5‑2.置換と行列式(つづき）

10/11回目（6月21日/28日）ノート

注意：

。このプリントは次回も持ってきてください．

引っ張ってある箇所は，かならずしも もよい内容です． 余力のある人,興味のある

！

・自習用に，京大が公開しているビデオ教材も活用してください：

http://ocw・kyoto‑u.ac.jp/ja/ilas/01

・今日もK=Q,R,Cのいずれかとする．

概要

o置換の行列表現．

・置換を用いた行列式の表示．

・行列式の多重線形性，歪対称性．行列式の特徴づけ．

5‑2.置換と行列式(つづき）

自然数の集合｛1,…,抑｝からそれ自身への全単射写像 ぴ ： ｛1,…,汎｝→｛1,…,"}を（n次の）置換という． 伽次 の置換全体の集合をSnまたはG"とあらわし， 沌次対称群という．

o,o′eamの合成ぴ′COをoとび'の積ともいい，単にo'ぴとも書 く. oEShに対し, OOT=TOO=Ojjとなる丁をぴの逆置換とい

い，記号γ＝o−1で表す．定義から明らかなように， o(α )＝6,な らばグ‑'(bi)=(m'であり，

｡=(:￨ : : : ::）

ならば

。‑,=(:￨童::）

である．特に，任意の置換に対して逆置換が唯一つ存在する．各置換 ぴには符号sgn(o)E{1,‑1}が定まり,sgn(ぴぴ')=sgn(o)sgn(ぴ')が

(::x":w :i)‑"

成り立つ．巡回置換(Q,, . . . ,(zk)=

は(α,,…,｡jc)=(Q,,Q2)(a2,(m3)･･･((IA‑,,QAs)と書けるので（下図 参照)sgn((a,,…,ak))=(‑1)k‑'である．

al

l ^{←（ﾊ仁ｰﾍ, 仁） ↑皇 ｆｌ Ａ仇}

^〃ノ

^{３こ ｊｊ}

例， 〃＆ ﾊﾚｰ､咋

補題5.,,. （1）任意の互換丁に対し9 T‑1=T.

（2）任意のび1,02ESnに対し, (o,d2)‑'=ぴす'or'

一 Ｒ 叩 叩 暉 如 叩 昭 和 咽 旧 肥

︑ 栂

■

■ 肥 伽 叩

■ 叩 叩

Ⅱ 恥

︑ 肥 川 岫 覗 ｌ ｈ 伽 ｄ 甲

︲ Ｍ ７ ９ １ ０

︽ 由

︑ 巡 一

■

︑

■

■ ロ

■

■

■

■

■

■

■

■

■

■ ｐ Ｄ Ｕ

Ⅱ

■

■

︒ Ｕ ９ Ｇ 個

︐ ｌ ０ ｂ ｑ

▲

■

▼

■ 二

■ グ ｄ ｐ ０

■

■

■

■ ロ 日

■ 一 画 ０

︑

︲ １ １

■ 口 座 ロ ヨ

■

■

■ 且

■

■

■

■

□ 官

︒

▽

(c)任意の"ESに対し釘･"‑1="‑1 ．〃＝eとなるz−lESが ただ一つ存在する．露−1は範の逆元とよばれる．

対称群はoidを単位元に持つ群であり,"対称群一 の名称はこの性 質に基づく．

例． （1）0でない実数RI{0}は通常の掛け算によって群になる．

単位元は1である． 0を除いたのは， 0には 逆元 が存在し ないからである．

（2）集合ハム,"(R)に行列の掛け算によって演算を入れたものは群

にならない．なぜなら逆元（＝逆行列）が存在しない行列があ るからである． しかし正則行列全体からなる部分集合は行列 の掛け算によって群となる．

（3）交代群A"は囚。を単位元にもつ群である．実際，偶置換の積 は再び偶置換であり，偶置換の逆元（逆置換）も偶置換である．

(4)平面内の正多面体Tに対しTをTに移す合同変換全体は群 である． 蝋位元は恒等変換（まったく動かさない変換)．

１︐ｂ 〃０︑ｑｒＤＩｔＢ﹄０１

I

最後の例が示唆するように，群は図形の対称性を量るのに用いら れることがある． この点をもう少し見てみる． まず，多角形や多面体 は頂点のみをその実体だと考えることにする．実際，相似変換や合 同変換は頂点の行き先を決めれば一意にきまるから，頂点のみの情

