C n Z との擬等角同値性について

名古屋大学大学院

多元数理科学研究科修士論文

C \ Z

著者氏名 藤野 弘基 指導教員 大沢 健夫

2014

2

i

序文

 本論文の主な目的は, Riemann面が

C \ Z

(第 4

2

擬円板の幾何学的特徴付け”(第

3

 まず本研究の背景にある問題について述べる.

 擬等角写像は

Riemann

0

(つまり Green

Riemann

R

S

f : R → S

(S, f )

X(R)

X(R)

(S, f )

(T, g)

Teichm¨ uller

h : S → T

h ◦ f

g

∂R

∂R

R

X(R)

Teichm¨ uller

T (R)

Teichm¨ uller

Riemann

R

Teichm¨ uller

T (R)

Teichm¨ uller

R

¹

Bers

T (R)

(有限次元)

T (R)

(有限次元の)

R

([16, pp.

299-301]

R

T (R)

Teichm¨ uller

 有限次元

Teichm¨ uller

Teichm¨ uller

[27]

Teichm¨ uller

ことも多い. 例えば講究録

[36]

元

Teichm¨ uller

Teichm¨ uller

ものが見られる. 例えば

Earle–Gardinar–Lakic [5], [4]

1 Riemann

R

R

Riemann

punctures

た漸近的

Teichm¨ uller

²

p

Teichm¨ uller

 これに対し筆者は,無限次元

Teichm¨ uller

Riemann

Riemann

Teichm¨ uller

C \ Z

i. Riemann

Riemann

ある.

ii. C \ Z

z + n

⟨ z + n ⟩

Riemann

( C \ Z )/ ⟨ z + n ⟩

という点で解析的有限な

Riemann

Riemann

 本論文では

C \ Z

Teichm¨ uller

Riemann

R ^′

C \ Z

R ^′

(4.1

まずは

C \ Z

Teichm¨ uller

Problem

C

A

C \ A

P

A ∈ P

C \ Z

C \ A

  つまり

Teichm¨ uller

T ( C \ Z )

[S, f ]

Riemann

S

角写像は

Riemann

でどのようなものが除外されるかが興味深い.筆者はこの問題に対しての 部分的な解決として次の判定条件を得た.

Theorem

A ∈ P

B ⊂ R

C \ B

C \ A

sup

z ∈C , r>0

r

d(z, r; A) , sup

z ∈C , r>0

r

d(z, r; ˜ A) < + ∞ .

2

Gardinar–Sullivan[7]

iii

 ただし,

d(z, r; A), d(z, r; ˜ A)

4.2

A

r

d(z, r; A), d(z, r; ˜ A)

Corollary

C \ Z

C \ ( Z + i Z )

 が示される. この定理の証明には擬円板の幾何学的特徴付けの一つである 領域の一様性を用いた. また,擬円板の性質を用いるというアイデアは川 平友規先生にご教示頂いた.

 さて,

C \ Z

Riemann

れでも

T ( C \ Z )

T ( C \ Z )

T ¯ = {

[S, f ] ∈ T ( C \ Z ) ^∃ h ∈ Aut(S) s.t. ord(h) = + ∞ }

について詳しく調べることにする.この

T ¯

C \ Z

す

“無限位数の自己同型を持つ”

の全体を表している.

 ここで,

C \ Z

ii)

R _n = ( C \ Z )/ ⟨ z + n ⟩

ι n : T (R n ) , → T ( C \ Z )

によるとこの埋込みは全測地的である.

