三角形と四角形 問題
z 二等辺三角形
z 二等辺三角形の性質
z 二等辺三角形であるための条件 z 正三角形
z 直角三角形の合同
z 直角三角形の合同条件を使った証明 z 平行四辺形
z 平行四辺形の性質
z 平行四辺形であるための条件 z いろいろな平行四辺形
z 平行線と面積 円周角
z
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中学数学 数奇な数
例題 （ ） （ ）
例題 1
（ 1 ） 次のア～オに当てはまる言葉を書き入れなさい。
① 用語の意味をはっきり述べたものを、その用語のアという。
② 証明されたことがらのうちで、よく使われるものをイという。
③ 二等辺三角形の等しい辺の間の角を ウといい、ウに対する辺をエ、エの両 端の角をオという。
ア エ
イ ウ
オ
（ 2 ） △ ABC で AB AC ならば∠ B ∠ C であることを次のように 証明した。ア～オをうめて証明を完成させなさい。
∠ A の 二等分線を ひ き、
辺 BC と の交 点を D とする。
△ ABD と △ AC D において
仮定より AB ア…①、∠ BAD ∠イ…② ウは共通…③
①、②、③より 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ ABD ≡△エ
したがって∠ B ∠オ ア
エ
イ ウ
オ
エ
| |
ウ
オ オ
A
B C
| |
解 （ ） （ ）
解 1 1 ）
（
ア 定義 エ 底辺
イ 定理 ウ 頂角 オ 底角
（
2 ）
∠ A の 二等分線を ひ き、
辺 BC と の交 点を D とする。
△ ABD と △ AC D に おいて
より AB C …①、∠ BAD ∠ CAD …②
仮定 A
AD は共通…③
① 、② 、③ より 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△ ABD ≡△ ACD
したがって∠ B ∠ C ア AC
エ ACD
イ CAD C
ウ AD
オ
例題 （ ） （ ）
（ 3 ） 下の図で、∠ 、∠ の大きさを求めなさい。ただし、同じ印 をつけた辺の長さは等しいものとする。
① ② ③
（ 4 ） AB AC である△ ABC において、∠ A の二等分線と辺 BC との 交点を D とする。このとき BD CD となることを次のように証明し た 。 ア～オをうめて証明を完成させなさい。
△ ABD と △アにおいて
仮定より AB イ…①、∠ BAD ∠ウ…② エは共通…③
① 、② 、③ より オから
△ ABD ≡△ ACD
たがって BD CD し
ア エ
イ ウ
オ
| |
x y
50 ◦
|
|
30 ◦
y x
|
|
x y
139 ◦
A
B C
| |
D
•
•
解 （ ） （ ）
解 1
（ 3 ）
① ② ③
∠ 65 ° ∠ 120 ° ∠ 41 °
∠ 65 ° ∠ 30 ° 1 ∠ 98 °
（ 4 ）
△ ABD と △ AC D に おいて
より AB C …①、∠ BAD ∠ CAD …②
仮定 A
AD は共通…③
① 、② 、③ より 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいから
△ ABD ≡△ ACD
たがって BD CD し
ア ACD エ AD
イ C 辺 A
オ 2 とその間の角がそれ 等しい ウ CAD
ぞれ
例題
例題 2
（ 1 ） 次のことがらの逆をいいなさい。また、それが正しいかどう か調べなさい。
①
自然数 、 で、 と が偶数ならば も偶数である。
②
△ ABC で∠ A 90 °ならば∠ B ∠ C 90 °である。
③
0 、 0 ならば 0 である。
（ 2 ）△ ABC で∠ B ∠ C のとき、 AB AC となることを次のように証明した。ア
カをうめて証明を完成させなさい。
～
∠ A の二等分線と辺 BC との交点を D とする。
△ ABD と△ アに おいて
仮定より∠ B ∠イ…①、∠ BAD ∠ウ…②、またエは共通…③ 三角形の内角 の和 はオ°だから
①、②より∠ ADB ∠ ADC …④
② 、③ 、④ より 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△ ABD ≡△ ACD
したがって AB カ ア
エ
イ ウ
オ カ
A
B C
解
解 2 1 ）
（
① 自然数 、 で、 が偶数ならば と も偶数である。
正しくない
② △ ABC で ∠ B ∠ C 90 °ならば∠ A 90 °である。
正しい
③ 0 ならば 0 、 0 である。
正しくない 2 ）
（
∠ A の二等分線と辺 BC との交点を D とする。
△ ABD と△ ACD において
仮定より∠ B ∠ C …①、∠ BAD ∠ CAD …②、また AD は共通…③ 三角形の内角 の和 は 18 0 °だ から
