)を
タイ リングすることを考 える。 これは,R(:υ) のタイ リングとR(3汁
夢
)の
タイ リングを横 に並べてつなげるこ とで得 られれ ま現R(義
縦
:横=:鶴 +ま )に 戸
1の長 方 形
Fa「 鬱 t171iム 亀 鍵 夕 発 ズ ξ
90°回 転 し て 適 当 に 縮
/」ヽ す れ ば
縦 :横
=1::υ =6:%の
長 方 形第
4章
タイ リング可能 で あ るため の必要 十 分条件 54 だか ら,R(υ)を 横 に 1つ,縦
に6つ格子状 に並べて適当に縮小すれタイ リングが得 られ る。
図 4.3:R(z)に よる正 方形 の タイ リング
この よ うに して
,正
の実数 包が定理1.2.4の条件 2を満 たす とき,鶴 の最小多項式が分かれば Rし
)の相似形による正方形のタイリングの具体的
な表示 を求 め る こ とがで きるので あ る。
付 録 A Wallの 定理
付録では
,第
4章で証明せずに残 されたIVallの定理,つ
ま り定理4.1.1の証 明を述べ る。Wallの定理 は
,H.S.Wdlに
よって1945年に示 されたい]。 Wallの定理 は
,実
数係数多項式の解 の実部が全て負 となるための必 要十分条件 を示す定理 である。定理4.1.1は必要条件 の形 に書かれている が,実
はその逆 も成 り立ち,も
ともとは必要十分条件 を与 えるものであっ た。ただ し,そ
の証明には,複
素関数の積分等 も用い られてお り,初
等的 なもの とはいえない。その1年後の1946年には,E.Frankが
Wallの定理を複素数係数の多項式に拡張しているい
]。 (これは ,以 下に示す定理
A.1.1と同等な定理である。)E.Fl・ankの証明もや は り初等的 とは言 えない。
E.Frankの 発表 か ら
43年
後 の1989年にHoustadは,複
素数 を係数 に もつ多項式 に関す るWallの定理 の初等的な証明を発表 した 降]。 HOustad の証 明は,非
常 に繁雑 で はあるものの,基
本的には単純 な計算 と数学的 帰納法 によ り複素数係数 の多項式に関す るヽヽrallの定理 を示す もので,そ
こか ら実数係数 の多項式に関す る
Wdlの
定理 を導 くことがで きる。 この 付録では,Houstadの
初等的な証明方法 に沿 ってWallの定理 の証明を解 説す る。A。
1 複素数係数多項式 に関す る Wallの 定理
複素数 を係数 にもつ多項式に関す るWallの定理 は次 の通 りである。
定理 A.1。
1複
素数 を係数 に持つ多項式P(″
)=χ
π+αl"η l+α2χπ2+…
.+απ
に対して ,P(ω )=0を 満たす任意の元υ cCは 全て Reい )<0と する。
付 録
A pvallの
定理 このとき,S(π
)=″
れ+ν
η m(αl)"η l+Re(α2)″π
2+ν
=llm(α3)″れ3+Re(α
4)″η4+.…
ι
(χ)=Re(α
l)χη l+ャ
/‑llm(α2)χ
π
2+Re(α3)″
π3+ν仁可
Im(α4》′
4+.…(A.1) とお くと,
56
(A.2)
(V町
t2+α2″)+
・・十
ν笥 ιっ+αれ″
とな る実数 ιを∈
R,α
バ R十 (を=1'…
・,η)が存在す る。式 (A.1)は 一見すると複雑な式に見えるが,s(π)はP(″)の η次 ,η
‑2
次,η
‑4次 ,̲.の
項 についてその係数か ら実部 のみ取 り出 し,η‑1
次,η
‑3次 ,2‑5次
,… .の項 についてその係数 か ら虚部 のみ を と り 出 した式 となっている。逆 にt(″)は ,η‑1次
,η‑3次
,η‑5次
,… .の項 についてその係数か ら実部 のみを取 り出 し,η
‑2次
,η‑4次 ,̲
の項 についてその係数 か ら虚部のみを取 り出 した式 とな ってい る。故 に P(")=S(″)+ι(″)が 成 り立っている。仮 にP(χ)が 実数係数の場合 を考 え ると
,係
数 に虚部がないので,式
(A.1)は,定
理4.1.1の 式(4.1)の s(″), ι(χ)に 一致す る。まず
,次
の定義 を してお く。定義 A.1。
2複
素数 を係数 に持つ多項式P(″
)=″
η+αl″つ1+α2"π2+…
.+αれ に対 して
,式
(A.1)と 同様 にs(χ),t(″)を定 め,
ドキュメント内
相似な長方形による正方形のタイリングについて ： 体論の素朴な図形問題への応用として
(ページ 54-57)