分割 のための必要条件

第2章で は

,体

について考 えて きた。第

3章

の3.1〜3.2節 は体 の同型 の拡張の存在 を示す

,定

理 3.2.2,定 理^3.2.3の証明のために費や され る。

これが既知であれば3節か ら読 み進めても良い。

3。

l Qか らの同型の拡張

まず

,体

の同型の拡張 とい う言葉を定義する。

定義 ^3。

1.lκ ,Lは Cに

含 まれる体で

,κ

⊂Lとする。また

,9:κ

^→

C

とΦ

:L→ Cは

体の中への同型 とする。 このとき,Φ _{が りの拡張である} とは

,任

^{意の α∈}

Kに

対 して Φ(α

)=9(α

)が成 り立つことをい う。

例 3.1.2定理^2.4.4よ り

,Qか

^ら

^Cへ

の写像 りが中への同型であるとき^, 任意の α∈

Qに

^{対 して,9(α}

)=α

^{であつた。}

このとき,り の拡張 Φ^:Q(ν

C)→ Cに

^{ついて調べる。}

Q(ν

C)の

任意の元 ぃだ+b(α,b∈

Q)を

^{Φに代入すると} Φ_(αντ

+b)二

Φ_(αν5)十 Φ_(b)=α ×Φ_(Vτ)+ろ

となる。つまり

,Φ ttC)の

行き先によってΦは全て決まる。

また ,3=Φ _{(3)=Φ 6ξ} ^×

^7⊃

^=Φ

(〜C)2ょ

り

,Φ_(vτ

)=土

^v雹

となる。

1.Φ

6C)=ャ ^{eの とき}

^{,α ,b∈}

^{Qに 対してΦ}

^(α

^{ャ ξ +b)=α} 〜 有 +bで ^あ

り

,Φ

:Q(V3)→ Cは 包含写像で明らかに体の中への同型である。

2.Φ

∝ C)=― _〜 Cの とき

,α,b∈

Qに ^対してΦ

^(α

^{ャ ξ} +b)=― αν ε +b

となる。このときα

,b,c,α

∈ Qに ^対して

^,

Φ_(αV写十 ろ 十 Cν写+α )=― ^{αν τ} +b一 ^Cν3+α

=Φ

(αν写

+b)+Φ

_(Cν^/5+α)

第3章

 

分割 のた め の必要条件

Φ_((αν写+b)(Cν^/τ +α

))=Φ

(3αc+bα +(α α+bC)ν τ)

=3αc+bα ―_(αα+bC)ν 写

=(一αν

5+b)(―

^CVτ +α₎

=Φ_(αντ+b)Φ_(C〜^/τ +α)

であるか らこの場合 も Φは体 の中への同型である。以上 よ り,Φ_ttC)を 土ν雪の どち らに指定 しても,Φ _{は りの拡張である。}

上記の ことを一般化す ると次 の定理 3.1.3,定 理 3.1.5が 得 られ る。

定理

3.1.3CDα

を κ 上代数的 とし,α ^の

K上

の最小多項 式 を ∫("), またdeg∫_(″

)=2と

す る。 この ときκ か ら

Cへ

の包含写像 の拡張 となる

9:κ

(α)→

Cは

たかだか η通 りである。

証明

 

包含写像 の拡張 となる K(α)か^ら

Cへ

の中への同型写像 を り とお く。K(α )の 任意の元

α

O+α

^l α+・…+αη^̲lαπ

1(α

。^,…・^,αη l∈

K)

に対 して,

9(αo+α^l α+…・+αれ^̲lαη l)=9(α

o)+9(α^l)ソ(α

)+…

^{・+9(αη l)9(α}

21)

=αO+αlψ(α)+・ … 十 αη‑19(α)η

1

とな る の で,9(α )が^{決 ま れ ば}

,写

像 り が 決 ま る。 こ こ で,∫_(χ

)=Co+

Cl″ 十・…+χ^π_(CO,…・,ら

‑lCK)と

^{す る と},∫ (")はα の κ 上 の 最 小 多 項 式 よ り,

∫(α

)=α

^{π tt Cη̲lαη}

 l+…

_・+Cl α

+CO=0   (31)

さらに

,式

(3.1)の値 をりに代入すると^,

9(αつ

十 ら lαπ

 l+…

_°十

CO)=9(0)

よ り,

9(α)π +Cれ_‑19(α)つ

1+…

_・

+CO=0

となる。つまり,9(α_)は ∫(″

)=0の

^{根である。∫(″}

)=0の

^{根 は高々η個}

であるか ら

9は

^{高々η通 りある。}

       