T (R _n )

Teichm¨ uller

ι _n (T (R _n ))

ι n (T (R n ))

C \ Z

z + n

 このとき, ¯

T ₀ = ∪

n ∈N ι _n (T (R _n ))

C \ Z

Teichm¨ uller-modular

Mod

³ ,

Conjecture A ∪

[f ] ∈ Mod

[f] _∗ ( T ¯ ₀ )

= ¯ T (1)

が成り立つだろうということが分かってきた. この等式

(1)

T

C \ Z

C \ Z

T ₀

ι n (T (R n ))

T ¯

T ¯ 0 ⊂ T ¯

さらに任意の

[f ] ∈ Mod

[f ] _∗ ( T ¯ ₀ )

⊂ T ¯

uller-

modular

∪

[f] ∈ Mod

[f ] _∗ ( T ¯ ₀ )

⊂ T ¯

3 Mod

C \ Z

Teichm¨ uller

[f ] ∈ Mod

T ( C \ Z )

[f ] _∗ ([S, g]) = [S, g ◦ f ^{− 1} ]

Teichm¨ uller

は自明である. 一方,逆向きの包含関係を示すためには次の予想が解決さ れれば良いことがわかった.

Conjecture B

A ∈ P

z + 1 ∈ Aut( C \ A)

( C \ A)/ ⟨ z + 1 ⟩

punctures

C \ Z

C \ A

 つまり等式

(1)

Problem

この予想の根拠となるのが本研究で得られた次の結果である.

Theorem

A ∈ P

z + 1 ∈ Aut( C \ A)

( C \ A)/ ⟨ z + 1 ⟩

punctures

C \ Z

C \ A

d ∈ N , ε > 0

a ∈ A

♯ { D _ε (a) ∩ A } ≥ d.

A ∈ P

Conjecture B

(Example 4.4.5

Problem

 最後に本論文の構成について述べる. 本論文は全四章からなり,第

1

4

Vuorinen

[32, Lemma 4.7] (1988)

4

 第

2

“擬等角写像によっ

Pfluger [23] (1962)

Nakai [20] (1962)

 第

3

4

4

v

⁴ .

は, 擬円板の

(幾何学的)

徴付けはこれらに限らず非常に多く存在し,それらの特徴付けは,擬等角 写像の様々な特徴付けの定理も合わせて, 鎖状にあるいは円状に定理が つながって証明が完成されるものである.そのため上記の四種類の領域の 同値性の証明はその一部を与えるに留めた. ただしその一部については

Gehring–Martio [12] (1985)

 第

4

Teichm¨ uller

Teichm¨ uller

謝辞

学部四年次以来,常に厳しくご指導ご助言頂いた大沢健夫先生の力添え により, 本論文を完成させることができました. 本研究を通して, 数学研 究の厳しさ, 進展を得られた時の喜びに触れられたことは,ひとえに同先 生のご指導の賜物であると感じます.これらに対する感謝の念は筆舌に尽 くし難いものではありますが, 同先生に心より感謝申し上げます.有り難 うございました.

 川平友規先生には,本研究の進展において重要となった

“擬円板の性質

 また本論文の作成に当たって,ご多忙の中何度も本論文に目を通し,細や かなご指摘の数々を頂いた教務助教の足立真訓さんに感謝申し上げます.

4

vii

目 次

序文

i

本文中で用いられる記号の定義

viii

第

1

1

1.1

. . . . 1

1.2

. . . . 5

1.3

. . . . 8

第

2

12 2.1 Riemann

. . . . 12

2.2 Riemann

. . . . 15

2.3

. . . . 16

第

3

19 3.1

. . . . 19

3.2

. . . . 20

3.3 LLC

. . . . 22

3.4 QED

. . . . 24

3.5

. . . . 26

3.6 Gehring–Martio

. . . . 28

第

4

C \ Z

35 4.1 C \ Z

. . . . 35

4.2

. . . . 36

4.3

. . . . 39

4.4

. . . . 41

REFERENCES 47

本文中で用いられる記号の定義

N , Z , Q , R , C

n ∈ N

R ⁿ

n

Euclid

R ⁿ

R ⁿ

C

C ˆ

Riemann

∞

C , C ˆ

z = x + iy

R ² , R ¯ ²

R ˙ = R ∪ { + ∞ , −∞} = [ −∞ , + ∞ ]

 位相空間

X

Y

∂Y

Y

X

Y

Y

X

2

x, y ∈ R ⁿ (または C )

