• 検索結果がありません。

0 f(x)dx= lim r

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

シェア "0 f(x)dx= lim r"

Copied!
18
0
0

読み込み中.... (全文を見る)

全文

(1)

Lecture 8 & 9

7 �������

�������������������, ��������������������

�������

����

0

f(x)dx= lim

r→∞

r

0

f(x)dx (7.1)

−∞

f(x)dx= lim

r→∞

0

r

f(x)dx+ lim

r→∞

r 0

f(x)dx (7.2)

�������������������������

7.1 ���������

���

I =

−∞

f(x)dx (7.3)

�����f(z)���

f(z)�������������������,�������������

• |z|→ ∞(0argzπ)���,zf(z)0����

��������������[R, R],�����������CR:|z|=R����

����Jordan���C��f(z)�������. �������

C

f(z)dz=

R

R

f(x)dx+

CR

f(z)dz= 2πi

i

Resz=zif(z) (7.4)

���. ����������f(z)��zi ����������CR������

IR :=

CR

f(z)dz =

π 0

f(Re)iRe (7.5)

(2)

R -R

CR

Figure 7.22: ���C

����������ϵ>0���,�����R����0θ π����|Rf(Re)|<

ϵ���������������

|IR|ϵ

π 0

=πϵ (7.6)

�����

R→∞lim IR = 0 (7.7)

��������

−∞

f(x)dx= 2πi

i

Resz=zif(z) (7.8)

������

7.1.

−∞

dx

x2+ 1 =π (7.9)

��1 ����x= tan���dx= cos12�

−∞

dx x2+ 1 =

π

2

π2

=π

����

��2 ������[R, R],�����������CR:|z|=R��������

Jordan���C�����f(z) = z21+1C������,�������

(3)

Figure 7.23: ���

C

f(z)dz =

R

−R

f(x)dx+

CR

f(z)dz = 2πiR(i) (7.10)

�������z =i����f(z)����

R(i) = (zi) 1 z2+ 1

z=i

= 1

2i (7.11)

������CR�����

CR

f(z)dz

CR

1

|z2+ 1||dz| πR

R21 0 (R→ ∞) (7.12)

��

Rlim→∞

CR

f(z)dz = 0 (7.13)

�������

−∞

dx

x2+ 1 = 2πi1

2i =π (7.14)

����

7.2.

0

1

x4+ 1dx (7.15)

0

1

x4+ 1dx= 1 2

−∞

1

x4+ 1dx (7.16)

�����,��������

(4)

Figure 7.24: ���

�������C1: [R, R]��������R���CR����,f(z) = 1+z1 4

����. f(z)������z =ω±1,ω±1,ω= eiπ/4����

C1

f(z)dz 2πi +

CR

f(z)dz

2πi = Resz=ωf(z)dz+ Resz=ω−1f(z)dz,

C1

f(z)dz

2πi = 1 πi

R

0

f(x)dx 1 πi

0

dx

1 +x4 (R→ ∞) (7.17) CRz =Re����,|z4+ 1||z|41��

CR

f(z)dz

CR

|f(z)|dz|=

π 0

R

|1 +R4e4iθ|

π 0

R

R41 0(R→ ∞) (7.18) Resz=ωf(z)dz = lim

zω

zω z4+ 1 = 1

3 =ω 4 Resz=ω−1f(z)dz = lim

z→ω

z+ω1

z4+ 1 = 1

4(ω1)3 =ω3

4 = ω1

4 (7.19)

0

dx

1 +x4 =πi (

ω

4 + ω1 4

)

= πi 4

(e4 +e−iπ4 )

= π 2

2 (7.20)

�� 7.1.

−∞

dx

(a2+x2)2 (a >0) (7.21)

������

�� 7.2.

