相 似 な 長 方 形 に よ る正 方 形 の タ イ リン グ に つ い て
一 体論の素朴な図形問題への応用 として一
兵 庫 教 育 大 学 大 学 院 教 育 内 容 ・方 法 開 発 専 攻lv1 1 3 1 3 8 H
学 校 教 育 研 究 科 認 識 形 成 系 教 育 コ ー ス 費 田光 太 朗
第
1章
1.1 1.2 第2章
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 第3章
3.1 3.2 3.3 第4章
4.1 4.2 4.3 付 録A
A.1 A.2 参考文献 体 問題 設 定 6 6 8 12 12 15 タイ リングについて 十 分条件 と主定理 体 の定 義 体 へ の付 加 代数拡大.…
… Ⅲ… … ・― ・― ・… … … ・… …17
体 の同型写像.…
… … … ・― ・…22
超越拡大 。… … … ・… … ・― ・…24
体 の可算性._.…
… … … … ・… … ・ … … …27
分割のための必要条件Qか
らの同型の拡張 一般 の同型 の拡張 タイ リング可能であるための必要条件 タイ リング可 Ⅵり1の定理 能であるための必要十分条件 タイ リング可能 で あ るた めの必要十 分条件 タイ リングの計算例Wallの
定理 複 素数係 数 多項 式 に関す る ヽヽrallの定 理 恥ulの
定 理.…
…29
29 32 3744
44 48 5055
55 7176
研 究 の 目 的 次の図を見てほしい。 図 1:相似 な長方形 による正方形のタイ リング この図は全体 として正方形で
,正
方形 を長方形 に分割 しているが,個
々 の長方形 は実 は互 いに相似 である。 この図の ように互い に相似 な長方形 を重な らない ように並べて,正
方形 を隙間無 く敷 き詰め ることを,相
似 な長方形 に よる正方形 の タイ リング とよぶ。では,ど
の ような縦横比の 長方形 な らば,そ
の長方形 と相似 な図形で正方形 をタイ リングす ること がで きるだ ろ うか。 実際,υ が有理数の ときは,縦
横比が しの長方形 の相似形で正方形が タ イ リング可能である。具体的な数で少 し考 えてみる。例 えば,υ=:の
と き,つ
ま り縦が1,横
が:の長方形 を横 に6つ縦 に5つ並べれば,全
体 と して正方形 にな る。 では,υ が無理数 の ときは,ど
うだろ うか。例 えば,z=ν
つの とき,つ
ま り縦横比 νつの長方形の相似形で正方形 をタイ リン グ可能なのか とい うと,実
は,こ
の場合 には,ど
の ように しても縦横比 νつの長方形 の相似形では正方形 をタイ リングで きない ことが分かっている。では,鶴 が無理数の ときはタイ リングで きないのか とい うとそ うでは ない。図1は
,縦
横比2+極
の相似 な長方形 による正方形のタイ リング になっているのである。 で は,縦
横比 しの互いに相似 な長方形で正方形 をタイ リングで きる と き,zが
満たすべ き条件 はなんだろうか。そ して,タ
イ リング可能である な らば,そ
の ときの縦横比 しの長方形 をどの ように敷 き詰 めれ ばよいの だろ うか。 この2つの問題が,本
研究 の主た るテーマである。 研 究 の 内 容 実 は1995年にM.Laczkovichと G.Szelceresが共著 の論文で,こ
の問題 に解答 を与 えてい る。 実際,縦
横比 しの長方形の相似形で正方形 をタイ リング可能であるな らば,zは
代数的であ り,か
つ,υ の全ての共役元 の実部が正 となる。 この ように意外 にも,縦
横比 υの長方形 を正方形 に しきつめ るといっ た幾何学的 ・組み合わせ論的な問題 に対 して,そ
の回答 となる条件 には, 代数学的な概念 が登場す る ところが興味深 く,本
論文で は,体
論 の基礎 的な ことか ら始めて,こ
の問題 に対す る解決 を詳述 している。 実際,「代数的」。「共役元」 といつた概念 は,代
数学 の体論 に登場す る ものであるが,こ
こではこうした用語 について少 し紹介 しよう。 まず,体
とは簡単 にいえば,四
則演算で閉 じている数 の集合である。例 えば,有
理数 の集合Q,
実数 の集合R,複
素数 の集合Cは
四則演算で開 じているか らこれ らは体 である。他 にも, {α+bν
ワ
lα,b∈Q}
とい う集合 を考 えると,こ
れも体 となることが分かる。実は,上
記の集 合はQと
vり を含む最小の体 となってお り,こ
のような体 をQに
vり を 付加 した体 といい,Q(Vり
)と表す。つまり,Q(vり
)はQ係
数の νりに関 する多項式の集合であることが分かる。これは,vり
がQ上
代数的である ことに関係 している。 vり が代数的とは,∫(νり)=0を
満たすような,0で
ない有理数係数多項 式∫(z)が存在することである。代数的な元 αに対 して,αを根にもつ有理 数係数多項式のうち,最
も次数が低いものが重要であ り,そ
れをQ上
の最 小多項式という。例えば,vつ
のQ上
の最小多項式 ∫(″)は ,∫(″)="2_2
である。また
,代
数的な数 αに対 して,α の最小多項式の根の ことを,α の共役 元 とい う。 つ ま り,ャう についていえば,∫(χ)=″
2_2の
根 νう と 一の が,vつ
の共役元である。 よって,一
νつの実部 は負であるか ら,先
ほ ど のM.Laczkovichと G.Szelceresの結果 によれば,縦
横比 νつの長方形では, 正方形 をタイ リングで きない ことが分かる。 さらに,MiLaczkovichと
G.Szekeresは,こ
の節の冒頭で述べた回答が, 縦横比zの
長方形 の相似形で正方形が タイ リング可能であるための必要 十分条件 であることも示 してお り,そ
の証明には,Wallの
定理 が用い ら れる。 ヽヽrallの定理 とは,実
数係数多項式に対 して,そ
の根 の実部がすべて負 であるための必要十分条件 を与 える定理であるが,本
論文ではその うち の必要条件 のみ を用いる。実際,Wallの
定理の主張 を用いると,有
理数 係数多項式 P(″)="π
+αl″°1+…
・ +αっ に対 して,P(υ
)=0を
満 た す任 意 の 元 υ ∈Cが
全 て Re(ω)<0と
な る な らば, とお くと, S(")="η +α2χπ2+…
. ι(″)=α
lχπl+α
3"れ3+..