Euclid

d(x, y) = | x − y | = √

(x ₁ − y ₁ ) ² +

· · · + (x _n − y _n ) ²

r > 0, x ∈ R ⁿ

B _r ⁿ (x) = { y ∈ R ⁿ | | x − y | < r }

B ₁ ⁿ (0)

B ⁿ

S _r ^{n − 1} (x) =

∂B ⁿ _r (x)

S ^{n − 1} = S ₁ ^{n − 1} (0)

z ∈ C

D _r (z) = { w ∈ C | | z − w | < r }

D = D ₁ (0)

H ⁿ = { x = (x 1 , · · · , x n ) ∈ R ⁿ | x n > 0 }

= 2

H = { z ∈ C | Imz > 0 }

 部分集合

A, B ⊂ R ⁿ

{ | x − y | | x, y ∈ A }

A

) = inf { | x − y | | x ∈ A, y ∈ B }

A

B

 また, Riemann面とは連結な一次元複素多様体のことを指す.

• ω _{n − 1}

S ^{n − 1}

n − 1

(= nΩ _n )

• Ω _n

B ⁿ

n

• ℓ(γ)

γ

(1.1

• adm( F )

F

Borel

(1.1

• mod( F )

F

(1.1

• m

(n

ix

• J f

f

Jacobi

      特に

| J f |

J f

• χ _Ω

Ω

(Example 1.1.2

• F ^Ω (E, F )

E, F

Ω

• δ ^Ω (E, F )

Definition 1.2.1

• c _n

n

(c ₂ = 2/π, Theorem 1.2.5

• γ[z, w]

γ

z, w ∈ γ

• P

C

A

C \ A

1

第

1

Ahlfors–Beurling [3]

1.1

Ω

R ¯ ⁿ

[a, b]

Ω

γ,

Ω

ℓ(γ ) = sup

∑ n i=1

| γ(t _i ) − γ(t _{i − 1} ) |

がある実数値を持つとき,

γ

¹ .

a = t ₀ < t ₁ < · · · < t _n = b

γ(a)

γ(b)

γ

 また開区間

(a, b)

Ω

γ ,

[c, d] ⊂ (a, b)

γ

γ

γ

ℓ(γ) = sup

[c,d] ⊂ (a,b)

ℓ (

γ | _[c,d] )

γ

 開区間

(a, b)

γ

[a, b]

γ ˜

([28, Theorem 3.2]

γ(a) ˜

γ(b) ˜

γ

1 ℓ(γ) =

∫ b a

dγ dt (t)

dt

γ

γ

ℓ(γ)

 次に

Ω

F

ρ : R ⁿ → R ˙

Borel

ρ

F

γ ∈ F

∫

γ

ρds ≥ 1

ds = √

dx ² ₁ + · · · + dx ² _n

Euclid

F

Borel

adm( F )

Definition 1.1.1 (

)

Ω

R ¯ ⁿ

F

Ω

F

² .

mod( F ) = inf

ρ ∈ adm( F )

∫

R

ρ ⁿ dm = inf

ρ ∈ adm( F )

∫

Ω

ρ ⁿ dm.

  曲線族モジュラスは等角不変量である. つまり

h : Ω → h(Ω) ⊂ R ¯ ⁿ

F

F ^′ = h( F ) = { h ◦ γ | γ ∈ F }

F ) = mod( F ^′ )

ρ ^′ ∈ adm( F ^′ )

ρ(x) = ρ ^′ (h(x)) | J h(x) | (x ∈ Ω), ρ(x) = 0 (x ̸∈ Ω)

h

³

γ ∈ F

1 ≤

∫

h ◦ γ

ρ ^′ ds =

∫

γ

ρds.

つまり,

ρ ∈ adm( F )

h

| J h(x) | ⁿ = det J h(x)

mod( F ) ≤

∫

Ω

ρ ⁿ dm =

∫

Ω

ρ ^{′ n} dm.

つまり

mod( F ) ≤ mod( F ^′ )

h ^{− 1}

 ここで, 曲線族モジュラスを計算するための基本的な手段をいくつか紹 介する.