①、②より∠ ADB ∠ ADC …④
② 、③ 、④ より 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△ ABD ≡△ ACD
したがって AB AC ア ACD
エ AD
イ C オ 180
ウ CAD
AC
カ
例題 （ ）
例題 3
△ ABC において AB BC CA のとき、
∠ A ∠ B ∠ C であることを次のよう に証明した。ア～ウをうめて証明を完成 さ せな さ い。
△ ABC は AB A C の二等辺三角形とみなせるから∠ B ∠ア…① また、 BA B C の二 等 辺三 角形とみなせるから∠イ ∠ウ…②
①、②より∠ A ∠ B ∠ C
ア イ ウ
例題 4
（ 1 ） △ ABC と △ DEF で AC DF 、
∠ A ∠ D 、∠ B ∠ E 90 °のとき、
△ ABC ≡△ DEF となることを次のように 証明した。 ア～ウをうめて証明を完成 させなさい。
△アと△ D EF において 仮定より
AC DF …①、∠ A …②、∠ B ∠ E …③
∠ D
三角形の内角の和は 180 °だから②、③より∠イ ∠ウ…④
①、②、④より 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△ ABC ≡△ DEF
ア イ ウ
A
B C
| |
|
A
B C
D
E F
| |
解 （ ）
3 解
△ ABC は AB A C の二等辺三角形とみなせるから ∠ B ∠ C …① また、 BA B C の二 等 辺三 角形とみなせるから∠ A ∠ C …②
①、②より∠ A ∠ B ∠ C イ A
C ウ C
ア 解 4
1 ）
（
△ ABC と△ DEF において 仮定より
AC DF …①、∠ A …②、∠ B ∠ E …③
∠ D
三角形の内角の和は 180 °だから②、③より∠ C ∠ F …④
①、②、④より 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△ AB C ≡△ DEF
ア ABC イ C ウ F
例題 （ ）
（ 2 ） △ ABC と△ DEF で AC DF 、 AB DE 、∠ B ∠ E 90 °のとき、
△ ABC ≡△ DEF となることを次のよ うに証明した。 ア～オをうめて証明 を完成させなさい。
△ ABC と△ DEF において
DF …①、 AB イ…②、∠ B ∠ E 90 °…③ 仮定よりア
AB を DE に 重 ね 合 わ せ る よ う に
△ ABC を裏返すと、③より CB と FE は一直線になり、右の図のような
△ ACF ができる。
△ ACF は①より二等辺三角形だから
∠ C ∠ウ…④
三角形の内角の和は 180 °だから
③、④より∠ BAC ∠エ…⑤
②、③、⑤よりオから
△
ABC ≡△ DEF
ア エ
イ ウ
オ
A
B C
D
E F
| |
|| ||
A (D)
B (E)
C F
| || |
解 （ ）
4 （ 2 ） 解
△ ABC と△ DEF において
DF …①、 AB DE …②、∠ B ∠ E 90 °…③ 仮定より AC
AB を DE に 重 ね 合 わ せ る よ う に
△ ABC を裏返すと、③より CB と FE は一直線になり、右の図のような
△ ACF ができる。
△ ACF は①より二等辺三角形だから
∠ C ∠ F …④
三角形の内角の和は 18 0 ° だか ら
③、④より∠ BA C ∠ EDF …⑤
②、③、⑤より 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△
ABC ≡△ DEF
ア AC エ EDF
イ D E
オ 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しい ウ F
A (D)
B (E)
C F
| || |
例題 （ ） （ ）
（ 3 ） 次の図で合同な三角形はどれとどれか。また、そのとき使っ た直角三角形の合同条件も答えなさい。
合同条件
合同条件
（ 4 ） ∠ XOY の内部の点 P から OX 、 OY に引いた垂線 PA 、 PB の長 さが等しいとき、 OP は∠ XOY を二等分することを証明しなさい。
C A B
8cm 10cm
E
D
F 30 ◦
8cm
G
H I
45 ◦ 8cm
J K
L 8cm
10cm N
M O
30 ◦
8cm
X
O Y
P
|
|
A
B
解 （ ） （ ）
解 4 （ 3 ）
△ ABC ≡△ JKL △ DEF ≡△ MNO
合同条件 斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい 合同条件 斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい
