大成算經
巻之六
象法
巻之六中集
象法
關孝和建部賢明
建部賢弘
編
二〇 一三年 小松彦三郎校盡帶 小零 數者 者用 者相減相通逐二所分數而 因減損幷數相件用者爲其 乘已 用 退也約上列用約經 除凡其遞下之分分 之除 者 則之子此之專治分 或數得上減成數合 成有約下去乘之分 進不數互上除繁減 數爲諸實合各上理之母餘 有以各分者數通異乃實法 也母分相合遍以以數而約 諸相也乘之約通分者命分 分乘母爲諸術數母己之術 子爲互 數後 逐法 相除子之有約母數所數減 乘之 爲得損 也 實餘數數母諸乘子數分數 惑不分減餘是凡 而得者多反故分 亂整 分 正者除得去子繁該 位雖數兩下各者分 大成算經卷之六 中集 象法 之分第四 之分者於數刪繁治煩通有畸命不盡之法也其法 有十所謂約分經分通分合分減分乘分除分該分 齊分平分是也約分者治數之繁蕪也凡分數繁者 不約之依舊而用之則專成乘除之勞是故母子各 以多列上以少列下以之减去上以其餘反減去下 以亦其餘減去上遞如此上下互以少減多至得兩 數等者爲約法約其母子得約數 經分者歸除數 帶畸零者用之也凡除之數有不盡而不得整者雖 盡帶小數者各退除之則或成進退之惑而亂正位 或有收棄之煩而失眞數是故大率常除之者量法 實之一位而其實餘與法依約分術互相減得等數 之約法數爲分母約實餘而命之得除數 通分 者原數帶分者用之也乃原數者己除而所得畸數 者未除而所用其理各異故以分母乘原數幷分子 得通數若-一件已上遍通者以通數與諸母互相乘 又諸分母逐相乘各得數依遍約術齂鼾約之得諸 件一般之通數 合分者并合之諸數各有分也母 互乘子各相并爲實諸分母相乘爲法除之得總數 減分者減損之諸數各有分也母互乘子幷損數 而與原數相減餘爲實以諸母相乘爲法除之得餘 數 乘分者因乘數各有分也諸分子逐相乘爲實 衒載于
各分諸而又相相子加逐分 爲母 法相爲之各 也各相 通乘 數亦 其乘 數件 與數 平爲 分平 子分 相母 較除 而之 依爲 皆 遍法同 除 約齊數 術子也分法母乘數有母 得者齊而除爲除相分爲乘 齊諸母-之實而幷也法又 數分者 問 約爲 五 約亦 法以 九 十 約以之十八 分去 母-問 子母求得分者減加之 平相互之答母原數減得分 分乘乘得數與分相而除子 者爲子答其乘子減間數爲 諸實各數餘分與爲者 實 件子 數 爲餘 子平 約次 爲又 諸分母逐相乘爲法除之得相乘數 除分者歸除 數各有分也諸除分母逐相乘又乘原分子爲實諸 除分子逐相乘亦乘原分母爲法除之得除數 該 分者兼加減乘除數而各有分也兼加減而問者諸 母互乘子各得數加數原數相并與減數相減爲實 諸分母相乘爲法除之兼乘除而問者原分子與乘 分子逐相乘又乘各除分母爲實原分母與乘分母 逐相乘又乘各除分子爲法除之各得答數其餘混 雜委積而間之者皆齊諸分而一般求之得答數 齊分者諸分爲每件同數也齊母者母互乘子各爲 實以諸分母相乘爲法齊子者諸分子相乘爲實子 互乘母各爲法皆依遍約術得齊數 平分者諸件 爲平均數也母互乘子得每件通數各相幷爲平分 子分母逐相乘亦乘件數爲平分母除之爲平數又 以件數乘各通數其數與平分子相較而分子多爲 益少爲損也 約分 假如有八十分之三十五間約數 答曰一十六分之七 法曰以分子五十減去分母 一次餘+-以之減去 分子五十二次餘五亦以之减去一次餘+--11次 餘五兩數相等故爲約法以約分母H A爲亠
十約
分子五十得七爲約數 假如有七百零五分之二百九十一間約數分子數--減箇 十釐分 除數法 屬 約四一五一六三 分數分去次次之 答曰二百三十五分之九十七 二百九減去分母 一次餘 -二百九二次餘五十以之减去一 11三次餘三十以之減去二次餘 + 七百 一百二 法日以分子 以之減去分子 次餘十三 四次餘二十以之減去三次餘三十五次餘九以 之减去四次餘二十六次餘111以之減去五次餘 九七次餘三兩數相等故爲約法以約分母o -b-,, 得十五111約分子!-6 七百 二百三
二百九41十爲約數
假如有乘11箇七分六釐除一十一箇六分四釐問 約數 答曰九十七分箇之二十三 法曰以乘數 二箇七 六釐 減去除數 一十一箇 六分四釐以之減去乘數.
AL
-一次慈黺
次餘,
,三次餘
黺以之減去11次慈黺四次
11箇七 六釐 11分 四釐 111分 六釐 餘11黺以之減去三次餘 相等故爲約法以約除數 黺五次餘11黺兩數 一分 九十 得分母 六分四釐 約乘數 11箇七 分六釐 ar e得分子111 爲約數 經分 假如有物二十一箇以四除之間屬一之數答曰五箇,
,
法曰置物11計爲實以除數四爲法除之 不法者 依約分術 一箇 法實互減得等數一 故不 得除數 約而卽命之也後皆傚此 假如有物111十箇甲除二十七答曰甲1箇
吩箇
除二十間除數除假 二八分二法 甲 甲 一之 甲三者箇三 爲箇 四五 分 11分箇 不法者如前得等 數以甲三 五約之拜 得除數 一十四箇各除二十四問 假如有物甲一十五箇 除數 八分箇 箇之七
--+
皆不法故以 爲各實以除 得除數 四十各爲法除之 法曰置物 甲, 11 11約之书 通分 假如有物八箇三分箇之一 -問通數 答曰二十六箇 四 法曰置物勩以分母111相乘加分子, 1得, ;"爲通 數 假如有物甲11箇四分箇之三乙三箇六分箇之-問遍通數 甲三十三箇 答曰 齒分母各一十一1 三十八箇 法曰置甲 通分四, 内子111得-十置乙 ,通分六 六十 母-母九依圖布蒜
甲實右下得七十爲乙實左行 分母相乘實四十爲母實等數實也後約術得以 -約各實得甲| ||N.
