• 検索結果がありません。

Z a 0 f(t)dt=− Z a 0 f(x)dx なのでZ a −a f(x)dx= 0が示される

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

シェア "Z a 0 f(t)dt=− Z a 0 f(x)dx なのでZ a −a f(x)dx= 0が示される"

Copied!
2
0
0

読み込み中.... (全文を見る)

全文

(1)

解析学II問題解説 #3   河野

演習問題1.4 命題1.15を証明せよ。

(1)はすでに証明してあるので,(2)を示す。今Z a

a

f(x)dx = Z 0

a

f(x)dx+ Z a

0

f(x)dxが成 立している。

Z 0

a

f(x)dxにおいてt=xと変数変換すると,dx

dt =1であり,x:a0のときt:a0 となる。

Z 0

a

f(x)dx = Z 0

a

f(t)dx dt dt=

Z 0

a

f(t)(1)dt= Z 0

a

f(t)dt

=

Z a

0

f(t)dt= Z a

0

f(x)dx

なのでZ a

a

f(x)dx= 0が示される。

演習問題1.5 次の定積分を微積分の基本定理を用いて計算せよ。

(1) Z 1

0

1

x24 dx (2)

Z 1

0

4x3

(x2+ 1)(x2)2 dx (3)

Z 1

0

xp

1x2dx (4)

Z 1

0

arctanx dx (5)

Z π/2

π/2

sin3xsinx

dx (6)

Z π/2

π/2

cos3x dx

この積分はどれもそれほど難しくはない。不定積分で学んだことが身についているかの確認のつ もりで解いて見る事。いずれの関数も積分区間で連続なので微積分の基本定理を使える。

(1) 1

x24 = 1 4

1 x2 1

4 1

x+ 2 と部分分数展開できる。

Z 1

0

1

x24 dx = 1 4

Z 1

0

1

x2 dx 1 4

Z 1

0

1 x+ 2 dx

= 1

4

log|x2| 1

0

1 4

log|x+ 2| 1

0

= 1

4 log 1log 2

1

4 log 3log 2

=1 4 log 3 (2) 4x3

(x2+ 1)(x2)2 = 1

(x2)2 1

1 +x2 と部分分数展開できる。

Z 1

0

4x3

(x2+ 1)(x2)2 dx = Z 1

0

1

(x2)2 dx Z 1

0

1 1 +x2 dx

=

1 x2

1

0

arctanx 1

0

(2)

= 1 1

2 arctan 1arctan 0

= 1

2 π 4 (3)置換積分法を用いる。t= 1x2とおくと,dt

dx =2xなので,dx dt = 1

2x である。またx x: 01と変化するとき,tt: 10と変化する。よって

Z 1

0

xp

1x2dx = Z 0

1

x tdx

dt dt= Z 0

1

x t

1 2x

dt=1 2

Z 0

1

t dt

= 1

2 Z 1

0

t dt= 1 2

2 3t3/2

1

0

= 1 3 (4)部分積分法を用いる。t = arctanxは「x = tantかつπ

2 < t < π

2 」と同値であるから,

arctan 0 = 0,arctan 1 = π

4 である。(arctanx)= 1

1 +x2,x = 1である事に注意する。

Z 1

0

arctanx dx = Z 1

0

xarctanx dx

=

xarctanx 1

0

Z 1

0

x(arctanx) dx

= arctan 10 arctan 0 Z 1

0

x 1 +x2 dx

= π

4 1 2

Z 1

0

(1 +x2) 1 +x2 dx

= π

4 1 2

Z 2

1

1 u du

= π

4 1 2

logu

1

0

= π 4 1

2 log 2

(5) f(x) = sin3xsinxとおくとf(x) = sin3(x)sin(x) = (1)3sin3(1) sinx =

sin3xsinx

=f(x)なので,f(x)は奇関数である。よってZ π/2

π/2

sin3xsinx dx= 0 ある。

(6)f(x) = cos3xとおくとf(x) = cos3(x) = cos3x=f(x)なので,f(x)は偶関数である。

Z π/2

π/2

cos3x dx = 2 Z π/2

0

cos3x dx= 2 Z π/2

0

1sin2x

cosx dx

なので,t= sinxとおくと,dt

dx = cosxより dx dt = 1

cosx となる。x: 0 π

2 のときt: 01 なので

2 Z π/2

0

1sin2x

cosx dx = 2 Z 1

0

(1t2) cosx 1 cosx dt

= 2 Z 1

0

1t2 dt

= 2

t 1 3t3

1

0

= 4 3

参照

関連したドキュメント

In this paper we analyze some problems related to quadratic transformations in the variable of a given system of monic orthogonal polynomials (MOPS).. The first problem to be

In this section, we establish a purity theorem for Zariski and etale weight-two motivic cohomology, generalizing results of [23]... In the general case, we dene the

Using truncations, theory of nonlinear operators of monotone type, and fixed point theory (the Leray-Schauder Al- ternative Theorem), we show the existence of a positive

Rhoudaf; Existence results for Strongly nonlinear degenerated parabolic equations via strong convergence of truncations with L 1 data..

We consider some nonlinear second order scalar ODEs of the form x 00 + f (t, x) = 0, where f is periodic in the t–variable and show the existence of infinitely many periodic

Several results on asymptotic behavior of fractional differ- ential equations are published: e.g., on Linear theory [11, 6], Stability theory for nonlinear systems [1, 4],

In this case (X t ) t≥0 is in fact a continuous (F t X,∞ ) t≥0 -semimartingale, where the martingale component is a Wiener process and the bounded variation component is an

Further, we develop a full symbolic calculus for pseudo- differential operators acting on algebras of Colombeau generalized functions.. As an application, we formulate a