Lecture 8 & 9
7 �������
�������������������, ��������������������
�������
���� ∫ ∞
0
f(x)dx= lim
r→∞
∫ r
0
f(x)dx (7.1)
� ∫ ∞
−∞
f(x)dx= lim
r→∞
∫ 0
−r
f(x)dx+ lim
r→∞
∫ r 0
f(x)dx (7.2)
�������������������������
7.1 ���������
���
I =
∫ ∞
−∞
f(x)dx (7.3)
�����f(z)���
• f(z)�������������������,�������������
• |z|→ ∞(0≤argz≤π)���,zf(z)→0����
��������������[−R, R]�,�����������CR:|z|=R����
����Jordan���C��f(z)�������. �������
∫
C
f(z)dz=
∫ R
−R
f(x)dx+
∫
CR
f(z)dz= 2πi∑
i
Resz=zif(z) (7.4)
���. ����������f(z)��zi ����������CR������
IR :=
∫
CR
f(z)dz =
∫ π 0
f(Reiθ)iReiθdθ (7.5)
R -R
CR
Figure 7.22: ���C
����������ϵ>0���,�����R����0≤θ ≤π����|Rf(Reiθ)|<
ϵ���������������
|IR|≤ϵ
∫ π 0
dθ=πϵ (7.6)
�����
R→∞lim IR = 0 (7.7)
��������
∫ ∞
−∞
f(x)dx= 2πi∑
i
Resz=zif(z) (7.8)
������
� 7.1. ∫ ∞
−∞
dx
x2+ 1 =π (7.9)
��1 ����x= tanθ����dx= cos12θdθ��
∫ ∞
−∞
dx x2+ 1 =
∫ π
2
−π2
dθ=π
����
��2 ������[−R, R]�,�����������CR:|z|=R��������
Jordan���C�����f(z) = z21+1�C������,�������
Figure 7.23: ���
∫
C
f(z)dz =
∫ R
−R
f(x)dx+
∫
CR
f(z)dz = 2πiR(i) (7.10)
�������z =i����f(z)����
R(i) = (z−i) 1 z2+ 1
z=i
= 1
2i (7.11)
������CR�����
∫
CR
f(z)dz ≤
∫
CR
1
|z2+ 1||dz|≤ πR
R2−1 →0 (R→ ∞) (7.12)
��
Rlim→∞
∫
CR
f(z)dz = 0 (7.13)
�������
∫ ∞
−∞
dx
x2+ 1 = 2πi1
2i =π (7.14)
����
� 7.2. ∫ ∞
0
1
x4+ 1dx (7.15)
∫ ∞
0
1
x4+ 1dx= 1 2
∫ ∞
−∞
1
x4+ 1dx (7.16)
�����,��������
Figure 7.24: ���
�������C1: [−R, R]��������R���CR����,f(z) = 1+z1 4 �
����. f(z)������z =ω±1,−ω±1,ω= eiπ/4����
∫
C1
f(z)dz 2πi +
∫
CR
f(z)dz
2πi = Resz=ωf(z)dz+ Resz=−ω−1f(z)dz,
∫
C1
f(z)dz
2πi = 1 πi
∫ R
0
f(x)dx→ 1 πi
∫ ∞
0
dx
1 +x4 (R→ ∞) (7.17) CR�z =Reiθ����,|z4+ 1|≥|z|4−1��
∫
CR
f(z)dz ≤
∫
CR
|f(z)|dz|=
∫ π 0
R
|1 +R4e4iθ|dθ≤
∫ π 0
R
R4−1dθ →0(R→ ∞) (7.18) Resz=ωf(z)dz = lim
z→ω
z−ω z4+ 1 = 1
4ω3 =−ω 4 Resz=−ω−1f(z)dz = lim
z→ω
z+ω−1
z4+ 1 = 1
4(−ω−1)3 =−ω3
4 = ω−1
4 (7.19)
∫ ∞
0
dx
1 +x4 =πi (
−ω
4 + ω−1 4
)
= πi 4
(−eiπ4 +e−iπ4 )
= π 2√
2 (7.20)
�
�� 7.1.
∫ ∞
−∞
dx
(a2+x2)2 (a >0) (7.21)
������
�� 7.2.