假如有物甲111箇1 1分箇之1 分母陪111爲通數 1 1箇四分箇之三母 物合二四左111母1그의得甲 日 六 分 分右左 十通,二三四箇 111-五 答曰 三十三箇 分母各一十二 丙二十一画 法曰置甲. ,通分1, 內子一得毗置
,通分四內
子111得1十置丙,
通分六內子五得-十依圖
乘右行右上得一百六爲甲實百1,
1爲乙實右下得S
-爲
丙實左行分母相乘得四十爲母實以四約各實左行互
1右中得十 八十 四十 三十-二十 各一 箇 三箇1 11箇 合分 假如有物五分箇之三幷七分箇之四問總數 三十五分 法曰依圖| 1| 1| 母互乘子右上得111+右下得2相
布算 拜共得四十爲實左行分母相乘得 五十爲法除之不法者得總數 假如有物一十二分箇之五幷九分箇之一-與四分 箇之1問總數 答曰九分箇之八 日依圖11 母互乘子右上得 右中得布算-"
://-lis六右下得。 三位相幷共得 四十爲實左行分母相乘得四百111爲法除之 一百 不 法者各以四导 得總數 假如有物11分箇之一幷五分箇之三與七分箇之之分五百 TI 減乘之 箇 上 之 法 得 減除 右 分各 得 四及八分箇之七間總數 答曰11箇 二百八十分箇 | |售一之, 一百五十三 法曰依圖ル ル し1母互乘子右最上得に帽右次 三百三 111百 千四百爲實左行 最下得, ,四位相幷共得111 分母相乗得 爲法除之不法者得總 四百 , 五百 數 各半之 減分 假如有物-十八分箇之五減一十五分箇之四問 餘數 答曰九十分箇之一 七十 +
1母互乘子右上得五+右下得
法曰依圖 布算 以之減右上餘1爲實左行分母相 :1百 以三法者各 餘數 假如有物-十九分箇之一十五減七分箇之二與 五分箇之一問餘數 答曰六百六十五分箇之二百011 得五百二右中得re右下得
中下11位相 得三百11以減右上餘: F爲實左行分母 法曰依圖-hi -1-1母互乘子右上 一百三 11百 相乘得六百六爲法除之不法者得餘數 假如有物五分箇之四減六分箇之一與八分箇之 111及九分箇之一 一間餘數 答曰三百六十分箇之一十三 法曰依圖EEEE每互乘子右最上得1, 1千八百 一千七百十六 二法 1ll ㄒ母1 二 得行 七 八百 三百 六十 母| 母| 母1母 四百 右最下得 下三位相并共得百五十以減 上二千七百餘七十爲實左行分母相乗得111酐 二十八 法除之不法者各得餘數 乘分 K以六約之 假如有物三分箇之一 -乘七分箇之五問相乘數 答曰二十一分箇之一十 子一子 石行分子相乘得 租乘得二十爲法除之 爲實左行分母 不法者 法曰依圖 母-\ 布算 相乘數 假如有物六分箇之五乘四分箇之111與111分箇之 一一問相乘數 答曰一十二分箇之五 法曰依圖l l-TL 右行分子相乘得+2爲實左行分 不法 者各以 母 之約得相乘數 假如有物九分之四乘八分之三與七分之六及五 分之三問相乘數 答曰四十二分之五 法曰依圖 ル 右行分子相乘得! H E爲實左
布算一111
行分母相乘得11忏 爲法除 子一子一子一子 除分 假如有物九分箇之二除五分箇之三問除數減十一母十 之 數八相左分 答曰二十七分箇之一十
法曰依圖11母互乘子右上得
爲實右下得 布算Ⅲ- 11--七爲法除之不満法者得除數 假如有物七分箇之三除六分箇之五與五分箇之 四問除數 各命之 徟陽 答曰一十四分箇之九 以物分子111相 三目 左行分母相乗得 -T- -ll-乘得 法曰依圖 爲實右行分子相乘得 一百 布算 以 不法者各 以 一 十約之 除數 假如有物八分箇之一除五分箇之四與四分箇之 三及三分箇之一 -問除數 法曰依 左行分母相乗得: 以物分子 一11- The-P| 相乘得, 爲實右行分子相乘得 布算 四十以物分母八相乗得一百九爲法除之 各約之十得除數 不 該分 假如有物五分箇之一 -幷八分箇之三减九分箇之 五問餘數 答曰三百六十分箇之七十九 法曰依圖: "--in -母互乘子右上得十四匹右中得TT
十五111右下得, ,上中二位相幷 得二百七, 内减右下,餘七十爲實左行分母
一馀
Tyllld 甲 甲分 相乗得-、H E爲法除之不法者得餘數 假如有物八分箇之111乘七分箇之六除九分箇之 五問除數 各命之 答曰一百四十分箇之八十一 法曰依圖11下一右行分子相乘得八十以除分母九 布算一 相乘得 百六爲實左行分母相乘 H T爲法除之, 不 法者 得五十以除分子五相乘得, 各半得除數 假如有物九分箇之五加五分箇之四減四分箇之 111乘三分箇之一 -問乘數 答曰一百11十分箇之一百○九
法曰依圖1-1:母互乘子右上得盂中得四百
子一子一子 九-
1-
a右下得+-五三上中二位相幷
布算 共得十四四, 内減右下 一百111餘-N E以乘分母 :1百 十五 111相乘得三百二爲實左行分母相乘得Λ陌以 不法者各异以三約之後
乘分子11相乘得一. . H E爲法除之 相乘數 假如有物甲六分箇之五 八分箇之111間同數分 甲二十四分箇之二十 二十四分箇之九 答曰法曰依圖11母互乘子右上得
爲甲子實右下 布算 得八十爲乙子實左行分母相乘得甲分 實母1111母11丙 甲數 + 四十爲同母實以11約各實得甲 爲各分子及同分母 母 五分箇之一-丙七分箇 假如有物甲四分箇之三 之四間同數分母 甲一百四十分箇之一百 五 答曰 一百四十分箇之五十六 丙一百四十分箇之八十
法曰依圖しし20互乘子右上得
,,爲甲子實 布算The The 石中得五十爲乙子實右下俘 爲丙子實左行分母相乘得四百爲同母實各實 皆命之得甲50五十丙
母 H E爲各分子 及同分母 五 六 + 四十 假如有物甲111分箇之1 IN 七分箇之六丙四分箇 之三問同數分子 甲九分箇之六 答曰乙七分箇之六 丙八分箇之六 五十 布算一下
lis左中得四十爲乙母實左下得, , 八爲丙母實右行分子相乘得三十爲同子實以 六約各實得甲九乙七丙八子六爲各分母及同 分子 平分 假如有物甲六分箇之五 五分箇之四間11件平有數 三物 各行 件甲 除分以IT!,lilld 甲各 平四 之母件111,lill 1六六平 數分 皆不相數爲母十十六 分 甲半 二一七二十二1 111母1 111 f 十百十百 1lll-ul III /1 問之 四二 平又 實乘數位上十十四 平五實 數分相平得以 -上百百 五 母實 爲 之 四 相得十五得實二實共五二 一損八益 二益爲行各三 分數法 - 六 之分實t 分得母得爲十 . 變 答曰甲六十分箇之五十 六十分箇之四十八 法日依圖ル 120互乘子右上得 右下得忆 布算しー-The爲各通數11位相幷共得畑十爲11
件平實以件數乘各通數得甲實
