関数の動きがどうかは全くわから ない．また，偏微分可能性は微分と異なり，連続性を保証しえないのである．(次節末の例 11.1 を参 照せよ．)

11.6

全微分

さて，偏微分がもつ欠陥を克服し，関数 f (x) を１次式で近似する方法を考えてみよう．偏微分は 各軸の方向で見た傾きを表すものであった．もし，いま対象としている点a において f (x) に接平面 (n 3 の場合，超平面という) が存在するならば，各軸の方向での傾きは偏微分に一致し，他の方向 の傾きは偏微分の１次式として表せるだろう．図 11.5 を見てほしい．この図は変数が２つで，それ ぞれ x₁, x₂とした関数 y = f (x₁, x₂) のグラフである．a = (a1, a2) における接平面上に，偏微係数 で表される傾きをもった点 (a, f (a)) における２つの接線がある． 逆にいえば，接平面が存在する場合には，点 (a, f (a)) における２つの接線によって接平面を表す ことができるのである．すなわち，(x₁, x₂, ) は， f (a₁, a₂) + f₁(a₁, a₂)(x₁− a₁) + f₂(a₁, a₂)(x₂− a₂) で近似できるということである．これをもう少し厳密にして，全微分可能性を定義しよう． 関数 f (x) が点 a ∈ nの近傍 U (a) で定義されているとする．ある定数 α1, . . . , αnがあって， f (x) = f (a) + n  i=1 αi(xi− ai) + ε(x, a) (11.28) lim x→a ε(x，a) ||x − a|| = 0 (11.29)

となるとき，f (x) は，a において全微分可能という．また，定義域に属する任意の点において全微 分可能であるとき，単に f (x) は全微分可能という．n = 1 の場合，全微分可能は普通の意味で微分 可能となる (定理 1 参照)．また，a において全微分可能ならば f (x) は，a において連続となる．こ れは普通の意味の微分の場合と同様に示せる． ところで，xj = aj (j = i) とおけば (11.28) より αi=

f (a1, . . . , ai−1, xi, ai+1, . . . , an)− f(a)

xi− ai +ε(x, a) xi− ai であるから，xi→ aiとすれば (11.29) より αi= ∂f ∂xi(a) となる．したがって，αi (i = 1, . . . , n) は一意に定まり，第 i 偏微分係数に等しくなる．言い換えれ ば，全微分可能ならば偏微分可能である．ところが逆は一般に成立しない (例 11.1 参照)．次の定理 は，偏微分可能性から全微分可能性を導くための十分条件を示している． 定理 11.8 関数 f (x) が点 a の近傍 U (a) において各 xi (i = 1, . . . , n) に関して偏微分可能で各偏導 関数 fi(x) が a で連続であれば，f (x) は点 a において全微分可能である2． (証明) ∆x = (∆x1, . . . , ∆xn) を十分に小さくとる． f (a + ∆x) − f (a) = f (a + ∆x) − f (a1+ ∆x₁, . . . , an− 1 + ∆xn− 1, an) +f (a₁+ ∆x₁, . . . , an− 1 + ∆xn− 1, an)− f(a1+ ∆x1, . . . , an− 2 + ∆xn− 2, an− 1, an) · · · · +f (a₁+ ∆x₁, a₂+ ∆x₂, a3, . . . , an)− f(a1+ ∆x1, a2, . . . , an) +f (a1+ ∆x1, a2, . . . , an)− f(a) f (x) は a の近傍 U (a) で各 xi (i = 1, . . . , n) に関して偏微分可能であるから，平均値の定理の系を用 いると 0 < θi< 1 なる θi (i = 1, . . . , n) が存在して，f (a+∆x)−f (a1+∆x1, . . . , an−1+∆xn−1, an) = f_n(a₁+ ∆x₁, . . . , a_n−1+ ∆x_n−1, a_n+ θ_n∆x_n)· ∆x_n f (a1+ ∆x1, . . . , an− 1 + ∆xn−1, an)− f(a1+ ∆x1, . . . , an−2+ ∆xn−2, an−1, an) = fn−1(a1+ ∆x1, . . . , an−2+ ∆xn−2, an−1+ θn−1∆xn−1, an)· ∆xn−1 · · · · f (a₁+ ∆x₁, a₂+ ∆x₂, a₃, . . . , an)− f(a1+ ∆x1, a2, . . . , an) = f₂(a₁+ ∆x₁, a₂+ θ₂∆x₂, a₃, . . . , a_n) ˙∆x₂ f (a₁+ ∆x₁, a₂, . . . , an)− f(a) = f₁(a₁+ θ₁∆x₁, a₂, . . . , a_n)· ∆x₁ であるから3 f (a + ∆x) − f (a) = fn(a1+ ∆x1, . . . , an−1+ ∆xn−1, an+ θn∆xn)· ∆xn +f_n−1(a₁+ ∆x₁, . . . , a_n−2+ ∆x_n−2, a_n−1+ θ_n−1∆x_n−1, a_n)· ∆x_n−1 + . . . + f₁(a₁+ θ₁∆x₁, a₂, . . . , a_n)· ∆x1 2_{実は，すべての fiが連続であることを要求する必要はない．n− 1 個の fiが連続であれば十分である．} 3_{ここでは，f} i(a + ∆x) が xnのみの関数と見て微分可能，すなわち連続となることを利用している．他の fi(a1+ ∆x1, . . . , ai+ ∆xi, ai+1, . . . , an) についても同様に，xiのみの関数と見て連続性を満たすといえる．

