に つ
である。次 に
,■
(π)と ん(″)を同時にわ りきる実数係数の多項式は定数 に限ることを示す。あるg(″)∈ 町″]がA(χ )と ん(")を割 り切ると仮定する。このとき
,式
(4.6)よ り
ん(″
)=A(″
)一 Clχん(″) (4.8)
よ り,g(″ )は ん(")を 割 り切 る。 また,
ル(″
)=ん
(χ)一 C2″ん(χ) (4.9)
よ り,g(″ )は A(″)を 割 り切 る。 これを続 けていけば, 九+1(χ
)=九
̲1(χ)一 Cn lχ九( )よ り,g(χ)は 九+1(Z)を 割 り切 ることとなる。つ ま り,g(")は 九+1(″
)=1
を割 り切 るので,g(″ )は 定数である。以上 よ り,
器 は既約な有理式である
ことが分かる。一方
,3が
可約であるとす ると,式
(4.7)の右辺 努8よ
りも次数 の低 い既約 な有理式の表示が存在す るので
,有
理式の既約表示 の一意性 に矛盾す る。以上 よ り,益 雰 も 既 約 な 有 理 式 で あ る
ことが分か る。つ ま り
,有
理式の既約表示の一意性 によ り,{:lil:]:サllil (410) となるた∈
Rが
ある。式(4.8)を た倍 して,式
(4.10)を代入すると,たん(″
)=た
ん(″)一 Cl χ(たん("))=S(π)一 Cl"ι(Z)であ り,deg(たん(″))<deg(ι(″))である。つま り
,cl"は
s(″)を ι(″)で 割った商で,余
りが たん(")である。また,(4.9)を た倍 して,式
(4.10)を 代入すると,たん(″)=ι(″)一 C2"(たん(χ))
であ り,deg(たん(″))<deg(た ん("))である。つまり,c2(″)はι(")を たん(")
でわった商で
,余
りが たん(″)である。以下式(4.6)の下の式を次々と用い れば,たん(″
)=た
ん(")一 C3″(たん(″))ん=た九+1(Z)=た九 1(″)一 Cn l″(たん(″))
第
4章
タイ リング可能 で あ るための必要十 分条件であ り,deg(た ん+1("))<deg(たん 1(″))で ある。つ ま り,づ
=1,…
.,η‑1
についてcβ はたん(")を たん+1(・)で 割った商で,その ときの余 りが たん+2c) である。特 に たん+1(χ
)=た
であることに注意する。これ らは
,全
て多項式の割 り算 を示 していて,始
めのs(″),ι(″)が有 理数係数であるか ら,商
と余 りにあたるものは,有
理数 を係数 にもつ。以 上 よ り,cl,.1.,ら 1∈Q+,た
∈Qで
ある。 また,た 九(")=たCπ″も有理 数係数 よ りcれ ∈Q十 である。 尚,た九+1(″
)=た
たん(")=たら″
であ ったか らた九(″)を た九+1(″)で 割 った商 はcπ″で
,余
りは0とな る。□
上記 の証明は
,Qが
有理数であることを示 しただけでな く,Qの
求め方をも示 している。実際
,上
記 の証明か らs(χ)を ι(")で わ つた商がcl″ で
,そ
の ときの余 りを ι3(″)と お く。ι(")を ι3(χ)でわ つた商がc2″ で
,そ
の ときの余 りを ι4(″)と お く。ι3(")を ι4(")で わ つた商がc3″ で
,そ
の ときの余 りを ι5(″)と お く。ιれ(″)を ιπ+1(χ)で わ つた商がcれ
"で ,余
りが0となる。となってい ることがわかる。
4。
2 タイ リング可能 であるための必要十分条件
定 理4.1.2を 用 いて
,定
理 1.2.4の条件2が
成 り立 つ な らば条件3が
成 り立 つ こ との証 明 を して い く。定理1.2.3よ り,条
件3が
成 り立 つ な らば 条件 1が成 り立 ち,定
理3.3.4よ り,条