實得 八左行分母相乘得!!又乘件數11得平分母 爲法各除之不之者平實與各實相較之得損 母 母 .. 假如有物甲四分箇之11 之五間111件平數 五分箇之四丙六分箇 各平一百八十分箇之一百四十三 甲一百八十分箇之一百三十五 答曰 一百八十分箇之一百四十四 丙一百八十分箇之一百五十 甲 1 法曰依圖--ll
--母互乘子右上得十九右中得
丙! 得二百八爲三件平實以件數111乘各通數得甲實"
得乙實十八八得丙實一:左行分母 相乘得一| H E又乘件數11得平分母一、 爲法各 除之 平實與各實相較之得損益數 假如有物甲三分箇之一 -五分箇之三丙二分箇 六十 不法者 皆半之 之一丁四分箇之111間四件平數二一八八 十 布曰 算依 之相 齊 實件實數各 111母11 不得分 累 約 約爲定 也準 亦各 減增 數同有之如此兩之也於得約 各 母 得二百十丙十甲十損十益四九損十 相 除 Z 爲 六八九二一三七益 前或 也 甲-一百四十分箇之一百六十 二百四十分箇之一百四十四 丙二百四十分箇之一百二十幢1-1 丁二百四十分箇之一百八十 答曰 十九 母| 母| 母1母 丙六 下得十九各爲通數四位相幷共得。一項爲四件 平實以件數四乘各通數得甲實" 得乙實l he 八十得丙實 得丁實 左行分母相乘得 11陌又乘件數四得平分母28爲法各除之紑 法者各平實與各實相較之得損益數 三百 三百 六十 -四百 八十 四十 半之 諸約第五 諸約者去復截儚得總求極之法也其法有十互約 逐約齊約遍粕累約零約重約增約損約添約是也 互約者--數相約也先兩數互減得等數以約一數 或約之依其先後雖有約數異者於相乘數無參差 然其數大略以無過不及者爲專也逐約亦傚此 得數與未約者又互減得等數以之約未約者乘先 乃其後約者每得等也逐其兩數復如前得等 約者 數以之約後約者乘次乘者逐如此而得等數一則 止之爲約數帶分者以兩分子先如此相約而後又 以兩分母互減得等數爲約法以之約一件約數 或後兩數所約不定而雖依數各有斟酌 大率以約多數者爲準也逐約亦同之 得定數 逐約者諸數重互約也先以第一數, 或起於最末遞 至第一 者亦其
除又爲而 以以 母 至數 如 衰--爲初 餘餘以,,之子益爲前數次第 -除其一而而爲數約逐爲等一 者次 得約 與以 爲餘除 約等 約得 商四 而商次初不 約 與 卽數第一,兩件得得三數則二 通之而後 第此餘,,除母者 以數減 ,,從第二至最末遞依互約術約之則得 理相同齊約 遍約竝傚此 第一約數與從第二末一次數又以第一11次數從 第11-1次數至最末遞依互約術約之則得第二約 數與從第三末11次數復以第三二次數從第四11 次數至最末遞依互約術約之則得第111約數與從 第四末三次數逐如此至最末約之遍得約數帶分 者諸分子相約而後又諸分母遞互減得一遍之等 數爲約法以之約諸數之中最多者1件得定數 齊約者約數相乘積也先第一與第11兩數互減得 等數約一數以之乘未約者或先約約第而後後第 ,, ,,得數與第三得等數約一數以之乘其 11或先約第二而後乘 第一者皆同 每次準此例拜 不約者遞如斯至最末得約積帶分者卽爲通積又 十三 遍約者旁約諸數也先第一與第二兩數互減得等 數以之與第三互減得次等數又以之與第四互減 逐至最末得一般之等數爲約法各約諸數得約數 或先起於分 子者亦同
累約者累損益之數也益數爲左損數爲嘉00
帶分者 損分母 以多除 左多者得初商而直餘一則不及求次商 故以1卽爲剩1之益衰以初商爲損衰 益分子相乘爲左損分子爲右各先兩數互 減得等數爲約法各約之而後列于左右也」 少得初商 則亦以初次商而損衰以其餘除少得次商以次餘 除初餘得三商又以三餘除次餘得四商次第如此 以餘左右互相除以左餘一者爲末商而止以末第分益以原得之有爲以後第二至 之損 差以 而益 加者數 益乘數損益段衰數得四三 分數而分段以以多末積 子去乘母得剩剩者積逐加 乘之益乘總數數以益以一 分得母數段或損益末多積爲 加一逐一 加段-剩損剩損 爲以後積 數原衰子者乘數數以末加以 而數得去亦損去去次積前之 率第 乘數 得 一商或超商者亦同ㄗ爲-積以乘末第二商加定 一爲二積以之乘末第三商加1積爲111積又以之 乘末第四商加11積爲四積逐以其積乘後商加前 積爲後積至初商如此得末積益數多者以最末積 爲損以次末積爲益損數多者以最末積爲益以次 末積爲損各得剩一之衰以剩數乘益衰損數去 之餘\ ,,得益段以剩數乘損衰益數去 之餘得損段以益數乘益段得總數R A
,,
,, 有約法者約 之後皆傚此 或以損數乘損 同一言原數而帶分者以損分母乘原數損分子去 之餘以減損分子加剩數而乘益分母乘開益衰得 數益分母損分子相乘數去之餘得益段又原數 益分子去之餘以減益分子乘損分母加剩數而 十四 乘-A損衰得數損分母益分子相乘數去之餘得 損段以益分子乘益段約益分母加原數得總數 lm .k 若有除數 而無乘數 零約者約畸零數而作率也置乘除原數, , 者以一箇爲乘數有乘數而無除數者以1 箇爲除數各置乘數以除數除之得原商也以少除 多爲第一段數不爲差視其段數原乘數少除數 多者以之卽爲除率以1箇爲乘率得第一强率原 乘數多除數少者以之卽爲乘率以1箇爲除率得 第一弱率以第一差除少原數爲第11段數不爲 差以第一率乘第二段數加一箇多者乘數少原數 數多除數少 者加乘率 得第二率 定其强弱者隨第一率而强 後爲弱弱後爲强逐率互如 此分之或者所加之率又以第二差除第一差爲第 三段數不満爲差以第11率乘第三段數加第一率數後 數 之數 除帶內數一數大如乘術一段乘 增分 分者-乘 得 母以 而 原增以增增件段除第一第數 分分其者于同數率三乘以 子子餘以原數得及除除 相減除減之乘三段數率與 乘之二之而亦直數零零之率 第率與件得準用率逐約約除 二與 乘二數除二 數爲零得先差段 遞通 如除約 得各得乘數數數之除除原得 增原-者分數箇數及通以通乘數 得母與餘 餘增 數乘數之 以得 數得率三乘術二者有於之 率除若 得第111率遞如此以其差除前差得後段數及差 盡者得 整率也 乘原除數以之除各差得各商與原商多少之較 或起於末則 依數有率數 重約者逐重零約也先以第一乘除數
,,
而用就近依零約術得乘除率求除率同數者以第 異者 -除率爲段數逐依零約術所得之除若無乘數,
,用段數以之與除數依零約術
也無除數者亦準此 商數之合位而 作率也後傚之 乘第11乘數 隨第 率皆爲其件之段數也 得第二乘率及段數以前 乘除率 各乘段數得11件通除率及第一乘率以第三乘數 乘通除率以之與除數依零約術得第111乘率及段數以前,