器
=Qχ
+扇
■
=
・ ・
+ふ
とな る正 の有理数 cj(j=1・ …,η)が存 在 す る こ とが分 か る。 さ らに,そ
の よ うなQを
具体 的 に求 め るアル ゴ リズ ム も存 在 す る。 この定理 を用 い るこ とで,正
の実数 しが代数 的で,色 の全 ての共役 元 の 実部 が正 とな る とき, Cl鶴+C2鶴+ 1 =1
・ ・+島
となる正 の有理数cじ を求め られ る。 このQを
用い る 形による正方形のタイ リングの形 を具体的に求めるこ (2) と,縦
横 比 包の長 方 とが可 能 とな り,十
分性 も示 され るので あ る。 つ ま り,M.Laczkovichと
G.Szekeresに よる次 の定理 が成 り立つ。1. 2. 3. 縦横比 υの長方形で正方形 をタイ リング可能。 しが代数的で
,zの
全ての共役元の実部 は正。 Clし+
C2包+ 1
・・ ・+吾h
をみ たす正 の有理 数Q(j=1,…
・,2)が
存在 す る。 定理0.0.1の解 説 と縦 横 比zの
互 い に相似 な長方形 で正 方形 をタイ リング す るため の手段 を説 明す る こ とが本論 文 の 目的 で あ る。 =1本論文 は
,互
いに相似 な長方形で正方形 をタイ リングす ることについ て考 える。以下,実
数 の集合,有
理数の集合 をそれぞれR,Qで
表 し,ま
た正 の実数 の集合,正
の有理数 の集合 をそれぞれR+,Q+と
表す。1.1
タイリングについて
まず,長
方形を表す記号を用意する。 定義 1。1.lυ ∈R十 に対 してR(Z)={(π
,ν)10≦ "≦し
,0≦ν≦
1} とす る。 つ ま りR(υ)と は,R2の
原 点 を頂 点 とす る第 一 象 限 内 の長 方形 で,縦
の長 さが1で
,横
の長 さが%の
もので あ る。 定義1.1.2長
方形R(α)が長 方形R(z)の
相似 形 で タイ リング可能 で あ るとは
,ス
υ
)と相似で辺が座標軸に平行な有限個の長方形
Rl,… .,Rれが存
在 して,以
下 の2つ
が満 た され る ことで ある。 1.R(α)=Rl∪
…・∪Rπ2.j≠
プとな る任意 の 1≦ づ≦η,1≦
プ≦ηに対 して 鳥 ∩島 が空で ない ときは,島
∩島 は 民 の辺の一部であ り,か
つ 島 の辺の一部 である。 上記の ように定義 した とき,次
の問題 を考 える。 どの ような 包∈R+に
対 して,正
方形 月(1)がR(Z)の
相似形 で タイ リング可能であろ うか。まずは
,具
体的な例 を考 えてみる。 は じめに,Q+∋
υとなる しについ て考 える。実際,α,ろ を自然数 の集合Nの
元 として,し=:∈
Q十 とお く。 この とき,縦
1で,横
:の
Roを
:倍
に縮小す る と,縦
:で
,横
: の長方形Pと
なる。R′ と合同な α×ろ個 の長方形 を横 に α個,縦
にb個, 格子状 に並べれ ば正方形 になる。 よって この場合 は,正
方形がR(υ)の 相 似形で タイ リング可能である。例 えば,α=3,b=4の
ときの タイ リン グは,図
1.1の ようになる。 図 1.1:R(:)に よる正 方形 の タイ リングまた
,鶴が無理数であっても正方形が
R→
の相似形でタイリング可能
な場合がある。例えば
,鶴=2+vつ
のとき
,正
方形は
R(υ)の相似形で
タイ リング可能で ある。 その ときの図 は,図
1.2の ようにな る。 この図 で,例
えば長方形 κKDと
長方形 σIILKは
一辺 を共有 し,全
体 として 1つ の長方形F∬
LDを
形成 している。この とき,長
方形F∬
LDを
長方形 FθKDと
長方形G∬
ικ の合併 とい う。長方形FIν
Dは
長方形FθKD
と長方形G∬
LKと
長方形 ∬ry五
の合併であるとい う様 に,3つ
以上の 長方形の合併 も考 え られ る。 この図が本当にR(2+∼0)の
相似形 によるタイ リング とな ってい るか を実際に計算 を して確 かめる。図1.2において,以
下 を仮定す る。1.長
方形AF∬
Eと
長方形E∬
」Bは
合同 とす る。2.長
方形FθKD,長
方形 θ∬Lκ,長
方形 ∬」χLと
長方形 JJθ χ は 合同 とす る。A F G H I 」
図 1.2:R(2+νO)に よる正方形のタイリング
このとき,AB=2z=4+2ν
ワ スD=1+FD=1+写
=1+呼
=4+2vワ
よって,正
方形 はR(2+ν
り)の相似形でタイ リング可能であることが わかった。 1。2 +分
条 件 と主定理
正方形がЦ
z)の相似形でタイリング可能であるための必要十分条件を
調べる前に
,ど
のような長方形が
R(υ)の相似形でタイリング可能なのか
を考 えるこ とで,正
方形 がR(υ)の 相似 形 で タイ リング可能 で あ るた めの 十 分条件 を考 えて い く。 定義 1。2.lυ ∈R+に
対 して T(色)={″ ∈
R十旧
(″)がR(Z)の
相似形でタイリング可能
}とおく。
T(し)に つ いて,次
の4つ
が成 り立つ。補題 1.2。
2R+∋
υに対 して, 1.し ∈T(z)と なる。 2.″ ∈T(Z)な
らば :∈ T(Z)と なる。3″
,ν ∈Tし
)な
らば ″+ν ∈Tc)と
なる。 4.″∈
T(包), C∈Q+な
らば
c"∈ T(包)となる。
証 明1.R(υ
)はR(し)で タイ リングで きる。よって,鶴 ∈T(鶴)を得 る。2R(″
)とR(l)は
相似 で あ る。″∈T(υ)な らば,R(π)はR(Z)で
タイ リング可能 で あ るか ら,R(″
)の 相似 形 で あ るR(:)も
R(υ)で タイリング可能である。以上より
,ヵ∈
T(Z)を得る。
3.R(″ +ν)はR(χ)と R(ν)の 合併 で あ る。 ",ν ∈T(包)な らば,R(π
)と
R(ν)はRC)で
タイリング可能であるから
,R(π +ν )も R(υ)の相似形でタイリング可能である。よって
,″ +ν∈
T(υ)を得る。
4.c=:と おく。ただし
,α,b∈Nで
ある。
R(等 )は,縦
が
1で
,横
が
等 の長 方形 な ので,縦
が α,横
がbzの長 方形3と
相 似 で あ る。R′ は,R(χ)を 横 にbイ固合併 した もの を縦 に α個 合併 した もので あ るか ら,R(χ
)がЦ し)の 相似 形 で タイ リング可能 な らば,R′ もR(包)の 相似 形 で タイ リング可能 で あ る。 また,7は
R(等 )の 相似形であるから
,こ
のとき
R(等 )もnc)の
相似形でタイリング可能となる。
□ 補題 1.2.2よ り,次
の定理 が得 られ る。定理
1.2.3包∈
R+に
対 して
,cl,.…,%∈
Q+が
存在して
, Cl包+
=1 1C2Z+
1 ・・+一
Cれυ をみ たす な らば,正
方形R(1)が R(Z)の
相似 形 で タイ リング可能 で あ る。証明 まずは
,z∈
R+及
び,cl,.… ,cれ ∈Q+に
対 して, Clし+
∈T(鶴) (1.1) C2鶴+
T「
・・・+―
%Z となることを ηに関す る数学的帰納法で示す。 1.η=1の
とき,式
(1.1)の左辺 はclしである。補題 1.2.2の4よ
り, clz∈ T(υ)を 得 る。 2.η=た
+1の
とき,cl,.… ,cん+1∈Q+と
する。任意のcl,.… ,Cた ∈Q+
に対 して, ClZ十 ∈T(2) 1 C2包+
一
一一 1 ・・・+―