∫ ∞
0
1
(a2+x4)2dx (a >0) (7.22)
������
7.2 3����������
���
I =
∫ ∞
−∞
f(x)eiaxdx (7.23)
��������a >0��, f(z)���
• f(z)������������
• limz→∞f(z) = 0 (0≤argz≤π)
�����������[−R, R]�,�����������CR:|z|=R�������
�Jordan���C��f(z)��������
∫
C
f(z)eiazdz =
∫ R
−R
f(z)eiazdz+
∫
CR
f(z)eiazdz= 2πi∑
i
Resz=zif(z)eiaz (7.24)
������������������f(z)��zi�������CR�����
IR :=
∫
CR
f(z)eiazdz=
∫ π 0
f(Reiθ)eiaRcosθ−aRsinθiReiθdθ (7.25)
������ϵ> 0���, R��������, ���θ���|f(Reiθ)|< ϵ����
���������
|IR|≤ϵR
∫ π 0
e−aRsinθdθ= 2ϵR
∫ π/2 0
e−aRsinθdθ (7.26)
���Jordan����������������
Jordan���� r >0���
∫ π2
0
e−rsinθdθ < π
2r (7.27)
∫ π 0
e−rsinθdθ< π
r (7.28)
�� 0 ≤ θ ≤ π2 ���, sinθ ≥ π2θ������r > 0���e−rsinθ ≤ e−2rπθ����
���
∫ π2
0
e−rsinθdθ ≤
∫ π2
0
e−2rπθdθ
= π
−2re−2rπθ
π 2
0
= π
2r(1−e−r)< π
2r (7.29)
����2�������[π2,π]�������,����θ=π−φ����
∫ π
π 2
e−rsinθdθ=
∫ 0
π 2
e−rsinφ(−dφ) =
∫ π2
0
e−rsinφdφ
����������� (���)
Figure 7.25: Jordan����
�����IR�Jordan���������
|IR|≤2ϵR
∫ π/2 0
e−aRθ/πdθ = 2ϵR1−e−aR 2aR/π < π
aϵ (7.30)
���
Rlim→∞IR = 0 (7.31)
����������
∫ ∞
−∞
f(x)eiaxdx= 2πi∑
i
Resz=zi(f(z)eiaz) (7.32)
����
� 7.3. ∫ ∞
−∞
cosax
b2+x2dx= π
be−ab (a >0, b >0) (7.33) Re(eiax) = cosax������
f(z) = eiaz
z2+b2 (7.34)
���
∫ ∞
−∞
eiax
x2+b2dx (7.35)
(���)�����
C
R
-R O
ib
Figure 7.26: ���
�������[−R, R] (R > b)���� C :z = Reiθ (0 ≤θ ≤π) �������
����������f(z)�������,z =ib�����
Resz=ibf(z)dz= eiaz z+ib
z=ib
= e−ab
2ib (7.36)
∫
Γ
f(z)dz=
∫ R
−R
eiax b2+x2dx+
∫
C
f(z)dz= 2πiResz=ibf(z)dz = πe−ab
b (7.37)
∫
C
f(z)dz ≤
∫
C
|f(z)||dz|≤
∫ π
0
e−Rsinθ
R2−b2Rdθ≤ Rπ
R2−b2 (7.38)
���R→ ∞�������limR→∞∫
Cf(z)dz = 0
∫ ∞
−∞
eiax
b2+x2dx= lim
R→∞
∫ R
−R
eiax
b2+x2dx= πe−ab
b (7.39)
������(7.33)����
� 7.4. ∫ ∞
−∞
xsinx
1 +x2dx= π
e (7.40)
∫ ∞
−∞
xsinx
1 +x2dx= Im
∫ ∞
−∞
xeix 1 +x2dx
���� ∫ ∞
−∞
xeix 1 +x2dx+
∫
Cr
zeiz
1 +z2dz = 2πiR(i) = 2πi 1 2e
���
∫
Cr
zeiz 1 +z2dz
≤
∫
Cr
re−rsinθ r2−1 rdθ
< r2 r2−1
∫ π 0
e−rsinθdθ
< r2 r2−1
π
r →0 (r→ ∞) (7.41)
���Jordan����(7.28)��������
∫ ∞
−∞
xsinx
1 +x2dx= Im2πi1 2e = π
e
����
����
1 2πi
∫ ∞
−∞
eiax
x−ibdx (b > 0, a̸= 0 : real)
=
{ e−ab (a >0)
0 (a <0) (7.42)
����(7.42)�b→+0 (b����0������)�����
blim→+0
1 2πi
∫ ∞
−∞
eiax x−ibdx=
{ 1 (a >0)
0 (a <0) (7.43)
�����������(step function) θ(x) θ(x) :=
{ 1 (x >0)
0 (x <0) (7.44)
�����
θ(x) = lim
ϵ→+0
1 2πi
∫ ∞
−∞
eixt
t−iϵdt (7.45)
�����
�� 7.3.