,-乘率與11件通除率各乘段數得三件 通除率及第一第二乘率遞如此得諸件同數除率 十五 及各乘率求乘率同數者以第一乘率爲段數, , ,, 逐依 零約 術所得之乘率 乘第二除數以之與乘數依零約術 皆爲段數也 得第二除率及段數以前囀乘除率各乘段數得! ! 件通乘率及第一除率以第111除數乘通乘率以之 與乘數依零約術得第三除率及段數以前蒜111各 刂第一 除率與二件通乘率各乘段數得111件通乘率及第 一第一 -除率遞如此得諸件同數乘率及各除率 增約者逐動乘馱除幷而增于原之極數也, ,豫 已下者皆無極數箇乘而增者以減 小 W /大 數打、數 乃乘數 起于一 箇餘以之除 原數除而增者內減一箇以其餘除原數與增數相 乘者各得極數帶分者以增分子減增分母餘乘原 分母得數以之除增分母原分子相乘者得極數數小 Z. 減減添 乘除-而數小差倍數以無數數大 者 六乙互 五亦互約減 得子餘者數大原分數數數二乘與損 極餘以以除分子以減 ガ 數乘之減之母以除一乘 四得 箇 等或數 問 數 分添箇數乘損內餘損添除-極相減數箇而 母數餘也者分減除者 得各以,,除母一之倍 數得之已乘之餘箇除之 以極除上數得乘餘而以 之數 除帶添 子 添分數在一得各內箇二數 等故 以數止 數 甲約以 得Λ爲 損約者逐動乘獻除幷而損于原之極數也, 起于11 之一 已下者皆無極數 餘乘原數得數以乘數減一箇餘除之除而損者内 減11箇餘乘原數得數以除數內減一箇餘除之各 得極數帶分者倍損分子以減損分母餘乘原 得 數以損分母子差與原分母相乘者除之得極數 添約者逐添逐動乘軑除之極數也, ,已數起數在 箇已上除數在 者添而乘者以減一箇餘以之除其添數 一 箇已下 皆無極數 添而除者內減1箇餘以之除添數各得極數帶分 者以除分母減除分子餘乘添分母得數以之除添 分子除分母相乘者得極數 互約 十六 假如有甲六箇 八箇問約數 甲爲三 不約 答曰 法曰甲六與 八互減得等數11以之先約甲六得 111甲111與
八互減得等數-故止:以三爲
甲約數以八爲乙約數 或以等數11先約 八得四
四與甲六互減得等數11以之約甲六得111因
後皆 傚此し 四得八者亦同 假如有甲111十箇 五十四箇問約數 甲爲五 J不約 答曰 1/ 又曰甲爲一十數假 爲 分 互舊如與 箇 之爲得爲四五十 者爲母 爲二 五十 九得七十者亦爲約數 答曰 乙爲五 甲不約 又曰 111分箇 法曰甲分子八與 分子+-互减得等數11以約 甲分子八得四此數與 分子 互減得等數11 以之約 分子+-得五因甲分子四得八各爲約 EX甲分母九與乙分母 114互減得等數111爲約法以之約甲約數八爲 定數多者用之最 或不拘多數約乙約數五者 或以最初等 分子卽爲約數者亦同 亦同 假如有甲一百零五箇N 1百一十二箇丙一百11 十六箇問約數 甲爲五 答曰 爲一十六 丙爲六十三
二不 丁甲得丙 六十十一約得約。 一九二依内二百術 五舊如五百J 十分J次一次二-甲丙甲與爲 五箇次三數約得與次三次一- 七 後同 次二 二百 八九爲丁不二數爲甲 問分約二約次+-約二與 約箇 丙 數之 數六一六一-J數+-九 三六内次二 四 一二爲 十依次一 五六百甲 依數 約 相甲先依依次一五一後丙 分 術得數次二一六術 一百 法曰甲。 與乙+ 11 者亦甲 得
"N
不約甲-次數i
-+與
不約 丙十六1百11依互約術,
得五爲約數丙
LIF
1與丙一次數十六11依互約"一次數+-術,
得六十丙に得三十各爲約數
又依所約 之先後有 約數各異者或甲爲五 不約丙爲九或甲爲三 十五乙爲一十六丙爲九是皆雖宜共用相乘之 次徟 總數全同故其變 悉略之後皆傚此 假如有甲一百零五箇 一百一十二箇丙一百二 十六箇丁一百六十八箇間約數 甲爲五 答曰 爲一十五 丙爲九 法日甲與乙+-依互約術,
得五十乙
-依互約
甲た 得五丙 不約 甲11次數五與丁十八六依互約術甲奈岛爲約數丁次不約,
,乙-一百一 百11依互約術乙 十六得六十丙た
得三"N
11次數1
E-1次數
依互約術乙だ不為六爲約數丁に得
二十丙二次數三十與丁二次數11十依互約術 十八 一百六,得九
假如有甲三分箇之一-箇之七一, 一十五分箇之八間約數 得七各爲約數 九分箇之四丙一十二分八一舊如 術 數一次三皆舊如 甲爲一 乙爲一 丙不約 丁爲1 1 答曰 法曰甲分子11與 分子四依互約術甲
得!
十九 分母111與 分母九互減得等數111以之與丙分 齊約 假如有甲六箇 八箇問約積 答曰二十四箇 得111三與 八相因得四十爲約數 或先以等 答曰七十二箇得甲 答 有約甲答有 四一 五十一 七十 六分箇之五丙九分箇之 假如有甲三分箇之一 -四問約積 111分箇 法曰甲分子11與乙分子五互減無等數卽與甲分
子-相因得 此數與丙分子匹互減得等數 遍約 甲爲四 乙爲五 甲爲 答曰 爲一十 丙爲一十三 三十子母 乘以三以九一日 及以累約 商商二除 减四十分分分之數之 得 四ー 之得餘初商 與甲二十互減者亦得等數111故以之爲約法約 約數 假如有甲一十二分箇之四2一十四分箇之六丙 二十八分箇之八問約數 甲爲六分箇之一 ! 答曰 爲一十二分箇之三 丙爲一十四分箇之四 子四互減得等數四四與 分子-、互減得等數 11二與丙分子八互减得等數11爲約法約甲得 二十一 假如有以一十九累益數以二十七累損剩一間損 益段數及總數 益一十 段數 總數一百九十
數二六 初一 一, --積 益去 ー 二六 二六 十左四 爲爲 四一 得以損互五損益益-數 三之四三減百一七段十 段 商除+ 一剩爲積一 以二三十去 -相損損剩 -積 段以一剩餘之得 十置之三四餘 相法衰十七六百三二數衰九-得 總以數六 數 以得爲 之次右 除商 次-左 餘餘-- 益以 益段 六一八二 三百 ++百餘原 十得四三加二積而 十三右 三十二六 十 相 四 乘 四之初 衰又乘初商1加11積111得四積+-爲剩一之益 衰各卽爲損益段數置益數九十以益段+-相乘 得九十 假如有原一百一十三箇以六十二累益以三十四 累損剩111間損益段數及總數 益七 損一十六 段數 隻 答曰 總數五百四十七 法曰先損益數互減得等數11爲約法約益 得 商1餘四十以之除右七十得次商1餘111以之 除初餘 得三商四餘11以之除次餘 得四 二十二 111商四加一積ㄧ得三積九乘次商1加11積11 得四積一十爲剩一之益衰又乘初商-加三積
得五積!爲
損衰置原數+--1以損
+ 之餘一 十以減損三十餘二十添剩數111得に十 以喇益衰 餘四十以約法11約之得七爲益段又置原數, 三十以益六十去之餘五十以減益f 十餘 + 加剩數111得四十以哺損衰 相乘得11陌益 十三 三十 !+相乘得11百八損數!!+去之
段數置益六十以益段七相乘加原數+---得
十三五百四爲總數 十七 假如有以一十三分之八累益數以九分之三十一 累損剩八問損益段數及總數 益九十一 損一十六 段數
E隻
