二等辺三角形の底角は等 しい
1.は じめに
分数 ので きな い大学生 な どといわれ最近数学 の学力不足 がいわれ て久 しい｡ 学力不足 は複合 的 な要因 といって しま えばそれ までだがいつ も 考 えて しま う課題 であ る｡今年度数学科 の指導 法の研 究 の教材 と して小林 昭七カ リフォル ニア 大学教授 の ｢ユー ク リッ ド幾何か ら現代幾何 ‑｣
を使 用 した｡ この本 を読み進 めて行 く中で新 た にユー ク リッ ド原論 を見直す こ とが でき次の よ
うな考 えに至 った｡
平 面図形 を中学 ･高校 の数学で教 える意義 は どんな こ とにあ るのだ ろ うか｡ も ともと図形 は 古代エ ジプ ト時代 か ら川 の氾濫 な どによ り土地 の測量な どのた めに発 達 してきた と言 われ てい る｡つま りは生活のための実用が発祥 であろ う｡
しか し紀 元 前300年 頃 ユ ー ク リ ッ ド (Euclid 330‑275 B.C.頃) は図形 の性 質 をい くつ かの 定義 ,公理 (公 準) か ら演緯的 に命題 (定理) を証明 してい くとい うそれ までにない発想 で研 究 して ｢ユー ク リッ ド原論 ｣ を著 した｡ それ ま で数や図形 は生活 のための実用 的な意義 しか な か った もの をこの よ うな発想 で構成 してい くこ とに よって数学 の体 系 をつ くる とい うこ とは こ れ以後 ｢数 学｣ とい う学問の発展 につなが り基 本的には現代数学 に も脈 々 と受 け継 がれてい る｡
｢ユー ク リッ ド原 論 ｣ はそ の後世 界 中に広 ま り 聖書に次 ぐ世界 的なベ ス トセ ラー にな り世界 中 の国々の学校数学で教 えられている｡ユー ク リッ ド原論 では5個 の公 準か ら多 くの命題 (定理)
沖 山 義光
を証 明 してい るが初 めの方 の命題 は公 準1か ら 4だけが使 われ ていて後 の方 で公準5は使 われ る｡ この ことに疑 問 を もった数学者 は公 準1か ら4を用 いて公 準5を証明で きないか と考 え さ ま ざまな試 みがな され る｡公 準5はいわゆ る平 行線 の公 準 とい うもので これ を除いて公準1か ら4か らな る絶対幾何学 をGirolamo Saccheri (1667‑1733伊)AdrienMarieLegendre(1752‑
1833仏) な どが研 究 したが結 局公 準5を導 くこ とはで きなか った｡ その他 多 くの数 学者 が試み るが結局公準5と同値 な命題 を含 めた り論理的 な誤 りな どが く り返 され る｡ そ してNicolai lvanovitchLobachevsky(1793‑1856露)が1829 年 に, ま たGauss(1792‑1813)は1813年 頃 か
ら, ま た
J
昌nos(Johann)Bolyaiは1823年 頃 に 平行線 の公準 を否 定 して も矛盾 のない幾何 が成 立す るこ とに気 がつ き非ユー ク リッ ド幾何 の発 見 が され る. そ の後Beltrami, Poincar6お よ びKleinに よ る双 曲幾何 の モ デ ル に よ りそ の 意味が分 か る よ うにな る｡ さ らにRiemannはG aussを受 け継 い で微 分 を用 い て 一 般 化 した Riemann幾何 を確 立す る｡ この よ うにユ ー ク リッ ド原論 は現代数学 に深 く貢献 し関わ りを持 つ ものであ り,公理的 な意 味 で現代数学 の見地 か らは不完全 であ る ことは確 か であ るがそれ を あ る程度意識 しなが ら作 図 に よる公 理 の不備 を 補 いつつ学校数学 で もで きるだ け取 り入れ てい くことが正 しい こ とではないだ ろ うか｡ ユー ク リ ッ ド原 論 の 公 理 的 論 的 な 不 備 に 関 して は David Hilbert(1862‑1943)が ｢数 学 基礎 論｣神森川大学心理 ･教育研究論岱 第31号 (2012年3Jl31口)
においてその完全性 を追究 しているC この よ う に して現代数学 の発展 につなが ってい る｡
