等価線形FEMの適用に関する考察 : 体積変化の顕著な場合ならびに軸対称構造が非軸対称荷重を受ける場合について

【論　 　文

1

UDC ：624

．

953 ：624

．

042

．

7：620

．

1 日本建 築学 会拷 造 系 論 文 報告集 第 368 号

・

昭 和 61 年10月

等価線

形

FEM

の

_適

_用

に

_関

す

る

_{考 察}

体 積 変化

の

顕 著

な

場合

な ら び に

軸

対称 構造

が

非 軸対 称荷 重

を

受

け る

場

合

につ いて 正 会 員

　 内

藤

幸

雄

ホ 　1

．

は じめ に 　本 論は

，

石炭サ イロの_模型 振 動 台 実 験とそ の シミュ レ

ー

ショ ン解析1｝

−

5）を行う過 程で得られ た， 解 析 手 法あ る いは解析上の仮定に関する知 見 をま と めた もの で

，

せ ん 断ひずみ を規 準と して_剛性と減 衰 を定め る ことの妥 当 性

・

適 用 性に関す る検討， 軸 対 称 構 造 物 が 円 周 方 向に

一

様で な く塑性化 し た場合の_等価線 形 的 な取り扱い に関 す る

一

手 法の提 案

，

実 験 結 果との比較による解 析 手 法の精 度 検 討

，

等を内 容と して いる

。

適 用 対 象 として は

，

サ イ ロな ど容器中の粉粒体の地 震 時 挙 動 や地 盤

・

建 屋 相 互 作 用 等

，

地 盤や粉 粒 体が塑性化する_弾塑性の動 的 問題を 想 定して いる。 ま た設計時の荷 重 算 定に反 映 する こと を目 標とし てい る

。

これ らの問題におい て は

，

容 器や建屋 の 構 造 体が塑 性 化す る前に内容物粉 粒 体や地 盤の塑 性 化が 起こる場合が多く， こ う し て生 ずるエ ネルギ

ー

_{吸 収 等を} 適 切に評価す ること が設 計 面か らも極 めて重 要で あ る と 考え ら れ る。 ま たこ の 分 野では従 来， 仮 定 剛性や簡 便な 等 価 線 形な ど が実用性か ら多く用い ら れ， 論 理 性 や信 頼 性の面で はあいまいな点も あ る と考え ら れ るが， 本 論で は， 複 雑な現 象 を簡 略なモ デル に変換する際に で き る限 り論 理 的 整 合 性を尊重し， ま た よ り詳 細な手 法に よる計 算や実 験結果との比較によ る確 認 を行い

，

精 度

・

信 頼 性 の確 立 を 目差してい る。 　既往の研究や解析法と対 比し本 論の位 置づけ を も う少 し具体 的に述べ る と以下の よ うになる

。

地 盤 や粉 粒 体 等 で構 成さ れ る非 線 形な構造 物の地 震 応 答 解 析 を 弾 塑 性で 行 う場 合

，

対象の空間的構 造を単純 化し て

1

次 元 や2次 元の モ デル に し た り

，

弾塑性の履 歴 曲 線 を， 剛 性 低 下 率 と減 衰 定 数のせ ん断ひずみ に対す る依存性に置きか え た りすること が

，

これ ま で行わ れ て き た6〕

・

7）

_。

_こ れらの簡 略 化 手 法は

，

_計算機の_時間 を実 用 範 囲 内にするた め当 分 は必 須と考え ら れ

，

本 論も その_{延 長 上}に位 置する もの で あ る

。

　

一

方これ らの簡 略 化さ れ た弾 塑 性 解 析 手 法が 主 と し て 活 用さ れ てきた分 野を概 観して み る と

，

成 層 地 盤 を1次 本論文は， 参 考 文 献4）を中心 に加 筆し ま と め た もので ある

。

摩 _{鹿 島 建 設 技 術 研 究所 　 研 究 員}

・

_{工 修} 　｛昭和60年12月 24日原 稿 受 理 ｝ 元モデル に して上 昇せ ん断波入力の問題 を扱 う場 合に代 表さ れ る よ う な6） ， 部 材や要素の変形パ タ

ー

_{ンあ るいは} 全 体の構造が明快で， 変 形 特 性 を求め る材 料 実 験 との対 応もつ き や すい場 合が多いよ うに思わ れる

。

逆に

，

本 論 の_手法で_扱お う と して い る_{解析 対}象で あるとこ ろ の剛 性 の 比較 的高い容器中の_粉粒体 （サ イロ等）や， 地 盤 中に 埋め込 まれ た建 屋の周 辺 地 盤の変 形 問題 等， せん 断 変 形 （形 状 変 化）と体積変化が同程度に生 ずる よ うな_系を扱 う場 合に は

，

要 素の どん な変形 量 をその変 形 特 性 と 関係 づ け るの が適切 か に関す る厳 密な考 察 例 がなく， 取 扱い に あいまいな面が あると考え られ る

。

　ま た も う

1

つの_問題と し て， 地 震 力の よ う な非 軸 対 称 荷重 を受け る軸 対 称 構 造 物 を 軸 対 称

FEM

の等 価 線 形 で扱う場合

，

ひずみ分布が軸対称で はな く剛性と減 衰 定 数が円周方向に変化す ることが あ げら れ る

。

　 し た がっ て こ の場合

，

要素内の ひずみ分 布に対して適 切な代 表 値を定め た り，あ るい は

CroseS

） ，遠藤 9； らによっ て示さ れ た よ う な方 法に よ り， 円周 方 向の高 次 成 分 を考 慮す る 必要が あ る

。

水平加振に よ る非軸対称荷重の弾 塑 性 問 題に関して

，

水 平 加 振 方 向と鉛直軸か ら なる_平面 （x2 平 面）に関す る せ ん断ひずみ に よ り あ る点の複 素 剛性を求め

，

さ らに

CroseS

）の方 法に よ り円周 方 向の高 次 成 分を考慮し た解析を行っ た例が あ り珊 ， 実験結果と も比較 的良く対応 し てい る が， xz 平 面のせ ん断ひずみ をそ の ま ま動 的 3 軸試 験の _{結 果}と結びつ け得るとし た仮 定には若 干 議 論の余地 が あ る と思わ れ る。 　 こ の仮定を設け た 理由は

，

最大せ ん断ひずみ や主応 力 面の方 向な ど各点での 応力やひずみの状態を求め る計 算 の煩 雑さ を避け るこ とにあ る と思わ れ る が

，

こ れ に対し 本論では

，

形状変化に伴う ひずみエ ネルギ

ー

を各点での ひずみ状 態を表す規 準量 と して_採用し

，

こ の 点の煩 雑さ を解 決しよ うと して いる。 以 下に おいて， 形 状変化に伴 う ひずみエ ネルギ

ー

を 用いて 円 周方 向の ひずみ の代 表 値 を定め， 動 的せ ん断 試 験の結 果とこ の ひずみを結びつ け る ことに よっ て軸 対 称 要 素の剛 性と減 衰を定め る方法 が 示さ れて いる。 さ らにサイロ模 型の 実験 結 果との対比に よ る検討か ら

，

水平方 向 加 振の場 合に は

，

荷 重の展 開 項 に対 応す る 円 周方 向に 1次の変 位 成 分の項の みを考 慮 す

一

₅₇

一

れ ば_{精 度}上十 分であることが示さ れて い る

。

この結果

，

円周 方 向に_多数の_{次 数}の項 を用いな くて も良い の で_， 計 算 時 間 が 大幅に短縮さ れ ることにな る

。

　