∫ ∞
−∞
cosx
(x2+a2)(x2+b2)dx (a >0, b >0) (7.46)
������
7.3 ������������
� 7.5. ∫ ∞
0
dx
1 +x3 = 2π 3√
3 (7.47)
���������������
Figure 7.27: ���
∫ r 0
dx 1 +x3 +
∫
Cr
dz z3+ 1+
∫ 0 re2πi3
dz
z3+ 1 = 2πiR(eπi3)
���
∫
Cr
dz z3+ 1
≤ r r3−1
2π
3 →0 (r→ ∞)
∫ 0 re2πi3
dz
z3+ 1 =
∫ 0 r
e2πi3 ds
s3+ 1 (z= se2πi3 )
=−e2πi3
∫ r
0
dx
x3+ 1 (7.48)
���
2πiR(eπi3) = 2πi 1 3z2
z=eπi3
= 2πi 1 3e2πi3
�� ∫ ∞
0
dx
1 +x3 = 2πi 1 3e2πi3
1
1−e2πi3 = 2π 3√ 3
����
�� 7.4.
∫ ∞
0
dx
1 +x5 (7.49)
������
� 7.6. ∫ ∞
0
sinx
x dx= π
2 (7.50)
sinx
x = eix−e2ix−ix ��
∫ ∞
0
sinx
x dx= lim
R→∞
ϵ→0
∫ R ϵ
eix−e−ix
2ix dx= lim
R→∞
ϵ→0
1 2i
(∫ R
ϵ
+
∫ −ϵ
−R
)eix
x dx (7.51)
�������f(z) = eziz ���������������
Cr
Cε
Figure 7.28: ���
(∫ r
ϵ
+
∫
Cr
+
∫ −ϵ
−r
+
∫
Cϵ
)eiz
z dz = 0 (7.52)
���. ���Cr�����Jordan���������
∫
Cr
eiz z dz
≤
∫ π 0
e−rsinθ
reiθ ireiθdθ ≤ π
r → 0 (r→ ∞) (7.53)
�������Cϵ�����
∫
Cϵ
eiz
z dz =−
∫ π
0
eiϵ(cosθ+isinθ)
ϵeiθ iϵeiθdθ
=−i
∫ π
0
eiϵ(cosθ+isinθ)dθ→ −iπ (ϵ→0) (7.54)
�������(7.52)�
2i
∫ ∞
0
sinx
x dx−iπ= 0 (7.55)
�������� ∫ ∞
0
sinx
x dx= π
2 (7.56)
����
Cauchy����� ��f(x)�����������,������x0�f(x)���
��������
P
∫ ∞
−∞
f(x)dx:= lim
δ→0+
∫ x0−δ
−∞
f(x)dx+
∫ ∞
x0+δ
f(x)dx (7.57)
������(principal value)����
��
P
∫ ∞
−∞
f(x)
x−adx (7.58)
���������a���, f(z)�
• ����������������������
• ����Imz > 0�|z| → ∞���|z|k|f(z)| < M (k > 0, M > 0: ��) ��
���
����z =a����������C����������C′��������
∫
C
f(z)
z−adz = P
∫ ∞
−∞
f(x)
x−adx−iπf(a) (7.59)
∫
C′
f(z)
z−adz = P
∫ ∞
−∞
f(x)
x−adx+iπf(a) (7.60)
�������CR����������
∫
CR
f(z)dz
≤ R R−a
∫ π
0 |f(Reiθ)|dθ< R R−a
πM
Rk → 0 (R→ ∞) (7.61)
����������Cϵ����z =a+ϵeiθ����
∫
Cϵ
f(z)dz =
∫ 0 π
f(a+ϵeiθ)idθ → −iπf(a) (ϵ→0) (7.62)
����(7.60)����������
Figure 7.29: ��C, C′
���f(z)��������������� (7.59)���= 0�����
f(a) = 1 iπP
∫ ∞
−∞
f(x)
x−adx (7.63)
��������
Ref(a) = 1 πP
∫ ∞
−∞
Imf(x)
x−a dx (7.64)
Imf(a) =−1 πP
∫ ∞
−∞
Ref(x)
x−a dx (7.65)
����������������������������������������
���
Dirac�delta�� (7.59)���������������������z = x+iϵ (ϵ> 0)����ϵ�����������������������(7.60)������
�������������������
ϵ→+0lim
∫ ∞
−∞
f(x)
x−a+iϵdx= P
∫ ∞
−∞
f(x)
x−adx−iπf(a) (7.66)
ϵlim→+0
∫ ∞
−∞
f(x)
x−a−iϵdx= P
∫ ∞
−∞
f(x)
x−adx+iπf(a) (7.67)
����2���������
ϵlim→+0
∫ ∞
−∞
( 1
x−a+iϵ− 1 x−a−iϵ
)
f(x)dx=−2πif(a) (7.68)
���
δ(x−a) := −1 2πi lim
ϵ→+0
( 1
x−a+iϵ − 1 x−a−iϵ
)
= lim
ϵ→+0
1 π
ϵ
(x−a)2+ϵ2 (7.69)
�Dirac�delta������(7.68)�
∫ ∞
−∞
δ(x−a)f(x)dx=f(a) (7.70)
������������(7.66)��(7.67)� 1
x−a+iϵ = P 1
x−a−iπδ(x−a) (7.71)
1
x−a−iϵ = P 1
x−a+iπδ(x−a) (7.72)
�������ϵ������������
7.4 ���������
� 7.7.
