ベクトルの内積(計算)

名前 (       ）

ベクトルの内積(計算)

ベクトルの内積

  ２     ,  

      （    ） ,  

（     ） 表 。 

内積 2 （        ） ！ 

※  算 違 ！

⃗ 0 ⃗ a , ⃗ b

| a ⃗ || b ⃗ | cos θ a ⃗ b ⃗ ^内積

⃗ a ⋅ ⃗ b

x

  角     。次 内積 求 。

⃗

a b⃗ θ a ⃗⋅ b⃗

例題

解

(1) | a ⃗| = 4, | b⃗| = 3, θ = 45^∘

(2) | a ⃗| = 6, | b⃗|= 3, θ = 120^∘

⃗a ⋅ ⃗b = | ⃗a || ⃗b |cosθ

(1)

= 4×3×cos 45^∘ = 4× 3× 1 2 =

⃗

a ⋅ b⃗ = | a ⃗|| b⃗|cosθ

(2)

= 6×3×cos 120^∘ = 6×3× (− 1 2)=

6 2

−9

↑ 算 ！

同 向 度合

⃗ a ⋅ ⃗ b = | ⃗ a || ⃗ b | cos θ

a ⃗

b ⃗ θ

（    ）

始点

名前 (       ）

ベクトルの内積(図形)

ベクトルの内積

⃗ a ⋅ ⃗ b = | ⃗ a || ⃗ b | cos θ

a ⃗

b ⃗ θ

x

下 直角三角形 ABC  , 内積 BA⃗⋅AC ⃗ 求 。

例題

解

（    ）

始点

  ２     ,  

      （    ） ,  

（     ） 表 。 

内積 ２ （       ） ！ 

※  算 違 ！ 

図形上 ２ 内積 考 ， 

（        ） 利用 ，必  

（    ） 合 考 ！

⃗ 0 ⃗ a , ⃗ b

| a ⃗ || b ⃗ | cos θ a ⃗ b ⃗ ^内積

⃗ a ⋅ ⃗ b

同 向 度合

始点

平行移動

C

B

A

∘ 60^∘

120^∘

3

2

1

  平行移動 始点 合 ！

⃗BA

⃗BA⋅ ⃗AC = | ⃗BA|| ⃗AC|cos 120^∘

= 2× 3×(− 1 2)

= − 3

名前 (       ）

成分による内積の表示

x

次  a ⃗, b ⃗ , 内積a ⃗⋅ b⃗ 求 。

例題１

ベクトルの内積の成分による表示

解

      （      ）   表 。

⃗ a = (a

, a

), ⃗ b = (b

, b

)

a ⃗

b ⃗ θ

(1) a ⃗= (2, 5), b⃗= (3, −2)

(2) a ⃗= (3, 6), b⃗ = (2, − 6)

⃗

a ⋅ b⃗ = a₁b₁+a₂b₂

(1)

= 2×3 + 5× (−2) =

(2)

= 3×2 + 6 ×(− 6) =

a ⃗ − b ⃗

| a ⃗ − b ⃗ |

= | a ⃗ |

+ | b ⃗ |

− 2 | a ⃗ || b ⃗ | cos θ

| a⃗|| b⃗|cosθ = a ⃗⋅ b⃗

| a ⃗ − b ⃗ |

= | a ⃗ |

+ | b ⃗ |

− 2 a ⃗ ⋅ b ⃗

(a

− b

)

+ (a

− b

)

= (a

+ a

) + (b

+ b

) − 2 a ⃗ ⋅ b ⃗

⃗ a ⋅ ⃗ b = a b + a b

⃗a ⋅ ⃗b = a₁b₁+a₂b₂

⃗ a ⋅ ⃗ b = a

b

+ a

b

−4

0

証明

名前 (       ）

ベクトルのなす角

x

次 ２ 角    求θ 。

例題

ベクトルのなす角

解

内積 定義   

   変形 ,   次 式 成 立 。

⃗ a = (a

, a

), ⃗ b = (b

, b

)

| a ⃗ || b ⃗ | cos θ = a ⃗ ⋅ b ⃗

(1) a ⃗= (2, 1), b⃗= (−3, 1)