2

3

h : Ω → Ω ^′

h

C ¹

J h(x)

x ∈ Ω

0

x ∈ Ω, t ∈ R ⁿ

| J h(x)t | = | J h(x) || t |

| J h(x) |

J h(x)

1.1.

3 Example 1.1.2

0 < R ₁ < R ₂ < ∞

Ω = { z ∈ C | R ₁ < | z | < R ₂ }

c(θ) = (R ₁ + R ₂ ) e ^iθ /2 (θ ∈ [0, 2π])

Ω

F

mod( F )

 まず, 任意の

ρ ∈ adm( F )

1 ≤

∫ 2π 0

ρ(re ^iθ )rdθ

が任意の

r ∈ (R ₁ , R ₂ )

r

r ∈ (R ₁ , R ₂ )

( log R ₂

R ₁ ) 2

≤

(∫ R

R

∫ _2π

0

ρ(re ^iθ )dθdr ) 2

≤

(∫ _R

R

∫ _2π

0

ρ(re ^iθ ) ² rdθdr

) (∫ _R

R

∫ _2π

0

1 r dθdr

)

= 2π log R ₂ R ₁

∫

Ω

ρ(x + iy) ² dxdy

となる. ただし, 二つ目の不等号には

Cauchy-Schwarz

従って

1

2π log R ₂

R 1 ≤ mod( F )

γ ∈ F

∫

γ

1

z dz = 2πi

であるから, 両辺の絶対値を取り三角不等式を用いることによって,

∫

γ

1

| z | | dz | ≥ 2π

を得る.従って

ρ(z) = χ _Ω /2π | z |

ρ ∈ adm( F )

1

2π log R ₂ R ₁ ≥ mod( F )

χ _Ω

Ω

χ _Ω (z) =

{ 1 (z ∈ Ω), 0 (z ∈ C \ Ω).

以上より

mod( F ) = 1

2π log R ₂

R ₁

また同様にして

R ₁ = 0

R ₂ = + ∞

mod( F ) = + ∞

Example 1.1.3

Ω

R ⁿ

F

Ω

γ ∈ F

ℓ(γ) ≥ l > 0

1

l χ _Ω ∈ adm( F )

mod( F ) ≤ m(Ω) l ⁿ .

 上記の曲線族モジュラスは

Riemann

F

Riemann

R

Borel

関数の族

ρ

ρ(z) | dz |

ρ

(各座標近傍で)

γ ∈ F

に対して

∫

γ

ρ(z) | dz | ≥ 1

adm( F )

mod( F ) = inf

ρ ∈ adm( F )

∫

R

ρ(x + iy) ² dxdy

と定義する. Riemann面上の曲線族モジュラス,および極値的長さについ ては

[2]

[6], [37]

 曲線族モジュラスの逆数は極値的長さと呼ばれる量と一致する. 極値的 長さは

[3]

[2]

[31, chap. 2]

[28, chap. 1]

 次に, 曲線族モジュラスの基本的かつ重要な性質である次の定理を証明 する.

Theorem 1.1.4

曲線族モジュラス

mod

Riemann

Ω

• mod( ∅ ) = 0.

• F ⊂ F ^′

mod( F ) ≤ mod( F ^′ ).

• mod ( _∞

∪

i=1

F i

)

≤

∑ ∞ i=1

mod( F i ).

1.2.

5

0 ∈ adm( ∅ )

mod( ∅ ) = 0

F ⊂ F ^′

adm( F ^′ ) ⊂ adm( F )

mod( F ) ≤ mod( F ^′ )

 最後に三つ目の不等式を示す.ある

i

mod( F i ) = + ∞

i

mod( F i ) < + ∞

ε > 0

i ∈ N

ρ _i ∈ adm( F i )

∫

Ω

ρ ⁿ _i dm < mod( F i ) + ε 2 ⁱ

ρ = (∑

i∈N ρ ⁿ _i ) 1/n

とすれば

ρ ∈ adm( ∪ F i )

mod ( _∞

∪

i=1

F i

)

≤

∫

Ω

ρ ⁿ dm =

∑ ∞ i=1

∫

Ω

ρ ⁿ _i dm <

∑ ∞ i=1

mod( F i ) + ε

が成り立つ.