∫ ∞
0
logx
1 +x3dx (7.73)
������I�������������������r���Cr�������
���ϵ���Cϵ ��������f(z) = 1+zlogz3 ������
∫ r
0
f(x)dx+
∫
Cr
f(z)dz+
∫ 0
re2πi/3
f(z)dz+
∫
Cϵ
f(z)dz = 2πiR(z =eiπ/3) (7.74)
Figure 7.30: ���
����
���z0 =eiπ/3����
R(z0) = lim
z→z0
(z−z0) logz
1 +z3 = logz 3z2
z=z0
= πi/3 3e2πi/3 = πi
9e−2πi3 (7.75)
����
∫ 0
re2πi/3
logz
1 +z3dz=e2πi/3
∫ 0
r
logr+ 2πi/3
1 +r3 dr→ −e2πi/3I− 2πi 3 e2πi/3
∫ ∞
0
dr
1 +r3 (7.76)
��
∫
Cr
f(z)dz=
∫ 2π/3 0
log(reiθ)
1 +r3e3iθrieiθdθ (7.77)
�r→ ∞���r→ 0���0�����������
I−e2πi/3I− 2πi 3 e2πi/3
∫ ∞
0
dr
1 +r3 = 2πiπi
9e−2πi/3 (7.78)
�����(7.5)��∫∞
0 dr
1+r3 = 2π
3√
3 �����
I=−2π2
27 (7.79)
����
�� 7.5.
∫ ∞
0
logx
(x2+ 1)2dx (7.80)
������
� 7.8. ∫ ∞
0
x−a
1 +xdx= π
sinaπ, (0< a <1) (7.81) f(z) = z1+z−a �z= 0��������������14���������������
z−a����C1��z−a����C3���(e2πiz)−a ����������
-1
C
C C
2
1
3 0
R Cε
Figure 7.31: ���
∫ R
ϵ
x−a 1 +xdx+
∫
Cr
f(z)dz−
∫ R
ϵ
e−2πiax−a 1 +x dx+
∫
Cϵ
f(z)dz
= 2πiResz=−1f(z) = 2πie−πia (7.82)
����Cϵ�����
∫
Cϵ
f(z)dz ≤
∫ 2π 0
|ϵe−πi+iθ|−a
1−ϵ ϵdθ = ϵ1−a
1−ϵ2π→0 (0< a <1,ϵ→0) (7.83)
������Cr�����
∫
Cr
f(z)dz ≤
∫ 2π 0
|(reiθ)−a|
r−1 rdθ = r−a
r−12πr→ 0 (0< a <1, r → ∞) (7.84)
�������
(1−e−2πia)
∫ ∞
0
x−a
1 +xdx= 2πie−πia (7.85)
�� ∫ ∞
0
x−a
1 +xdx= π
sinπa (7.86)
14c∈C���zc:= exp(clogz)����logz���Logz+2πik(k∈Z)���,zc���exp(c(Logz+
2πik))�������
7.5 3���������
sinθ, cosθ�����F(sinθ,cosθ)���
I =
∫ 2π 0
F(sinθ,cosθ)dθ (7.87)
�����C :z= eiθ (0≤θ≤2π)����
sinθ= z−z−1
2i , cosθ= z+z−1
2 dz =izdθ
��
I =
∫
C
F(z−z−1
2i ,z+z−1 2 )dz
iz (7.88)
���������������
� 7.9. ∫ 2π
0
dθ
1 +asinθ = 2π
√1−a2, (−1< a <1) (7.89)
I =
∫
C
1 1 +az−2iz−1
dz iz
=
∫
C
2
az2+ 2iz−adz (7.90)
az2+ 2iz−a= 0���
z = −1±√ 1−a2
a i (7.91)
���z1(���)�z2(���)���. �����z1����C�����
I = 2πiR(z1)
= 2πi 2 2az1+ 2i
= 2π
√1−a2 (7.92)
�� 7.6.
∫ π
0
cosnθ
1−2acosθ+a2dθ (−1< a <1, n= 0,1,2, . . .) (7.93)
������