0

1

(a2+x4)2dx (a >0) (7.22)

������

(5)

7.2 3����������

���

I =

−∞

f(x)eiaxdx (7.23)

��������a >0��, f(z)���

f(z)������������

limz→∞f(z) = 0 (0argzπ)

�����������[R, R],�����������CR:|z|=R�������

Jordan���C��f(z)��������

C

f(z)eiazdz =

R

R

f(z)eiazdz+

CR

f(z)eiazdz= 2πi

i

Resz=zif(z)eiaz (7.24)

������������������f(z)��zi�������CR�����

IR :=

CR

f(z)eiazdz=

π 0

f(Re)eiaRcosθaRsinθiRe (7.25)

������ϵ> 0���, R��������, ���θ���|f(Re)|< ϵ����

���������

|IR|ϵR

π 0

eaRsinθ= 2ϵR

π/2 0

eaRsinθ (7.26)

���Jordan����������������

Jordan���� r >0���

π2

0

e−rsinθ < π

2r (7.27)

π 0

ersinθ< π

r (7.28)

(6)

�� 0 θ π2 ���, sinθ π2θ������r > 0���ersinθ e2rπθ����

���

π2

0

e−rsinθ

π2

0

e2rπθ

= π

2re2rπθ

π 2

0

= π

2r(1er)< π

2r (7.29)

����2�������[π2,π]�������,����θ=πφ����

π

π 2

ersinθ=

0

π 2

ersinφ(dφ) =

π2

0

ersinφ

����������� (���)

Figure 7.25: Jordan����

�����IRJordan���������

|IR|2ϵR

π/2 0

eaRθ/π = 2ϵR1eaR 2aR/π < π

aϵ (7.30)

���

Rlim→∞IR = 0 (7.31)

����������

−∞

f(x)eiaxdx= 2πi

i

Resz=zi(f(z)eiaz) (7.32)

����

(7)

7.3.

−∞

cosax

b2+x2dx= π

beab (a >0, b >0) (7.33) Re(eiax) = cosax������

f(z) = eiaz

z2+b2 (7.34)

���

−∞

eiax

x2+b2dx (7.35)

(���)�����

C

R

-R O

ib

Figure 7.26: ���

�������[R, R] (R > b)���� C :z = Re (0 θ π) �������

���������f(z)�������,z =ib�����

Resz=ibf(z)dz= eiaz z+ib

z=ib

= e−ab

2ib (7.36)

Γ

f(z)dz=

R

R

eiax b2+x2dx+

C

f(z)dz= 2πiResz=ibf(z)dz = πeab

b (7.37)

C

f(z)dz

C

|f(z)||dz|

π

0

e−Rsinθ

R2b2Rdθ

R2b2 (7.38)

���R→ ∞�������limR→∞

Cf(z)dz = 0

−∞

eiax

b2+x2dx= lim

R→∞

R

−R

eiax

b2+x2dx= πe−ab

b (7.39)

������(7.33)����

(8)

7.4.

−∞

xsinx

1 +x2dx= π

e (7.40)

−∞

xsinx

1 +x2dx= Im

−∞

xeix 1 +x2dx

����

−∞

xeix 1 +x2dx+

Cr

zeiz

1 +z2dz = 2πiR(i) = 2πi 1 2e

���

Cr

zeiz 1 +z2dz

Cr

rersinθ r21 rdθ

< r2 r21

π 0

ersinθ

< r2 r21

π

r 0 (r→ ∞) (7.41)

���Jordan����(7.28)��������

−∞

xsinx

1 +x2dx= Im2πi1 2e = π

e

����

����

1 2πi

−∞

eiax

xibdx (b > 0, a̸= 0 : real)

=

{ e−ab (a >0)

0 (a <0) (7.42)

����(7.42)b+0 (b����0������)�����

blim+0

1 2πi

−∞

eiax xibdx=

{ 1 (a >0)

0 (a <0) (7.43)

�����������(step function) θ(x) θ(x) :=

{ 1 (x >0)

0 (x <0) (7.44)

(9)

�����

θ(x) = lim

ϵ+0

1 2πi

−∞

eixt

tdt (7.45)

�����

�� 7.3.

−∞

cosx

(x2+a2)(x2+b2)dx (a >0, b >0) (7.46)

������

7.3 ������������

7.5.

0

dx

1 +x3 = 3

3 (7.47)

���������������

Figure 7.27: ���

r 0

dx 1 +x3 +

Cr

dz z3+ 1+

0 re2πi3

dz

z3+ 1 = 2πiR(eπi3)

���

Cr

dz z3+ 1

r r31

3 0 (r→ ∞)

0 re2πi3

dz

z3+ 1 =

0 r

e2πi3 ds

s3+ 1 (z= se2πi3 )

=e2πi3

r

0

dx

x3+ 1 (7.48)

(10)

���

2πiR(eπi3) = 2πi 1 3z2

z=eπi3

= 2πi 1 3e2πi3

��

0

dx

1 +x3 = 2πi 1 3e2πi3

1

1e2πi3 = 3 3

����

�� 7.4.