Cん鶴 が正 しい と仮定 して,K=cl z+
1 C2%+ 1 ・・・ 十 一一 一t Cん+1について考える。まず
, κ′=C2鶴+
C3Z+ 1 ・・・+―― 一 υ Cた+1とおくと,帰納法の仮定より
,K′∈
Tし
)である。このとき
,K=
cl%+分
と表すことができる。また,補題
1.2.2より
,clz∈
TC),
分 ∈
T(a)となり
K∈
T(z)を
得る。
以上 の議論 か ら, 成 り立つ。つ ま り, 帰納法により任意のcl,.… ,C72 Cl,… .,Cん ∈
Q+が
存在 して,が成り立つなら
,1∈
Tc)と
なる。
定 理 1.2.3は,υ ∈R+に
対 して,∈
Q+に
対して
,(1.1)が 1Cl Z+ =1
1 C2υ+
1 ・・+―
CんZ □ Cl,.… ,Cれ∈
Q+が
存在し
,cl鶴+
=1と
な る (1.2) 1 62鶴+
1 ・・・十 ―%υことは,正 方形
R(1)が
RC)の
相似形でタイリング可能であるための十分
条件であるということを主張している。しかし実は
,(1.2)の条件は
,正
方形 がR(し)の 相似 形 で タイ リング可能 で あ るため の必要 十 分条件 で もあ る こ とが,1995年
M.Laczlcovichと G.Szekeresに よって証 明 されて い る bl。 実 際,次
が成 り立つ。 定理 1。2.4υ ∈R十 につ いて,次
の3つ
は必要十分条件 で あ る。1.正
方形R(1)が
R(Z)と相似 な長 方形 で タイ リング可能 で あ る。 2.しが代数的で
,鶴と
Q上
共役な複素数は全て実部が正である。
3. 1 Cl包 十 =1 1C2Z+
―
一一 1 ・・・+―
%鶴 を満 たす ようなcl,.…,Cゅ ∈Q+が
存在す る。 この論文の 目的は,定
理1.2.4の証明について解説す ることと長方形R(υ) の相似 形で正 方形 をタイ リングす るための手順 を説明す ることで ある。 尚,定
理の中に,「代数的」や 「共役」 といつた用語が用い られているが, これ らの用語の定義 は第2章
以降で述べ る。第
2章
体
第1章で は,本
論文の 目的を明 らかにした。第2章
では,定
理1.2.4の 証明 に必要 な体 について考 えてい く。具体 的には,部
分体 ・拡大体,代
数拡大 ・超越拡大,体
の同型写像及び体 の可算性 について考 える。以下, 複素数の集合,整
数の集合,自
然数の集合 をそれぞれ,C,Z,Nで
表す。 2。1
体 の定義
定義 2.1。1集
合Kに
対 して,写
像 φ:κ ×K→
κ のことを κ 上の演算 とい う。 定義2.1.1を平易な表現で説明すれば演算 とは,集
合 κ の任意の2つの 元の組み合わせ に対 して,κ
の元 を 1つ 定めることである。定義2.1.1の 中では,そ
の対応 をφで表 した。つまり,α,b∈
Kに
対 して,φ(α,b)∈ κ が対応す ることとなる。演算 は,写
像 の形ではな く,例
えば *と いった よ うな演算記号 を用いて,φ(α,ろ)を α*bと い うように表す ことが多い。例 えば2+3=5と
い う式は,N上
の演算である加法 に関す る式 を示 してい る。つ ま り,加
法で は,2と
3と い う組 に対 して5が
対応す る。 この よう にNの
任意 の2つ
の元 の組み合わせ に対 して,Nの
1つの元 を定 める対 応 を とっているので,加
法 も写像 と考 えることがで きる。 定義2.1.2集
合Kに
対 して,κ
上の2つ
の演算十と ゛があるとす る1。 κ とκ 上の演算が次 の7つ
を満たす とき,Kは
体である とい う。1.集
合Kの
任意の元 α,ら に対 して,α+b=b+α
,α ・b=ろ
・αと なる。(交換法則)2.集
合Kの
任意 の元 α,b,cに
対 して,(α+b)+C=α
+(b+C),
α。(b・ C)=(α・b)。 Cとなる。(結合法則) 1定 義212で
は,κ てい る。 よって,“ 十", を数の集合に限定せず,ま ずは抽象的な一般の体について述べ “・"は必ずしも通常の数の加法・乗法とは限らない。3.0で
表 され る特 別 な元 が κ 内 に存在 し,任
意 の α∈κ に対 して, α+0=0+α
=α とな る。 この とき,0を
加 法 の単 位 元 とい う。4.0と
は異 な る1で表 され る元 がK内
に存在 し,任
意 の α∈κ に対 し て,α 。1=1・
α=α
とな る。 この とき,1を
乗 法 の単 位 元 とい う。5.集
合 κ の任 意 の元 α,b,cに
対 して,α 。(b+c)=α
・b+α
ocと な る。(分配 法則)6.集
合Kの
任 意 の元 αに対 して,あ
るb∈Kが
存 在 して ,α tt b=0 とな る。 この とき,bを
αの加法 に関す る逆 元 といい,一
αと表 す。7.集
合
K＼{0)の任意の元αに対して
,あ
る
cc Kが
存在して
,αoc=
c・ α=1と
な る。 この とき cを αの乗 法 に関 す る逆 元 とい い,α 1 と表 す。 抽 象 的 に定 義 した上 記 の体 において,成
り立 つ基 本 的 な性 質 を確 認 し て お く。 命題 2。1.3体
κ において,1.加
法 の単位 元 は唯 一 つ で あ る。2.乗
法 の単位 元 は唯 一 つで あ る 証 明1.e,c′
∈Kを
加 法 の単位 元 とす る。 この とき, c=θ +C′ =C′以上より
,体
の加法の単位元は唯一つである。
2.s,メ∈κ＼
{0)を乗法の単位元とする。このとき
, S=S・ S′ =S′ 以上 よ り,体
の乗 法 の単位 元 は唯一つで あ る。 □ 命題 2。1.4体
κ において, 1.α ∈κ を とる。 この とき,α の加 法 に関す る逆 元 は唯一 つ で あ る。2.ν
∈
K＼{0}をとる。このとき
,νの乗法に関する逆元は唯一つで
ある。
証 明 1.ら ,び ∈Kが
αの加 法 に関す る逆元 とす る。 この とき, b′=0+b′
=(b+α
)十b′=b+(α
tt b′)=b+0=b
以上 よ り,体
の各元 αについて,元
αの加法に関す る逆元 は唯一つ である。 2.c,c′∈
K＼{0}が
νの乗法の逆元とする。このとき
, c′ =1・ c′ =(c・ ν)。 ご=C。 (ν・C′)=C。1=C
以上 よ り,体
の各元 νについて,元
νの乗法に関す る逆元 は唯一つ である。 □ これ以降,体
Kを
数 の集合 に限定 して話 していきたい。つ ま り,κ
⊂C
かつ ′ 上 の演算 を通常 の数 の加法 と乗法に限定す る。そのため,以
後 は 乗法の演算記号 を省略す る等 の一般的な記法 を用いる。 この ように κ を 数の集合に限定すれば,定
義2.1.2のい くつかの条件 は必然的に成 り立つ。 よって,κ
⊂Cか
つ演算 を数 の加法 と乗法 に限定すれば体 の定義 は次 の ようになる。 定義 2。1.5Cの
部分集合Kが
次 の4つ
を満たす時,κ
を体 とい う。1.Kの
任意の2つの元の和 と積 は,Kの
元 になる。この とき,集
合 κ は加法,乗
法で閉 じているとい う。2.Kは
,0,1を
含む3.KDα
な らば,一
α∈K
4.K＼
{0}∋αならば
,α l∈κ
Cの
部分集合 として,C⊃
R⊃
Q⊃
Z⊃
Nと
いった集合がある。Zと
Nは ,乗
法 に関す る逆元 を含 んでいないのでZと
Nは ,体
ではない。 ま た容易に確 かめ られ るようにQは