（ 4 ）
△ APO と△ BPO において 仮定より
∠ P
PO は共通…③
AO ∠ PBO 90 °…①、 PA PB …②
①、②、③より直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しいから
△ APO ≡△ BPO
したがって∠ POA ∠ POB だから OP は∠ XOY を二等分する。
例題 （ ） （ ）
（ 5 ） ∠ XOY の二等分線上の点 P から OX 、 OY に垂線をひき、その 交点をそれぞれ A 、 B とする。このとき PA PB となることを証明 しなさい。
例題 5
（ 1 ） 下の図の△ ABC において AB AC 、∠ BEC ∠ CDB 90 °の とき BE CD となることを証明しなさい。
X
O Y
P
• • A
B
A
B C
E
D
解 （ ） （ ）
解 4 （ 5 ）
△ APO と△ BPO において 仮定より
∠ P
PO は共通…③
AO ∠ PBO 90 °…①、∠ POA POB …②
① 、② 、③より直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しいから
△ APO ≡△ B O P
たがって PA PB し
解 5
（ 1 ）
△ BCD と △ CBE に おいて
仮定より AB AC … ①、 ∠ CDB ∠ BEC 90 °…② 共通だか ら BC CB …③
①より∠ ABC ∠ ACB …④
②、③、④より
直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しいから
△ BCD ≡△ CBE
したがって BE CD
例題 （ ）
（ 2 ） 下の図 の△ ABC において AB AC 、 DB EC であるとき
○ ア BE CD となることを証明しなさい。
○ イ BE と CD の交点を F とするとき、△ FBC はどんな三角形になるか。
の理由を答えなさい。
そ
A
B C
E D
A
B C
E D
F
解 （ ）
解 5 （ 2 ）
○ ア
△ BCD と△ CBE において
仮定より AB AC … ①、 D B EC …②、
共通だか ら BC CB …③
①より∠ ABC ∠ ACB …④
、③、④より
②
2 辺とその間の角がそれぞれ等しいから
△ BCD ≡△ CBE
たがって BE CD し
○ イ
○ ア 証明よ △ B DCB ∠ EBC
の り CD ≡△ CBE だから ∠
つの角が等しいので△ FBC は二等辺三角形である。
2
例題 （ ） （ ）
例題 6
（ 1 ） □ ABCD において AB DC 、 AD BC であることを次のように 証明した。ア～オをうめて証明を完成させなさい。
対角線 AC をひく。
△ア と △ イにおいて、仮定より AB ∕∕ DC だから∠ BA C ∠ウ …① AD ∕∕ BC だか ら∠エ ∠ D AC …② 共通だから AC CA …③
①、②、③よりオから
△ ABC ≡△ CDA
したがって AB DC 、 AD BC ア
エ
イ ウ
オ
（ 2 ） □ ABCD において∠ A ∠ C 、∠ B ∠ D であることを次のように証明した。ア～オ
を 成さ
（ 結 よ A C ≡ だから うめて証明を完 せなさい。
1 ）の 果 り△ B △ア
∠ B ∠ D 、∠ BAC ∠ DCA …①、∠ ACB ∠ CAD …②、
①、②より
∠ BAC ∠ CA D ∠イ ∠ ウだから ∠ A ∠ C したがって∠ A ∠ C 、∠ B ∠ D
ア イ ウ
A
B C
D
A
B C
D
解 （ ） （ ）
解 6 1 ）
（
対角線 AC をひく。
△ ABC と
だから∠ ∠ …①
△ CDA において、仮定より
AB ∕∕ DC BAC DCA
AD ∕∕ BC だか ら∠ BC A ∠ DAC …② 共通だから AC C A …③
①、②、③より 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△ ABC ≡△ CDA
したがって AB DC 、 AD BC イ DA ア ABC
エ BCA
C
オ 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しい ウ DCA
（ 2 ）
（ 1 ）の 結 果 よ り△ A C B ≡ △ C DA だから
∠ B ∠ D 、∠ BAC ∠ DCA …①、∠ ACB ∠ CAD …②、
①、②より
∠ BAC ∠ CA D ∠ D CA ∠ AC B だ から∠ A ∠ C したがって∠ A ∠ C 、∠ B ∠ D
イ DCA
ア CDA ウ ACB
例題 （ ）
（ 3 ） □ ABCD において、対角線の交点を O と すると AO CO 、 BO DO となることを次 のように証明した。ア～オをうめて証明を 完成 さ
