名前 ( ）
ベクトルの内積(計算)
ベクトルの内積
２ ,
（ ） ,
（ ） 表 。
内積 2 （ ） ！
※ 算 違 ！
⃗ 0 ⃗ a , ⃗ b
| a ⃗ || b ⃗ | cos θ a ⃗ b ⃗ x
角 。次 内積 求 。
⃗
a b⃗ θ a ⃗⋅ b⃗
例題
解
(1) | a ⃗| = 4, | b⃗| = 3, θ = 45∘
(2) | a ⃗| = 6, | b⃗|= 3, θ = 120∘
↑ 算 ！
⃗ a ⋅ ⃗ b = | ⃗ a || ⃗ b | cos θ
a ⃗
b ⃗ θ
（ ） 合 ！
名前 ( ）
ベクトルの内積(図形)
ベクトルの内積
⃗ a ⋅ ⃗ b = | ⃗ a || ⃗ b | cos θ
a ⃗
b ⃗ θ
x
下 直角三角形 ABC , 内積 BA⃗⋅AC ⃗ 求 。
例題
解
（ ） 合 ！
２ ,
（ ） ,
（ ） 表 。
内積 ２ （ ） ！
※ 算 違 ！
図形上 ２ 内積 考 ，
（ ） 利用 ，必
（ ） 合 考 ！
⃗ 0 ⃗ a , ⃗ b
| a ⃗ || b ⃗ | cos θ a ⃗ b ⃗
C
B
A
30∘ 60∘
3
2
1
名前 ( ）
成分による内積の表示
x
次 a ⃗, b ⃗ , 内積a ⃗⋅ b⃗ 求 。
例題１
ベクトルの内積の成分による表示
解
, 内積（ ） 表 。
⃗ a = (a
1, a
2), ⃗ b = (b
1, b
2)
a ⃗
b ⃗ θ
(1) a ⃗= (2, 5), b⃗= (3, −2)
(2) a ⃗= (3, 6), b⃗ = (2, − 6)
a ⃗ − b ⃗
| a ⃗ − b ⃗ |
2= | a ⃗ |
2+ | b ⃗ |
2− 2 | a ⃗ || b ⃗ | cos θ
| a⃗|| b⃗|cosθ = a ⃗⋅ b⃗
| a ⃗ − b ⃗ |
2= | a ⃗ |
2+ | b ⃗ |
2− 2 a ⃗ ⋅ b ⃗
(a
1− b
1)
2+ (a
2− b
2)
2= (a
12+ a
22) + (b
12+ b
22) − 2 a ⃗ ⋅ b ⃗
⃗ a ⋅ ⃗ b =
証明
名前 ( ）
ベクトルのなす角
x
次 ２ 角 求θ 。
例題
ベクトルのなす角
解
,内積 定義
変形 , 次 式 成 立 。
⃗ a = (a
1, a
2), ⃗ b = (b
1, b
2)
| a ⃗ || b ⃗ | cos θ = a ⃗ ⋅ b ⃗
(1) a ⃗= (2, 1), b⃗= (−3, 1)
(2) a ⃗= (1, 3), b⃗ = ( 3, 1)
cos θ = a ⃗ ⋅ b ⃗
| a ⃗ || b ⃗ | = a
1b
1+ a
2b
2a
12+ a
22b
12+ b
22,
0
∘≦ θ ≦ 180
∘名前 ( ）
ベクトルの垂直条件
次 ２ 垂直
x
, x 値 定 。例題１
解
(1) a ⃗= (3, 6), b⃗ = (x, 4) (2) a ⃗= (x, −1), b⃗ = (x, x + 2)
ベクトルの垂直条件
,
⃗ a ≠ ⃗ 0 , ⃗ b ≠ ⃗ 0 ⃗ a = (a
1, a
2), ⃗ b = (b
1, b
2)
a ⃗
b ⃗ θ = 90
∘①
②
⃗ a ⊥ ⃗ b ⟺ ⃗ a ⋅ ⃗ b = 0
⃗ a ⊥ ⃗ b ⟺ a
1b
1+ a
2b
2= 0
⃗ a ⋅ ⃗ b = | ⃗ a || ⃗ b | cos θ
= | a ⃗ || b ⃗ | cos 90
∘0
内積 ２ （ ）
表 ！
垂直 ，内積 ＝（ ） ！
名前 ( ）
ベクトルの垂直条件
x
垂直 大 求 。
⃗a = (2, 1) 10 ⃗b
例題２
解
ベクトルの垂直条件
,
⃗ a ≠ ⃗ 0 , ⃗ b ≠ ⃗ 0 ⃗ a = (a
1, a
2), ⃗ b = (b
1, b
2)
a ⃗
b ⃗ θ = 90
∘①
②
⃗ a ⊥ ⃗ b ⟺ ⃗ a ⋅ ⃗ b = 0
⃗ a ⊥ ⃗ b ⟺ a
1b
1+ a
2b
2= 0
⃗ a ⋅ ⃗ b = | ⃗ a || ⃗ b | cos θ
= | a ⃗ || b ⃗ | cos 90
∘0
内積 ２ （ ）
表 ！
垂直 ，内積 ＝（ ） ！
名前 ( ）
ベクトルの垂直条件②
x
次 ⬜ 適 数字 入 。
例題
解
(1) a ⃗= (3, 6) b⃗ = (□, 3) 平行 。 (2) a ⃗= (4, −1) b⃗ = (1, □) 平行 。
ベクトルの垂直条件
⃗ a ⊥ ⃗ b ⟺ a
1b
1+ a
2b
2= 0
a
1b
1+ a
2b
2= 0 3 ⋅ □ + △ ⋅ 2 = 0 3 ⋅ 2 + (− 3) ⋅ 2 = 0
数字 入 替 ， 片方 符号 変 簡単
名前 ( ）
内積の性質
次 等式 成 立 示 。
解
| a ⃗+ b⃗|2= | a ⃗|2+ 2a ⃗⋅ b⃗+| b⃗|2
内積の性質
例題
①
②
③
④
⑤
⃗ a ⋅ ⃗ a = | ⃗ a |
2⃗ a ⋅ ⃗ b = ⃗ b ⋅ ⃗ a
( a ⃗ + b ) ⃗ ⋅ c ⃗ = a ⃗ ⋅ c ⃗ + b ⃗ ⋅ c ⃗
⃗ a ⋅ ( ⃗ b + ⃗ c ) = ⃗ a ⋅ ⃗ b + ⃗ a ⋅ ⃗ c
(k a ⃗ ) ⋅ b ⃗ = a ⃗ ⋅ (k b ⃗ ) = k ( a ⃗ ⋅ b ⃗ )
名前 ( ）
内積の性質を用いる計算
解
, 値
求 。
| a ⃗| = 3, | b⃗| = 2, a ⃗⋅ b⃗ = −3 | a ⃗−2b⃗|
内積の性質を用いる計算
和, 差 絶対値 値 求
, 内積 性質 利用 ！
| a ⃗ + b ⃗ |
例題
①
②
③
④
⑤
