そこで,本研究では地震動の 群遅延時間特性に着目した

観測記録を用いた位相スペクトルの内挿とそ れに基づく地震動のシミュレーション

鉄道総合技術研究所 正会員 ○川西 智浩 京都大学防災研究所 正会員 佐藤 忠信

1.

未観測点の地震動を合成する場合, 地震動の非定常性を的確に表現することが要求される. ^{地震動の非定常} 性に関する情報は位相，特に位相を角振動数で微分した群遅延時間¹⁾に現われる. ^そこで,^{本研究では地震動の} 群遅延時間特性に着目した. ^まず,未観測点の群遅延時間の平均および標準偏差を観測点の値から推定し,^次に 群遅延時間の分布特性を満たすような群遅延時間の発生方法について述べ,得られた群遅延時間を用いて地震 動を合成することを試みる.

2.

位相スペクトルが与えられれば,未観測点における地震動を合成することができる²⁾ので、ここでは位相を 角振動数で微分した群遅延時間をシミュレーションする方法について述べる.

(1) 群遅延時間の平均と標準偏差

地震動の群遅延時間t⁽gr^j)(ω)^{の平均値は},各成分波の重心位置と大きく関係しており,^{そのばらつきは},^各成分 波の継続時間と密接に関係している. ^ここでは,各スケールごとの群遅延時間の平均値µ⁽tgr^j)と標準偏差σ⁽tgr^j)を 式(1),(2) ^{に従って算定する}.

µ⁽tgr^j) =

N^(j)

i=1

t⁽gr^j)(ωi)

N^(j) · · · ·(1) σ⁽_tgr^j) =

1

N^(j)

N^(j)

i=1

(t⁽gr^j)(ωi)−µ⁽_tgr^j))² · · · · (2)

0 40 80 120 160

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

tgr(sec)

frq(Hz)

0 40 80 120

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

fou.amp

frq(Hz)

図–1 地震動の群遅延時間とフーリエ振幅 地震動の群遅延時間t⁽gr^j)(ω)の一例を図-1^に示す. 図-1^か

らわかるように, t⁽gr^j)(ω)が平均値から大きくはずれている 部分があるが,これらの値をとる部分ではフーリエ振幅が一 般的に小さくなっている.^そこで,^{本研究ではまず},^各スケー ルのサポート区間内のすべてのt⁽gr^j)(ω)^を用いて, ^式(1) ^に より群遅延時間の平均値µ⁽tgr^j)および標準偏差σtgr^(j)を算出 する.^そして,µ⁽tgr^j)±2σtgr^(j)の範囲内にあるt⁽gr^j)(ω)^のみを用 いて,^改めて式(1),(2)^{により平均値}µ⁽tgr^j) と標準偏差σtgr^(j)を 算定する.

未観測点での地震動を合成するためには,^{まずその地点に} おけるµ⁽_tgr^j), σ⁽_tgr^j)を求める必要がある. µ⁽_tgr^j), σ_tgr^(j)は空間的 に相関性を有しているため,それぞれの値に関する共分散を

定義すれば, 観測点における値を用いることで未観測点でのµ⁽_tgr^j),σ_tgr^(j) を内挿することができる. ^{各観測点に} おいて,^観測波のµ⁽_tgr^j),σ_tgr^(j)と周りの観測点における値を用いて内挿したµ⁽_tgr^j),σ_tgr^(j)とを比較したものを図-2^に 示す. ^例としてj = 11(^周期:^約0.1^〜0.3^秒)^{の場合を示しており}, ^{横軸が観測波の}µ⁽_tgr^j),σ_tgr^(j), ^{縦軸が内挿した} µ⁽_tgr^j),σ_tgr^{(j)を表している}. ^{内挿した値は},観測波の値と概ね一致している.^{したがって},空間的な相関性を考慮す ることで未観測点におけるµ⁽tgr^j),σtgr^(j)を推定することが可能であるといえる.