また本 論では

，

せ ん断 変 形 （形状変化 ）と体 積 変 化が 同程 度に生 ずる 土 や粉 粒 体か ら な る系に おい ても

，

その 変 形 特 性は せ ん断変形の みと関 連づ け るこ とが可 能で

あ

る と仮 定し

，

単 純なモデル を用い て 理論 的 考 察 を 加え_， さ ら に_{実 験結果}と比 較 して仮 定の_{有 効性}を検討 してい る

。

　

精 度 上の_{妥 当 性}に関す る こ れ らの_検討

・

_{考 察}において は_{， 剛性}や減衰

・

応 答 倍 率に関し， 許容され る精 度の目 安と し て モ デル化 上の簡 略 化で生 ずる差異とし て 1割

，

実験結果 と解 析 結 果を比較する_{場 合}の_{差 異 ど して 2 割程} 度を許容範 囲と して考える

。

本論で_扱う よ う な非 線 形 地 震応答解析が満 足 すべ _{き予 測精 度あ るい は解 析 結果に予} 想さ れ る ば らつ きに_関し て_明確な数 値 は示 し難いが， 不 確定要因の 多い非 線 形 動 的解析が満足すべ き精度として これ ら の目安は十 分な説 得 性 を有す る と考え

，

こ れ らの 値を 設定し た。 地 震 応 答 解析の精度の観 点か ら上 記の差 異を位置づ _けた場 合， 前 者は解析モ デル による差 異の

一

部

，

後者は解 析モ デル と解 析に用い る定数による差 異で あ り

，

その他の要 因 とし て は地 震 動あ るい は入力の_設定 精 度があり

，

これら が総 合さ れ地震 応 答 解 析の精 度 を構 成して いる

。

　

な お， 筆 者ら に よる既 発表文 献との関 連は以 下の と お りである

。

サ イロ_模型の振動 台 実 験の結 果は文 献

1

）（相 原

・

河 添

・

津 川

・

原

・

本橋

・

内藤

・

前田）

，

文 献2）， 3＞

，

5

）

，

（河 添

・

堀 越

・

本橋

・

内藤

・

前 田 ）で主 とし て報 告し

，

ま た等 価 線 形 解 析の_結果は文献 2）

，

3）

，

5）で報告して い る

。

本 論の中 心 とな る等価線形手法の取り扱い に関 し て は

，

文 献4 ）あるい は文 献

2

＞

，

3＞で部 分 的に

．

報告し て い る が_， 本 論で は せ ん断ひずみを規 準 として剛 性と減 衰を定 めることの_妥当性

・

_{適用 性}の検 討に関 する部分を 増 強し て いる

。

’

具体的には

，

形 状 と体積が同時に

変

化 す る系に関し ても考察し た点

，

し た がっ て減 衰に _関して も 検 討できた点， 体 積変化の みの変形パ タ

ー

ンの場合の周 期に関し て も考察し た点

，

等が今 回 新た に付加し た内容 であ る

。

’

　

2．

形 状 と体 積 が 変 化す る系の扱い

　

容 器 中の_{粉 粒 体}や建 屋の周辺地 盤の _{変 形 問題で}は_， 形 状 変 化と体積変化が複 雑に混 在し， 動的せ ん断 試 験や3 軸 試 験 等の材 料 試 験に お け る変 形 状 態 とは

一

致 し ない の が通 常である

5

こう し た問題 を解 析する ためには

，

な ん ら かの方 法で対 象の複 雑な_{変形 状 態}を材 料 試 験の_変形状 態と結びっ け る 必_要が ある

。

従 来

，

せ ん断 変 形 （形 状 変 化 ）量の み _{を規 準}と して扱っ て い る例が 多いがG ）

・

7）

・

10）

_，

その妥 当性の_{根 拠}が必ずしも 明 確で なし

’

、_ため

，

_{形 状と} 体 積が ともに変 化す る場 合の これ ら め解 析 手 法に対す る信

一

₅₈

一

頼性を低 下さ せ て い る よ うに思わ れる。

　

そこ で

，

基 本 的な例と し て以 下の 2つ の場 合に_関し て 単純な 理論 的モ デルをい くつ _か用い

，

せん 断 変 形の みを 規準と す る方法が か な りの精 度を有する可 能 性が高い こ とを示 し た

。

これら の検 討の_{結果， 形 状}と体 積が と も に 変 化 ずる系に おい ても

，

’

せ ん断変形の み を規 準 として剛 性や減 衰を定め ること が

，

等 価 線 形の_範囲で は精 度の点 か ら見て_{妥 当}であるとの結論を得た。 せ ん断 変 形 を規準 と する方 法の正当性に関し

，

理 論的な裏付けを試み たも のである

。

　

2

．

1

　

体 積変化の み の_{変 形}パ タ

ー

ンの場 合

　

まず， 形 状 変 化が な く， 体積 変化の みを生 ずる極端な 変 形パ タ

ー

ンの場 合を考え る

。

こ の _場

合

に は

，

粒子 間の ずれ が無くひずみ による剛性低下や減 衰は ほと んど無い とみな せ る ため

，

拘 束 圧の_変化に よ る初 期 剛 性の変 化に 関し て考 察寸る。

　

体 積 変化 を伴う変 形パ タ

ー

ン では時々 _刻々拘 束 圧が変 わ り， し た がっ て拘 束

庄

に依 存す る初期剛性 も また変 化 す る た め

，1

周 期の Totalとし て 剛性を扱 う等 価 線 形の 精 度が 問 題 と な る。 い ま体 積変 化めみの パ タ

ー

ン の例 と し て_{， 周期 的}に変化し互い に_等しい _直圧 σ を3方 向か ら受け て微小要素が変 形し

，

ヤング率 E は拘 束 圧 σ の Ol　

5

_乗11 ）に比 例 する場合を考え る。

　　　

E ＝

薦 ／ひ

・

…………・

………・

……

「

・

・

…・

…・

…

_（

₁

_） ∴ ・

r

（卜

差

の

廴

（

1

_諤

σ

…………一 一 …・

1

・） 　∴a ；　K

・

εz

・

・

………・

………

（3 ） 　た だ し

h

：比例 定数　 　 　ε ：軸ひずみ

　　　　　

v ：ボアソ ン比



K

＝h

： ／（

IL2

の2 （3） 式の _関係は_図

一1

の バ _ネの概 念 図の よ う に表さ れ る。

　

まず

，

図

一

1の バ ネ を持つ _{系 を} ， ε2

一

ε。≦ε。

一

ε、な る 強 制ひずみ _（図

一1

_{参照 ）}に より周期 的に加力す る場 合 を考 えると

，

ε、＞

0

の範 囲で は割線剛性は （3）式か ら 容 易に導かれ る よ うに常に ε_{o に お}

i

_{ナ る}接_{線 剛 性} 2K _εo と等し くな り， し た がっ て等 価 線 形の剛 性は ε。におけ る剛 性 と等し く な る

。

し た がっ てまた

，

圧縮側

・

引 張 側 で等しい強制ひずみ を受ける場 合に は， 割 線 剛性の変 化 は無い と い え る

。

　 　 　

「

　 　

噛

　

次に図

一

1のバネ を持つ

1

_{質点 系}が無 減 衰の 自 由振 動 伍 砺 α σ ε1

．

εoε2 「 　1　　　　 ε 図

一

1　バ _ネの概 念 図

（a _{） 割線 剛性}に よ る剛 性比 表

一

1　自 由振 動による剛性比 　 　 　 （

b

） 　σ

■

（ε

匹

） 　σ2 （ε2） 奴 剛 性比） 0

．

268σo （0

，

518ε。） 　　2σ o （v「

2

’

