数学演習１
No.4 2006. 5.11
ベクトルの計算
担当：市原ベクトルの内積
! "
2つの3次元ベクトルa=
a1
a2
a3
,b=
b1
b2
b3
に対し,aとbの内積(a,b)を
(a,b) =a1b1+a2b2+a3b3
で定義する．(ここでは, 3次元ベクトルで定義したが,他の次元でも同様.)
# $
ベクトルの大きさ
! "
ベクトルaを有向線分で表したときの,この線分の長さのことを,aの大きさ(あるいは, 長さ,ノルムなど)といい,|a|と表す. 実は,ベクトルaに対し,|a|='(a,a)が成り
#立つ. $
問題11 a=
3
−1
,b=
3 4
のとき,次を計算しなさい.
(1)|a|
(2) (a,b)
(3)|a+b|
(4) (b,a−b)
(5) (b−a,3a−2b)
2つのベクトルのなす角
! "
2つのベクトル−→OA,−→OBに対して,∠AOBを−→OAと−→OBとのなす角という．
# $
定理3 (ベクトルのなす角)
ベクトルaとbとの成す角をθとすると cosθ= (a,b)
|a| · |b| がなりたつ.
問題12 次の2つのベクトルのなす角を求めなさい.
(1)a=
2 1
,b=
3
−1
(2)x=
1 2
−2
,y=
1 1 0
空間ベクトルの外積
! "
2つの3次元ベクトルa=
a1
a2
a3
とb=
b1
b2
b3
に対し,
a×b=
a2b3−a3b2
a3b1−a1b3
a1b2−a2b1
で得られるベクトルを,aとbの外積(または,外積ベクトル)といい,a×bで表す.
注意:
·外積は3次元ベクトル同士の場合にのみ定義される.
·外積は,内積とは異なり,数でなくベクトルである.
# $
定理4 (外積ベクトルの性質)外積ベクトルa×bの向きは次をみたす:
a⊥(a×b), b⊥(a×b), かつ, a,b,a×bの順で右手系 a×bの長さ|a×b|は,aとbを隣り合う2辺とする平行四辺形の面積に等しい.
(aとbの張る平行四辺形という)
問題13 a=
2
−1 4
, b=
0 3 5
, c=
1
−4 2
とする．以下の外積を求めなさい．
(1)a×b
(2)b×c
(3)c×a
(4)b×a
(5)c×b
(6)a×c