学校数学 で図形 を計墓計算 (長 さや面積 な ど を求める) に重 きをお くことは進か古代の数学 を学ぶ こととお な じであ りこれ も大事 なことで はあるが数学の論理の厳密性 を学ばなけれ ば面 白み もない｡今 の数学教育は実用 に偏重 してい るきらいがある｡役 に立たない と意味はない と いった傾 向があ るが これは反省す るべ き事 では ないだろ うか｡ 数学は論理 を追究 しその正 しさ を議論 してい くものでその後にできた体系が 自 然界 に適応 した り社会 に役 立つ結果 になってい るとい うのが正 しい｡ もちろん現実 と論理 は車 の両輪 であ り自然現象 か ら数学の ヒン トを得た
り発想 を推 し進 めることも大切 ではある｡
学校数学では数学 とい う学問の姿勢や考 え方 をできるだけ取 り入れ て真 の数学の姿 を見 てい く経験が大事である と思 う｡ それ は人間が単に 動物 と して生 きてい くのではな く多 くの真実 を 知 りそ こに人 と しての生 き甲斐 を見つけること になるか らであ る｡証 明は難 しいか らとか七面 倒 くさいか らといって数学か ら証明 を取 り除い た ら何 にもな くなるのでは無いだろ うか｡生徒 は嫌 いだ とい うか ら論理や証明を除 けば益 々嫌 いになるのではないだ ろ うか｡生徒 は計算や試 験は出来な くて も本質 を見抜 いてい るものだ と い う意識 をもって教育に当たるべ きである｡
この よ うな考 えか らユー ク リッ ド原論 をあ ら ためて見直 してみたい｡ しか し平面幾何 をすべ て調べ るのはあま りに も膨 大なので ここでは1 つの命題 ｢二等辺三角形の底角は等 しい｣ につ いての証明は数 学教育 (中学 ･高校 )で どの よ
うに扱 われ てい るか調 べてみ ることに した｡
2.教科書での扱い
(その1)文部省検 定済 中学校数 学科用 ｢数 学2｣啓林館 (1980)をみ ると次の よ うに証明
している｡
二等辺三角形 の2つの底 角は等 しい｡
A B‑A Cである△ A BCについて
∠B‑∠Cである｡
〔証明
〕∠A
の二等分線 を引 き,BCとの交点 をDとす る｡ △A BDと△ A CDで∠BAD‑ ∠CA D ･‑(∋ A B‑A C ･･･② またAD‑A D ‑･③
① ,② ,③ か ら二辺 とその 間の角がそれぞれ等 しいので
△A BD=△ A CD B D C よって
∠B
‑∠C Q.E . D .
要す るに頂角∠Aの二等分線 を引いて,二辺 爽角相等の合 同条件 を用いて証明 してい る｡頂 角∠Aの二等分線 を引 くことについてはその前 の問 として実際に二等辺三角形 を二つ折 りにす る とい う作業 を させ ることか ら自然 に角 の二等 分線 が引けることを確認 させ二辺爽角の合同条 件は公理 とはいわないが根拠 となる性質 として 証明な しに成 り立つ もの と している｡
次に文部省検定済高校教科書 ｢数学Ⅰ幾何｣
三省堂 (1956)ではやは り同 じよ うに頂角の二 等分線 を引いて二辺爽角の合 同条件 を用 いて証 明 している｡ 二辺爽角の合 同条件 はその前に定 理 と して証明 され ている｡ 証明の根拠 は ｢二つ の図形があって一方 を移動 して他方 に全 く重ね 合わせ ることがで きるとき この二つの図形 は合 同である｣ とい う重ね合わせ の原理 か ら二辺爽 角の合 同条件 を証明 してい る｡∠Aの二等分線 につ いては特 に説 明はない｡ (その1) と同様 に∠Aの二等分線ADを引 くことがで きる とい うことには触れ ていない こ とに注 目していただ きたい｡
現在使 われ ている中学校 の教科書5冊 を調べ ると検定済中学校教科書 ｢新偏 新 しい数学 2｣
東京書籍
,
｢未来‑ひろが る 数学 2｣啓林館 ,｢新版 中学校数学 2｣大 日本図書
,
｢中学校 数学 2｣学校 図書 (いずれ も2005年発行) ともに大同小異 で (その1) と変わ らず頂角の二 等分線 を引いて二辺爽角相等 の合 同条件 を用 い ている｡ そ して角 の二等分線 を引 くヒン トとし
てその前に二等辺三角形 の紙 を折 って重ね合わ せ る作業や図解 が導入 され て角の二等分線 を意 識 させ ているところも同 じである｡
また2010年 日本数学教育学会誌第92巻第11号 数 学 教育64‑6特集 授 業研 究 の た めの 日本 の算 数 ･数 学教 育理論Ⅲ‑4説 明 と論 証 ロー4‑1.