△ OB と△ COD において させな い。
A
） 結果より△ △ CDA だからア イ
（ 1 の ABC ≡ …①
AB ∕∕ DC だから∠ BAO ∠ウ…②、∠エ ∠ CDO …③
① 、② 、③ より オから
△ AOB ≡△ COD
したがって AO CO 、 BO DO ア
エ
イ ウ
オ 例題 7
（ 1 ） □ ABCD の対角線の交点 O を通る直線と辺 AB と辺 CD との交 点を P 、 Q とする。このとき PO QO となることを証明しなさい。
A
B C
D O
A
B C
D P O
Q
解 （ ）
6 （ 3 ） 解
△ A OB と△ COD において
） 結果より△ だから A …
（ 1 の ABC ≡△ CDA B CD ①
AB ∕∕ DC だから∠ B AO ∠ DCO …②、∠ ABO ∠ CDO …③
① 、② 、③ より 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△ AOB ≡△ COD
したがって AO CO 、 BO DO イ D ア AB
エ
C
オ 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しい ウ DCO
ABO 解 7
（ 1 ）
O △ COQ において
△ A P と
AB ∕∕ DC だから∠ OAP ∠ OCQ … ①
対頂角は等しいから∠ AOP ∠ COQ …②
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから AO C O …③
① 、② 、③ より 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいから
△ AOP ≡△ COQ
したがって PO QO
例題 （ ） （ ）
（ 2 ） □ ABCD の対角線 AC 上に AE CF となるように点 E 、 F をと ると、 BE DF となることを証明しなさい。
例題 8
（ 1 ） 四角形 ABCD で AB DC 、 AD BC ならば、 AB ∕∕ DC 、 AD ∕∕ BC であることを証明しなさい。
A
B C
D
|
|
E
F
A
B C
|
D
|
|| ||
例題 （ ） （ ）
解 7 （ 2 ）
△ ABE と△ CDF において 仮定より
…①
AE CF
AB ∕∕ DC だから∠ BAE ∠ DCF …②
平行四辺形の対辺は等しいから AB CD …③
①、②、③より 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいから
△ ABE ≡△ CDF
たがって BE DF し
解 8
（ 1 ）
対角線 AC をひく。
△ ABC と △ CD A において
仮定より AB CD … ① B C DA …② 共通だから AC CA …③
①
3 辺がそれぞれ等しいから△ ABC ≡△ CDA
、②、③より
したがって
∠ CAD ∠ ACB だから AD BC ∕∕
∠ ACD ∠ CAB だから AB ∕∕ DC
例題 （ ） （ ）
（ 2 ） 四角形 ABCD で∠ A ∠ C 、∠ B ∠ D ならば、 AB ∕∕ DC 、 AD ∕∕ BC であることを証明しなさい。
（ 3 ） 四角形 ABCD の対角線の交点を O とするとき、 AO CO 、 BO DO ならば、 AB ∕∕ DC 、 AD ∕∕ BC であることを証明しなさい。
A
B C
D
A
B C
D O
|
|| |
||
解 （ ） （ ）
解
BA の延長上に点 E をとる。
8 （ 2 ）
仮定より ∠ A ∠ C …①、∠ B ∠ D …② 四角形 A BCD の 内角 の 和は 36 0 °だから
∠ A ∠ B ∠ C ∠ D 360 °… ③
①、② 、③ よ り∠ A ∠ B 180 °…④ また∠ A ∠ D AE 180 ° …⑤
④、⑤より∠ B ∠ DA E だから AD ∕∕ BC 様にして AB ∕∕ DC
同
（ 3 ）
△ AOB と△ COD において 仮定より
AO CO …①、 BO D
O …②
対頂角は等しいから∠ AOB ∠ COD …③
① 、② 、 より
△ AOB ≡△ CO
③ 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいから D
したがって∠ O AB ∠ OCD より AB ∕∕ DC 様にして AD ∕∕ BC
同
例題 （ ）
（ 4 ） 四角形 ABCD で AB DC 、 AB ∕∕ DC ならば、 AD ∕∕ BC であるこ とを証明しなさい。
例題 9
□ ABCD の対角線 AC 上に AE CF となるように点 E 、 F をとるとき、
角形 EBFD は平行四辺形となることを証明しなさい。
四
A
B C
D
| |
A
B C
D
|
|
