工業数理基礎(J)［数学の基礎-三角関数］
◎ 三平方の定理
c (斜辺) b (高さ)
a (底辺)
直角三角形の三辺の長さを図のように a,b,c とすると き、次の関係が成り立つ。
= +
◎ 三角比
上図の直角三角形でa=4, b=3のとき、c=5となる。
辺aとbの長さをそれぞれ2倍にする(a’=8, b’=6)と辺c’
の長さは、10になる。このように、三つの角度が同じ 直角三角形では、一つの辺の長さが n倍になれば、残 りの二つの辺の長さもそれぞれn倍になる。
10
5 3 6 )θ
4
8 すなわち、辺の長さの比は一定であるといえる。たとえば、角度 θ
シータ
の直角三角形で底辺 と斜辺の比は、
底辺 斜辺
= = = 0.8となる。辺の長さを2倍した三角形でも、
底辺 斜辺
= = = 0.8
となる。これを三角比(三角関数)といい、次の関係が成り立つ。
高さ 斜辺
= sinθ, 底辺 斜辺
= cosθ, 高さ 底辺
= tanθ
◎ 三角関数
次の代表的な三角形の図を参考にして、三角関数の値を答えよ。答えは分数のままでも よい。電卓は使わないこと。
① sin 30ﾟ = 1/2 ② sin 45ﾟ = 1/√2 ③ sin 60ﾟ = √3/2
④ cos 30ﾟ = √3/2 ⑤ cos 45ﾟ = 1/√2 ⑥ cos 60ﾟ = 1/2
⑦ tan 30ﾟ = 1/√3 ⑧ tan 45ﾟ = 1 ⑨ tan 60ﾟ = √3
工業数理基礎(J)［数学の基礎-三角関数］
数学の基礎練習問題 1 年次 組 番・氏名
【1】次の直角三角形でについて答えよ。平方根は簡単にして答える(例 √20 = 2√5)。
c
b a
(1) = 3, = 4のとき はいくらか。
= &3 + 4 = √9 + 16 = √25 = 5
(2) = 8, = 6のとき はいくらか。
= &8 + 6 = √64 + 36 = √100 = 10
(3) = 5, = 5のとき はいくらか。
= &5 + 5 = √25 + 25 = √50 = 5√2
(4) = 3, = 5のとき はいくらか。
= + より、 = ( , = & (
= √25 ( 9 = √16 = 4
(5) = 6, = 9のとき はいくらか。
= √81 ( 36 = √45 = 3√5
(6) = 9, = 15のとき はいくらか。
= + より、 = ( , = & (
= √225 ( 81 = √144 = 12
(7) = 6, = 12のとき はいくらか。
= √144 ( 36 = √108 = 6√3
【2】次の三角比を求めよ。平方根は簡単にして答える(例 √20 = 2√5)。分数のままでよい。
c
b )θ
a
*+, - =高さ 斜辺
, .* - =底辺
斜辺
, / , - =高さ 底辺
(1) = √3, = 1, = 2
- = 30° *+, - =1
2 .* - =√3
2 / , - = 1
√3 (2) = 1, = 1, = √2
- = 45° *+, - = 1
√2 .* - = 1
√2 / , - =1
(3) = 1, = √3, = 2
- = 60° *+, - =√3
2 .* - =1
2 / , - =√3
(4) = 4, = 3, = 5
- = 36.87° *+, - =3
5 .* - =4
5 / , - =3
4 (5) = 12, = 9, = 15
- = 36.87° *+, - = 9 15=3
5 .* - =12
15=4
5 / , - = 9 12=3
4
(4) (5)の三角形のイメージ
同 じ 角 度 の 直角 三 角 形は 辺 の長 さ が
違っても、二辺の比率は同じになる。
工業数理基礎(J)［数学の基礎-三角関数］
数学の基礎練習問題 2 年次 組 番・氏名
c
b )θ
a
*+, - =高さ 斜辺
, .* - =底辺
斜辺
, / , - =高さ 底辺 角度がθの直角三角形では、辺の長さに関係なく、二辺の長さの比率は同じになる。こ の性質を利用すると、角度θの直角三角形で一辺の長さがわかれば他の二辺の長さが計算 できる。
例 - = 30° の直角三角形の場合。*+, 30° = 1/2, .* 30° = √3/2, / , 30° = 1/√3。
① 辺 = 10のとき辺 の長さは？
辺 と辺 の比率は、 .* -である。この関係式を使って次のように求める。
.* 30° =√3 2 =
10より a = 10 1√3 2 = 5√3
② 辺 = 10のとき辺 の長さは？
辺 と辺 の比率は、*+, -である。この関係式を使って次のように求める。
*+, 30° =1
2=10より = 10 11 2= 5
【1】次の辺の長さを求めよ。平方根は簡単にして答える(√20 = 2√5)。分数のままでよい。
直角三角形 c
b )θ
a
- = 30° → : : = √3: 1: 2 - = 45° → : : = 1: 1: √2 - = 60° → : : = 1: √3: 2
- = 30° → *+, 30° =1
2, .* 30° =√3
2 , / , 30° = 1
√3 - = 45° → *+, 45° = 1
√2, .* 45° = 1
√2, / , 45° = 1 - = 60° → *+, 60° =√3
2 , .* 60° =1
2, / , 60° = √3 (1) - = 30°, = 30のとき は?
= 30 cos 30° =30√3
2 = 15√3
(2) - = 30°, = 30のとき は?
= 30 sin 30° =30 2 = 15 (3) - = 30°, = 30のとき は?
= 30
cos 30°= 30 1 2
√3=60
√3=60 1 √3
√3 1 √3=60√3 3 = 20√3
(4) - = 30°, = 30のとき は?
= 30
sin 30°= 30 1 2 = 60 (5) - = 60°, = 30のとき は?
= 30 cos 60° =30 2 = 15
(6) - = 60°, = 30のとき は?
= 30 tan 60° = 30√3 (7) - = 45°, = 30のとき は?
= 30 tan 45° = 30
(8) - = 45°, = 30のとき は?
= 30
cos 45°= 30√2