図形 の論証 の 中で も証明の模範例 と して (そ の1) と同 じ証明が載 っていることがわかった｡
そ こでい くつかの著名 な幾何 の本 では どの よ う に扱 われてい るか をさらに調べてみた｡
3.｢わかる幾何学
｣
での扱 い｢わか る幾何学｣(1959)は湯川秀樹 も学生時 代愛読 していた とい う幾何学の名著で現代 にも 価値 を失われ ていない｡公理 は4つでま とめて いる｡
公理l 図形 を動かす こと 公理 Ⅲ 平面 を重ね ること 公理 Ⅲ 直線 の公理 公理Ⅳ 平行線 の公理
であ りユー ク リッ ド原論 よ りも作図な どの判断 を適宜に入れ ている｡ 二等辺三角形 の底角が等
しい ことの証明は以下の よ うにな っている｡
〔証明〕三角形A BCを裏返 し角Aの2辺 を左 右お きかえて元の位置 におけばA BはA Cに重 な りA CはA Bに重な るか ら底辺BCはその両 端がお きかわって もとのBCに重 なる｡故 に角 Bは角Cと重 な る｡ (これ と共 に角Cは角Bと 重なる)か ら2角B,Cは相等 しいのである｡
A A
‑‑‑‑‑ ‑ ‑
B C
C
B｢等 辺 三角形の底角 は等 しい この証明の後 に上の よ うに証明 しな くても頂 角Aの二等分線 を作 りこれ を折 り目として左 を 右へ折 り返 して もできると して (その1)の考 えを補足 してい る｡
これ はPappus (320年 頃) の証 明 と本質的に 同 じであ るがPappusはす べ て重ね合 わせ の方 法ではな く二辺爽角の合 同条件 を根拠 に してい る｡後半の別証は角Aの二等分線 をつ くって折 り返 し重ね合 わせの方法 を用 いた証明である｡
4.｢幾何一 高校数学への提唱
‑
｣での扱い｢幾何｣(1980)は第1章 で平面幾何 の公理的 構成 を行 っていて二等辺三角形の底角 は等 しい ことを二等辺三角形 の紙片 を折 って実証的に確 かめ, さらに帰納的 に納得す ることへの疑問を 投 げかけそ こか ら
丁 結合 関係
異 なる二点 を通 る直線 はただ一つ しかない
Ⅲ 平行線
直線外 の一点 を通 って,その直線 と平行 な直 線 はただ‑つかない｡
Ⅲ 分 割 ･移動
直線 は平面 を二つの部分 に分 ける｡
線分 (や角)は他 の位 置に大 きさを変 えないで 一意的に移動す ることが できる｡
二辺 とそのは さむ角 が等 しいが等 しい二つの 三角形 は合 同であるO
の基本性質 を導 きこれ らの基本性質 を公理 とし て幾何学を組み立ててい くことを提唱 している｡
Ⅲの分割 ･移動 につ いては さらにい くつかの公 理 に分 け もっ と厳密性 を追求 して公理系を構成
している｡
ここでの証明はPappusの証 明であ り頂角A の二等分線 を引いての証明ではない｡
神奈川大学心理 ･教育研究論蝕 第 31号 (2012年 3月 31日)
(その 2)〔証明〕 △A BC と△A C Bにおいて A B‑A C,A C‑A B
A
∠BA C‑∠CA B したが って
辺角辺 の合 同条件 に よ り
△A BC≡△A CB
∴∠A BC‑∠A CB
5.｢幾何のおも しろさ
｣( 1 9 8 5 )
での扱 い小平先生は この本 の "は じめに" で以下の よ うに述べてい る｡
｢近年,数学教育の現代化 に伴 ってユー ク リッ ド平面幾何 学 が初 等教 育 (高校 卒業 までの教 育)か ら追放 され て しまった｡ その理 由の1つ がユー ク リッ ド平面幾何が論理的に厳密でなかっ た ことにあった と聞 く｡ フランスの数学者デュー ドンネ (∫.Diedonne') に よれ ば "中等 学校 に おけるユーク リッ ド幾何 な ど廃止すべ きである｡
今 までの中等教育の題材 とされていたユー ク リッ ド幾何 は定義 も定理 も正確 でな く,少 しも数 学 になっていない‑" とい う｡私 は, これ はおか しい と思 う｡ "ユ ー ク リッ ド幾何 が少 しも数 学 になっていない" とい うのは現代数 学の立場 か ら見た とき数学 にな っていない, とい う意味 で あろ う｡ しか しユー ク リッ ド幾何 はギ リシャ以 降二千年 に亘 って学 問の典型 とされ てきた立派 な数学 であった｡ ‑｣
と述 べ さらに
｢数 学 の厳 密性 をい うので あれ ば, 高校 で扱 う微積 分 学 も現代数 学 か らみれ ば∈‑∂論 法 な ど扱 わない し高校 に登場 した微積分 学 も定義 も 定理 も不正確 で少 しも数学 にな っていない｡ だ か らといって微積分学 を高校数学か ら追放す る であろ うか｡ 現代数学の立場か ら見 た とき,平 面幾何 は厳密 でなか ったか も知れ ないがそ こで 学んだ論理は厳密 である｡数学の初等教 育か ら 論理的 に厳密 でない とい ってユー ク リッ ド平面 幾何 を追放 したた めに論理 まで追放 した ことは