ε。） 0

．

966 　0 （0） 　　3σ o （v悟ε

。

） 0

．

866 周 期 比によ る剛性 比 　σ 1 （ε聖） 　σ₂ （ε 2） α （剛 性比） 1／周期比 0

．

268σo （0

、

518ε。） 　　2σo （v7 ε o） 0

，

957 0

．

978 　0 （0） 　　3σ o （

t7

ε_o） 0

．

829 0

，

₉₁₀ を する場 合 を考え_， 振幅に よっ て剛性や周期が ど う変化 す る かを検 討 して み る

。

これ は， 振動時の復元力が体積 変 化による応 力の み である場 合 を考え ることにな る。 初 め （ε_。， a_。）の 位_置に あ り （_ε、

，

σ∂ と （ε、

，

　a、）の 間で 自 由 振 動し た場 合に は_， 両 端に お け る位置エ _ネルギ

ー

が 等 しいことか ら次の関 係 が 導か れ る

。

　　　

∬

（a・

一

・）・・

一

∬

（a

−

・・）

d

・

・

……・

……・

…

（・） 　　 　

．

’

．

　ε1

＝

（

一

ε2十12ε：

−

3ε2 ）／2

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（5 ）

　

まず 剛 性に関し て は

，

（ε。

，

の にお け る接 線剛性

2K

ε。 と割 線 剛 性 （σ：

一

σ 且）／（ε_厂 ε_、）

＝

K （ε_{1 ＋}εt）を比較し その_比 α を 求 める と

，

次の （6）式の よ う に な る

。

　 　　 　 κ（ε、＋ε，） ε，＋

12

ε。

−

3ε、

　　　

a＝

2K ・

、。 ＝

　

4、。

　

”… … ”

_{（6 ）}

．

εt の い くつ か

．

の値に対 し て a と ε、を求める と表

一1

（a） の 結 果 が得ら れ た

。

　

一

方

，

同じ く無 減 衰

．

の 自由 振 動 を する場 合の振 幅に よ る自由振動の周期の変化に関して は

，

下 式により楕 円 積 分 を行い表

一1

（

b

）の_{結 果}を得た。

　　

　

T −

・

∬

2／

譱

≒

コc

………

_《・〉 　た だ し　

T

：周 期 　 　　 　 　コe：質 点 位 置 （つ り合いの位置 が0点＞ 　 　　

A ，B

：自由 振 動の両 端の質 点 位置 　 　 　 　 　m ：質 点の質 量 　 　 　 　 　E ：自由 振 動の全エ _ネル ギ

ー

　 　 　 　

U

（X）：位 置エ _ネルギ

ー

表

一1

（

b

）に は ま た

，

周 期の比か ら求め た剛 性の比も示 し た

。

　

以上に よ り剛 性 比α に関 し

，

自 由 振 動 をす る場合を 考え て も， 拘 束圧 σ が静止状態の 0

．

268倍か ら2倍の 間で振 動す る場合には割線剛性で 0

．

966倍

，

周 期か ら求 め た剛性で

0，

957

倍

，

σ が

0

から静 止 状 態の 3倍の間の 場 合に は割線剛性で

0．866

倍

，

周 期か ら求めた剛 性で 0

．

829倍で あり，

一

_{方 正 負 同じ量だ け強 制ひずみ を} 受け る場 合の割 線 剛 性は常に静 止状態にお け る接 線剛 性と等 し く な ること が分かっ た

。

すな わ ち_， 体 積 変 化の みの極 端な変 形パ タ

ー

ン でかつ _{振 動 時}の復 元 力が体 積 変 化に よ る応 力の み で あ る 場合で も

，

拘束圧 が静止状態の 2倍か ら約 1／4 ま で変 化し て も 剛性の差 は

5

％以 下で あ り

，

拘 束 圧 が0の付 近まで振 動す る よ う な極 端な場 合を除い て は， 剛性の変化 は 先に述ぺ た目安であ る1割 以 内に収 まること が分かっ た。 体 積変化の み の変形パ タ

ー

ン で も 圧 縮 側

・

引 張 側で 同 じ量の_強制ひずみ を受け る場 合に は 割 線剛性の変化は無い こと を 考 え合わ せると

，

結 局

，

体 積 変 化の みの変 形パ タ

ー

ンの場合で も実用 的に は静 止 状 態の剛 性 を用い るこ と がで き る と考え ら れ る。 こ の考え 方の妥 当 性は

，

最 終 的に は実現象との対 応 に よ り検 証さ れるべ _きものと 考え ら れ る が， サ イロ模型の振 動 台 実 験 によ る例につ いて は後 述す る

。

　ま たこ こでは剛性が拘 束圧の

0．

5_乗に比例す る とし て いる が， ほ かの場合 （通 常

0．

5

に近い値 1）

−

3LllL12 ）_である こ とが多い_）で も同様の_{検 討}が可 能で ある

。

　 2

．

2　形状 変化 と体 積 変 化が同 時に存 在する場 合 　 拘 束圧 σ （＞

0

）が （

8

）式の ように変化 し

，

拘 束 圧 の 変 動 部 分と同じ形の_時刻歴関 数で せ ん断ひずみ γが （9）式の よ うに変化 す る 強 制変 位 的な場 合を考える。

　　　　　　

l なお， 時刻歴 関 数 とし て は （

8

）

，

（9）式の よ う な正弦 波 ばか りで な く

，一

定の条件を満たす関 数であ れ ば同様 の議 論が可能である

。

　　　

σ＝ _a 。＋ a・

’

sin　t・

t …一 ・

・

一 ………・

・

…・

…

（

8

） 　 　　γ

＝

冫b

’

Sln 　cot

’

凾

………・

…・

・

………・

…・

−t

_（9_）

　

．

’

．

　

σ

＝

ao｛1十（γ／冫b＞

・

（σn／σo）ト

・

・

…

　

一・

・

凾

幽

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

10

） 　

．

た だ しa“ ：平 均 拘 束圧 　 　　 　 　σρ：拘 束 圧の_変動部分の振 幅 　 　　 　 　％ ：せ ん断ひずみの _{振 幅} 　図

一

2に_示した Iwan の モ デルiS｝

・

14）に若 干の修 正を施 したモデル を用い

，

拘 束 圧が変化し体 積 変 化が生 ずる 場 合の _， せん断変形 （形 状 変化 ）に よ る剛 性 低 下と_履歴減 μ菟

・

T

　

バ ネ定数

爭

ス・49

・

一

の 　 　 滑り強 さ 図

一

2　1wanモ デルに お け るバ_ネ

ー

ス ラ イダ

ー

系

基 本要 素 　 　　 　 　 　 履 歴ル

ー

フ

’

（a _＞Iwanモ デル の基 本 要 素と その履歴ル

ー

プ （b） 　 　

’

　 　　　　 　　　　 　　 図

一

3　基 本 要素の ル

ー

プ 　 　 　 　 1　　 　　　　 　　　　 　

幽

　　　　 　　　　

唱

　 　 　 σ ｛1＋β）σf τ τf

＝

μσ Go＝Go◎

’ ．

’

_γ

：

τ∫

．

＝

μσ 書 μ

゜

！

可

／ 　 　 　 ／ 修正 Iwanモ デル の履 歴ル

ー

プ 惶

　　

σf

↑

6

−−

2

・

）

Cf 　 　‘1

一

β）at A 　 　 　 1

、

　 　 　 ！

　　 ！

　 ！ ！ ！ 8 σ

冨

μte σ

＝

Uf ・

＝

_”・・

一

芻（

砦

・_β

一

1

）

2

．

C1

一

β，εr　　　　εr　　　　l1＋_β〕εr_ε 　 　 　

一

ひずみ 　 　 　図

一

4　1wan モデル の骨格曲線 β・ ・

缶

σ_f ：破 壊 強 度 Aσ ：滑り強さの

　　

