周辺回転端直角二等辺三角形板のたわみ振動

周辺回転端直角二等辺三角形板のたわみ振動

著者 若杉 昇八

雑誌名 福井大学工学部研究報告

巻 2

号 2

ページ 1‑4

発行年 1953‑12

URL http://hdl.handle.net/10098/6273

周辺回転端直角二等辺三角形板のたわみ振動

周辺回転端直角二等辺三角形板のたわみ振動

... 

右 杉 昇 八

Lateral Vibration of a Right‑angle Isoceles Triangular Plate  with Simply Supported Edges 

Shohachi  WAKASUGI 

Concerning the present theme， no other research has yet been  found.  When the  plate  is  loaded uniforrnly in the plane of rnediurn surface， the  differential  equation (1)  (or(5))  of  the deflection surface of the pla te  is  solved exactly by using  the  deflection  form of  Eq. (9). 

For the general case as shown in Fig.  1， differential  equation (1) (or(5)) is  solved by  Galerkin' s rnethod using the deflection forrn as Eq. (12).  The results  are shown in Fig.2  and 3.  The full  lines in these  figures  show  the  values  calcuIated  by using  four  terms 

卸'21， 開 山 初 回 andW41 in Eq. (12);  and broken line  will show  the  values  when we use the  rnore terms than the former case. 

1 . 緒 言

筆者は先に周辺回転端直角二等辺三角形板の座屈1，について解訴を行なった。 本論文はとの前論文に 者ける方法を用いて， 同じ三角形板たわみ固有振動数台よ"($周辺力による振動数の変化を求めたもりで あるロ

2.

基 礎 関 係 式

一般に周辺に沿うて，圧縮力向.h，ay_・h台よびせん断力

，

^.h(h:板厚〉を受けて横方向の徴小たわみ Wを生じて振動するときの運動方程式は，

第 1 図

Y 

c 止 し り 3 1 u J B

→↓

I 一←一日「一一三河↑←

ω

^→

τ 1 1 h / T . h   i l ご d ; ; . h

ヨ レ ^{L ‑ a}

O f t ‑ f 1 よ f ^行 1 A

(1) 

( 0 2

^伊

)262W82wozw o z w  

D~äx2 吋172 ) W+a.t:h 吾五十 O'yhaý'll ー2τhã~窃'y+ ρ8t2 ^{= 0}   たピし

D=

曲げ剛性

=Eh

^3/ 12(1一日〉

E:縦弾性係数 ν:ポ ア ソ ン 比 p :密度

己〉にσ，lI1O'y， l'は第1図に示す方向を正とする。周辺回転端。

条件は直綿境界に対しては次式を採用出来る白 8²日

， • a z w  

w 

0， 8 X一~+一~=o^J I 

a 

i 

X 

次に

(2) 

lヂ=即cos(pt十ε) (3)  と争〈。と〉にpは振動率で、ある白また， 計算D簡単むため次

2  福 井 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第2巷第2号

のごとき座標変換を行なって者〈口

2X=z ， 2yzy 

すると

( 1 ) ( 2 )

は夫々次V(5)(6)のごとくなる。

8^2ω 8^"J

w 

~~ 8²卸

ムム加十Pa;~+Q百通一2R面再一μ2^W=0

境界条件 w=o，ム卸=0 ft.¥ごし

8

² . 

8

² 

ム=一一十一一一8x2 I 8y2 

&r2 

Ih

¥2  p =₍竺_Je'， _{1c/.~ð e'}

Q=

‑''l1， ₁

R

_.'¥一 一_..‑(J e' (_ue J 一一一一一一(‑12(1一戸〉 ¥a~

ノ

⁾  μ2=ρp2/D 

特に(5)に語いてμ=0と長けば，座屈荷重を求めるときの平衡方程式となるととは明らかである。

3. 