体 となっている。実 は,次
の意味でQ
はCの
中の 最小 の体 である。命題 2.1。
6集
合 κ ⊂Cが
体な らば,κ
⊃Qで
ある。 証明 集合K⊂
Cを
体 とする。 この とき,加
法,乗
法の単位元が κ 内に 存在す る。 つ ま り,0,1∈
κ である。 さらに,Kは
加法 について閉 じて いるので,任
意の η∈Nに
ついて,η=1+…
・+1∈
κ であることか ら,N⊂
κ を得 る。 また,Kの
元の加法 に関す る逆元が κ 内に存在す るの で,任
意の η∈Nに
対 して,一η∈κ となる。このことか ら,Z⊂
Kを
得 る。さらに,Kは
各元の乗法 に関する逆元を含む。つ ま り,任
意の α∈κ に対 して,α 1∈Kで
ある。以上 よ り,任
意 の α,b∈ Z(た だ しα≠ 0)に 対 して,:∈
Kを
得 る。 よって,Q⊂ Kを
得 る。□ 2。
2
体 へ の付加
命題 2.2.1五,〃 ⊂Cが
体 な らば,L∩
L′ も体 で あ る。 証 明L∩
Z′ を集 合Kと
お く。 この とき,L,L′ が0,1を含 む ので,Kも
0,1を含 む。1.任
意 の α,b∈Kに
対 して,α ,b∈L,α
,b∈ L′で あ る。L,L′ は体 よ り,加
法,乗
法 で 閉 じて い るので,α tt b,α・b∈L,α
+ら,α・b∈ L′ とな る。 よって,α +b,α・b∈Kで
あ る こ とが分 か る。 す なわ ち,Kは
,加
法,乗
法 で閉 じて い る。2.任
意 の α ∈Kに
対 して ,α ∈L,α
∈ 」 で あ る。L,L′ は体 よ り, 二α∈L,一
α∈」 で あ るか ら,一
α∈κ で あ る。3.任
意の
b∈ K＼{0)に対して
,b∈
Z,b∈
L′である。
L,L′は体より
,b lcL,bl∈
」 であるか ら,b 1∈
Kで
ある。 以上 よ り,κ
は体である。□ 体 κ ⊂
Cと
鈍,… 。,αれに対 して,体
Z,L′ が共 に κ とαl,…。,αれを含 むな ら命題2.2.1よ り,L∩
」 もKと
αl,… .,αれを含む体 となるか ら,κ
とαl,.… ,αηを含 む体 の うち最小のものがある。 よって次の定義 をお く。 定義2.2.2体
κ ⊂Cと
αl,… ..απ ∈Cに
対 して,κ
と αl,_.・αれ を含 む最小の体 を K(αl,.…・αれ)と表 し,κ
にαl,_..αれを付加 した体 とい う また,多
項式の集合 を表す記号 を導入 してお く。定義
2.2.3集
合K⊂
Cを
体 と し,″ は不定 元 とす る。 この とき,κ
係 数 の ″に関す る多項 式 の集合 を κ[″]と 表 す。また
,K係
数多項式∫
(″)=α
o+αl″+…・
+αれ
″
れに対して
,αO,α l,.… ,αれ
の中に
0で
ないものがあれば
, mαπ
{'lαづ≠
0}を∫
(π)の次数といい
deg∫(")で表す。もしもα
。=… ・
=α
η
=0な
らば
, deg∫(″)=∞
とする。
体 κ ⊂C,α
cCに
対して
,κ
にαを付加した体は実際次のように表
すことができる。
定理 2.2.4体
K⊂
Cと α∈
Cに
対して
,KO={粥
FO,gO∈
κ
回
,90≠
0}
証明E={妾
雰 ￨∫。),力
)∈K回
,gい)≠0}と
お く。 1・ K(α )はKの
元 とαを含み,加
法,乗
法で閉 じているか ら,任
意の ∫(″)∈ K["]に ついて∫(α)を含む。さらに,乗
法に関する逆元を含む ので,∫(z),g(π )∈ κI″]に対 して,器
を含む (ただし,g(α )≠ 0)。 よって,κ
(α)⊃Eで
ある。2.Eが
体であることを示すことができれば, K(α)は,κ
とαを含む 最小の体であることより,K(α
)⊂Eで
ある。 つま り,Eが
体であることを示せば証明は完 了する。そこで,Eが
体で あることを以下に示す。以下 ス(χ),3(π),σ(π),D(″)∈ κ[π]とする。L晏
8,3器
∈
Eと
おくと
, ユ 」 。2旦
=B(α
)'(α )∈ β ス(α)θ
(α)
ス(α)σ(` である。つ ま り,Eは
乗法で閉 じている。2晏
3,38∈
Eと
おくと
,器
+器 =型
鵠譜Ш ∈
E
で あ る。 つ ま り,Eは
加 法 で閉 じてい る。3.0=♀
∈
E,1=:∈
Eで
ある。
4.最
霧∈
E(・
(α)≠ 0)に対して
,一
晏
霧
=ず
雰∈
Eと
なる。つま
り,Eの
任 意 の元 に対 して,そ
の元 の加法 に関す る逆元 をEは
含 む。5.器
3∈
F＼{0}に対 して,端
∈Eつ
ま り,E＼
{0}の任 意 の元 に対 して,そ
の元 の乗 法 に関す る逆元 をEは
含 む。 以 上 に よ り,Eは
体 で あ る。2.3
代数拡 大
Q6α
)は,非
分
(ただし
,ル
),gO)∈
Q回
,g(ψ
)≠の の形の元の集
まりである。しかし
,侵
う)2=2∈
Qな
ので
,∫(″),θ(″)としては高々
1次式を考えれば十分である。つまり
,90={器
卜
は ¨ 弓
となるが,い
わゆる “有理化"に よ り,器
=躙
×
剛
=魏
+癖
ψ
だ か ら,実
際 に は “有理 式"は 不要 でQ(ψ
)={α
+bψ
lα,に
Q}
となる。つま り,Q(ν
り)はQ係
数のvり に関する多項式の集合 となるこ とが分かる。 これは,vり
がQ上
“代数的"であることに起因する。そこ で,以
下,代
数的について定義する。 定義2.3.1体
κ ⊂C,α
∈Cに
対 して,α が κ 上代数的であるとは, ∫(α)=0を
満たす ような,恒
常的に0で
ない多項式 ∫(″)∈ K[″]が存在 することである。 また,αcCに
対 して,α がQ上
代数的な ときは,単
にαが代数的であるともいう。また,α が
K上
超越的であるとは αが κ 上代数的でないことをい う。 つまり,αが κ 上超越的であるとは,0と
は異なる任意の ∫(″)∈ κ国 に 対 して,∫(α)≠ 0とい うことである。αがQ上
超越的であることを単に αが超越的であるとい う。K上
代数的な元 αに対 して,α を根 にもつ κ 係数の多項式は,い
くら でも考えられる。そのような多項式の うち,最
も次数の低い多項式が重 要である。 定義2.3.2体
κ ⊂Cと
する。∫(″)∈ κ[π]がモニ ックであるとは,∫(χ) の最高次の係数が 1で あることをい う。 定義2.3.3体
κ ⊂C及
び,α ∈Cに
ついて,K上
代数的な とき,α を 根 にもつK係
数のモニ ックな多項式の うち,最
も次数が低いものをαの κ 上の最小多項式 とい う。 以下最小多項式について考察するために多項式に関わる用語 をい くつ か用意する。 定義 2。3.4κ
係数の多項式 ∫(″)が
κ 上既約であるとは,g(″),ん(″)∈κ[″]について ∫(″
)=ク
(″)× ん(")ならばdeg θ(″)=oま
たはdegん(")=0
となることをい う。 定義 2.3.5∫ (")を κ係数多項式とする。∫(″)がκ 上可約であるとは
,1
次以上の κ 係数多項式g(″),ん(χ)をつかって ∫(π)=θ
(″)× ん(")と表せ ることをい う。 定理2.3.6体
κ ⊂C及
び,αcCに
ついて,αが κ 上代数的 とし,∫(″) をαの κ 上の最小多項式 とする。 このとき,∫(″)は κ 上既約である。 証明 ∫(″)が κ 上可約であると仮定 して,∫(″)=ク
(″)ん(")と お く。た だ し,g(χ),ん(″)は,1次