致命 的な誤 りである｡｣
と述べ平面幾何 のお も しろ さ と して パ ズル と しての面 白さ
自然科学 と しての面 白さ
論理的 に厳密 な学 問の体 系 を学んでい る と い う満足感
を と りあげユー ク リッ ド幾何 の論理的欠陥 と し て "順序 の公理"特 に "平面上 の点 と直線 の順 序"を分か りやすい範囲でできるだけ厳密 に扱 っ てい る｡ ただ "順序" に関す る定理 には図 をみ れ ば明 らかの ものが多 くなぜ こんな明 らかな こ とを証明 しなけれ ばな らないのか初学者 は苦 し むか も知れ ないので定理 が明 らかなのにその証 明が煩雑過 ぎる と思 えば証 明 を とば して進 んで よい と してい る｡ これ は現代 数学 を研 究す る際 も 目的 とす るテーマ に関す る定理 をすべ て厳密 に証明す るのは最後 であって直観 に よって明 ら かな こ とはすべ て証 明 してか ら先‑進 むわ けで はない とい う数学者 の信条が よ く現れ てい る｡
学校数学か らユー ク リッ ド幾何 が厳密 でないか ら追放す べ きであ る とい うの は この よ うな観 点 か らも誤 りであ り単純 に厳密 に取 り扱 うのでは な く児童 ･生徒 の発達段階 に応 じた扱 い を研 究 してい くことで数学教育の最 も重要 な題材 の一 つ にな ってい る と考 える｡
｢幾何 の面 白さ｣ では 次の よ うな公 理体 系 を 考 えてい る｡
公理 1 相異 な る二点 A とBが与 え られ た とき AとBを通 る直線 を引 くこ とが で きる｡
AとBを通 る直線 はただ一 つ しかないo
/
. . L
3 ‑‑‑公理2 直線 /が三点A,B,Cのいずれ も通 らない とき,/は三つの線 分 A B, A C, BC のいずれ とも交わ らないかまたはその うち二つ
と交わ って他 の一 つ とは交 わ らない｡
BA ノ
この公理の他に ヒルベル トが ｢幾何学の基礎｣
で定めた公理群か ら導かれ る定理の うち直線上 の点の順序 に関す る定理は証明な しには じめか
ら明 らかである として 自由に使 う｡
公理3 線分A B上の点CがAとBのいずれ と も異なる とき,等式A B‑A C+CBが成 り立 つ｡
A/ ‑ 了 B
公理4 点Cが∠AO Bの内部 にあるとき 等式∠AOB‑∠AOC+∠COBが成 り立つ｡
公 理5△ A BCと‑ 直線 上にない任 意の三点 0,p,Qに対 して半直線op上 の点B'と直線 opに関 してQと同 じ側 にあ る点 C'を合 同式
△ o B'C'≡△ A BCが成 り立つ よ うに定 め る ことができる｡
A D B
A
以上5個の公理 を設定 し定理16(二等辺三角形
二等辺 三角形の底角 は等 しい
の二つの底角 は等 しい｡) を定理15(二辺爽角 の合 同定理) を用 いてPapussの証明で証 明 し ている｡ ちなみに定理15の証 明には定理14, ll, 10を用 いていて,定理14の証 明には公理5,定 理10を定理11の証明には定理6を定理10の証明 には公理 3を用い, さらに定理 6に証明には定 理4を定理4の証明には定理2を定理2の証 明 には公理2を用 いている｡
42 定理10
4
2 定理14■ 公理5 定理16くコ 定理15くコ 定理11くコ分
定理10‑ 公理3 公理2‑
642
細
分
細分
細6.
｢ユーク リッ ド原論｣( 1 97
1)での扱 い ユー ク リッ ド原論 (第‑巻)では定義23個 と公 理 を公準 (要請)と称 し,公準 を5個 ,また幾何 以外 で も成 り立つ共通概念 を公理 と称 し公理 を 9個設定 して多 くの定理 (命題) を証明 してい る｡命題5 二等辺 三角形 の底辺 の上 にあ る角 は互 いに等 しく,等 しい辺が延長 され るとき底辺 の 下の角は互いに等 しい｡
A B‑A CであってA BD,A CEは一直線 上 とす るとき∠A BC‑∠A CB,∠CBD‑
∠BCEを示す｡
(その3)〔証明〕
BD上 に任意の点Xが とられ,大 きい線分A Eか ら小 さい線分AXに等 しいAYが切 り取 ら れ,線分XC,Y Bを結ぶ｡
そ うすればAX‑AY,A B‑A Cかつ ∠X AYは共通の角 なので命題4よ り底辺XC‑底 辺Y B
す なわち△A XCと△ AY Bは合 同｡
従 って ∠A CX‑∠A BY,
∠AXC‑∠AY B
そ して AX‑AYかつA B‑A Cよ り
神奈川 大半心理 .教育研究論姓 第 31号 (20)2年 3月 31日)