ε → 0

2

1.2

ここでは二つのコンパクト集合,特に連続体に対して極値的距離という 量を定義する.極値的距離は二つのコンパクト集合を固定したとき,その コンパクト集合を含む領域にも依存して変化する量である.そこで考えた い領域と, より広い領域との極値的距離を比較することによって,ある重 要な領域を特徴づけることができる.これについては第

3

[31, chap. 2], [28, chap. 1]

Definition 1.2.1 (

)

Ω ⊂ R ¯ ⁿ

E, F ⊂ Ω

Ω

E

F

E

F

F ^Ω (E, F )

δ ^Ω (E, F ) = mod( F ^Ω (E, F ))

E

F

Ω

Example 1.2.2

0 < R ₁ < R ₂ < + ∞

δ ^{R ¯}

(S _R ⁿ

(0), S _R ⁿ

(0))

F = F ^{R ¯}

(S _R ⁿ

1

(0), S _R ⁿ

2

(0))

ρ ∈ adm( F

x ∈ S ⁿ

1 ≤

(∫ R

R

ρ(rx)dr ) n

≤

(∫ R

R

ρ(rx) ⁿ r ^{n − 1} dr

) (∫ R

R

r ^{− 1} dr ) n − 1

= (

log R ₂ R ₁

) n − 1 (∫ R

R

ρ(rx) ⁿ r ^{n − 1} dr )

が成り立つ. ただし

2

H¨ older

x

S ⁿ

ω _{n − 1} ≤ (

log R ₂ R ₁

) n − 1 (∫

R

ρ ⁿ dm )

を得る.

ρ ∈ adm( F )

mod( F ) ≥ ω _{n − 1}

( log R ₂

R ₁ ) 1 − n

を得るが,

Example 1.1.2

ρ = χ _Ω / | x | log(R ₂ /R ₁ ) ∈ adm( F )

δ ^{R ¯}

(S _R ⁿ

1

(0), S _R ⁿ

2

(0)) = mod( F ) = ω _{n − 1} (

log R ₂ R ₁

) 1 − n

が得られる.

同様にして

δ ^{R ¯}

( { 0 } , S _R ⁿ

(0)) = 0

δ ^{R ¯}

(S _R ⁿ

(0), { + ∞} ) = 0

Example 1.2.2

る. 例えば

Example 1.2.2

[28]

Proposition 1.2.3 (

0

)

Ω

R ¯ ⁿ

Riemann

F

Ω

x ∈ Ω

F x = { γ ∈ F | x ∈ γ }

mod( F x ) = 0

1.2.

7

まず

Ω

R ¯ ⁿ

k ∈ N

γ ∈ F x

S _1/k ⁿ (x)

F x ^k

γ ∈ F x ^k

は

F ^{R ¯}

( { x } , S _1/k ⁿ (x))に属す部分曲線 γ ^′

ρ ∈ adm

( F ^{R ¯}

( { x } , S _1/k ⁿ (x)) )

1 ≤

∫

γ

ρds ≤

∫

γ

ρds

が成り立つ. つまり

adm

( F ^{R ¯}

( { x } , S _1/k ⁿ (x))

) ⊂ adm( F _x ^k )

mod( F x ^k ) ≤ mod

( F ^{R ¯}

( { x } , S _1/k ⁿ (x)) )

= δ ^{R ¯}

( { x } , S _1/k ⁿ (x))

を得る.従って

Example 1.2.2

mod( F x ^k ) = 0

0 ≤ mod( F x ) = mod ( _∞

∪

k=1

F x ^k

)

≤

∑ ∞ k=1

mod( F x ^k ) = 0

F x ) = 0

Ω

Riemann

x

(U, z)