答曰 總數五十六 法日益分子八損分母九相乘得七十爲左損分子 三十爲右以右除左七十得初商11餘 以之除 右1114得次商111餘1以之除初餘怯-得三商 九餘-E而止以三商九卽爲一積乘次商11加定 一得11積二+爲剩一之益衰又乘初商11加1 六十, E, 剩 一十以剩 二十三 千九百 -益分 四百 衰八十相乘亦以剩八相乘得 母三十與損分子111+相乘器葅去之餘
+ 爲益段又置 損衰五十以剩八相乘得 損分母九與益分子八相乘數七十去之餘 . 爲損段置益分子 以益段九十相乘得the VE-以益分母三十約之得㍽+爲總數 七百二 零約 假如有乘數111箇零八釐六毫六絲一忽四微二纖 弱間約率 乘率三百九十二 除率一百二十七 答曰 三箇0八六以一箇爲除數以之除乘 六一四二箇二 於乘除加八七三差以乘除以 五二 五分 左 箇-除率七三率第除乘四九四四率得 第四九第段++以八七 除乘三毫 二二除率除爲 一一段 六箇四八六得第一84差八四六六以段數 111卽爲乘率以一箇爲除率得第1弱率以1差 八釐六六 一四二 以段數-十乘第一率加一箇於乘率得第二强
除除數,
第二段一計差 七11 一箇, 四三八 八釐六六 率 除一十一 四三八 箇差三釐九三以段數1乘第二率加第一率得第三弱率11
++以三差:
1-1 除11差四三七二得第四段n -蕊講 以段數 一乘第三率加第二率得第四强率縣北++-|-以 111釐九三 除三差111釐四111得第五段 差 箇 微 四以段數五乘第四率加第111率得第五弱率百九十二除以
計13於是以除率+-
tE--卽除
百11卽除五差 三微 一百二十七 二十四得,
。八釐六 毫六絲一四11洪
寻11沙六 是第五商少於原商 較八位以之爲精率 假如有除數一箇六分七釐五毫整間約率 乘率四十 除率六十七 答曰 法曰置除數 배攷以一箇爲乘數以之除除數1 分七五 六分 得第一段幽差ti
昐以段數-卽爲除率以
七五"f 一箇爲乘率得第一强率以1差 酚除乘數 得第二段, 差一11昐以段數-乘第1率201箇 於除率得第二弱率縣一11以11差111酚除一蕊 六分 七五 三分会得第三段,
差五釐以段數二乘第11率加第 . 乘三 一率得第三强率縣, 以三差五釐除11差11 三分二四 一 第二九八一段乘四九毫七十 七毫五九分三得得第 以是 二毫 分三
得第四段,
而恰盡以段數三十乘第三率加 第11率得第四率煉+4计除 三箇 以之爲整率 六十七 假如有乘數三分四釐四毫五絲四忽八微强除數 八分一釐七毫八絲九忽九微弱間約率 乘率一百○七 除率二百五十四 答曰 法曰置除數 八分九七以乘數三四四四除之得第 ,差八分三八以段數11卽爲除率以1箇 四八五得第二段. !蕊雎ㄧˋ以段數11乘第一 以段 爲乘率得第一强率以1差 1-1八除乘數 率加一箇於除率得第二弱率縣, 以11差 八釐 六九 除一差八0三八得第三段n -差箇--ス八六 二十五 乘三 數一乘第二率加第一率得第三强率縣t2以三差四釐!
11差11 八六一 段數二乘第三率加第11率得第四弱率-Aha
以四差一11 m 除三差 以段數三十乘第四率加第111率得第五强率 一蕊ㄧ得第五段11,
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111毫 八六一待 百五十四11於是以除數 四ョ于11百。七箇七乘除率,
igr 五十 百○七除_l er 七 八位 五商多於原商四五九八111七七之, 四分二釐一毫二 絲五九八三 爲精率 重約 假如有甲除數三分六釐八毫四絲二忽一微 除數四分五釐111毫六絲111忽弱乘數111分零111毫十七二 九段之 三二 段甲除 數乘數 得 三甲一百一百 數一五十一率零數除一十四 乘與零六二段五八 率 約十數以 二微絲爲七十得七。商分 强-甲各 得七 五除忽 乘乘六二位率 箇合 十七内通以 甲 乘及乘除甲除段 除二 ‘率 十段以除 七絲七忽弱問除率同數 甲乘率三百0 答曰乙乘率七十五 除率各一百一十二 法曰依零約術先得甲燥ト 计率 乘1+1G. 依此率則甲以余 率七爲甲段數乘
乘數|
||
th 得-一1
,,玉依零約術得乙乘率玭十段 則乙商六 ,以甲率頄除サ各乘段數-! + 率通除率+--1爲甲乙同數除率
tit 三分 之與 除數 四分五 三六三 九除七 三百 假如有甲乘數11分八釐五毫七絲一忽四微弱 乘數四分八釐111毫11一絲一忽五微强除數六分二 釐八毫三絲一忽强丙除數1箇11分五釐整間除 二十六 率同數 乙乘率三百五十 丙乘率三百六十四 除率各四百五十五 答曰 乘11 乘乙乘數,|||
四分五111得11 111依零約術得乙乘率 01,以之與
六分二 八三 段數111十以甲率 騬, 一各乘段數111 +得甲乘率六十甲 通除率 九十以之卽與丙除數11甽依零約術得丙乘率 三百六段數五以甲乘率二十與 通除率九十各乘段數五得甲乘率111 七 甲 十万乘率援
一百 三十 十四 乘率極-五一數極-約通段甲乘 數十+a-數十 乘數除數 箇極爲 -二 各依 七 三百 假如有甲除數二箇六分六釐六毫六絲六忽 乘數五分一 1釐111毫八絲一忽强丙乘數111分111釐 二毫九絲九忽弱除數八分七釐五毫整間乘率同 數 甲乙丙通除率 十五王爲同數除率 乘率各二百三十一 甲除率六百一十六 答曰 除率四百四十一 丙除率六百0七 法曰依零約術先得甲率縣AS 以乘率111為甲段數 與乙乘數11 ,11依零約術得乙除率汏十段數 乘111 除八 甲乙通乘率111
+乘丙除數凱翼に计
箇以
之與丙乘數1113,
0依零約術
數七以甲除率八十與 除率六十及通乘率!! 111各乘段數七得甲除率 ! 除率 四 甲 丙通乘率11百111爲同數乘率 七五 八七五 六百 得丙除率蛨段
二九九 四百四 十六 假如有原一十箇逐因增六分間極數 答曰極數二十五箇法曰置原數":爲實以增數,
,減一箇餘
爲法除之得,
十爲極數 假如有原一十一画逐除增五箇問極數 答曰極數一十五箇損數 假如有原111分箇之一 -逐增六分箇之五問極數 答曰極數四箇 法曰以原分子11乘增分母六得11 +爲實增分母 六內減增分子五餘乘原分母111得111爲法除之 得 爲極數 損約 假如有原一十二箇逐因損四分問極數 答曰極數四箇 11箇拜四分 假如有原-十五箇逐除損四箇問極數
答曰極數-十箇
假如有原三分箇之五逐損七分箇之11問極數 答曰極數一箇 法曰倍損分子11以減損分母七餘三乘原分子五 得五十爲實以損分子11減損分母七餘五乘原 分母111得五十爲法除之得, 爲極數 添約 假如有逐添 箇逐因七分問極數法-減數乘 爲 餘除除 求 以之餘上剩右前爲爲累術解之 減餘 皆一求爲右左約 分三 幷傚數 約 之 數 却問得此爲一求剩前得得言 加總數各數剩一爲每約直 除數 餘者去數中數爲求之以之理 三母除數除四 添得分 分四二 之 五五 十二 內 減 箇爲分箇間極爲 加之除之乘前乘法數數相問之 得爲 者 分七 數加以 各爲相中法除乃以每悉 爲子數 答曰極數一十四箇 七m it 四 一箇餘 爲法除之得