^□

30

例^3.1.2に登場 した 土

vTは

^{どち らも}

Q上

^{の最小多項式が}

"2̲3=0で

あ り

,こ

^{のようなとき}

,土

ν官は

Q上

共役であるとい う。そこで

,共

役 と いう言葉の定義をきちん としてお く。

定義

3.1.4C⊃

κ を体 とし,α^,β ∈

Cと

する。α,β が κ 上共役である とは,α とβが共にκ 上代数的で^,α とβのκ 上の最小多項式が一致す ることをい う。

定理

3.1.5C⊃ Kを

体 とし,α^,β

cCは

κ 上共役であるとする。 この とき

,Kか

^ら

^Cへ

の包含写像の拡張 ψ^:K(α)→

Cで

,9(α

)=β

^をみた すものが存在する。

証明

 

αの κ 上の最小多項式を ∫(″)と し , deg∫(π

)=η

^{とする。定理}

2.3.10に より

,κ

(α)の任意の元zは,

z=α

O+αl α

+…

^・+απ lαπ l(α じ∈

K)

と一意的 に表せ る。 この ときり:K(α)→

Cを

,

9(Z)=α

^{o+αlβ +…・+αりlβれ1}

と定 める。 この ように定 めた りが中への同型であれ ばよい。

1.9(Z+υ )=9(Z)+9(ω

^{)と なることを示す。κ(α)∋ Z,υ に対 して,}

z=α

_O+αl α+…_・+αη lαπ

1,W=bO+ろ

lα+…^・+bっ _lαη l(3.2) とお くと,

9(Z+υ )=9(α

^o+αlα

+―

・+αη lαれ

1+bO+blα +…

・+bη lαπ¹⁾

=9((α

o+bo)+(α

l+bl)α +(α2+b2)α

2+…

_{.+(α π̲1+bπ̲1)α}η¹⁾

=(α

o+bo)+(α

l+bl)β +(α 2+b2)β

2+…

_{.+(α η}

 l+bn l)β^η1

=(αo+αlβ

+―

_・+απ^̲lβη

 l)+(bo+blβ

_+…・+bπ

 lβつ1)

=9(αo+α^l α

+…

・+απ lαれ

1)+9(bo+blα +…

・+bπ _lαπ l)

=9(Z)+9(υ

)

2.K(α_{)の 任 意 の元}^z,り に対 して

z=α

O+αlα

+…

・+απ lαη1, 

υ

=bO+blα +…

・+られ^̲lαη l

第3章

 

分割 のた め の必要 条件

       32

とし,θ_("),ん(χ)∈ κ_[″]を

g(″

)=α

^{o+αl"+…・+αれ̲1"れ 1, ん}

(")=bo+bl"十

^{…・+われ̲1″π1}

とおく。このとき

,g(")×

ん

_(")を

∫

(")で

割ったときの商と余 りを それぞれ

p(″ ),r(χ )∈

K回 とする。つまり

,

g(")×

ん

_(π

)=∫

^{(")× p(″})+γ(")(deg r(″

)<η ) (3.3)

とする。式

(3.3)の

″にαを代入すると

,

z×

υ

_=g(α)×

ん

_(α

)=∫

(α)× P(α)+r(α)=r(α⁾

以上より

,9(z・

υ

_{)=9(r(α))=γ}(β)で

ある。一方で

^,

9(Z)・9(υ)=9(g(α^{))・9(ん(α))}

=g(β)・ ん_(β)

=∫(β)p(β)+r(β⁾

=r(β)

となる。以上 より,9(z・ り

)=ψ

^{(Z)・9(υ)を得 る。}

つまり

,9は

中への同型である。また定め方により明 らかに

,任

意の

PcK

に対して ,90)=Pで ^{ある。        □}

3.2 ‑般 ^{の同型の拡張}

実 際 に は体

K⊂ Cに

対 して

,κ

^{か ら}

Cへ

の包 含 写像 で はな く

,κ

^か

らの 中へ の 同型 ψ :κ →

Cを

拡 張 す る こ とにつ い て考 えた い。 そ こで^, 次 の命題 を用 意 す る。

命題 3.2。

1体 K⊂ ^C及

^{び 中へ の同型}

9:K→

^{σ に対 して,K[π]→ CI"]}

とい う対 応 を

κ_[χ]∋ ^g(χ

)=α

^{mχれ+απ̲lχπ 1+・ …+α0}

に対 し

θ(″

)=9(α

^{m)"れ +9(αれ1)″け}

1+…

_・+9(α

o)

と定める。 この とき,g("),ん(")∈ κ_[″]に対 して

,次

の 2つ が成 り立つ。

1・

た

(")=g(″

)+ん

^(″)と

するとた

_(″

)=θ

(")+ん^(″)

2.:(″)=g(″)×

ん

_(″)と

すると

'(″

)=θ

^(″)×

λ

_(″)

証明

 deg g(Z),deg∫ (Z)≦

Ⅳ とする。

1.

ドキュメント内 相似な長方形による正方形のタイリングについて ： 体論の素朴な図形問題への応用として (ページ 30-34)