ここで ∆x → 0 とすると，カッコ内の点はすべて a に収束する．fi (i = 1, . . . , n) の a における連 続性により，各項はそれぞれ fi(a) (i = 1, . . . , n) に収束する．よって， lim ∆x→0 f (a + ∆x) − f (a) − n  i=1 fi(a)∆xi ||∆x|| =∆limx→0 ε(∆x, a) ||∆x|| = lim_∆x→0 " ∆xn ||∆x||{fn(a1+ ∆x1, . . . , an−1+ ∆xn−1, an+ θn∆xn)− fn(a)} +∆xn−1 ||∆x||{fn−1(a1+ ∆x1, . . . , an−1+ θn−1∆xn−1, an)− fn−1(a)} +· · · · + ∆x2 ||∆x||{f2(a1+ ∆x1, a2+ θ2∆x2, a3, . . . , an)− f2(a)} + ∆x1 ||∆x||{f1(a1+ θ1∆x1, a2, . . . , an)− f1(a)} # = 0 したがって，全微分可能である．□ 次の関数の例は，偏微分可能性が連続性を含意しないこと，したがって全微分可能性を含意しない ことを示している． 例 11.1 ２変数関数 f (x, y) が f (x, y) =    xy x2+ y2 ((x, y) = (0, 0) のとき) 0 ((x, y) = (0, 0) のとき) によって定義されているとする．このとき ∂ ∂xf (0, 0) = lim∆x→0 f (∆x, 0)− f(0, 0) ∆x = lim∆x→0 0/(∆x)2− 0 ∆x = 0 ∂ ∂yf (0, 0) = 0 したがって，f (x, y) は (x, y) = (0, 0) において偏微分可能である． 次に，２変数 x，y が y = x を満たす場合を考えよう．このとき f (x, y) =    1/2 (x = 0 のとき) 0 (x = 0 のとき) となるので，直線 y = x 上で見ると f (x, y) は x = 0 において連続ではない．ゆえに全微分可能では ない． 練習問題 １．次の関数を微分せよ． (1) f (x) = 2x3− 3x2+ 2x− 3 (3) f (x) = x + 1 1− x2 (5) f (x) = x√x (2) f (x) =x + 1 x− 1 (4) f (x) = ex_{sin x} (6) f (x) =1 + √ x x2 ２．関数 f (x) が区間 I で微分可能で，f(x) = 0 であるとき，f (x) は定値関数となることを証明 せよ． ３．次の関数の x = 0 における微分可能性を吟味せよ．

(1) f (x) =    x2 (x > 0) 0 (x 0) (2) f (x) =    xe− 1/x2 (x = 0) 0 (x = 0) (3) f (x) =|x|3