以上の κ 係数の多項式である。∫(″)は αの だ 上の最小多項式だったので,∫(α)=0で
ある。 よって, ∫(α)=g(α
)ん (α)=0
となる。 このとき,g(α)=0ま
たはん(α)=0で
ある。いま,g(α)=0と
しても一般性 を失わない。このとき,g("),ん(″)は,1次
以上の κ 係数の 多項式だか ら,ク(χ)は αを根 にもつ ノ(″)よ り次数の低い多項式 とな り,g(″)をその最高次係数で割れば
,モ
ニ ックともなるので,∫(″)が αの最 小多項式であることに矛盾する。以上 より,ノ(π)は κ 上既約であること が分かる。□ 定理
2.3.7体
κ ⊂C及
び,α ∈Cに
ついて,αがK上
代数的 とする。さ らに,恒
常的に0で
はない ∫(″)∈ K[″]を考え,∫(″)は αを根 にもつ既 約でモニックな多項式 とする。このとき,ノ (")は αのK上
の最小多項式 である。 証明 仮に,∫ (z)が αの最小多項式でないとすると,∫(″)よ りも次数が 低い最小多項式があることになる。それをθ(")∈K回
とお く0こ
こで, g(″)は αを根にもつから,定
数ではない。さらに,多
項式の除法によって,∫
(″)=ク
(Z)×p(″)+r(″) (2.1)とする。ただし
,p(″),r(″)∈ K[″l,deg r(")<deg g(・ )とする。また
,∫
(")はκ上既約より
,∫(″)より次数が低 く
,定
数ではないκ
I″]の元で
割 り切れることはないので
,γ(")≠ 0を得る。さらに
,式
(2.1)に"=α
を代入すると
,∫(α)=ク
(α)× p(α)+γ(α)=0で
ある。また
,g(α)=0
であるから
,γ(α)=0を
得る。以上から,r(")≠
0と r(α)=0よ
り
, 1≦ deg r(″)<deg g(π )を得る。つまり
,g(″)がκ上の最小多項式であ
ることに矛盾する。このことから
,∫(χ)はαのκ上の最小多項式である。
□
定義 2。3.80で
ない多項式 ∫(″),θ(")∈ K[″]について,∫(χ)と g(")の 両方をわ りきるK上
のモニ ックな多項式のうち,次
数が最も高いものを gCd(∫(″),g(χ))と記す。 定理 2。3.90で
ない多項式∫(%),ク(χ)∈ κI″]について,gcd(∫(Z),g(π))=
1ならば
,p(χ),9(χ)∈ζ
[χ]が存在し
,∫(″)×p(Z)+θ
(″)× 9(″)=1と
な る。この定理
2.3.9の証明は
,こ
こでは述べない。例えば
,p]を
参照のこと。
κ に αを付加 した体 K(α )に ついて は,定
理2.2.4で記 したが,上
記 の 最 小 多項 式 の考 え を用 い る と,α が代数 的 とい う条件 が与 え られ た とき κ(α)は 次 の よ うにな る こ とが示 され る。定理 2。
3.10体
κ ⊂C及
び,α ∈Cに
つ いて,α が κ 上代数 的 とす る。さらに
,∫(″)∈K回
をαの
K上
の最小多項式とし
,∫(″)の次数はηと
する。このとき
, K(α)={α
o+α
lα
+―
・
+αη
lαη
llαを∈ス
1
とな る。 証 明 定理2.2.4よ り,●・
動
(2.o と表す ことができる。 K(α )の任意の元 器 が式(2.2)の右辺に含 まれ ることを示 してい く。 まずP("),9(″ )を ∫(χ)で割 って,p(")=∫
(″)g(″)十 pl(″) (2.4)
g(″)=∫
(χ )θl(")+91(") (2.5)
とする。ただ し,pl(″),91(″)∈ κ[″]と し,degPl(π),deg 91(χ)<η
であ る。 これ らにπ=α
を代入すると, p(α)=∫
(α)g(α)+pl(α)=pl(α) 9(α)=∫
(α )ク1(α)+91(α)=91(α) とな る。 以 上 よ り, p(α) Pl(α) 9(α) 91(α) となる。 また,式
(2.5)に おいてdeg 91(″)<
約 よ り,gcd(∫(χ),91(Z))=1と
なる。 この と ,S(″ )∈ K[″lを用いて,∫
(π)ι(″)+91(")S(″)=1
●
.つ が成 り立つ よ うにで きる。式(2.7)に ″=α
を代入す る と,91(α)S(α)=1
となり
,両
辺に無器をかけると
,κ
O={器
FO,90∈
κ
回
,gO≠
0}
0・の
2で
あ り,∫(″)は κ 上既き
,定
理2.3.7よ り,ι(″)とな る。 こ こで さ かつrl(χ)∈ κ[″] る と, 曖・助
=α
を代 入すν
l(α)S(α)=∫
(α)r(α)+rl(α)=γ
l(α) (2.lo 以上 よ り,式
(2.6),(2.8),(2.10)か ら,器
=器
=・
0く
の
=・
0
を得 る。 この ことか ら,κ
(α)の 任意 の元 は η-1次
式以下の κ 係数 の αに関する多項式であるから
,κ
(α)⊂ {αo+αlα
+…・
+αれ
_lαれ
1 1α
O∈κ
} で あ る こ とが分 か る。 一方,式
(2.3)よ り,K(α
)⊃ {αo+α
l α+…
・+αれ_lα η llαづ∈κ)は
明 らか なので,式
(2.2)が示 され た こ とにな る。□ 次 に
,K(α
)の 元 の表 し方が一意的で あ るこ とを示 す。定理 2.3.11体 κ及び
,CDα
について
,αはκ上代数的で
,∫ (")はα
のκ上の最小多項式
,∫(χ)の次数を
2と
する。このとき
,K(α
)の元を
αO+α
l α+…
・+αη lα れ1 と表 す とき,そ
の表 し方 は一意 的で あ る。 証 明 κ(α)の あ る元 が2通
りに表せ た として, bO+blα+…
・+bπ_lαηl=α
O+α
l α+…
+αη lαn l (2.11)
とお く。 この とき (αo一 bo)+(αl― bl)α+…
・十(αη l― ろπ_1)α πl=0
(2.1の となる。αの κ 上の最小多項式 ノ(")の次数 は2で
ある。仮 に,αO― b0 ,αl―bl,.… ,αれ-1 bη lの 中に,0で
ないものがあれば,式
(2.12)はαを 根にもつ η次未満の恒等的に0で
ない κ 上多項式が存在 して,∫(″)の次 数がηであることに矛盾する。つまり,αO=bO,αl=bl,・ …,αηl=bπ
_1 である。 よって,κ
(α)の元の表 し方は一意中である。□
らに
,Pl(χ)S(″)を∫
(″)で割って
, Pl(″)S(π)=∫
(″)γ(χ)+rl(″) ,deg rl(″)<η
とする。式
(2.9)に "2。
4
体 の 同型写像
定義 2。4.1体
K,κ
′⊂Cの
間の写像9:κ
→ κ′が体の準同型写像であ るとは,Kの
任意 の元z,ν に対 して,次
の2つ り(″・ν)=9(")・
ψ(ν) 9(″ 十 ν)=ψ
(χ)+9(ν) を満 たす こ とをい う。 次 に準 同型 写像 に は どんな性 質 が あ るか を調 べ て い く。 命題 2.4。2C⊃
K,K′ は体 と し,9:κ
→ K′ が体 の準 同型写像 とす る。 この とき,次
が成 り立つ。 1.ソ(0)=0で
あ る。 2.ψ(1)=0ま
た は1であ る。3.9(1)=0と
す る と,任
意 の ″∈Kに
つ いて9(%)=0で
あ る。4.任
意 の "∈ κ につ いて,9(―
")=-9(″
)で あ る。5.9(1)=1と
すると
,ヮ(″1)=7あ
である。
6.9(1)=1と
す る と,9は
単射 で あ る。 証 明1.