A X‑A I3‑AY ‑A C (公理 3) よって BX‑ CY
ところが XC‑Y Bかつ ∠BXC‑∠CY B よって命題 4よ り△ BXCと△ CYBは合同｡
従 って∠XBC‑∠Y CB かつ ∠ BC X‑∠CBY
す ると ∠A BY‑∠A CXであるか ら これか ら ∠ CBY‑∠BCXを引 くと 公理 3よ り∠ABC‑∠ACB
この証明では公理3と命題4 (二辺爽角の合 同定理)が用 い られ てい る｡命題4はいわ ゆる 重ね合わせ の方法 を用 いて証明 していて公準 を 用 いた厳密 な論 理的証明 とはいえない｡ユー ク リッ ド原論 は公理的な方法で数学の体系を作 り 上 げてい くとい う思想の もとに2000年以上受 け 継 がれ てきたが厳密 な公理的構成 は ヒルベル ト の幾何学基礎論 (1899年) を待 たなければな ら ない｡ ヒルベル トは命題4を公理 として扱 うべ きであると した｡ この よ うにユー ク リッ ド原論 の公理的な構成 には現代か ら見た ら厳密 ではな い部分 もあ る｡ しか しそれ を含 めて もできるだ けユー ク リッ ド原論 にそった形 で中高の数学 で も扱 う方がいいのではないか と思 う｡ユーク リッ ド原論 の命題5の証明は少 し複雑 ではあるが公 理的構成 を考 えた場合やむを得 ない ことであ り 論理的厳密性 を重視す ることや現代数学‑のつ なが りのプ ロセ スを理解 してお くことは教育上 不可欠 であるとさえ思 う｡
7.｢幾何 学 基 礎 論 ｣ での 扱 い
｢条酎可学基礎 論｣ (1969)は ヒルベル トの数学 の基礎 に関す る研究の最初 の著作 である｡ ヒル ベル トはユー ク リッ ド幾何学の公理的方法の厳 密性 を補 い証明は もちろん公理か らもはたまた 基礎 の概念構成 の うちか らも空間的幾何学的直 観‑の依存 を除きこれに代えて論理的関係 を持っ て しよ うとす る徹底的な論理的立場 をは じめて 確立 した｡ これ に よって19世紀の集合論の背理 か ら始 まる ｢数学の基礎 の危機｣の打開を図 り 現代数 学につなが ってい くのである｡
幾何学の公理 を次の よ うに五群分 けている｡
結合 の公理Ⅰ 1‑8 順序 の公理Ⅱ 卜4 合 同の公理Ⅲ 1‑5 平行 の公理Ⅳ 連続 の公理V 1‑2
そ して定理群 の中に
定理11合 同な二通 を有す る一つの三角形 に於 てその適 に封す る角は合 同である｡換言すれば 二等蓬三角形 に於 て両底角は相等 しい｡
がある｡
定理11は公理Ⅲ 5お よび公理Ⅲ 4の後 半か ら 証明 され る とだけかかれ ていて証明は省略 され ている｡
公理 Ⅲ 5 二つ の三角形 A B Cお よびA B′C′に 於て合 同関係 A B=A B′,A C≡A C′, ∠BA c≡∠B′A C′が成 り立てばまた恒に合 同関係 ∠ A BC≡∠A B′C′が成 り立つ｡
公理Ⅲ 4の後半 :与 え られ た平面上の与 え られ た半直線 を一過 と しこの直線 に対 して与 え られ た側 に任意の角 を唯一通 りに合 同に移す ことが 出来 る｡
公理Ⅲ 5はユー ク リッ ド原論 の命題4と同 じ であ りこれ を用 いて証明す るとい うことは明 ら かにPapuusの証明 をす るこ とになる｡
8. ｢初 等 幾 何 公理から考える入 門
｣( 2 0 0 5)
で の 扱 いこの本 はユー ク リッ ド幾何 と非ユー ク リッ ド 幾何 を統合 し初等幾何 と して新 しく公理的構成
を試 み ている｡ その中で
定理1.24(底 角 定理 ) 二等 辺 三角 形 の底 角 は 等 しい｡
とあ り2つの証 明 をあげてい る｡
証 明 (1)△A BCをA B‑ACな る二等辺 三角 形 とす る｡ いま三角形△ABC,△ACBにお いて頂点間の対応A‑ A, B‑ C,C‑ Bと考 える とこの対応 の も とでAB‑AC,AC‑A B,∠A‑∠Aがいえるか らSA S (2辺爽角) よ り△A BC≡△A CB よって∠B‑∠C がい える｡
これ は明 らか にPappusの証 明 で あ る｡ そ し て この証 明はあ る意味で肩透 か しを食 った感 が 否 めない と して頂角 の二等分線 を引 く証 明(2)
を別 に行 ってい る｡ そ こでは頂角の二等分線 が 底辺BCと交わ るこ とを示す こ とがポイ ン トで あ る｡ 角 の 二等 分線 につ いて は ｢幾何 学 Ⅰ 現 代数 学か ら見たユー ク リッ ド原論｣ (2007)の 中 で三角形ABCの頂角Aの二等分線 が点B,C の間で直線BCに交わ り延長上 では交わ らない とど うしてわか るのか ?もちろん図か ら明 らか であ るが も し図 を描 かないで理 由を説明す る と
した らど うす るか ?