存 在する範

嚀

X _{詳 細} は文 献

14

）参 照

o

衰に関して検 討する

。

　こ の Iwan の モ デル は_， バ _ネとス ラ イダ

ー

を直 列につ ないだ基本要 素 を 並 列に連 結 し たもの で

，

基 本 要 素は

，

加わ る力が小さ い間は バ ネが変形し て弾性的挙動を示す が， 力がある程 度 大き くな るとス ライダ

ー

_{が滑り出し}

_，

図

一

3（a）の よ う な 履 歴 特 性 を 有 する もの である。 修 正 を施し た点は

，

バ _ネの剛 性が拘 束 圧の 0

．

5乗に比 例し

，

ス ラ イダ

ー

の滑り強さが拘 束 圧に比 例する とし た ことで ある（0

．

5乗 あるいは 1乗でない値に比 例 する場 合にも

，

前の 2

．

1項と同 じく

，

同 様の検 討が可 能で ある ）』Iwan モデル の特 徴は

，

各々 の ス ラ イダ

ー

の滑り強さ を 適 宜 仮 定す ることに よ り

，

実 験 値と良く合致す る骨 格曲線 （図

一

_{4参 照 ）お よ びMasing の法 則に従う履 歴ル}

ー

_プを比 較 的 自由に作ること がで き る 点 に あ る

。

　拘 束 圧に よ る変化を考え た場合の基 本要素の応力 τ とひずみ γ の履歴曲線は 下式お よび図

一

3（

b

）

．

の よ う に な る

。

　 　スライ ダ

ー

が滑ら ない場 合 　 　 　，

　　　

G。

＝G

。。

砺

・

…………・

………・

・

…

（11）

　　　

・

−

f

γ

Gld

・

イ

γ 噺 砿 ・・1

・

…・

……

… _（

12

_）

・

　 　滑り線の _式 　 　 　τノ

＝

Pt

・

σ

＝

・

_μ

・

ao　

11

十（_γ／　7n）

・

（σD／σo）

1

………・

…

（13） 　 た だし　G。 ：初 期

’

（ス ライダ

ー

が滑ら ない場 合 ）剛性 　 　 　 　

G

。。 ：拘 束圧 σ。の場合の剛性 　 　 　　 　Tt ： スラ イダ

ー

が滑り始め る せ ん断 応 ガ

．

　　　　　

μ ： ス ライ ダ

ー

の摩擦係数

　

σb／σ。 をOl

』

0

．

25

，

0

．

5

，

・

0

，

75

，

1

．

0 と変 化さ せ （（

8

） 式 参

熬

）， ひずみ擴幅 7Dの規準ひずみ r。

．

。 （a

＝

σ 。で

一

定の場 合の剛 性 低 下 率 G／G。。が 0

．

5に な るひずみ と定 義

。G

は割 線 剛 性で図

一

5参 照 ）に対 する比 7。／　

r

。

．

，の各 値 （

0．

5

〜

50）に対 して 等 価 減 衰 定 数

h ＝1

）／（

2

π

・

_μ

・

σ。

・

rp）を 求める （D は履 歴ル

ー

プで消 費さ れ るエ ネル ギ

ー

， 國

一

_{5参照）と}

_，

_表

一

_{2および図}

_一6

の_{結 果}を得る

。

また剛 性 低 下 率

GIG

。。

「

の _rD／

拓

，に対す る値を 砺 ／σ。の 上 記の値 （O

〜

1

．

0 ）に対して求め る と

，

表

一3

の結 果 を 得る。 　減 衰に関して は表

一2

， 図

一6

か ら， σn／σ。＝ ・

1．

o

， す τ o d

、・

／ ノ

」

／ ／

G

／ ！

r

／ 7

_．

_{． ．}

_．

ノ　C

_層

r

b

消 費 土 ネルギ

ー



D

ヒ _（

_フ

_{obcd の面 積}

・

　 　 　 図

一

5　G とD の定 義

一

₆₀

一

表

一

2ひ ず み に対す る減 衰 （D／（2π_μσ。rv））の関係

γD ／ro

．

50

_，

₅₀₀

_．

₅₂₆₀

_，

₅₅₆₀

_．

₆₆₇₁

_，

₀₁

_．

₅₂

_，

₅₅

_、

₀₁₀

_，

₀₅₀

_．

₀ σ ／σ_00O

．

OOO0

．

032O

，

0640

．

1590

．

3180

、

4240

．

5090

，

5730

，

6050

．

630

0

，

250

．

000O

．

0300

．

0620

．

157O

．

3160

，

4220

．

5070

，

5720

．

604O

．

630

O

．

500

．

0000

，

0250

．

0570

，

1510

．

3（駐 0

．

4140

．

501O

，

5680

，

6020

．

630 0

．

750

．

0000

，

0150

．

0470

．

1410

．

2940

．

4000

．

4900

．

5610

，

5980

．

629 1

．

000

．

0000

．

0000

．

0％ 0

．

1220

，

2710

、

3780

，

4720

．

55五 0

．

5930

，

628 表

一

3　ひずみ に対する剛 性 低下率 （GIG

。

。

）の関係 　 γD〃05 σ／σ_o0

．

500

．

5260

，

5560

．

6671

．

01

，

52

．

55

，

010

．

050

，

0 0 10

．

950

，

90

．

75 α50

，

3330

．

20

．

10

．

₀₅₀

_．

₀₁ 025O

，

9970

．

956

．

90

．

750

．

50

，

3330

_．

₂₀

．

10

．

050

．

01 0

，

500

、

989Q

．

950

．

₉₀

_，

750

_，

50

．

3330

．

20

．

10

、

050

．

01 O

，

750

．

9730

，

950

_．

₉₀

_．

750

．

50

，

3330

．

20

．

10

．

050

，

₀₁ LOOO

，

943O

，

9430

．

9O

．

750

，

50

．

3330

_，

20

．

10

．

050

．

01 O

，

7o

．

6o

，

5o

，

4o

，

30

．

2O

．

1o D_／

C2

兀_μ　ao　rD） 　 ’

ダ

　 　 　 7

”

　 　 が 　

．

彡7 　　 　　　 　

一

σ_D／σ_O

＝

O ’

＿

1

：

8

_：

学

：二

二

：

7

_：

3rD

／ro

．

5 O

．

5　　 　t

．

0 5

．

0　 　 　10

．

O 図

一

6　ひずみに対 す る減 衰 （消費エ _ネルギ

ー

_{）の関 係} 50

．

o な わち

，

拘 束 圧 が

0

か ら

2

σ。まで変化す る最 も

「

極 端な ケ

ー

ス あるい は減 衰の小 さ な領 域で は

，

拘 束圧の変化が な い場 合に比 較して 1 割以 上の_差の あ る場 合が若 干 ある もの の

_，

全体 的に は

，

等 価減衰定 数は拘束圧が時 間 的に 変 化する場合に もほ と ん ど その_{影 響}を受け ない とい え る

。

また剛 性 低下に_関して は表

一

3の結 果か ら

，

拘 束 圧 の時 間 的 変 化 が 剛 性 低下 率に お よ ぼ す影 響は剛 性 低 下の 開 始 点の ご く近 傍を除い て は認 め ら れず

，

ま た 1割以 上 の差 は生 じて いない といえる。 な お図

一

6， 表

一

2， 表

一

3を通し て， 大ひずみ領 域の方が拘 束 圧の変 化の影 響が む し ろ少ない傾 向の見 ら れ るこ と は

，

注 目に値すると 思 わ れ る。 　Iwan の モデルが比 較 的 自 由に実 際の_履歴法 則を表 現 で き るもの である こと を考え た場 合

，

その基 本 要 素に_関 して得ら れ た上記の_結果か ら

，

形 状と体 積が同 時に変化 する系に おいて も

，

体 積 変化の無い場 合の G／G。

〜

γ関 係や

h 一

γ関係を適用 するこ と がで きるといえる

。

　