9(0)=9(0+0)=9(0)+9(0)
よ り0=9(0)-9(0)=ψ
(0) を得 る。2.9(1)=9(1・
1)=9(1)。9(1)より
9(1){1-p(1)}=0で
ある。よっ
て,9(1)=0ま
た は 1を 得 る。3.9(1)=0と
す る。 この とき,任
意 の ″∈κ に対 して,9(Z)=ψ
(″ 。1)=9(″
)。9(1)=9(")・
0=0
とな る。4. 9(―χ
)+9(χ
)=9(―
Z+")=9(0)=0
よ り, α ―″)=-9(″
)を 得 る。9(1)=1と
す る。0と 異なる z∈ κ について,1=9(1)=9("・
″1)=9(")。9(″ 1) よ り,9(" 1)=満
を得 る。 口(1)=1と
する。π,ν ∈Kの
とき,9(″)=9(ν
)な らば,0=ψ
(″)-9(ν
)=9(")+9(一
ν)=9("―
ν)となる。このとき
,仮
に″―ν≠
0とすると
,9(1)=9{(χ
―ν
)。 (χ―ν
) 1}=9(″
―ν
)。9("―ν
) 1=0。9(″―ν
) 1=0
となる。これは,9(1)=11こ 矛盾する。よって
,"―
ν
=0で
ある
か ら″=ν
となる。以上 よ り,9(")=9(ν
)な らば,z=ν
が成 り 立つので,9は
単射である。 □ 命題24.2で
?(1)=1ま
た は り(1)=0と
な るこ とが分 か ったが,9(1)=
oと す る と りは 自明 な もの とな って しま う。 そ こで,α l)=1と
い う条 件 を含 め た準 同型 写像 を定 義 す る。 定義 2。 4。3C⊃
κ,κ′を体 とす る。Kか
らK′ へ の体 の準 同型 写像9:
κ → κ′の うち,9(1)=1と
な るもの を(体の)中
へ の同型 写像 とい う。定理
2.4.4Q⊂
κ を体とし
,9:κ
→
Cは
中への同型写像 とする。こ
のとき
,任
意の
P∈Qに
ついて
?(p)=pで
ある。
証明
まず任意の
2∈Nに
ついて
, 9(η)=9(1+…
・+1)=ψ
(1)+…・+ψ
(1)=η
となる。 また,命
題2.4.2よ り,9(-1)=-1で
あるので, 5. 6.2。
5
超越拡 大
K⊂
Cを
体 として,χ を不定元 とする。 この とき κ 上の有理式全体 か らなる次 の抽象的な体 を考 えたい。κ
O={器
FO,gO∈
κ
回
,θO≠
0}
ただし
,K(″
)の元粥 と多分について∫
(″)・ g′(″)=∫
′
(″ )θ (″)のとき
は帰
=多
樹とする。例えば多■とフ
篭≒について
(″2_1)×
(χ2+"+1)=(″
+1)(″ -1)(χ2+″
+1)=(Z+1)(″
3_1)
であるから
,チ
針
=デ
岸市である。
定理 2.5。1上
記 の κ(")上 の加 法 と乗 法 を,光;,:指
すに対 し, η の 数 然 自 た ま﹁
あ
る
。
０
η で ？ ヽ ノ ー′ ． η ユ 思 任 り て な い と つ に□
現
また，
ｏ
′
う
ｏ
討
ス υ て ハ ｌυ ″ ． 一． 一 η 脚 往 ヽ、、 ． ．．︲ ︲ 〓 ′ ′ ノ ．ヮ″″ 一 １ 一 η ∈ ／ １ ＼ ｂ り ヽ ハ ∈ １ α ／ ′ ，０ 一 α 数 理 ヽ鮪
μ
〓 思 任 。 にり
絲
影
橘
彰
釧
れ
よ で と 定 が ＫL粥 +器
=」
踏 器 響
2器
×器
=紫
器
と定めると,K(″
)は体である。 証明 まず,演
算がwell―deinedで
あることを確かめる。そこで ρ(π) P′(")90)ヴ
0)
γ(″) γ′(Z) S(″) S′(″) とする。 このとき, (2.15) であるので, {P(″)S(π)+r(″)g(")}9′(″)S′(")=p(")9′(″)S(″)S′(")+γ(・)S′(″)o(")9′(″) =p′(″)9(")S(χ)S′(″)+r′(″)S(″ )9(″)9′(")={ノ
(")S′(″)+γ′
(″)9′(")}9(")S(″) よ り, p(")S(″)+γ(″)g(″)_p′(″)S′(″)+r′(")9′(″) 9(χ)S(") 9′(″)Sノ(″)を得 る。 つ ま り
,加
法 はwell―de■nedで
あ る。ま た
,式
(2.13),(2.14)の元 に つ い て,式
(2.15)よ り, p(″)9′(″)r(″)Sノ(″)=バ
″)g(″)γ′(″)S(″) よ り,器×
器
=器
×
器
とな り,乗
法はwel卜deinedで
ある。 このように定め られた演算 について 定義2.1.2の各条件 は容易 に確 かめ られ る。□
●・
10
p.1→ ″ ″ σ ＾ Ｓ ” ″ ｐ ｒ 一 一 〓 ″ ″ ヴ ゴ ″ Ｚ η 工 ｒ ｒ ｉ ノ ヽ ︱ 、定理
2.5.2体
κ ⊂C及
び,α ∈Cに
ついて,α が κ 上超越的 とする。ま た,χ を不定元 とし,K(")を
定理2.5.1の体 とする。このとき,9:κ
(")→ K(α )を9皓
需)=卦
計 とお くと,こ
れ は同型写像 となる。 証明 まず,9が
wel卜deinedで
あるかを確かめる。実際,粥
=ナ
暑 ∈ K(″)とすると, ∫(″ )ク ′ (χ)=∫
′ (″)g(″) となる。式(2.16)の χに αを代入すると, 0・1の∫
(α)gノ(α)=∫
′
(α)g(α)を得る。このとき
,αは超越的より
g(α)≠0,ス
α
)≠0な
ので
,需=
滞為
,Ni:,衡
ell denne任ぉ
ュ州
=
9(器
+器
)=9(バ
→
D°
+30θ
O)
A(α)D(α)+3(α
)σ(α) B(α )D(α)=場 +器
=9(各
議))+ψ (3需
))ψ
(1+:}×
lg:3)=ψ
(棚
)
=場
×
器
=9(鵠
)×
9(器
)
よって,9は
中への同型である。 また κ(α)の 元 は,必
ず 妻計 と表 さ れ るので,明
らかに全射である。 以上 よ り,ヮ は同型写像である。□
2。
6
体 の可算性
集合χ について直積集合
Xれとは
,Xの
η個の元の組の集合のことで
,つまりχπ
={(αo,α l,.… ,αれ
1)lαo,α l,.… ,απ
_1∈X}で
ある。集合χ
が可算であるとは,Xと
Nの
間に全単射があることであるが,こ
れに関 して,次
の結果 は基本的である。 定理2.6.1 1.集
合Xが
可算 な らXπ も可算。2.集
合Xl,X2,X3,…
・が可算な ら∪為
づ=1 も可算。3.R,Cは
可算でない。 定理2.6.1については例 えば,I」 を参照。 定理 2.6。2C⊃ Kが
可算な体 な らば,任
意 の α∈Cに
対 して,K(α
)は 可算である。 証明 αが代数的である場合 と,超
越的である場合 に分 けて考 える。 1.α が代数的な とき,α のK上
の最小多項式の次数 を ηとす る。 この とき,κ
(α)の 元は,αO"αl,.… ,αη l∈ κ を用いて,α。+αl α+
・…+απ_lαη1と意
的に表 され るので,κ
(α)と κつの間に全単射 があることがわかる。Kが
可算だか ら,定