(2) a ⃗= (1, 3), b⃗ = ( 3, 1)

⃗

a ⋅ b⃗ = 2×(−3) + 1×1 = −5

(1)

(2)

cos θ = a ⃗ ⋅ b ⃗

| a ⃗ || b ⃗ | = a

b

+ a

b

a

+ a

b

+ b

| a⃗| = 2²+ 1² = 5

| b⃗| = (−3)²+ 1² = 10 cosθ = a⃗⋅ b⃗

| a⃗|| b⃗| = 5

5 10 = 1 2

,   

0

≦ θ ≦ 180

⃗a ⋅ ⃗b = 1× 3 + 3 ×1 = 2 3

| a⃗| = 1²+ ( 3)² = 2

| b⃗| = ( 3)² + 1² = 2 cosθ = a⃗⋅ b⃗

| a⃗|| b⃗| = 2 3

2⋅2 = 3 2

名前 (       ）

ベクトルの垂直条件

次 ２ 垂直

x

例題１

解

(1) a ⃗= (3, 6), b⃗ = (x, 4) ⁽²⁾ a ⃗= (x, −1), b⃗ = (x, x + 2)

⃗ a ⋅ ⃗ b = 0

(1) (2)

x = − 8

⃗ a ⋅ ⃗ b = 0

(x − 2)(x + 1) = 0 x = − 1, 2 ベクトルの垂直条件

  ,    

⃗ a ≠ ⃗ 0 , ⃗ b ≠ ⃗ 0 ⃗ a = (a

, a

), ⃗ b = (b

, b

)

a ⃗

b ⃗ θ = 90

x

− x − 2 = 0 3x + 24 = 0

①  

②

⃗ a ⊥ ⃗ b ⟺ ⃗ a ⋅ ⃗ b = 0

⃗ a ⊥ ⃗ b ⟺ a

b

+ a

b

= 0

⃗ a ⋅ ⃗ b = | ⃗ a || ⃗ b | cos θ

= | a ⃗ || b ⃗ | cos 90

0

内積 ２ （      ）  

表 ！ 

垂直 ，内積 ＝（    ） ！

同 向 度合

0

名前 (       ）

ベクトルの垂直条件

x

  垂直 大         求 。

⃗a = (2, 1) 10 ⃗b

例題２

解

  , 

⃗a ⊥ ⃗b ⃗a ⋅ ⃗b = 0 ^, 2x +y = 0

・・・①

| b⃗|² = ( 10)^{2 ,} x²+y² = 10 ^・・・②

, y = −2x

① ② 代入

x²+ (−2x)² = 10 5x² = 10

x = ± 2

① 代入

x = 2 y = −2 2

x = − 2 y = 2 2

⃗b = ( 2, −2 2), (− 2, 2 2)

ベクトルの垂直条件

  ,    

⃗ a ≠ ⃗ 0 , ⃗ b ≠ ⃗ 0 ⃗ a = (a

, a

), ⃗ b = (b

, b

)

a ⃗

b ⃗ θ = 90

①  

②

⃗ a ⊥ ⃗ b ⟺ ⃗ a ⋅ ⃗ b = 0

⃗ a ⊥ ⃗ b ⟺ a

b

+ a

b

= 0

⃗ a ⋅ ⃗ b = | ⃗ a || ⃗ b | cos θ

= | a ⃗ || b ⃗ | cos 90

0

内積 ２ （      ）  

表 ！ 

垂直 ，内積 ＝（    ） ！

同 向 度合

0

名前 (       ）

ベクトルの垂直条件②

x

次  ⬜  適 数字 入 。

例題

解

(1) a ⃗= (3, 6)   b⃗ = (□, 3)  平行 。 (2) a ⃗= (4, −1)   b⃗ = (1, □)  平行 。

□ = −6

(1)