以 上

2．1

，

2．

2

の結 果か ら

，

形 状と体 積がともに変化 する場 合で も

，

せ ん断変形の み を基 準とし て剛性と減 衰 を定める こと が精 度の_点か ら見て妥 当で ある_， とす る結 論が得られ たと考え ら れ る。 　

3

．

軸 対 称 要 素の特牲変化に対する取り扱い 　平 面 問題の場合には， あ る点あ るい はある微 小 要 素に おける最 大せ ん断ひずみ は解析 的に 比較 的 容 易に求め ら れ

，

動 的せん 断 試 験等の_結果と結びつ _ける こと が容 易で ある

。一

方 軸対 称

FEM

の_{等 価 線 形 を 行 う場 合}に は， 軸 対 称 要 素の 円周 方向の ひずみ分 布を求 める か

，

あるい は適 切 な方 法で円周 方向の ひずみ分布の代 表 値 を求め

，

要 素の剛性と減衰定 数を定め る必 要がある。 　本 論では_， 水平

1

方向の 地動入力 （あ るい は振 動 台に よる加 振 ｝ を受け， 荷 重の 展 開 項に対 応す る円周 方 向1 次 （n

・

＝

1）の変 位 成 分の み を考 慮す れば実 用上十 分な 精度が_得ら れ る と考えられ る場 合 （仮 定 1 ＞を想定し， 各々 の要素に_対して円周 方 向に

一

様な剛 性 と 減 衰 定 数 を ひずみ の代 表 値か ら定め る 方 法 を示す。 ひずみ の代 表 値 を求め る際

，

各 点の_最大せ ん_断ひずみ rmaxその _もの に 対して円周 方 向の代 表 値 を 求め よ う と す る と

，

各 点の最

大せ ん断ひずみ面と最 大せん 断ひずみを求め る た め に多 量の_{数値 計算}が必 要 と なる

。

そこ で本 論の方法で は

，

円 周 方 向の ひずみ_分布と そ の代 表 値に関して は 7maiに よ

．

らず

，

下式で定義さ れ る形 状 変 化に伴 うひずみエ ネル ギ

ー

Ed15｝（圧 力 変 化による体 積 変

化

の ひずみエ ネルギ

ー

を 除い たもの _）によっ て評 価して いる。 　　 　

E

α；

1

（

1

十ン）／

6El ．

1

（ax

一

σ_v）2十（ay

一

σ z）：

　　　　　

十（σ z

−

orx〕 2 十6（τ

ly

十τ；z十rL ｝｝

　　　　

＝ ｛（

1

十の／

6E

｝12

・

・

・

・

・

………・

・

…・

’

_…

（14） 　た だ し

1

：応 力 不 変 式

1

（ax

一

σず＋（ay

−

ax）t

　　　　　　　

十（σ t

−

ax）t十6（τ｝s十τ

Z

＝

十τ襲）｝垂 　動 的せ ん断 試 験 等の材 料 試 験で は_， 剛性 低 下 率 GIGe や 減 衰 定 数

h

を 通 常 7maxと 関 係づけてい る が， 上 記の ひずみエ _ネル ギ

ーE

，に対 して これらの量が関 係づけ ら れ て い る と_解釈する ことも 可 能で ある

。

こ の場 合， E． は応 力 不 変 式1の 自 乗の形で ある ため

，

各 点の最 大せ ん断ひずみを 求 める計 算が省 略で き見 通しも良く な る

。

　 E 己に より軸 対 称 要素の ひずみ の代 表 値を求め るには

，

具 体 的に は以 下の方 法に よっ _てい る。 水 平 方 向 入 力 （加 振

1

の 場 合を考え

，

加 振 方 向に コc軸を と る

。

まず

，

円 周 方向 1次の変 位 成 分の項の みを考 慮し た場 合

，

直 交 座 標で表 し たひずみ は次の よ うになる。 　　 　

1

ε

1

＝

［B】

lul

・

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

＋

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（15） 　 こ こ に

　　　

1

ε

IT

＝

（ε

。

」

　El．ε。．　r．”，　r．。 ，7

。

t）

． ．

　　 　

Iu

｝’ ＝ 〈

Un

，　

Ur

，　

u．

）

　

　　

B

。一 ・ ・s ・ θ

・

£

＋

2c

°s

弊

θ

　

　　

B

。＝

一

・ ・s ・

・

・… θ

・

籌

＋

2C

°s

 

s  θ 　 　 　

B13

＝

O



．

．

　

　　

Bn −

・ ・S ・

・

・… θ

・

毳

　 　 　 COS θ

・

（COS2 θ

一

si皿tθ） 　 　 　 十 　 　 　 f

　

　　

B

・2− ・ ・S …

int

・

・

審

　　 　 　　 　 COS θ

・

_（cost θ

一

sin ： θ_） 　 　 　 十 　 　 　

BtS＝o

　 　 　

B3

，；

O

　　　　　　

I 　 　 　 BSt

＝O

　　　

B・3

−

・ ・S ・

・

妾

　

　　

B

，、

一

… s ・ θ

・

sin・

e・

審

　 　 　 si皿 θ

・

（si皿2 θ

一

3cost θ）　　　　　　　　　

、

　 　 　 十 　 　 　 r 　 　 　 ∂　

’

　 　 　 B・2

＝

sin θ

・

（COS2 θ

一

sinZ θ）

・

　 　 　 ∂ r 　 　 　

・

一 62 一

　 　 　　 　 　sin θ

・

（sin3 θ

一3cos

：

θ） 　 　 　 十 　 　 　 r　 　 　 　

、

　 　 　B．

i＝

O 　 　 　 ∂ 　 　 　Bs，

＝

COS θ

・

sin θ

。

　 　 　 ∂z

　　　

B

・・

−

C

’

・S … 洫 ・

・

妾

　

　

　

B

、s

−

・

6

… S・

8

・

嘉

一

C°S θ

夛

S  θ 　 　 　 ∂ 　 　 　

B61

＝ COS2 _θ

・

　 　 　 ∂z

　　　

B

・・

一一

・

in

・

_{e ・}

£

　　　

Bss−

・ ・S…

£

＋

sit

｛

；



e2

e

　 　 　u，

・

cos θ　：半 径 方 向 （r 方 向 ）変 位 成 分 　 　 　

U

，

・

sin　

e

　：円周 方 向 （θ方 向 ）変 位 成 分 　 　 　

U

」

・

COS 　e　：_{上 下方向 （}Z _{方 向 》変}位 成 分 （15 ）式か ら応 力 を求めて （14 ＞式に代入 し， さ らに

E

， の 適

_切

な平均値を求めて材料試

_馨

の _結果 と結 びつ け

FEM

_{要 素}の_剛性と減衰定数を定め ること に よ り， 等価 線 形の動 的解析を行うこ と が で き る

。

こ の場 合， 材料試 験の _結果 が

Ed

に対 す る

G

／

G

。と

h

の関係と して整理 さ れ ている 必要が あ る が， 通 常は， 材料試 験の加 力 方 法に 応じて_定ま る係 数を乗じ たもの として

E

己と 7m。x を関係 づ け るこ と が可能で あ る

。

　な お

，

剛 性の比 較的 高い_容器中の粉 粒体 （サイロ _）等， 変形状態に関す る あ る種の仮 定が許さ れ ると考え ら れ る 場合に は

，

以下の よ うに計 算 を 単 純 化する ことが で きる

。

　　　　　t　

　

　

　

　

　

　

　

’

い ま，

UT

∠

− U

， （r

一

θ平面での変 形 前の 円 形は， 変 形 後も 円形 を 保つ （仮 定 1

’

））， ∂

Uz

／∂ T

；

　