均等舛圧を受ける場合

とのときは，

P=Q

， 

R=O

にてく

5 )

は次のごとくなる。

(4) 

(5)  (6) 

(7) 

Aムω+Pム卸ーμ2W=O (8) 

さ τ 直角を~む二辺の長さが π なる周辺回転端直角二等辺三角形板のたわみ形として，

Wmn=sin mx sin ny ‑ sin nx sin mx  (9)  を採用すると，境界条件(6)を満足するととを，前論文11~こ拾いて指摘した口 と〉にn，Z' nは互に相異な る正の整数にて，一般性を失うことなしにrn>nと仮定できる白

いま ω=am^1! υ仰 と し てt (8)へ代入すると，

{(m2_十n

り

^2̲p(m2

+

が〉一戸}ω=0 とれより

μ2=(m2

+ 

n!l)2̲P(ml!十が) (10)  すなわち ，W酬 は(6)なる境界条件のもとに長ける(8)<0固有かん数にて， (10)は閏有値である。換言す れば(9)は固有振動波形を与え， (10)は同有振動数を与える方程式である。然して，回有振動の最小値す なわちμに最小値を与える基本振動は，明らかにm=2，n=lV場合である。すなわち

μ2=25‑5P く11)

特にμニOと長けばP=5なる座屈荷重を得る。 (11)をぐらふにて示せば，第2図θα=1/i.る直線にて表わ される。然して以上に得られた値はすべて正確である。

4.

一 般 の 場 合

均等外圧以外の周辺力をうける場合に， (5)(6)を，厳密に解くととは殆んど不可能である。 よってと

〉では Galerkin法2、を用いて解くことにする口すなわちたわみ形をく9)を用いて

=  Z 

^apq lι'11Q 

¥pq) 

のごとく表わし，次式を計算する口

J J w m

旬 〔 ム ム ( 丘 町 内

q)+ptL(fP

^仇

) + Q Z ( t i h ω け

‑2RJLIZ _{âx8y \\~)} G P

叫')‑

fJ.2 .I: a₁;qWpq .... 1 dxdy= 0 

u‑VqVVI^Jq ) μ ¥pq)  '''1;q U1pq) "'''''''''J 

( 1 2 )  

(13) 

周辺回転端直角二等辺三角形板のたわみ振動 3  たピし Z は(P，q)の組合せについて均等外圧の場合に低次振動を与えるものよりIJ債に， 近似の程度に応

¥pql 

じてイ可項か集めるととを意味し， また積分は板の全面にわたって積分することを意味する口 (13)のu::刷

は(12)に用いた W p qの中から順にークづ〉用いるものとし，従って(13)は用いた項の数だけり連立一次

方程式となる。

さて実際lこ(9)(12)を用いて(13)を計算すれば次のごとくなる口たYし簡単のため，両辺を32で除し，

かっ k=n'~/128 と告いてある。

(伽Z 十n2〉z-; 〈mMZ〉〈P+Q〉-12二(ヨ〉岡+可坦~R-k μ2}αη

_{4  2  n{.+n3 ‑‑}

• ) 

‑tz{(mz‑222XF刊 2)(P̲Q)

と 〉 に よ l土(m

p

， n=q)なる場合を除いて， (卸〉の組合せについて集めるととを意味するD また

A m，ii'pq， B m抽出は次のごときもりである口〈たピしm t， n=qの場合を除く。〉

i)

m ザ 一 一

^Amn，pq=O

ii)m+n+lう十q =奇 数 の 場 合 ;

m n 

T 

q 

(15) 

i)m+n十1う+q= 奇数。場合 .Bmn，pqこ O ii)m十n十iう十q =偶数の場合;

11‑(ー1)叫 阻

a) m，n，t，qの中何れかこが等しい場合(勿論mキn，tキq);B抑 制 = 喜 一 2

( m ' l . ー が)(t

^日‑li2)

b) m，n，t，qすべて互に相異なる場合;

Bmn，pa=~

[ 1

ー〈ー1〉叫p 1  1ー(‑1)岡 同

! 

/，̲̲.，  ，.，，

1 

問問一瓦

l

2  "(雨戸前夜二手) 2  (m²‑q

つ

(n'A‑t'J)J (16)  なほ(15)(16)より次の関係を得る口

Amn，pq = Apq，mn ， Bmn，vq = Bpq，刷 (17)  さて(1

4 )

の連立一次方程式に告いてすべてりG酬が同時には

O

でない条件を作れば， 固有振動数を定 める行列式すなわち振動数方程式を得る。との際(14)(17)を参照すれば行列式は対称となり， 従って根 〆はすべて実根怠るととがわかるD その中意味のあるのはμ2>0すなわち正根のみである。以下に沿い て，実際に上述の計算を行い最低次の固有振劃数を求めよう。