理2.6.1よ り,κ
れも可算 で K(α )も 可算。 2.α が超越的な とき,定
理2.5.2よ り,K(")か
らK(α )へ の写像 は全 単射であるか ら,κ
(")が 可算であればよい。名
={帰
∈
KOト
ノ
0,“
ggO≦
ち
gO≠
0}
とす るとれ の元 は有限個 の係数で定 まるか ら定理2.6.1よ り可算。 よって,
K(″
)=∪
χ
う=1
□ 定理 2.6。
3C⊃
Kを
体 と し,さ
らに κ は可算 とす る。 この とき,A={Z C CIZは
κ 上 代 数 的 } は可算である。 証明乳
={Z∈
CIZは
κ係数
,次方程式の解となる
} とす る。各 κ 係数 を次方程式についてその根 は高々づ個であ り,さ
らに κ 係数 ,次 方程 式 は,(づ+1)個
のKの
元で定 まるか ら,れ
は可算である。 よって,A=∪
A` を=1 も可算である。□ 系 2.6。
4C⊃
Kは
体 とし,さ
らにKは
可算 とす る。 この とき,κ
上超 越的な元 α∈Cが
存在す る。 証明Cは
非可算である。一方,κ
上代数的な元の全体 は可算だか ら,C
全体 ではない。 よって κ 上超越的な元 α∈Cが
存在す る。□
第
3章
分割 のための必要条件
第2章
で は,体
について考 えて きた。第3章
の3.1∼3.2節 は体 の同型 の拡張の存在 を示す,定
理 3.2.2,定 理3.2.3の証明のために費や され る。 これが既知であれば3節
か ら読 み進めても良い。 3。l Qか
らの同型の拡張
まず,体
の同型の拡張 とい う言葉を定義する。 定義 3。1.lκ ,Lは Cに
含 まれる体で,κ
⊂Lと
する。また,9:κ
→C
とΦ:L→
Cは
体の中への同型 とする。 このとき,Φ
が りの拡張である とは,任
意の α∈Kに
対 して Φ(α)=9(α
)が成 り立つことをい う。 例3.1.2定
理2.4.4よ り,Qか
らCへ
の写像 りが中への同型であるとき, 任意の α∈Qに
対 して,9(α)=α
であつた。 このとき,り の拡張 Φ:Q(νC)→ Cに
ついて調べる。 Q(νC)の
任意の元 ぃだ+b(α,b∈Q)を
Φに代入すると Φ(αντ+b)二
Φ(αν5)十 Φ(b)=α ×Φ(Vτ)+ろとなる。つまり
,Φ ttC)の
行き先によってΦは全て決まる。
また
,3=Φ
(3)=Φ 6ξ
×
7⊃
=Φ
(∼C)2ょ
り
,Φ(vτ)=土
v雹となる。
1.Φ6C)=ャ
eの とき
,α ,b∈Qに
対してΦ
(αャ
ξ
+b)=α
∼
有
+bで
あ
り
,Φ
:Q(V3)→
Cは
包含写像で明らかに体の中への同型である。
2.Φ∝
C)=―
∼
Cの
とき
,α,b∈Qに
対してΦ
(αャ
ξ
+b)=―
αν
ε
+b
となる。このときα
,b,c,α∈
Qに
対して
, Φ(αV写十 ろ 十 Cν写+α )=― αν τ +b一 Cν3+α=Φ
(αν写+b)+Φ
(Cν /5+α )Φ((αν写+b)(Cν/τ +α
))=Φ
(3αc+bα +(α α+bC)ν τ) =3αc+bα ―(αα+bC)ν 写 =(一αν5+b)(―
CVτ +α) =Φ(αντ+b)Φ(C∼ /τ +α ) であるか らこの場合 も Φは体 の中への同型である。以上 よ り,Φ
ttC)を 土ν雪の どち らに指定 しても,Φ
は りの拡張である。 上記の ことを一般化す ると次 の定理 3.1.3,定 理 3.1.5が 得 られ る。 定理3.1.3CDα
を κ 上代数的 とし,α のK上
の最小多項 式 を ∫("), またdeg∫(″)=2と
す る。 この ときκ か らCへ
の包含写像 の拡張 となる9:κ
(α)→
Cは
たかだか η通 りである。 証明 包含写像 の拡張 となる K(α)からCへ
の中への同型写像 を り とお く。K(α )の 任意の元 αO+α
l α+・…+αη_lα π1(α
。,…・,αη l∈K)
に対 して, 9(αo+α
l α+…
・+αれ_lα ηl)=9(α
o)+9(αl)ソ(α)+…
・+9(αη l)9(α21)
=αO+α
lψ(α)+・ … 十 αη-19(α)η 1 とな る の で,9(α )が決 ま れ ば,写
像 り が 決 ま る。 こ こ で,∫(χ)=Co+
Cl″ 十・…+χπ(CO,…・,ら-lCK)と
す る と,∫ (")はα の κ 上 の 最 小 多 項 式 よ り, ∫(α)=α
π tt Cη_lα ηl+…
・+Cl α+CO=0 (31)
さらに,式
(3.1)の値 をりに代入すると, 9(αつ十 ら lαπl+…
°十CO)=9(0)
よ り, 9(α)π +Cれ-19(α)つ1+…
・+CO=0
となる。つまり,9(α)は ∫(″)=0の
根である。∫(″)=0の
根 は高々η個 であるか ら9は
高々η通 りある。□
例3.1.2に登場 した 土
vTは
どち らもQ上
の最小多項式が"2_3=0で
あ り,こ
のようなとき,土
ν官はQ上
共役であるとい う。そこで,共
役 と いう言葉の定義をきちん としてお く。 定義3.1.4C⊃
κ を体 とし,α,β ∈Cと
する。α,β が κ 上共役である とは,α とβが共にκ 上代数的で,α とβのκ 上の最小多項式が一致す ることをい う。 定理3.1.5C⊃
Kを
体 とし,α,βcCは
κ 上共役であるとする。 この とき,Kか
らCへ
の包含写像の拡張 ψ:K(α)→
Cで
,9(α)=β
をみた すものが存在する。 証明 αの κ 上の最小多項式を ∫(″)と し , deg∫(π)=η
とする。定理 2.3.10に より,κ
(α)の任意の元zは
,z=α
O+α
l α+…
・+απ lα π l(α じ∈K)
と一意的 に表せ る。 この ときり:K(α)→
Cを
,9(Z)=α
o+α
lβ+…
・+αりlβれ 1 と定 める。 この ように定 めた りが中への同型であれ ばよい。1.9(Z+υ
)=9(Z)+9(ω
)と なることを示す。κ(α)∋ Z,υ に対 して,z=α
O+αl α+…
・+αη lα π1,W=bO+ろ
lα+…
・+bっ lαη l(3.2) とお くと,9(Z+υ )=9(α
o+α
lα+―
・+αη lαれ1+bO+blα
+…
・+bη lαπ 1) =9((αo+bo)+(α
l+bl)α +(α2+b2)α2+…
.+(α π_1+bπ_1)αη1) =(αo+bo)+(α
l+bl)β +(α 2+b2)β2+…
.+(α η l+bn l)βη1 =(αo+α
lβ+―
・+απ_lβηl)+(bo+blβ
+…
・+bπ lβ つ1)=9(αo+α
l α+…
・+απ lα れ1)+9(bo+blα +…
・+bπ lαπ l)=9(Z)+9(υ
)2.K(α
)の 任 意 の元z,り に対 してz=α
O+α
lα+…
・+απ lαη 1, υ=bO+blα +…
・+られ_lαη lとし,θ("),ん(χ)∈ κ[″]を g(″
)=α
o+αl"+…
・+αれ_1"れ1,