Ut

／r （変 形

前

の r

一

θ平面は変 形 後も平 面 を保つ （仮 定2）〉

，

の 2つ の_仮定を設け ると応 力は次の よ うに単 純 化 され る。 　 　 　 ∂

u

，　 　∂

Uz

ax− _・・s ・

・

｛

〔・＋ ・

G

）

・

万 ・ ・冨

｝

・一 _…

r

・

・

（

∂

u

，　 ∂砿 ∂r 十 ∂z

）

・

r

・ ・s ・

・

｛

・

・

讐

・（

X

・ ・

．

・）

・

髪

｝

　 　 　 　 　

．

　 ∂

u

ぬ 殉

＝

σ

’

sm θ

’

_万

7

　τ蟹〜＝

0

  ＝ G

・

（

∂隣　∂

Uz

∂z 十 ∂r

）

…

_（

₁₆

_） 　た だ し　 λ：

Lam6

の 定数 この場合

，

E‘ は （14）

，

（16） 式より下式の よ うに表さ れ る。

　　

　

E．

−

1

（・＋・＞／・ ・｝

・

［

・ ・s ・_・e

・

_・G・

・

（

∂仏　 　∂

u

． ∂r

−

₂

’

∂z

）

：

　

　　　

　

・・

G

・

・

｛

幽

2＋

（

∂

u

，　∂

u．

∂z 十 ∂r

）

2

｝

］

…

_（

₁₇

_） 　さ らに材 料 試験 法 を特 定す れ ば

一

層の_単純 化 が可 能で あ り， 例えば， 材料試 験が純せ ん断の状態で行わ れて い る場 合に は下 記の ように扱 うこと ができ る

。

　　 　E．

＝

　（G／2）

・

γ

Xax

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（18） 　た だ し　

E

． ：材 料 試 験 時の ひずみエ ネル ギ

ー

（14）

，

（18）式 より

　　　

γmax

＝

v2

’

EI7c

−

　　 　 　

＝

　

21

（

1

十_の／

6E

｝

12

／（｝ 　　 　 　

；

」’ ／ ！冠「

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

…

　

一・

・

一・

・

・

…

　

一…

　

一・

・

（19） 　た だし 　

1

’

＝

∬ノ

G

（19）式か ら_， こ の_場合に は _7maxに対 して

GIG

。と ん を ま とめた材 料 試 験の_{結 果}が，

1’

に対す る

GIG

。と

h

の 関係を表して い るとみ な すこ と がで きる

。

し たがっ て

，

軸 対 称 FEM 要素の 円周方 向の ひずみの代 表 値 を

1

’

か ら求め

，

材 料 試 験の結 果 と 対 応さ せ ること がで き る。

1「

の 円 周方向の代表煩と して 自乗 平 均 君囎 を 用い る場合 には

，

1徳 は

，

（14）， （17 ）式 を用い

，

下 式の よ うにな る。 ・徳

一

1

（

論

至

毒

，

」

　

　

　

　

　

一

_ズ

π

、

課

き

、・θ／

2

・

　　　　

　

一

［

（

∂切∂r 　 　

− 2’

∂∂

Uz

z

）

2

　

　

　

　

　

　

…

｛

（

∂

u

． ∂r

）

： ＋

（

籌

・

韵

1

］

’

_｝

・

…

_（・・） 上 式の_値を （

19

）式に代 入 すれば， 通常の

GIGe 一

γ曲 線 と

h 一

γ

．

曲線から要 素の剛 性 と減 衰定数を求め る こと によ り

，

等価 線 形 解 析を行うこと がで き る。 　な お_{， 瀛} に対 して ま とめ ら れ ている材 料試 験の結 果 をその ま ま用いる場 合 等におい て は

，

以 下の ように扱 うこと が可 能で あ る

。

すな わち，

1

’

と rmaxの円 周 方 向 の_最大値∬徳 と（rmai）max を別 途求め， さ らに ∬福、の代 わ りに_{以 下}の量 （版 ｝を求め， これを材料 試験の結 果と 対 応する _7maxと す る 方 法 である

。

　

　　

囀

一

｛

謡

畑 一

……・

…・

…・

一 ……・

（

21

） 次章に示す数 値例 （文献

3，

文 献4参 照 〉に おいて は， ∬

’

が最 大 とな る θ

＝0

の r2 平 面に お け る rmaxを （γmax 　）

［

ux と し

，

（21）式の （_γmax ）を材料試験の結果と対 応 させ て い る

。

　

4．

模 型 サ イロの実 験結果に よ る検 討 　4

．

1 検討の 目的

’

　

文 献

3

）その _他1 ）

・

2 ）

・

4 〕

・

5 〕に示され た 石炭サイロ_{模 型 振 動} 台 実 験 とその シ ミュ レ

ー

ショ ン解 析の結果 を適 用例と し

，

これまで述べ _{て き た解 析上の考え方に関 し検 討を 加} え る

。

　 4

．

2 実験の概 要

　

解析 対 象の_{実 験}は_， 図

一7

に示し た鋼 製容器に内 容 物 の石炭を満載し た サイロ模 型 を

，

振 動台に設 置し水 平 方 向に加 振し た ものである

。

こ の容器は_深さ と内径がと も に 1

．

5m の_浅槽で

，

ま た円 筒シェ ル の側 壁部分 （

E4 ．

5 mm 製 ） と底板部分が独 立して ロ

ー

ドセル の上に_載っ て お り

，

それぞれが 分 担 するベ

ー

_{ス シ ャ}

ー

_{を求め得るよ う} に なっ て い る

。

石炭は

，

ミ ラ

ー

ブレ ン ド炭 を粉砕し た後 ふる い にか け て

5mm

アンダ

ー

に したもの で あ る。 加振 ケ

ー

ス は_，20　

Gal

　

− 200

　Gal _{の正弦 波} 定 常加振 （

1−

40　Hz_） で ある

。

測 定 点は図

一

7に示 したように_{， 加}速度 （容器

4

点

，

内容 物7点 ）

，

粉体圧 （側 壁 8点，底 板 3点｝

，

ベ

ー

ス シャ

ー

（側 壁， 底 板）等である

。

また 図

一8

に は

，

内 容 物 試料に対し て_行っ た せ ん断 試 験 （試験 方法_に関して は文献

16

参 照 ）か ら得ら れ た

GIG

。

〜

γ曲線と

h〜

γ曲 線 を解析に用い た値と と もに示 す

。

な お_， ひずみの _小さ い領域で の減 衰 定 数は せん断試験で得られた値よ り小さ な値を用い て い るが， こ の理由につ い て は次の解析手 法 の項で触れる

。

　4

，

3

解 析 手 法

　

内容 物

，

容 器 と もソ リッ ド要 素の軸 対 称

FEM

で 図

一

₉の よう に モ デル化 して いる。 なお容器側 壁下 部の バ 不はロ

ー

ドセ ル部分の_{変形 特 性 を}モ デル化 し たもの で

，

容器の みで加 振し た結 果と の対 応に より容 器部分の モ デ ル化の 妥_{当性 を確 認し}てい るZ ）

・

3） 。

　

石炭と鋼 製 容 器の_物理定数は表

一

4， 表

一5

に示 す 値 を用いた

。

石 炭の初 期 剛 性 （

E

。と

G

。）とボアソ ン比 お よび初期剛 性の上載 圧 依存性 （上載圧の 0

，

537 乗に比 例 ） は_{， 弾 性 波 試 験}か ら求め たもの で ある

。

湿 潤密度p は 総重量 よ り求 めた

。

石炭の

GIG

_。

〜

_γと

h〜

_γ曲線は

_，

1

、

．

5。。，。．6 ＋ _{：加速 度 計} ○ 圏：土 圧 計 鬮 ：ロ

ー

_{ド セ}ル 容 器 重量

　