(2)

ベクトルの垂直条件

□ = 4

⃗ a ⊥ ⃗ b ⟺ a

b

+ a

b

= 0

a

b

+ a

b

= 0 3 ⋅ □ + △ ⋅ 2 = 0 3 ⋅ 2 + (− 3) ⋅ 2 = 0

数字 入 替 ，  片方 符号 変 簡単

  数字 入 替  

⃗a = (3, 6) (6, 3)

  ，  成分     符号 変  

⃗b = (□, 3) x 6 −6

  数字 入 替  

⃗a = (4, −1) (−1, 4)

  ，  成分     符号 変  

⃗b = (1, □) y 4 4

名前 (       ）

内積の性質

次 等式 成 立 示 。

解

| a ⃗+ b⃗|²= | a ⃗|²+ 2a ⃗⋅ b⃗+| b⃗|²

= ( a ⃗ + b ) ⃗ ⋅ ( a ⃗ + b ) ⃗ 内積の性質

例題

(左辺)

= a ⃗ ⋅ ( a ⃗ + b ) + ⃗ b ⃗ ⋅ ( a ⃗ + b ) ⃗

= a ⃗ ⋅ a ⃗ + a ⃗ ⋅ b ⃗ + b ⃗ ⋅ a ⃗ + b ⃗ ⋅ b ⃗

= | a ⃗ |

+ 2 a ⃗ ⋅ b ⃗ + | b ⃗ |

 (右辺)

=

①  

②  

③  

④  

⑤

⃗ a ⋅ ⃗ a = | ⃗ a |

⃗ a ⋅ ⃗ b = ⃗ b ⋅ ⃗ a

( a ⃗ + b ) ⃗ ⋅ c ⃗ = a ⃗ ⋅ c ⃗ + b ⃗ ⋅ c ⃗

⃗ a ⋅ ( ⃗ b + ⃗ c ) = ⃗ a ⋅ ⃗ b + ⃗ a ⋅ ⃗ c

(k a ⃗ ) ⋅ b ⃗ = a ⃗ ⋅ (k b ⃗ ) = k ( a ⃗ ⋅ b ⃗ )

③

① 計算

④

名前 (       ）

内積の性質を用いる計算

解

  ,  値

求 。

| a ⃗| = 3, | b⃗| = 2, a ⃗⋅ b⃗ = −3 | a ⃗−2b⃗|

| a⃗−2b⃗|² = (a⃗−2b⃗)⋅(a⃗−2b⃗)

内積の性質を用いる計算

和, 差 絶対値 値 求

,  内積 性質 利用 ！

| a ⃗ + b ⃗ |

例題

= a⃗⋅(a⃗−2b⃗)−2b⃗⋅(a⃗−2b⃗)

= a ⃗⋅ a ⃗+ a⃗⋅(−2b⃗)−2b⃗⋅ a⃗−2b⃗⋅(−2b⃗)

= | a⃗|²− 4a⃗⋅ b⃗+ 4| b⃗|²

= 3²−4⋅(−3) + 4⋅2²

①  

②  

③  

④  

⑤

⃗ a ⋅ ⃗ a = | ⃗ a |

⃗ a ⋅ ⃗ b = ⃗ b ⋅ ⃗ a

( a ⃗ + b ) ⃗ ⋅ c ⃗ = a ⃗ ⋅ c ⃗ + b ⃗ ⋅ c ⃗

⃗ a ⋅ ( ⃗ b + ⃗ c ) = ⃗ a ⋅ ⃗ b + ⃗ a ⋅ ⃗ c

(k a ⃗ ) ⋅ b ⃗ = a ⃗ ⋅ (k b ⃗ ) = k ( a ⃗ ⋅ b ⃗ )

| a ⃗−2b⃗| ≧ 0

| a⃗−2b⃗|= 37

①

① 計算

③

④

代入 計算

= 37