キーワード: ウェーブレット変換、群遅延時間、地震動合成

連絡先: ^〒611-0011^{京都府宇治市五ヶ庄}Tel 0774-38-4069/ Fax 0774-38-4070

土木学会第57回年次学術講演会（平成14年9月）

‑1727‑

I‑864

(2) 群遅延時間のシミュレーション

30 40 50 60 70 80 90 100

30 40 50 60 70 80 90 100

interpolation-mutgr(sec)

original-mutgr(sec)

0 5 10 15 20 25 30

0 5 10 15 20 25 30

interpolation-sigtgr(sec)

original-sigtgr(sec)

µ⁽tgr^j) σtgr^(j)

図–2 µ⁽tgr^j)およびσ⁽tgr^j)の比較(j=11)

0 0.05 0.1 0.15

0 20 40 60 80 100

Probability Density

tgr(sec)

normal distribution

図–3 群遅延時間の分布特性(TCU048地点,j= 11) 未観測点において, 2.(1)^で求めたµ⁽tgr^j), σ⁽tgr^j) を用いて群

遅延時間を発生させるには,まず群遅延時間の分布特性を把 握する必要がある. ^{台湾地震において}TCU048^{地点で観測} された地震動の群遅延時間の分布を求めたものが図-3^であ る. 図-3^より, t⁽gr^j)(ω)は正規分布に従っているとして良い ことがわかる.

したがって,未観測点における群遅延時間は,^平均値がµ⁽tgr^j), 標準偏差がσtgr^(j)であり,かつ正規分布に従うように発生さ せればよい. 正規分布に従う乱数を発生させるのも1^つの 方法であるが, 実地震動の群遅延時間は周波数軸に沿って 相関性を有するため, 周波数軸間に相関性のない乱数では その条件を満たさない. 本研究では以下の方法により,周波 数軸に沿って相関性を有する群遅延時間を発生させること にする.

3.(1)^{で求めた平均値}µ⁽tgr^j)にランダム成分を付加すること で,波形合成に用いる群遅延時間を発生させる.

t⁽gr^j)(ω) =µ⁽tgr^j) + ∆t⁽gr^j)(ω) · · · · (3)

∆t⁽gr^j)(ω)は正規分布となる定常過程の場合, 自己相関関数が与えられれば,相関性を有するサンプルが以下の 式により発生可能である.

∆t⁽gr^j)(ω) =

N_c

k=1

[a(k)cos(τkω) +b(k)sin(τkω)] · · · · (4) a(k) =2S(τk)∆τ·ξk , b(k) =2S(τk)∆τ ·ηk

ξk, ηkは互いに独立であり,^平均値0,^標準偏差1の正規分布に従うとする. S(τ)は離散化されたパワースペク トル密度関数であり,^{自己相関関数}R(ω₁, ω₂)をフーリエ変換することで求められる. ^{ランダム成分}∆t⁽gr^j)(ω)^の 自己相関関数R(ω₁, ω₂)^は, 3.(1)^で求めたσtgr^(j)を用いて以下のように設定した.

R(ω₁, ω₂) =σ⁽_tgr^j)2·exp

−|ω₁−ω₂| b^(j)

· · · ·(5)

-200 -100 0 100 200

0 20 40 60 80 100 120 140 160

acc(gal)

time(sec)

合成波

-200 0 200

0 20 40 60 80 100 120 140 160

acc(gal)

time(sec)

観測波

図–4 合成した地震動と観測波形(TCU048地点) b^(j)の値は,観測記録の自己相関関数に基づいて,^各スケー

ルごとに設定する.

3.

一例として,台湾地震の波形データを用いて, TCU048^地 点における地震動を合成することを試みる. 2.(2)の方法で 求めたt⁽gr^j)(ω)を積分して求めた位相φj(ω)を用いて,地震 動を合成した結果をTCU048地点の観測波形とともに図- 4^に示す.^合成波は,観測波の特性を良好に捉えているとい える.

参考文献1) パポリス：工学のための応用フーリエ積分,オーム社, pp.163- 166,1972

2) 佐藤忠信・室野剛隆：位相情報を用いた地震動のシミュレー ション法,土木学会論文集,No.675/I-55,pp.113-123,2001.

3) 佐々木文夫・前田達哉・山田道夫：ウェーブレット変換を用 いた時系列データの解析,構造工学論文集,Vol.38B,1992

4) 佐藤忠信・室野剛隆・西村昭彦：観測波を用いた地震動の位相スペクトルのモデル化,土木学会論文集, No.640/I- 50,pp.119-130,2000

土木学会第57回年次学術講演会（平成14年9月）

‑1728‑

I‑864