偵

U

壁



：

448kg

　

底板 ：168k9

　

言十



：

616kg

内 容 物 重 量 ：

2，

270kg 図

一

7試験 体 諸元 お よ び計 測 点

G！Go 　

21

、

o O

．

5 o

、

O 30 20 10 o 肋 　　 馬 解 椥：用いた値

●

● 0

．

OO1 0

、

or　　　　　　　　　O

，

l　　　　　　 tO 0 　 　 0

、

001 r（％） ｛％｝　 　 　 o Q

．

解 析に用いた値 冷 0 △ 0o 倦 _、

議

  _9！cm8 埜 o0

．

04O

、

861 ● ● 0

．

04O

．

901 ▲ 0

．

1O

、

8e6 　 0

．

01　 　 　 0

．

1 　 　 　r  図

一

8　せん断試験 結 果 里

画

1　 A C Lo 　 　 　 図

一

9 解 析モデル 図

一8

に せ ん断 試 験の 結果と対 比させて示し た もの を用 い た。 な お減 衰 定 数

h

に関して， ひず みの 小さい領 域 でせ ん断 試 験の結 果よ り小さい値を用いたのは以 下の理 由による

。

文 献5＞に は_， 本 論の図

一12

に示す解 析 結 果 に対 応 する各 要素の ひず_{み 〔}1次共 振 点 時 ）が示さ れて いる

。

図

一

12の応 答が 解 析と実 験で ほぼ合

致

して い る た め

，

解 析モ デルか ら得ら れ たひずみ は実 験 時の ひずみ を表 現し でい る と考え られ る が

i

最 もひずみ が小さい 20Gal 加 振では ほ と んどの要 素が0

．

005

％

−

O

．

05％ の

一

₆₄

一

表

一

4　石炭の_物理 定 数 　 　 物理 定 数 上 載 圧 　 ρ t／  　E   ／c出 　G   ／c面 〃   0

．

8749118

，

9 α3   0

．

878a 　534

，

10

．

3

  α87116

，

544

．

80

，

3

  α87139

．

553

．

7 α

．

3  

0．

87159

．

761

．

4 α3 A G　せ ん 断 弾 性 定数 ρ　 単 位 体積 重 量 レ　 ポア ソン比 E　ヤ ング係数 表

一

5　鋼 製 容器の_物理定 数 ヤ ン グ 係 数 2100t／c齒 ボ ア ソ ン 比 α3 単 位 体 積重 量 7

．

9t／  iI11T 　

T

　］ 1　 　

臨

　 　 1 ー

　

　

　

　

I

　

　

F

　

　

　

　

　

　

卩

　

　

I

　

　

I

　

卩

　

I

　

　

　

　

　

I

　

I

　

｝

一

21111

　 ｛

｛

i

「

…

T

…

「

1

−一

_一γ一

　

一

一

i 　

I

　 I

． 1

　 　 　

1

，

　

塵

　

　

1

　

　

・

一

一

一

一

レ r

＿

一

一＿

一

’

−

Il 　

i

　

i

一

　

l

　

l

　

I

　

I

一

■

胃

一

．

脚

1

一

一

一

1　 ，　

i

幽

　　　　　1 13 旨

｝9 −一

一

一

一一

一

一

一

　 l　

　

　

　

　

　

I

　

　 嚠

　

　

　

　

　

　

　

1

　 旨 　

1

 　l　

l

』

1

．

’

1

一

｝ 一



一

一

一一



＿

凾

曹

I

i

　

_一

_一

_一

_一

_{7 −一}

・

l

　

_一

_一

_一

l

　

1

一

一

一

一

一

　 　 　1次　18

．

2Hz 　 　

．

　 　 　

3

次 　

34．

5Hz

　 　 　 図

一

10　加 振 方向 垂 直断 面の画有振 動モ

ー

ド ひ

ず

みで，

．

0

．

oq5％ 以 下の要 素が若 干ある

も

の の 0

．

05 ％以 上の要 素はない。 ま た

O

」　

Ol

％以 下の要 素が過半で ある

。一

方 文 献 1

_）

で示し た仮 定 剛性 的な弾 性 解析では， 20Ga1 加 振の シ ミュ レ

ー

ショ ン解 析とし て 1次 共 振 点 で約 3％ の減 衰定数 （内 容 物 石 炭）を用い実 験結果と 良 く合 致 して い る。 図

一8

のせ ん

断

試 験の結 果で はひず みの小さい_領域で 5％ を超え る減 衰定数と なっ て お り， こ の領 域の減 衰 定 数に関し て はせ ん断 試 験の方で誤 差が 生じ てい ると考えられ る。 こう し た事 情か

’

ら_， 0

．

Ol ％ 以下の ひずみ領 域で の 減衰定 数を3

．

5％

−r一

定とするこ と とし た

。

な お せ ん断試 験においては

，

低上載圧下の小 ひずみ領 域で は試 験 誤 差が生じや すい と 考えられ る

。

　解 析は

，

上記の モデルと定 数 を用い

，

（21） 式お よ び 図

一8

の関 係に よ る等 価 線 形で行っ て いる

。

し た がっ て 仮 定1

’

（仮 定lfが満足 さ れ る場 合 仮定

1

も 満 足 さ れ る）

τ次 18

．

2Hz 3次 34

．

5Hz 図

一

11A

−

A

’

水平 断面の固有振動モ

ー

ド と仮定2を 前 提 と することにな る。 　4

．

4 解 析 結 果 　図

一

10に は加 振 方 向 垂 直 断 面の 固 有 振 動モ

ー

ドを

，

図

一

11に はA

−

A

’

水 平 断 面の _{固 有 振 動}モ

ー

ド を

，

刺激 係 数の大きい 1次と3

_．

次につ い て示し た。 これ らの モ

ー

ドは

，

文 献1）の条 件によ る弾 性 解 析か ら得 られたもの で ある

。

こ れ ら の結 果か ら，応答に影響の大きい

1

次モ

ー

ドにっ い て は， 仮 定

1

’

と仮 定

2

（防

＝− UR，

∂

U

ノ∂r ＝

Uz

／r）は妥当_である と_いえ る 。 　 次に図

一12

に は

，

内容 物 加 速 度の共 振 曲 線の解 析 結 果 と実験結果を示し た。 振 動 特 性と して重 要 な低 振 動 数 か ら1次 共 振 点付近に_{注 目}して解析と実 験 を比 較し て み る と （内容 物が容器に及ぼ す力は1次 共 振 点 を過 ぎる と 小さくな るこ とが実 験のベ

ー

ス シャ

ー

で確 認 さ れて い る1 ）

−

3） ）， 最も加 速度の 大きい 200Gal 加 振で も

．

精 度 の 目安と して_冒頭で述べ た2割 以 内の差 異に ほぼ収っ て い る

。

し た がっ て解 析と実験が良く合 致して いること か ら

，

2章， 3章で述べ た考え方や上記の仮 定に よる解 析 法は_， こ の_例の_範囲 では_実用上十 分な精 度 を有 して いる とい える

。

特に， 加振レベ ルの上 昇に伴っ て応 答 倍 率と 共 振 振 動 数 が 低 下す る様子や

，

1 次共振点を過ぎた後の 共 振曲線の_下が り方が加振レ ベ ルが大 きい程なだら かに な る など， 実験で確認さ れ た現 象の特 徴が良 く再 現 され て お り， 本 解 析 法の有効性を示す もの とい え る