,爲極數
假如有逐添一十二箇逐除五箇間極數 答曰極數111箇 法曰以添數111十爲實除數五內減一箇餘四爲法 假如有逐添四分之三逐除八分之一十一問極數 法曰以添分子111乘除分母八得四十爲實除分子 除之得111爲極數 答曰極數一画 +內減除分母八餘111乘添分母四得一11+爲
一 法除之得11爲極數 二十九 翦管第六 翦管者以餘求總之法一名秦王暗點兵也 俗謂 計物,,之
然亦有帶加減之數藏乘除之理而問之者是故悉 擧其變於逐問解之乃言直除之餘而問總數者每 除數先依逐約術約之得約數以之互相乘爲左以 不乘者爲右依累約術得每除之剩一數爲乘法, , 數11條者以後爲左以前爲右求剩一數爲前乘法 以前爲左以後爲右求剩一 數爲後乘法三條者中 後相乘爲左以前爲右求剩一數爲前乘法前後相 乘爲左以中爲右求剩一 數爲中乘法前中相乘爲 後乘法四條已上皆數爲各約數逐相乘爲去法各 以乘法乘其除餘相并得數去法去之得總數 fil l加減數與除之餘而問總數者求每除之乘法以 加數却减除餘以減數却加除餘 若減之不足者加 除數加而除數數乘 約 法之 相加以之所,,乘各先後爲 數後相 約之各乘以益約爲除前之 得分餘,,而每列逐分或除又 分問得法益右之以而相問 子總數 列數 各相除後約總 數 左者去除乘數各乘數去者 行諸法餘,,互列數者法以 相 分 去而之 之後者除數乘益列等餘之爲 除子之以之去乘行列乘之約 數與得約爲如依左數得數 數數約 約 數互 之法每術 者去 而後乘其乘法各相幷去法去之得總數 之也 言各約數與除之餘而問總數者以各約數乘剩! 數爲各乘法如前相乘相并去法去之得總數 1各相乘數與除之餘而問總數者每乘數與除數 互減而得等數爲約法以之約乘數各列左行約除 數又其數依逐約術約之而後各列右行依累約術 得左, ,剩一之益衰又右行除數互相乘如前求每 除之剩一數各以其左益衰相乘, ,埔 爲各乘法 右行除數逐相乘爲去法置各除餘先以約法約之 又以乘法相乘各相幷得數去法去之得總數 言取諸分後除之餘而問總數者諸分子與除數互 減而得等數爲約法約分子列左行約除數而其數 法去之 三十 又逐約之列右行以之各求左伃益衰與每除之剩 一數各以左益衰相乘又以分母相乘爲各乘法右 行逐相乘爲去法置各除餘各如前求之得總數 言帶加减後或約或乘或取分各除之餘而問總數 先與乘數及分子互減而得等數爲約法 各約之又依逐約術而後各列于左右也 若約而 除之者 者每除數 列右行又乘數及分子列左行各求左益衰, ,
an
又求每除之剩一數乘其益衰爲 各乘法視所言諸數約而除之者以約數乘除餘以 剩一數而爲乘法 數加減之者言之者滅之言之乘而除之者以乘 數乘帶數以之加減除餘取分而除之者以分子乘210者
帶數以之加減除餘與分母相乘數而後 皆以乘法相乘各相幷得數去法去之得總數 亦約之又後 法列數 段前其後數法互法與行得 數去兩 爲法 乘行約之諸之子去之數 除求 餘左各而子-除去而於法 相益約問與數之之間則 法約 如分 前母得約分乘約數相前數 得乘數以以法求後數求減 前數以前等 前去者之得 後爲之分數其後法兩得等 相段約母約去,,約總分數 與數乘數乘而其數之視 去每列數逐法問餘者却 法除左者相各分却以減餘 去之 之剩約 得一除 相數數每分 諸得乘爲數 數各 數相後數數法子數乘數內 求後 之 m o總數與除之餘而問加減一偏數者以除餘各乘 其乘法相幷去法去之視其餘多於總數則內減 總數餘爲加數少於則以之却减總數餘爲減數 言總數與除之餘而問約數者以各除餘乘各乘法 相并得數去法去之以其餘却除總數得約數 言總數與分子及除之餘而問分母者以諸分子互 乘數乘每除之剩一數爲乘法各如前而去法去 之以其餘除諸分子與總數逐相乘數得分母數 言總數與除之餘而問相乘數者總數與每除數互 減得等數爲約法各約總數列左行約除數而後又 逐約之列右行求左益衰與每除之剩一數而相乘 得各乘法各乘除餘相幷去法去之得相乘數 三十一 言總數與分母及除之餘而問分子者以諸分母各 約總數其所得諸數與每除數互減得等數各約之 列于左右二行自是之後如前術求之得分子數 言前後總數與兩積和而問相乘數者兩總數互減 得等數爲約法以之約前總數爲後去法約後總數 爲前去法各互列左右依累約術求前後 益衰卽 爲乘法以約法約兩積和各乘乘法其去法去之 得前後相乘數若兩積各帶分者以等數約兩總數 又以前分子後分母各乘前約數以前分母後分子 各乘後約數其兩數亦互減得等數以之約前爲後 去法約後爲前去法又約分母相乘數爲段數各求 左益衰又乘段數爲乘法如前而得前後相乘數
言總數與所乘之末數而問相乘數者總數與云末 乃總數隨云末 數兩尾合位而下而進退之合數位之高爲左以-算當末數之首上位爲去法與左互減得等數各約 之後依累粕術得左益衰爲乘法又其等數進退之 總數進者退等數 總數退者進等數爲約法以云 去之餘以約法約之得相乘數 之高 末數乘乘法去法 求總數八問 假如有物不知總數五除餘1箇七除餘一画問總 答曰總數一十六箇 法曰五除餘1以二十一乘之得一11計七除餘1以 一十五乘之得三十二位相幷共得 計三十 五十 1箇 三十二
五去之餘
1十為悤 六箇 灬総爲總數 先依互約術兩數以七爲左以五爲右依 皆不約後皆傚此 解曰 累約術得剩一數二十爲五除法以五爲左以 七爲右依累約術得剩一數五十爲七除法五 七相因得 五+1爲去法以之即爲總數之 極也逐間皆如此 假如有物不知總數六除餘111箇Λ除餘111箇十除 餘五箇問總數 答曰總數七十五箇 法曰六除餘- -以四十乘之得+-十百二八除餘111以 0五乘之得一仁皕, 十除餘五以九十六乘 之得四百八三位相并共得 n -一百二十 十五箇-十箇 七十去之餘
爲總數法四 法 除 七一曰 餘 得乘 以得 五七除十 乘除數二 之餘五 數八五一五以 加五爲數相三 箇問 六九三十一十 爲相 八 數共除 總五 除爲爲十 而乘依五百得 五得累爲五一依 除--約八十累 餘十百術除爲約 三爲得法左術 箇去剩三以得 減法_ΛΛ 九 而 箇 相爲 三 因右 約 得依 相內 共次二 得除 六九因右數數相爲一 十得依十四 餘 爲術 解曰依逐約術六爲111八不約十爲五八五相 因得H E爲左以三爲右依累約術得剩一數 爲六除法三五相因得五十爲左以八爲右依 累約術得剩一數。 ,,爲八除法三八相因得 四十爲左以五爲右依累約術得剩一數, ,十 一百 一百 爲十除法三八五相乘得--H E爲去法 假如有物不知總數加六而五除餘三箇減九而七 除餘六箇問總數 答曰總數二十一画 法曰五除餘111加除數五汭減加數六得11以二十