さて(14)θ始め数項を示せば次の如くである。たピし簡単のため最上段のG問の下に係数のみを並べ て書いてあるD

。

²¹

。

³¹ a32  a41  (~~'JD__ J，..:l 16 

5

²

k 一

τ2 

k

，‑(P+Q)‑¥.‑*‑v ，""</  ¥ 3 )1'J"'

R‑kp 

''‑ • ‑r  ーっ175CP‑Q)  ^‑':R 1 5 

R 2

一 品 ..=0  16 

.，.!.~V"， (P_Q)

175 

ー ←1 R 5 

2~

45'""‑

10^，Jr D  I A ¥  ，1..2  16/D  ̲ A ¥   32 

1011k-~

k(P +Q)‑k

μ ， 一一(P̲Q) .，

v . : "

，.，CP‑Q)…..=0 

189'~ ~/ 147 

1 6

rTII  n.¥  "')21， 

1 3

1./1")，n."¥  (3¥J'n  1，..2 

一

CP‑Q)

1 3

²

k

ー

. ! . ; : k ( P

十Q)ー

t

~ )2

R‑k

μ  ~-R …ー・=0

1 8 9 ' ' ' '  

"'v  2 ¥5 ' 

32/~ 2...  17./T ' o . i " < . "   12¥ 

一一(P‑Q) ~

R 

17²kー.L~k(P 十 Q) ーt .，:P~R-kμ… =0

147"'"  7.n.  2 ¥ 1 5 '  

(18) 

4  福 井 大 学 工 学 部 研 控 報 告 第2巻構2号

特に

P=Q

の場合すなわち均等外圧とせん断力が作用する場合には ，

m

^十

n + j

^り

+q=

偶数又は寄数によ って上式はこ群白方程式に牙れることは前論文U に~けると全く同様である。そして一般に m 十 n+p

+q=

奇数の場合に小さい最低周有振動を与えるものと考えられる。

第 2 図 さでは8)より一項のみを用いると，

' t J  _~ ^〆

時 岨

^d..=Q/P

^一 _一一一

^ト一一一

ア会ケ

/ 〆 '

院 : ^{ミ て}

y  _¥ 

J  ¥0 

¥ 

l ど

/  ^{( ¥}   h 

ー I~ ^ー10 一

5 0 

15 

p =

伍/伍 第 3 図

4 0  

‑ 5 0   ‑ 4 0   ‑ 3 0   ‑ 2 0   ‑ 1 0   o  1 0   2 0  

R = 予 告

5.

結 び

25h‑2KP^十Q〉‑jR=hμ2 即ち

μ:.1=25‑2・5(P+Q)‑1・441R (19) 

之は P~Q， R持O の附近ではよい近似値 を与える。更に多(CD項をとれば広い範 囲にわたってよりよい近似式を得る。い まこのごとくして P，Q，Rと1¹²の関係を 求めたとし，第2，3図のごとくぐらふに 表わしたとすれば，すべての曲綿は縦軸 のμ:.I=25CD点を通り之は正確値である。

また横軸を切る点はμ=0従ってp=Oす なわち座屈荷重を与える点である。従っ て横軸を切る点がよい近似値であるなら ば，縦軸を切る点が正確値であるゆえ，

その他の点もよい近似値であろうと息わ れる。然して前論文11に沿いて詳述した ごとく，四項まで用いると

P . Q

^勾

O ; R < O

の附近では誤差が大きいけれども他の部 分では相当に良好た座屈荷重の近似値を 与え，かっ計算式も比較的簡単であるロ 従って本論文に告いても四項まで用いて 戸を計算するととにする。かくして得ら れた主主E結果を第2.3図に示す。第3図 の破棋は前述の如く

R<O

では誤差が大 きいりで，前論文に長けるごとく曲棋が 横軸を‑30にて切るもDと仮定して画い た推定補正曲棋である口

周辺に種々の荷重をうける周辺回転端直角二等辺三角形板のたわみ振動の最低次回有振動数を求めた由 設計などの際の資料とたし得るであろう。又少しく工夫すれば高次振動の振動数も求めるととが出来るロ との際振動数が簡単な整数比をなさないととは，一般の形の板， 膜の振動と同様である。情振動波形は 前論文の第2図などを参照されたい。

註、

1)著者;周辺回転端直角二等辺三角形板の座屈 機概学会論文集 19巷 83号 59頁く昭28) 2)例えば;弾性安定要望， 62頁参照