B C
と記 され ていて公理系の厳密性 を要求 している｡
証明(2)は以下の よ うにな ってい る｡
証 明(2)三角形△ABCをAB‑A Cな る二等 辺三角形 とす る｡∠Aの二等分線 を引 くと定理 1.19と定理1.14に よ りそれ は線 分BCと間 の 点Mで交わ る｡ この ときSA S (2辺爽角) よ り△ABM≡△ACMがいえる｡ ゆえに∠B‑
‑.等 辺 =.角形 の底角 は等 しい
∠Cである｡
証 明 (2)で も ヒルベ ル トがユー ク リッ ド原論 の命題 4 (二辺爽角 の合 同定理 ,SA S)を公 理 と した よ うに公 理1.14と して これ を用 いて 証明 してい る｡
公 理1.14(SA S)対 応 す る2辺 と爽 角 が合 同な三角形 は合 同にな る｡
また こ こで使 われ て い る定 理1.19, 定 理1.14 は以 下の ものである｡
=E
定理1.19 2点B,CをVAの 同 じ側 と した とき 次は同値 である｡
(1)k(∠AVB)<k(∠AVC) (2)B ∈ Int∠AVC
(3) ∠AVB,∠BVCは隣接 角であ る｡
定 理1.14 (ク ロ ス バ ー 定 理 (Crossbar Theorem))角∠AVBが与 え られた とす る｡
この とき
≡E
P
∈ Int∠A
VB ⇔ VPn
lntAB≠◎この2つの定理 の証 明に使 われ てい るのは定理 1.10,1.12,1.13,1.14,1.18,1.20(2)お よび公 理1.9 (Pashの分 離公 理),公 理1.8(平 面分 離公 理 (PlaneSeparation Postulate)), 公 理1.10, 1.ll,1.13で あ り下 図 の よ うな論 理体系 にな る｡
定理1.19く声 定理1 定理1
分
.14定理
分
1.12,1,13↑
公理1.8,1.9
4
2 定理1･10 18くコ 定理1.20(1)廿
定理1.12,1.14
↑
公理1.10,1.ll,1.13
公 理1.8(平 面分 離 公 理 (Plane Separation
神 奈川 大学 心理 ･教 育研 究論集 第 31号 (2012年 3月 31日)
Postulate,PSP))任意 の直線 Jに関 して /上 に ない点全体 を盟 (I)であ らわす と,次 を満 たす
詑 1,
詑
2が存在す る｡(1)盟 (/)‑詑 】
∪
詑2,
詑 ln
詑2‑申,
詑 .,詑 2キ￠ (2)p,Q∈
詑 )(or詑2)⇒ PQ,Iは交わ らない｡(3)p∈詑 1, Q
∈
詑2⇒ PQ,Iは交わ る｡ この とき詑 1,詑2を /の半平面 とい う｡
公理1.9(パ ッシ ュ(Pash)の分離公理)平面 内 の3点A,B,Cが共線 でない (同一直線上 に ない) と して,直線 /は この3点 を通 らない と す る｡ この とき JがA Bと交われ ば,BC,A Cのいずれか一方 のみ と必ず交わ る.
なお公理1.10(角 の合 同の定義 ･公理),公 理 1.ll (角の移動公理),公理1.12(隣接角 ･ 角 の和 の定義) お よび定理1.10,1.12,1.13, 1.18,1.20(2)については紙面の都合上 内容 は 省略 とす る｡
この よ うに定理1.19を証 明す るに は少 な く とも5つの公理が準備 され なければな らない こ とがわか る｡
9.ユーク リッ ド原論での循環論法 二等辺三角形の底角 は等 しいことを証明す る には公理の設定の仕方で (その1)(その2)(そ の3)の3つ に大別 され ることがわか った｡文 科省の指導の及ぶ教科書等 では (その 1)が使 われ一方公理的に構成 しよ うと試み ている場合 は (その2)Papussの証 明 を採用 してい る｡
ユー ク リッ ド原論 は唯一 (その3)の証明方法 を選んでい る｡ なぜその よ うになったのか｡ そ の理 由の探 る手だて として (その1)の証明方 法 をユー ク リッ ド原論 に採用 してみ よ う｡
ユー ク リッ ド原論では定理 を命題 と称 してい るのでそれ に従 う｡ そ してユー ク リッ ド原論 で は命題5がそれ に当たる｡命題5を証明す るの に必要 な命題 は以下の ものである｡
命題1 与 え られ た線分A Bを一辺 とす る正三 角形 を描 くことができる｡
(証明)公準3によ りAを中心 としてBを通 る 円,Bを中心 と してAを通 る円をそれ ぞれ唯一 描 くことができる｡
この二つの円の交点 を CとすればCとA,Cと Bを結ぶ線分 の存在 と一 意性 は公 準1で保証 され