。

また文 献 5）に示され た よ うに

_，50Gal

_{加 振}ですで に内 容 物の 半 分に近い部 分の剛性が

1

／

2

以下に低下して いること を 考え ると

，

本 論で述べ _{た等価線形が適用できる ひずみ領} 域は_， 通 常 考え られ てい る よ り大きい可 能 性が高いとい え る。 な お

，

図

一12

で振 動 数の高い領 域で解 析 値を破 線で結ん だ部 分は

，

等 価 線 形の_繰り返 し計算が収 束しな かっ た部 分である

。

メ ッシュ 割りの_要素_数の_{関 係}で高 次 【Gal｝ 500 400 500 200 100 　 　O 　 tGoll1

圏

500 1_ρOO 500 10 20 50　 　 　 　 40 　 ｛Hz］ O 10 20 50　 　 　 　 40 　 CHz） 　 lGal） 1

，

0eo 500 　 　O 　 CGal｝ 亀OOO 11000 10 20 50　 　 　 　 40 　 CHz［ o 10 20 30　 　 　 　 40 　 ｛Hz）

α

_国

一

_{解 析 結}果

一

一

一

一

一

_{実 験 結 果} 図

一

12　内 容 物 加速 度 共 振 曲 線 （実 験と解 析の結 果の比較）

一

一

振 動を解析す る上で の限界が あっ た と考え ら れ る が，

1

次 共 振 点 を過 ぎると荷 重は小さ く な ること が実 験 結 果の ベ

ー

_{ス シ ャ}

ー

で確 認 され て おり1｝

−

a ）

，

破 線の推 定 値 を 共 振 曲 線と しても実 用 上は さ しつかえない と考え ら れ る

。

　

5．

ま と め 　 1＞ 形 状と体 積が と もに変 化する系に お_いて も

，

せ ん 断 変 形のみを基 準 とし て剛性 と減 衰 を 定め ることが_， 大 ひずみ領 域でも妥 当であ ること を

，Iwan

モデル等の考 え方 を 用い て示 し た

。

　 2） 水 平 1方 向地 動 入 力 を受け円周方 向1次の変 位 成 分の みを 考 慮 すれ ば実 用 上 十 分 な場 合 を想 定し， 軸 対 称 要素に対し て 円 周方 向に

一

様な剛 性と減 衰 定 数を， ひず みの 円周 方向分布の_代表値か ら求め る方 法 を示し た

。

ま た ひず_吟の代 表 値 を求め る際， 形 状 変 化に伴う ひずみエ ネルギ

ー

を 用い た

。

　

3

）　さ ら に，

U7

〒

− VR

，

．

∂

U

』／∂r

＝Utf

　_r ， な る

2

つ の仮 定 を 設 けられる場 合に は_，

一

層 単純 化 さ れた式によ りひずみ の代 表 値 を求めら れ る こ と を示した

。

　4） 模 型 石 炭 サ イロ の振 動 台 実 験の シ ミュ レ

ー

ション 解 析 を

，

本 論の手 法に よる解 析 例 と して実 験 結 果 と比 較 し た ところ

，

満 足すべ き合 致 度であり

，

本 論の解 析手法 の妥 当性

・

適 用性が実 験の面から も確 認さ れ た。 　 謝 　 辞 　 本 論の内 容は

，

鹿 島建 設 （株 ）の河 添 　斉

，

堀 越 清 視

，

本橋 章平， 前田祥三 の各 氏との共 同 研 究を進め る過 程で 得ら れ たものである

。

特に

，

解析プログラ ム関 係は堀 越 氏の作 成に よるもの である

。

ま た鹿 島建 設 （株 ）の津 川 恒 久博士_， 原 昭 夫 博士の両 氏に は_， 研 究 活 動に関す る ご 支 援， ご指 導 をいた だい た。 各 氏に対し

，

深 甚な る謝 意 を表 する次 第であ る

。

参 考 文 献　 　 　 　1 1） 相原誠 太郎ほ か ：石 炭サイロ の模 型 振 動 実 験とそ の解 析 　 　 （その1

，

そ の 2）

，

日i本建築学会大会学 術講演梗概 集

，

　 　昭 和57年 10月，pp

．

901

−

904　 　 　　 　

．

．

2） 河 添　斉ほ か ：石 炭サイロ模 型の振 動 台 実 験とそ の解 析， 　 　P【oc

，

　of　the　6th　

Japan

　Earthq皿ake 　Engineering　Sympo

−

　 　sium

_，

昭和57年12月

，

　pp

．

961

−

968 ） 3 ＞ 4 ｝ 5 ｝ 6 ） 7 ） 8 ｝ 9 10） ］1） 12）

・

13） 14） 15） 16） 河 添　斉ほ か ：_石炭サイロ_模型の振動台実験と そ の解析

，

鹿 島 建 設 技 術 研 究 所 年 報 第31号

，

昭 和58年 6月

，

pp

．

127

−

134 内藤 幸 雄 ：軸 対称 FEM の等価線形 化 法 に よ る 弾 塑 性 動 的 応 答 解 析に関

_．

す る

一

考 察

，

日本 建 築 学 会 関 東 支 部 研 究 報告集

，

昭和58年7月

，

pp

．

93

〜

96 河 添　斉ほ か ：石炭サ イロ の_模型 振 動実験と その_解析

，

（その 3

，

その4）

，

日本 建 築 学 会 大 会学 術 講 演 梗 概 集

，

昭 和58年9月

，

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871 遠 藤 考 夫， 田辺忠 顕 ；ひび割れあるい は断 面 欠 損等の剛 性 変 化 を 考 慮し た シェ ル構 造 物の応 力 解 析

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電 力 中 央 研 究 所 報 告379034

，

昭和58年9月 島 本　明ほ か ：石 炭 貯 蔵 用 サ イロ の動 的応 答 解 析

，

日本 建築学会 大会学 術 講 演 梗 概 集

，

昭 和56年9月

，

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₉₀₆

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香 川 崇 章 ：土 構 造物の模 型 振 動 実 験に お け る相似則

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69

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77 石 原 研 而 ：土質 動力学の 基礎

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昭和 51年

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　I　Third　Edition

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原　昭 夫

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清 田芳治：_模型 土 構 造 物の振 動 実 験のた めの基 礎研究

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その 1

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日本 建 築 学 会木会 学 術 講 演梗 概 集

，

昭 和56年9月

，

pp

．

597

−

598

、

一

₆₆

一

SYNOPSIS

UDC:624.953624. 042.7:620. 1

A

STUDY

ON

THE

APPLICATION

OF

THE

EQUIVALENT

LINEAR

METHOD

IN

FINITE

ELEMENT

TECHNIQUE

Application

to

deformation

with noticeable change

in

volume and

to

the

axisymmetric

body

under unaxisymmetric

load

byYVKIO NAITO, ResearchEngineer, Kajima Instituteof

ConstructionTechnolegy,KajimaCorporation.Member

of A.I.

J.

The

purpose

of this _paper

is

to

indicate

the applicability of the

Equivalent

Linear

Method

inFiniteElement

Technique

in

the

following

two cases.

O

Volume change exists as welr as

diistortion.

2) Axisymmetric

body

or structure under unaxisymmetric

load.

The

contents of this_papercan

be

summarized as

follows.

1)

Calculation

of rigidity and damping ratio

by

the Equivalent

Linear

Method

using shear stTain

is

shown to

be reasonable under conditiolls where volume

increases

or

decreases

and

distortion

is

_present.Iwan'smodel

istttilized

for

this _purpose.

2)

A

method _{of analysis} is_proposed

by

the axisymmetric Finite

Element

Technique

when axisymmetric

turesor solids of revolytion are

defoTmed

by

unaxisymmetric

load

to

become

_{partlyplastie.By this}

nique, _a typical _{value of} thestrain on an axisymmetric element

is

determined

using strain energy

due

to

tortion,

3) Results

from

the _{above method are compared with} those of the shaking table test of a coal silo model,' and