0

dx

1 +x5 (7.49)

������

7.6.

0

sinx

x dx= π

2 (7.50)

sinx

x = eix−e2ix−ix ��

0

sinx

x dx= lim

R→∞

ϵ→0

R ϵ

eixeix

2ix dx= lim

R→∞

ϵ→0

1 2i

(∫ R

ϵ

+

ϵ

R

)eix

x dx (7.51)

�������f(z) = eziz ���������������

Cr

Cε

Figure 7.28: ���

(∫ r

ϵ

+

Cr

+

−ϵ

−r

+

Cϵ

)eiz

z dz = 0 (7.52)

(11)

���. ���Cr�����Jordan���������

Cr

eiz z dz

π 0

ersinθ

re ire π

r 0 (r→ ∞) (7.53)

�������Cϵ�����

Cϵ

eiz

z dz =

π

0

eiϵ(cosθ+isinθ)

ϵe iϵe

=i

π

0

eiϵ(cosθ+isinθ)→ − 0) (7.54)

�������(7.52)

2i

0

sinx

x dx= 0 (7.55)

��������

0

sinx

x dx= π

2 (7.56)

����

Cauchy����� ��f(x)�����������,������x0f(x)���

��������

P

−∞

f(x)dx:= lim

δ→0+

x0δ

−∞

f(x)dx+

x0

f(x)dx (7.57)

������(principal value)����

��

P

−∞

f(x)

xadx (7.58)

���������a���, f(z)

����������������������

����Imz > 0|z| → ∞���|z|k|f(z)| < M (k > 0, M > 0: ��) ��

���

(12)

����z =a����������C����������C��������

C

f(z)

zadz = P

−∞

f(x)

xadxiπf(a) (7.59)

C

f(z)

zadz = P

−∞

f(x)

xadx+iπf(a) (7.60)

�������CR����������

CR

f(z)dz

R Ra

π

0 |f(Re)|< R Ra

πM

Rk 0 (R→ ∞) (7.61)

����������Cϵ����z =a+ϵe����

Cϵ

f(z)dz =

0 π

f(a+ϵe)idθ → −iπf(a) (ϵ0) (7.62)

����(7.60)����������

Figure 7.29: ��C, C

���f(z)��������������� (7.59)���= 0�����

f(a) = 1 P

−∞

f(x)

xadx (7.63)

��������

Ref(a) = 1 πP

−∞

Imf(x)

xa dx (7.64)

Imf(a) =1 πP

−∞

Ref(x)

xa dx (7.65)

����������������������������������������

���

(13)

Diracdelta�� (7.59)���������������������z = x+ > 0)����ϵ�����������������������(7.60)������

�������������������

ϵ→+0lim

−∞

f(x)

xa+dx= P

−∞

f(x)

xadxiπf(a) (7.66)

ϵlim+0

−∞

f(x)

xadx= P

−∞

f(x)

xadx+iπf(a) (7.67)

����2���������

ϵlim+0

−∞

( 1

xa+ 1 xa

)

f(x)dx=2πif(a) (7.68)

���

δ(xa) := 1 2πi lim

ϵ→+0

( 1

xa+ 1 xa

)

= lim

ϵ→+0

1 π

ϵ

(xa)2+ϵ2 (7.69)

Diracdelta������(7.68)

−∞

δ(xa)f(x)dx=f(a) (7.70)

������������(7.66)��(7.67) 1

xa+ = P 1

xaiπδ(xa) (7.71)

1

xa = P 1

xa+iπδ(xa) (7.72)

�������ϵ������������

7.4 ���������

7.7.