-乘之得
七除餘六加減數九內减た 除數 七得七以一十五乘之得 11位相幷共得伍 四十 五箇-三十三 解曰以七爲左以五爲右依累約術得剩一數 111十爲五除法以五爲左以七爲右依累約術 得剩一數五十爲七除法五七相因得十爲
去法 假如有物不知總數二約五除餘111箇111約七除餘 四箇四約九除餘六箇問總數 答曰總數九十六箇 法曰五除餘111以二百五十二乘之得 顑五七除 餘四以四十五乘 六以一百 、 代八十六箇 十六 之得一百八九除餘七十五乘之得-
忏剒三位相幷共得-ht
三百一十五去之餘九十爲總數 五十箇總乘 衰-依依約乘以十 共餘 三十圖互乘與之五 得八二 以一布約四四三約乘 一六 十五三 三爲算術 十十乘 爲左 六得二五三四 約 右以1lilll乘1 111除1 除 十二之 十三十 五百 三除三爲之以五三百一九六百 Λ爲依以約減五除 爲右累五除得約一 左依約爲二三等除減 依累術 累約得以得四十 約術 術得五乘爲所除三六七 四七 去以 之三 四七四以 總除 得 三五二千累爲三七 十七+-約七相爲五二 爲-解曰七九相因得六十爲左以五爲右依累約 術得剩一數 約數ㄧ相乘得Fr e -爲五除法五九相因得四十爲左以七爲右 以中約數11相乘 得六百七三百一十五去之餘
+爲七除
法五七相因得五十爲左以九爲右依累約術得剩一數:
H T以後約數四相乘得 +-七爲九除法五七九 一百二以前 依累約術得剩一數十百五 十五 一千一 八十 一百相乘得!瑁,
爲去法
假如有物不知總數三十五乘四十二除餘三十五 箇四十四乘111十二除餘二十八箇問總數 答曰總數1十111箇 三十四 法曰四十二除餘五十七約之得五以八乘之得-pa 111十二除餘二十四約之得七以三乘之得一. 11位相幷共得六十二十四去之餘一,t爲總
數 解曰三十五乘與四十二除互減得等數七 約法除以之約乘五十得五約臨十得六又 四十四乘與111十二除互減得等數四,籵
是三十 11除約 法以之約乘四十得-十約除三十得八所約 之除數依互約術六旧14以五爲左以三爲右 啊イ 依累約術得前球益 乘一乘 r1八盯依圖布算 衰!-以一十一爲左以八爲右依累約術得後 乘1 慄 一益衰1. 1以三爲右以八爲左依累約術得十爲依五得二五三四之二 爲以布 左三算三爲 減 以爲1111 4 111除1除得約互+ Λ右114-1一二三等除減得三 爲依H4 除1 : 右累累以得四 等約除 依約約四八除是得數除互 累術術爲所約三六七十三減 約得得左約法十復,,得得 術中前以之 二四約四五 得五乘四乘 後益益爲數之四二三六 十乘 衰右 約約 之之 十三 四十 爲以三後以 十五乘 乘之 之得 二十 除二 餘箇 法相以 三乘三 八得爲. 一
剩一數六十以前益衰-
-相乘得!--二十
四去之餘八爲四十11除法以八爲右以三爲 左依累約術得剩一數九以後益衰11相乘得 +二十四去之餘111爲三十二除法11天相乘得:十爲去法
假如有物不知總數二十四乘三十除餘一十一画 111十五乘四十二除餘七箇四十四乘三十二除餘 二十八箇問總數 答曰總數五十三箇 法曰三十除餘11十六約之得一以二十四乘之得 四十四十二除餘七七約之得-以八十乘之得 tr --一十二除餘二十四約之得七以七十五乘之 一二十五 得五百二三位相并共得六百五一百二十去 之餘三十爲總數 是三 ノ 十除 解曰二十四乘與111十除互减得等數六 伐,,以之約乘四十得四約除"得五又三十五
乘與四十二除互減得等數七, ,11以
約乘五十得五約除四十得六復四十四乘與 三十二除互減得等數四是三十二以之約乘 四十得1 +約除11十得八所約之除數依逐 約術五約六三11-IT以四爲左以五爲右依八,
依圖布421
累約術得前睡益衰四 以五爲左以三爲右依累約術得中珠益衰. ! 以一十一爲左以八爲右依累約術得後慄. 是四十二以乘一爲以右 得數七前依約111子1除互前八四得 四
十五九四除分累術[11 rTsal滅後
十六五以 八百十法母約得前以各分爲 十四 四二總爲之五百得益十四二一 以以 三術後二 後七相得三分子爲等與數位乘 五益 問取法 爲相 數分爲衰左乘三餘以四二 一益 以 六九 衰四七 三三 得 去相八十一八三以爲九 得十百 爲爲依 爲 餘又右五前以爲依依 八二以依十益八左累 六百除 爲以約 爲分約去四左八術術 五以 四 相-得復一八十百累 九十以前d 約術得剩一數 益衰四相乘得 四一百二十去之餘四十爲三十除法又八 五相因得-m 爲左以三爲右依累約術得剩! 數 以中益衰二相乘得 爲四十11除法復 五三相因得五-爲左以八爲右依累約術得 剩一數o -以後益衰11, 相乘得12一
百二十去之餘五十爲三十二除法五三八相 乘得--H E爲去法 一百 假如有物不知總數取三分之二七除餘四箇取四 分之三八除餘11箇問總數 答曰總數四十八箇 三十六 共得 解曰數前後分子與數七除九除依互約術皆 不約依-以二爲左以七爲右依累約術得 圖布簋=11前分子益衰四以三爲左以八爲 右依累約術得後分子益衰111又以八爲左以 七爲右依累約術得剩一數八以前益衰四相 乘又以前分母111相乘得九十五十六去之 餘20七除法以七爲左以八爲右依累約術 得剩一數四十以後益衰11, 相乘又以後分母 四相乘得五百八五十六去之餘!+爲八以一二 十
乘爲六九以四二得衰以111
4111無七
之三七三五十十一 餘 百相與共二百 三七三乘分得 -十位 六母六一七 爲相餘 五十除 二而 約除 五以 求 取約 得復乘爲 -得以衰數爲 并得 共九一 得 十得十加 四四以五二六中 一因 -除法七八相因得, ,t爲去法
五十 假如有物不知總數加五箇而11約六除餘111箇減 四箇而三乘七除餘四箇加11而取五分之三八除 餘五箇問總數 答曰總數七十三箇 法曰六除餘111乘約數11得六內減前加數五餘 以一百一十二乘之得 數四與乘數--相乘 七除餘四加中減 共得六十以九十六乘 得三千五百八除餘五與分母五相乘得內減後加數11與分子三相乘六餘得;"以1
十 二千七百 四千 四百 四十一百六十八去之餘 七十 爲總數 三十七 與八除互減亦無等數六除七除八除依逐 約術六爲111七八ㄧ下1-1以三乘爲左以七爲 各不約依圖布, 算ㄒㄧ一11右乃約數者不依 約術得謙益衰五以分子111爲左以八爲右依 累約術得分子益衰111七八相因得 +以三 除爲右依累約術得剩1數+-qu 法又三八相因得四十爲左以七爲右依累約 術得剩一數-, H E以彩益衰五相乘8%! 百六十八去之餘九十爲七除法復三七相因得11
+爲左以八爲右依累約術得剩一數-卽爲六除
益衰-11相乘得 皕ㄧ一百六十八去之餘十七四爲八除法三七八相乘得 八爲去法 六十 一問
求加減數!