ているので円の定義15よ A 7 K B りCA‑A B,CB‑A
Bこれ によ り三角形A BCは正三角形 とな る｡
(注)交 点Cの存在 の保 証 に はDedekindの連 続性 の公理が必要である｡
命題4 二つの三角形△ A B Cと△A B′C′にお いてA B‑A B′,A C‑A C′,∠A‑∠Aな ら ば
∠ B‑∠B′,∠ C‑∠ C′であ る｡
△ ｡ △ ｡′
B′
(証明)A B′をA B,A C'をA Cに重ねた とき 公準1よ りBとCを結ぶ線分 は唯一であるか ら B′C′とBCが重 な り 2つの三角形は重 なる｡
これ よ り証明で きた｡
(注)Euclldは2つ の図形 を重 ね る こ とで証 明できた としてい るが これが証明になっている かは問題 で ある｡ Hilbeltは命題4を公理 と し た｡
命題5 Aを頂点 とす る二等辺 三角形△ A BC の底角∠ Bと∠Cは互 い に等 しい｡ (表現は異 なる)
命題7 線 分A Bの同 じ側 にあ る二点C,Dに 対 しA CとADの長 さが等 しくBCとBDの長 さが等 しいな らば実はCとDは同一点である｡
A B B D
(証明) C≠D とす る と,
A C‑ADよ り命題 5よ り∠A CD‑∠AD C ここで
∠A CD >∠D CBだか ら
∠AD C〉∠D CB･･･①
同様 に BC‑BDよ り∠BCD‑∠ BD C ここで
∠ BDC〉∠A DCだか ら
∠BCD〉∠A D C･･･②
(丑,② よ り矛盾｡ よって C‑Dで ある｡
(注) ここで図 か ら∠A CD >∠D CB, ∠B DC>∠A DCと判 断 してい るが これ は ｢幾何 学 Ⅰ 現代数 学 か ら見 たユ ー ク リッ ド原 論｣で も指摘 している よ うに ｢間｣に関す る公理 の必 要性 がある｡
命題8 三角形 △A BCと△A B′C′に対応 す る 辺 A BとA B′, BCとB′C′, CA とC′Aが等 し い な らば対応 す る ∠A と∠A, ∠ B と∠ B′,
∠Cと∠C′は等 しい｡
(証 明)A B とA B′を重 ね て, 同 じ側 に C とC′
が くるよ うに移 動す る｡
AC‑AC′, BC‑B′C′よ り命題 7か らC‑ C′
よって △ A BCと△A B′C′は合 同にな り題 意 は証 明 され た｡
A(AZ W B,,C
(注)ここで も重ね合わせの方法が使 われている｡
二等辺 三角形の底角 は等 しい
命題 9 与 え られ た角 ∠BA Cを二等分す るこ とがで きる｡
(証 明)命題 1よ りA D ‑AEとな る点 D,Eを A B,A C上 に と りD Eを一辺 とす る△ D EF を描 くことがで きる｡
この ときA Fが ∠BA Cを二等分 してい る｡
なぜ な らば仮 定 よ りAD‑A Eかつ D F‑EF でA Fは共通 よって 命 題 8に よ り∠DA F‑
∠EA Fとな り∠BA Cは二等分 され る｡
A a F
角 の二等分線 を引 くことが で きる ことは命題 9で保証 され るO つ ま り命題9の証 明には命題 1,命題8が使 われ てい る｡ そ して命題 1は公 準3によって,命題8は命題7に よって,命題 7は命題5に よって証 明で き る｡ つ ま り命題5 を証 明す るのに命題5が必要 とな って しまい循 環論 法 にな る｡
42命題1‑ 公準3
命題
5
くコ命題9
く声命題8
くコ命題7
くコ命題5
ユー ク リッ ドは このために命題5を証 明す る のに頂角の二等分線 を使 わず に命題4を使 って ち ょっ と煩雑 な証明 を したのではないか と推 測 できる｡
1 0
.終わ りにこの よ うにみ て くる と ｢二等辺 三角形 の底辺 は等 しい｣ とい う定理 を頂角 の二等分線 を引い て証明す る (その1) が必ず しもいい とはい え ないのではないか｡ 文科省 の検 定教科書がなぜ 一律 に (その1) の証 明 を採 用 してい るのか｡
角 の二等分線 を仮定す るには もっ と多 くの公理
神奈川 大乍 心理 ･教 育研 究諭躯 第31号 (2012年 3ノ｣31日)
が必 要 にな るこ とは ｢幾何 のお も しろ さ
｣