0

logx

1 +x3dx (7.73)

������I�������������������r���Cr�������

���ϵ���Cϵ ��������f(z) = 1+zlogz3 ������

r

0

f(x)dx+

Cr

f(z)dz+

0

re2πi/3

f(z)dz+

Cϵ

f(z)dz = 2πiR(z =eiπ/3) (7.74)

(14)

Figure 7.30: ���

����

���z0 =eiπ/3����

R(z0) = lim

zz0

(zz0) logz

1 +z3 = logz 3z2

z=z0

= πi/3 3e2πi/3 = πi

9e2πi3 (7.75)

����

0

re2πi/3

logz

1 +z3dz=e2πi/3

0

r

logr+ 2πi/3

1 +r3 dr→ −e2πi/3I 2πi 3 e2πi/3

0

dr

1 +r3 (7.76)

��

Cr

f(z)dz=

2π/3 0

log(re)

1 +r3e3iθrie (7.77)

r→ ∞���r 0���0�����������

Ie2πi/3I 2πi 3 e2πi/3

0

dr

1 +r3 = 2πiπi

9e2πi/3 (7.78)

�����(7.5)��

0 dr

1+r3 =

3

3 �����

I=2

27 (7.79)

����

�� 7.5.

0

logx

(x2+ 1)2dx (7.80)

������

(15)

7.8.

0

xa

1 +xdx= π

sin, (0< a <1) (7.81) f(z) = z1+z−a z= 0��������������14���������������

za����C1��za����C3���(e2πiz)a ����������

-1

C

C C

2

1

3 0

R Cε

Figure 7.31: ���

R

ϵ

x−a 1 +xdx+

Cr

f(z)dz

R

ϵ

e−2πiax−a 1 +x dx+

Cϵ

f(z)dz

= 2πiResz=1f(z) = 2πieπia (7.82)

����Cϵ�����

Cϵ

f(z)dz

0

|ϵeπi+iθ|a

1ϵ ϵdθ = ϵ1a

1ϵ0 (0< a <1,ϵ0) (7.83)

������Cr�����

Cr

f(z)dz

0

|(re)a|

r1 rdθ = ra

r12πr 0 (0< a <1, r → ∞) (7.84)

�������

(1e−2πia)

0

x−a

1 +xdx= 2πie−πia (7.85)

��

0

x−a

1 +xdx= π

sinπa (7.86)

14cC���zc:= exp(clogz)����logz���Logz+2πik(kZ)���,zc���exp(c(Logz+

2πik))�������

(16)

7.5 3���������

sinθ, cosθ�����F(sinθ,cosθ)���

I =

0

F(sinθ,cosθ)dθ (7.87)

�����C :z= e (0θ2π)����

sinθ= zz1

2i , cosθ= z+z1

2 dz =izdθ

��

I =

C

F(zz−1

2i ,z+z−1 2 )dz

iz (7.88)

���������������

7.9.

0

1 +asinθ =

1a2, (1< a <1) (7.89)

I =

C

1 1 +az2iz−1

dz iz

=

C

2

az2+ 2izadz (7.90)

az2+ 2iza= 0���

z = 1± 1a2

a i (7.91)

���z1(���)z2(���)���. �����z1����C�����

I = 2πiR(z1)

= 2πi 2 2az1+ 2i

=

1a2 (7.92)

�� 7.6.

π

0

cos

12acosθ+a2 (1< a <1, n= 0,1,2, . . .) (7.93)

������

参照

関連したドキュメント

Then by applying specialization maps of admissible fundamental groups and Nakajima’s result concerning ordinariness of cyclic ´ etale coverings of generic curves, we may prove that

Abstract: The existence and uniqueness of local and global solutions for the Kirchhoff–Carrier nonlinear model for the vibrations of elastic strings in noncylindrical domains

Linares; A higher order nonlinear Schr¨ odinger equation with variable coeffi- cients, Differential Integral Equations, 16 (2003), pp.. Meyer; Au dela des

(The Elliott-Halberstam conjecture does allow one to take B = 2 in (1.39), and therefore leads to small improve- ments in Huxley’s results, which for r ≥ 2 are weaker than the result

[r]

“Breuil-M´ezard conjecture and modularity lifting for potentially semistable deformations after

Charles Conley once said his goal was to reveal the discrete in the con- tinuous. The idea here of using discrete cohomology to elicit the behavior of continuous dynamical systems

The pa- pers [FS] and [FO] investigated the regularity of local minimizers for vecto- rial problems without side conditions and integrands G having nonstandard growth and proved