假如有物總數二十三箇不知加減數八除餘11箇 十除餘四箇問加減數 答曰加數一十一箇 法曰八除餘11以11十五乘之得五十十除餘四以 四 一百一 十四箇 六十 乘之得阶計11位相幷共得+-十去之餘四十多於總數故內減總數. 酐餘 爲加數 解曰依互約術八不約十爲五以五爲左以八 爲右依累約術得剩一數五十爲八除法以八 三十八 爲左以五爲右依累約術得剩一數 爲十 以之爲所減之極 內減總數餘爲所 除法八五相因得 加之 極也 爲去法 求約數一問 假如有物總數三十九箇不知約數三除餘1箇五 除餘111箇七除餘六箇間約數 法曰三除餘1以七十乘之得七十五除餘三以11 箇三位相幷共得 一百0五去之餘 -解曰五七相因得五十爲左以三爲右依累約 十一乘之得 答曰約數三 七除餘六以一十五乘之得 111爲法除總數だ計得111爲約數 六十 111箇 二百二後八百 術得剩一數 爲三除法三七相因得111
+爲
左以五爲右依累約術得剩一數二十爲五除 法三五相因得五十爲左以七爲右依累約術 得五十爲七除法三五七相乘得: ,,爲去法 一百 求分母一問 假如有物總數111十五箇不知分母數乘分子三約 分母而八除餘七箇乘分子四約分母而九除餘11 箇問分母數 答曰分母七 法曰八除餘七以三十六乘之得 缸九除餘11 以四十八乘之得, ,計11位相幷共得+2AR
七十二去之餘爲法置總監
以前後分子 三十九 各相乘得 H E以法除之得七爲分母數 解曰以九爲左以八爲右依累約術得剩一數 九以後分子四相乘得六十爲八除法以八爲 左以九爲右依累約術得剩一數+以前分
子111相乘得十百九七十二去之餘+爲
九除法八九相因得 十爲去法 求分子一問 假如有物總數四十五箇不知分子數各乘分子約 前分母111而七除餘111箇約後分母五而十除餘八 箇問分子數 答曰分子11法曰七除餘-以五十乘之得
十除餘八以四十法 九 數以 互之 無除除 一五六乘十數乘 等 八 一百 數得總百。四約一餘 去一七累術前皆減等前爲十三 之數除約得十總不無數分分二百 爲後爲 十益 除四三互之得得以 十五 HIllel 數 總得得一-六百百十 數七一等 十箇一 法 九一以以爲ITT-I--總 十 得 七相十前一左 仄仄數得 十四 減九二相位餘 爲一 得與 得九百累相以爲依爲九七 七 十七
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解曰以前分母111約總數五十得五十與七除 互減無等數以後分母五約總數珥+得九與 十除互減無等數七十依7--O R 以一十五爲左 互約術皆不約依圖布算| ll--fle以七爲右依累 約術得前the益衰,
以九爲左以一十爲右
依累約術得後18益衰九又以一十爲左以七 爲右依累約術得剩一數!以前益衰-相乘
得 爲七除法以七爲左以一十爲右依累約 術得剩-數11 +以後益衰九相乘得十九 七十去之餘四十爲十除法七十相乘得 ! 除 一百八 四十 爲去法 假如有物總數三十四箇不知相乘數八除餘六箇 九除餘五箇十除餘四箇問相乘數 答曰相乘數一十一 法曰八除餘六二約之得111以四十五乘之得一, HE 90除餘五以四十乘之得箇百十除餘四11約
之得以一百0八乘之得
,三位
得H a-d i缸一百八十去之餘一十爲相乘數 二百 五百五 十一箇 是八 約法 除 解曰八除與總數三十互減得等數11 ,, 以之約除八得四約數.得七十九除與總
數互減無等數舊如十除與總數互減得等數十總 去後 得 十二 九相以 -以約十總-圖 數相乘九相四術四三又布約 六三因得爲乘爲得益以算術 1, 箇六 乘是 法極後 十以無 爲後等 二爲五 以六三 依五四依+總 四十FIAT t. 十後 益爲百約爲約益以爲 爲D 衰左八術八術衰-左右-以數故 六 三以 以 乘爲之一四一五爲爲 。. t四百一- 五四 依 前十 後五 法爲前 餘求乘 八百累爲以因 得五累前 11是法除以之約除+-得五約總眐十得七十
四九五依遂約術11
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爲 九除法四九相因得三十爲左以五爲右依累 約術得剩一數三十以後益衰111相乘得。AT 四十一 爲十除法四九五相乘得-陌爲去法 假如有物前總數二十六箇後總數一十五箇各不 知相乘數兩積和共二百六十五箇間前後相乘數 前相乘數五 答曰 後相乘數九 法曰置共數 求於前者 -九百 一十五去之餘五爲前相乘數求於後者 五箇 以七乘之 相乘數 一千八百 二十六去之餘九爲後 , 解曰前後總數互減無等數故卽以前總數| 六爲後去法, ,an
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以後總數--+爲前去法
,,,,以後去法二十爲左以前去法
爲 是前相十二 爲 乘 約 之九 得去 十七之 右爲 後後 法 累 約 箇八 三 與約 爲 分十 之六 三箇 相各 幷不 共知 依 累 約 術 得 十相 七一四一爲以爲 十十 段左 之求 右依累約術得左益衰-十爲前乘法以前去 法五十爲左以後去法二十爲右依累約術得 左益衰七爲後乘法 假如有物前總數三十箇後總數一十六箇各不知 相乘數前積取九分之五後積取八分之三相并共 九十一画問前後相乘數 前相乘數三 後相乘數七 答曰
法曰置共數1판-約之得四十求於前者以一十
九去之餘111爲前相乘數求 47臥二十五去之 九十 二乘 之得 十二箇 於後者以一十七乘之得 餘七爲後相乘數 十二箇 四十二 解曰前後總數互減得等數二是前後以之約 前總數11得五十以前分子五與後分母八相 乘得 又以等數二約後總數六十得八以前 分母九與後分子111相乘得+-,,-11得等數四十以之約翼五十爲後去蕊,
,
,,又約だ煝-得し爲前去法,
,
,,復約分
母相乘七十得11爲段數以後去法, 十爲左 以前去法九爲右依累約術得左益衰匹以段 數11相乘得二十爲前乘法以前去法九爲左 以後去法五十爲右依累約術得左益衰 + 以段數111相乘得四十二十五去之餘 爲後乘法 約法 二百一 是後 相乘 二百一 十六 乘極數 寻三十七 隨以約數數-總數 數乘 總約 數數法以首得 爲去 分-七無亦得減-云之以四數 約等千-數爲十萬而箇千二七 四五 十分 位爲 得乘術得法又數 二 數約之上位 約 三 約 所得三三位退數退左絲毫而三五 約以益千萬互算 分 百二千萬 三益 假如有總數三十三箇不知相乘數其所乘之末得 11釐一毫七絲問相乘數 答曰相乘數11釐四毫九絲 11釐1 毫七絲 法曰置云末數
*以六百九十七乘之得
一分去之餘,
爲相乘數 11釐四 毫九絲 四毫九絲 解曰總數111計合云數之最末絲位而退三位 寻111毫 111絲 左11計約去法 得 爲右依累約術得左益 三箇 衰六百九爲乘法亦等數 隨總數之所退 十七而進三位得,
故無約法
假如有總數一千五百七十六箇四分二釐三約而 四十三 後所乘之末得七十七箇八分間相乘數 答曰相乘數二百七十 法曰置云末數剒 七十七 箇八分 以二百四十三乘之得 九四分五一百去之餘, , 五箇 11釐約之得 爲相乘數 解曰以總數六千五百11釐合一 位而進一位得**旺:頒爲左又以一算
當云末數之首上百位而得 爲去法兩數互 七萬 ボ六十四箇11分 ナ 八千 一 萬五千七百分」
八百二Pa
約去法,
得翼右依累約術得左益
十一箇 衰八十以約數111相乘數二三四爲乘法亦以 等數 隨總數之所進而退一位得,
爲約
法
大成算經卷之六終