｢初 等幾何入 門一 公理 か ら考 える｣ な どか ら分 か る よ うに多 くの公理 を前提 と しな くてはな らない｡中学校 の教科 書 では三角形 の合 同条件 も (3 価) も平行線 の公理 もすべ て基本性質 とい う言 葉 で述べ あたか も公理 と して扱 ってい る｡ また 文部省 著作教科 書 ｢中等数 学第 三学年用(2)｣ (1947) では三角形 の合 同条件や 三角形 の外 角 の定理 ,相似 の条件 な どが作図 を通 して事実 と して述べ られ あ とは これ らを用 いた計 墓問題 ば か りであるOつ ま りこの時代 には図形 に よる論 理指導 は され ていない｡ この流れ か らすれ ば角 の二等分線 が引 けるこ とは作図 を通 して納得 さ せ てい るこ とが理解 で きる｡ ユー ク リッ ド原論 では角 の二等分線 が引ける ことは命題9で証明 してい るが残 念 なが ら命 題5を証 明す るには循 環論法 にな る｡ この こ とを考 える と (その 1) の証明 よ りユー ク リッ ド原論 の証 明 (その 3) の方 を論理 の訓練 も含 めて学校数 学 で採用 した 方 が いい の で は な い だ ろ うかO また はPappus の証 明 (その 2) で もいいが肩透 か しの感 が否 めない｡ とす る と (その 3) の方 がまだす ぐれ ている｡ ユー ク リッ ド原論 が2000年 を優 に超 え て学校数学 で使 われ ている由縁 は厳存 している｡
なお今後 の課題 と してなぜ教科書 では (その 1)の証明にな ったのか｡ 戦後 の教科書 での扱 いや洋算 が導入 され た明治時代 の菊池大鹿 ｢初 等幾何 学教科書 ｣(1888年 明治21年)長 滞亀 之助
｢初 等幾何 学 ｣(1894年 明治27年)林鶴 一 ｢新撰 幾何学教科書｣ (1912年 明治45年) ｢中等教育幾 何 学教科書｣ (1913年 大正2年 ) な どでは どの よ うに扱 われ てい るか を さらに調 べ られ た らと 思 う｡ なお本文 はユー ク リッ ド原論 をつぶ さに 読 む内に 自然 に気づ いた ことを考察 しま とめて み たがす でに この よ うな事 は調べ られ てい るか 先行研 究 を確認 す るこ とはできなか った｡ 先達 の方 々の ご意見 ･ご教授 ･ご指摘 をいただけれ ばあ りがた くお受 け したい と思 う次第 であ る｡
参考文献
1)橋本純次 ･栗 田稔他14名 :文部省検 定済 中 学校数学科用 ｢数学2｣(1980(昭55)年12 月)啓林館 p.118
2)田中正夫 ･清水辰 次郎 ･石谷茂 :文部省検 定 済 み 高 校 教 科 書 ｢数 学Ⅰ幾 何｣ (1956 (昭和31)年12月)三省 堂 p.14‑15 3)杉 山吉茂 ･俣 野 博他32名 :検 定済 中学校教
科書 ｢新偏 新 しい数学 2｣ (2005(平成17) 年2月)東京 書籍
4)岡本和夫 ･小 関照純他39名 :検 定済 中学校 教科 書 ｢未 来 ‑ ひ ろが る 数 学2｣ (2005
(平成17)年2月)啓林館
5)吉 田稔他17名 :検定済 中学校教科書 ｢新版 中学校数 学 2｣ (2005(平成17)年2月) 大 日本 図書
6)‑松信 ,岡 田禄 男 ,町 田彰一郎 ほか29名 : 検定 済中学校教科書 ｢中学校 数 学 2｣
(2005(平成17)年2月 )学校 図書
7)松尾七重 :日本数学教 育学会誌 第92巻第11 号数 学 教 育64‑6特集 授 業研 究 の た め の 日 本 の算数 ･数 学教 育理論Ⅲ一4説 明 と論 証
Ⅱ‑4‑1. 図 形 の 論 証2010 (平 成22)午 p.70‑71
8)秋 山武太郎 :｢わか る幾何学｣(1959(昭和 34)年10月)初版 日新 出版 p.24 9)秋 月康 夫 ･柴 田敏 男
:
｢幾何一 高校 数学 ‑の提唱‑｣(1980(昭和55)年2月) 紀伊 国屋 書店 p.ll
10)小平邦彦 :｢幾何 のお も しろ さ｣(1985(昭 和60)年8月)第6版 岩 波書店
ll) 中村幸四郎 ･寺阪英孝他2名 :｢ユー ク リッ ド原 論｣ (1971(昭和46)年7月) 初版 共 立出版
12)小林 昭七 :｢ユー ク リッ ド幾何 か ら現 代 幾 何 へ｣(1990(平成2)年10月) 初版 日 本評論社
13)ヒルベル ト 中村 幸 四郎訳 :｢幾何 学基礎 論｣ (1969(昭和44)年11月 ) 清水 弘文堂
書房 p.ll‑33
14)構 上武 賓 :｢初 等幾何 入 門一 公 理 か ら考 え る｣ (2005(平成17)年9月) 初版 日本 論社
15) Rノ ､‑ ツ ホー ン著 難 波 誠 訳 :｢幾何 学
Ⅰ 現代数 学 か ら見 たユー ク リッ ド原 論｣ (2007(平成19)年10月)シュプ リンガ一 ･ ヽ､ヽ
ソ ヤ パ ン
16)文部省 著作教科 書 :｢中等数学 第三学年用 (2)｣(1947(昭和22)年11月)
二等 辺 =.角形の底角は等 しい