ん(")=bo+bl"十
…・+われ_1″π 1とおく。このとき
,g(")×
ん
(")を∫
(")で割ったときの商と余 りを
それぞれ
p(″ ),r(χ )∈K回
とする。つまり
, g(")×ん
(π)=∫
(")× p(″)+γ(")(deg r(″)<η
) (3.3)
とする。式
(3.3)の″にαを代入すると
, z×υ
=g(α)×ん
(α)=∫
(α)× P(α)+r(α)=r(α
)以上より
,9(z・υ
)=9(r(α
))=γ(β)である。一方で
, 9(Z)・9(υ)=9(g(α
))・9(ん(α)) =g(β)・ ん(β)=∫
(β)p(β)+r(β) =r(β) となる。以上 より,9(z・ り)=ψ
(Z)・9(υ)を得 る。 つまり,9は
中への同型である。また定め方により明 らかに,任
意のPcK
に対して
,90)=Pで
ある。
□
3.2 -般
の同型の拡張
実 際 に は体K⊂
Cに
対 して,κ
か らCへ
の包 含 写像 で はな く,κ
か らの 中へ の 同型 ψ :κ →Cを
拡 張 す る こ とにつ い て考 えた い。 そ こで, 次 の命題 を用 意 す る。 命題 3.2。1体 K⊂
C及
び 中へ の同型9:K→
σ に対 して,K[π]→ CI"] とい う対 応 を κ[χ]∋ g(χ)=α
mχれ+απ_lχπ 1+・ …+α0 に対 し θ(″)=9(α
m)"れ +9(αれ1)″ け1+…
・+9(α o) と定める。 この とき,g("),ん(")∈ κ[″]に対 して,次
の 2つ が成 り立つ。1・
た
(")=g(″)+ん
(″)とするとた
(″)=θ
(")+ん(″) 2.:(″)=g(″
)×ん
(″)とすると
'(″)=θ
(″)×λ
(″)証明
deg g(Z),deg∫ (Z)≦Ⅳ とする。
1.ク
。
)=Σ
Qノ
づ=0 Ⅳん
0)=Σ
bづノ
づ=0 Nた
0)=gO)+ん
0)=Σ
Q″ う=0 とお くと,cぅ =αづ+bこ であるか ら,ん
。
)=Σ
9侮
)ノ=Σ ぼけ ら
の
が
,=0 0=0 N Ar=Σ ψ
侮
)が十Σ
9侮
ン
`=O j=0 =θ (")+ん(″) を得 る。 g。)=Σ
%ノ
じ=0 Nん
。
)=Σ
bをノ
00
じ=0 2rfι
O)=gO)ん
0)=Σ
銑
″
づ=0 とお くと,α
づ
=Σ α
た
bづん
ん=0 (3.→ 2.であるか ら,
わ =Σ
9￠
ン
を=0
2ハ″ づ
=Σ
E(ΣEりした
わ
じ
一
a)タを=0 た=0 2♪√ j
=Σ
(Σ
り
しのワ
餓―
の
)が ,=0 ん=0 N N=(Σ
9幌
ンリ×
(Σ
90)″
つ
j=0 じ=0 =θ(")× ん(″) を得 る。 □ 上記の命題 を使 って,次
の定理 を考 える。 定理3.2.2体
κ ⊂Cと
し,写
像9:K→
Cは
中への同型 とし,α ∈C
はK上
代数的 とす る。 この とき,り の拡張 となる中への同型 Φ:K(α)→
C
が存在す る。 証明 αのK上
の最小多項式を ∫(")∈ KI"]と し,deg∫
(π)=η
とす る。 また,∫ (")を ∫(")=″
つ+Cl"れ1+…
・+Cn(Cl,… ・,%∈
κ)と して,命
題3.2.1の対応 によ り∫
(″)=″
π
+9(Cl)"π 1+・…
+9(α
) とお く。 さらに,∫(χ)=0の
解 の1つを β∈Cと
お くOこ
の とき,κ
(α)の 任意 の元z=α
O+α
lα+…
・+α。_lαπ l(α `∈ κ)に 対 して,Φ
(Z)CCを
Φ(Z)=9(α o)+9(αl)β+…
・+ψ
(αれ_1)β れ1 と定める。つ ま り,命
題3.2.1の記号 を用 いれ ば η次未満 のK係
数多 項式P(χ)に 対 して,Φ
(P(α))=p(β)で ある。 この とき,Φ
は,任
意の た∈κ に対 して Φ(た)=9(た
)を みたす。 あ と は中への同型であることを示せ ばよい。1.加
法 に関 して,z,υ
∈κ(α)を z=α O+α l α+… ・+απ_lα η1 υ=bO+blα
+…
・+bη lαηl(α
を,bづ ∈κ) とす ると, Φ(Z十 り) =Φ((αo+bo)+(α
l+bl)α+…
・+(αっ_1+bπ l)α π1)) =9(αo+bo)+9(α
l+bl)β+…
・+9(α五_1+bれ_1)βれ1 =9(αo)+9(αl)β +・ …+9(απ_1)βれ 1+9(bo)+9(bl)β +…
・+9(bη_1)βπ1 =Φ(Z)十 Φ(り) となる。2.乗
法 について考 える。z,υ ∈K(α)をz=α
O+α
l α+・ …+απ_lα η1 υ=ろ。+blα +・ …+bη_lαれ二1(c,b`∈
〃f) として,ク(″),ん(χ)∈ KIχ]をg(")=α o+α
lπ+…
・+απ_1"π 1 ん(")=bo+blχ
+…
・+bη l"れ 1(αを,bを ∈K)
とお く。このとき,g(χ)。 ん(")を∫(″)で割ったときの商 と余 りをそ れぞれp(″)∈ K[π l, r(χ )∈ KI″](deg r(″)<η
)とすると, g(″ )。 ん(″)=∫
(″)p(")+r(″) と表すことができる。 このとき z・ υ=g(α)ん (α)=∫
(α)p(α)+r(α)=r(α
)であ り
,上
式の値 を Φに代入す ると, Φ(Z・ υ)=Φ
(r(α))=′(β) を得 る。一方,命
題3.21よ り 0(″)× ん(")=∫
(")p(″)+′(″) であるか ら, Φ(Z)Φ(ω)=Φ
(g(α))Φ(ん(α))=θ(β)×ん(β)=∫
(β)p(β)+′(β)=′
(β)となり
,Φ
(z)Φい)=Φ
(Zり)を得る。以上によりΦはりの拡張とな
る 中 へ の 同 型 で あ る こ とが 分 か った。 □ 定理3.2.3κ
⊂Cを
可算な体 とし,9:K→
Cを
中への同型 とす る。 ま た,α ∈Cは
κ 上超越 的 とす る。 この とき,り の拡張 Φ :κ(α)→
Cが
存在す る。 証明Imp=κ
′⊂Cと
す る と,容
易 に示せ る ように κ′も体であ り,9:K→
K′ によ りKと
κ′は同型である。い ま,″ を不定元 として,κ
上の有理式の体K("),K′
上の有理式の体Kノ(χ)を 考 える。命題3.2.1の 記号 を用いて φ:K(″)→
K′(″)をκ
O∋
器 げ
ω
,gO∈ K向
,θO≠
の
に対 し φ
(器 )=器
と定めればこれも同型写像 とな り,κ
(″)と K′(″)も 同型である。つ ま り, κ(χ)等 κ′(") (3.6)
である。いま,κ
が可算なので κ′も可算であるから,系
2.6.4よ り,K′ 上超越的な元 βcCが
存在する。 このとき,定
理2.5.2よ り K(α)堅 κ(χ),K′(″)竪 K′(β) (3.7)
であるので,式
(3.6), 式(3.7)の同型を与える同型写像 を合成 して Φ:κ(α)与
K(Z)ら
K′(")与 K′(β)⊂C
を考えればK(α)か らCへ
の りの拡張が得 られる。□
3。