件1が成 り立 つ な らば条件2が
成 り立 つ こ とは示 した。 つ ま り,定
理1.2.4の条件2が
成 り立つ な らば条件3が
成 り立 つ こ とが示 されれ ば,定
理 1.2.4の 3つの条件 は必要 十分条件 で あ るこ とが分 か る。定理 4。
2.1%∈
R十 とす る。しが代数 的で,色 とQ上
共役 な複 素数 の実部 は全 て正 で あ る とす る。48
この と き,
1
Cl鶴
+ ●・
11)l
C2Z十 一
一 一 ― 一 一
・・・
+一
1 CりZとなる正の有理数
cl,.…,Cπ∈
Q十が存在する。
証明 しの Q上 の最小多項式を∫
(■)とし
,deg∫(″)=2と する。また
,P(″
)=(‑1)れ ∫
(―″
)とおく。このとき,Wallの 定理を適用するために
,P(z)=0を みたす
z∈Cは Re(z)<0を となることを示す。実際 ,P(z)=
0と す る と ,∫ (― Z)=0だ か ら ,一 zは 包 の 共 役 元 で ,Re(一 z)>0,つ ま
り
,Re(z)<0で
ある。いま,∫(π)の係数 を,
∫(")=χπ+αl″れ1+α
2αれ
2+…
.+απ (αを∈Q) とお く。 このとき,
P(″)=(‑1)π∫(―χ)
=(‑1)π{(―
″
)π +αl(―″
)π 1+α2( Z)η2+.…
+α
η
̲1(一")+αn}=″π― αlχれ1+α
2Zれ 2̲α
3″れ3+.…
とな る が
,こ
のP(")に対 して,S(χ
)=″
れ+α2″π2+α4ππ4+.…
ι
(Z)=―
αl"れ 1‑α3Zれ 3̲α5"れ5̲.…
とおくと
,P(χ)=S(χ)+ι(″
)=√
(″)+2t(″) (4.12)
である。ここで
,(―鶴
)は実部が負より ,P(a)=(‑1)れ ノ
(―し
)≠ 0であり
,式
(4.12)から
P(し)=2ι(%)なので
,ι(z)≠ 0である。これにより
,器 =二 %β =男 辞 =1 いの
を得 る。 また
,P(")に
Wallの定理 (定理4.1.2)を用 い る と,=1
器 =Q"+
・・・十七≒
●・ 10
第
4章
タイ リング可能であるための必要十分条件となるQ∈
Q+が
存在する。式(4.14)に χ=υ を代入すると,50
器 =Qυ +7募 L・
・・=i
・+七≒
解・
10
を得 る。 □
ヽ
︑
︲
′ ノ
桁
土
丁
＼
＝
﹁ ノ
・
・２ 桁 丁
／ 卜 ヽ 土
×
■ ２ 拒
／ １ １
＼
＋
×
︵Ｚ
純 机 机 狩
一一
２
一
4。
3 タイ リングの計算例
本論文の 目的である定理1.2.4の証明は前節 までで示 したが
,定
理1.2.4は長方形R(し)の 相似形 によって正方形がタイ リングで きるかの判定法を あたえるだ けで はな く
,タ
イ リングが可能な ときは,そ
のタイ リングの形を求めるアル ゴリズムも与えている。本節では,鶴
=2+ψ
気を例 にし てそのタイ リングを求めるアル ゴリズムを説明する。まずは
,z=2+ψ
ての とき,正
方形がR(υ)の相似形でタイ リング可 能なのかどうかを定理1.2.4に より確かめよう。そのためにしの最小多項 式を求める。し
=2+ψ
π鶴
‑2=ψ
π(υ
‑2)3=4 z3̲6z2+12包 ‑12=0 となるから
,色は
,∫
(″)=χ
3̲6π2+12"‑12
の解である。また
,ノ(″)=0は
(″‑2)3=4と 同値である。よって
,ノ
(″)=0の 全ての解を求めると
,である。
3次式∫
(″)の根はどれも有理数でないので∫
(″)が 1次式と
2次式に因数分解されることはなく
,∫(″)は既約である。よって
,∫(″)が%の最 の で の そ
る 。
こ の と き , 鶴
=2+ψ
π の 夕ξイ受元2+ψ
π ×(一;土 考Et)