{ γ ∩ U | γ ∈ F x }

2

Proposition 1.2.4

E, F ⊂ R ⁿ

このとき,

E

F

B _R ⁿ

(x) \ B ¯ _R ⁿ

(x)

δ ^{R ¯}

(E, F ) ≤ ω _{n − 1} (

log R ₂ R ₁

) 1 − n

ただし

0 < R 1 < R 2 < + ∞ , x ∈ R ⁿ

  証明

F = F ^{R ¯}

(E, F ), F ^′ = F ^{R ¯}

(S _R ⁿ

(x), S _R ⁿ

(x))

ρ ∈ adm( F ^′ )

γ ∈ F

F ^′

γ ^′

Proposition 1.2.3

mod( F ) ≤ mod( F ^′ )

を得る. 従って

Example 1.2.2

2

 一方で極値的距離を下から評価するのは非常に難しい.極値的距離を下 から評価をするための基本的な定理として

[28, Theorem 10.12]

[28, Theorem 10.12]

[31, sec. 5-7]

[32], [12]

Theorem 1.2.5 (M. Vuorinen [32] Lemma 4.7 (1988))

E, F ⊂ R ⁿ

δ ^{R ¯}

(E, F ) ≥ c _n log

(

1 + min { diam(E), diam(F ) } dist(E, F )

)

が成り立つ. ただし,

c _n

n

c ₂ = 2/π

([31, Lemma 7.38]

1.3

前節の曲線族モジュラスを用いて擬等角同相写像を定義する. この定義 は擬等角同相写像の幾何学的定義と呼ばれる

([28]

Definition 1.3.1 (

)

Ω, Ω ^′

R ¯ ⁿ

Riemann

K ≥ 1

f : Ω → Ω ^′

K

(quasi-conformal mapping, q.c.)

Ω

F

1

K mod( F ) ≤ mod (f( F )) ≤ Kmod( F )

が成り立つことをいう. また

f

K ≥ 1

f

K

Ω, Ω ^′

Ω

Ω ^′

 前節の補足から, 等角写像は

1- q.c.

1.3.

9

• f : Ω → Ω ^′

K 1 - q.c.

g : Ω ^′ → Ω ^′′

K 2 - q.c.

g ◦ f : Ω → Ω ^′′

K ₁ K ₂ - q.c.

• f : Ω → Ω ^′

K- q.c.

f ⁻¹ : Ω ^′ → Ω

K- q.c.

 従って, Ωと

Ω ^′

 擬等角同相写像の特徴付けについては,幾何学的なものだけでなく解析 的なものも数多くある.例えば

[16]

[28, pp. 52-53]

Theorem 1.3.2 (puncture

Ω, Ω ^′

R ¯ ⁿ

p ∈ ∂Ω

K

f : Ω → Ω ^′

lim z → p f (z) = p ^′

が存在して

p ^′ ∈ ∂Ω ^′

f

f(p) = p ^′

Ω ∪ { p }

Ω ^′ ∪ { p ^′ }

K

  証明

ε > 0

B _ε ⁿ (p) ∩ ∂ Ω = { p }

F R = F ^{R ¯}

( { p } , S _ε ⁿ (p))

F R

= f ( F R )

Example 1.2.2

mod( F R ) = 0

f

mod ( F R

) ≤ Kmod( F R ) = 0

つまり

mod( F R

) = 0

F R

f (S _ε ⁿ (p))

⁴ C(f, p)

δ ^{R ¯}

(C(f, p), f(S _ε ⁿ (p))) = 0

diam(f (S _ε ⁿ (p))) > 0

diam(C(f, p)) > 0

Theorem 1.2.5

(S _ε ⁿ (p))) = 0

diam(C(f, p)) = 0

diam(f (S _ε ⁿ (p))) ̸ = 0

diam(C(f, p)) = 0

C(f, p)

4 R ¯ ⁿ

q

f (p _n )

q

p

{ p _n } ⊂ Ω

C(f, p)

(cluster set)