報で十分である． 3角形T={A11A2'A3}CR2の合同変換全体を D(T)と書くことにする．

に望Lハ

^T

タクーー

≧

A皇

D(T)={｡:T→T￨のはTの合同変換｝

たとえば興じを図のような2等辺三角形とするとき，

A弓

n=A A』 _残

r<

雌

D(Z")={伽,｡(23)},

jid(Al)=Al,｡id(A2)=A2,did(A3)=A3,

･(23)(A1)=A1'.(23)(A2)=(A3)'｡(23)(A3)=A2･

となる．蛾)=ゅ(23)であり,D(Z")は伽を蛸位元とする群であ

る． ところで，上の表示をよく見ると，対称群を使って次のように書 くことができることがわかる．

D(T)={｡｡ ￨OES3S.t. ｡(A') :=A｡(i)は･Tの合同変換}.

１１１

鯛呼ⅡⅢⅢＩⅢ心臓ⅡⅢⅢ冊１１４冊ＩＩ９ｌＩ剛１１０１１１１１１１１１１１１１１１１刷過鼎川月刊１１脚１４１川ＩＩｊｊ１１ｌｌ１則１＃叩１１９１ｉ５．９１日０８■■ＩＨ９Ｊｒ■

ところでSSの元に対しては，それが正3角形を裏返すことと奇置 換であることが同値であった. S4ではどうだろうか？そもそも正4 面体の裏表とはなんなのか．実はこれを逆手に取って次のように定 義する．

定義5.18.正4面体の合同変換.ED(Z,)が向きを裏返すとは， ．

に対応する置換が奇置換であるときをいう．

たとえば図の2つの正4面体は向きが反対になっている．

また

ソ

今

互換は奇置換であった． 称， すなわち

鏡に映すことに相当するから，上の定義は直観にもあうだろう．正4う．正4 面体が入っているR3に着目すると，互換による変換は右手系を左手 系に，あるいは左手系を右手系に変換しているのである．

注意．次の高次多面体を ‑単体という．

△'1＝{(韮,,…,""+,)ER"+' ￨",+…+Lrn+1=1,0≦zi≦1(vi)}.

"‑単体は ＋1個の頂点を持ち，その合同変換群はD(型)＝sh+Ⅱ

となることがわかる．

叉ざ

イ

鯵

ユ

エl

対称群の線形表現（行列表示）

対称群島はn!個の元からなる集合に合成という積を定めたもの であった．積の情報を表で書き下した表を乗積表という．

−

一

7[．

下の表は83の乗積表であるが, S3の積の構造はこの表によって すべて決定される．

たと

ら（12)(13)＝（132）がわかり，同じく表の(132)行と（12)列から (12)(13)(12)＝(132)(12)＝(23)がわかる． （123)の逆元を知りた ければ(123)の行を見てoidがあるところの列(1列しかないはず! ) を探せば(132）とわかる． この表はSSのすべての情報を持ってい る．島の乗積表と全く同じ表になるように6＝31個の元を行列から 探してくることを, SSの線形表現という．

定義5.19．適当な自然数mに対し，写像β:a,→Mn,m(K)が azの(m次)線形表現であるとは， βが単射*3で，任意のび,o'に対

して

β(ぴ)β(ぴ')＝β(ぴぴ'）

が成り立つときをいう．

線形表現を探すのは，行列の集合の乗積表の中にS"の乗積表を探 す作業に他ならない． （下図）

例・S2={oid,(12)}の乗積表は下の通り．

AIA

A1

p' :S2→M2,2(R)を

(;か,((")'=（

）

p,(oid)=

で定めると，β'は線形表現のひとつになっている．同様にp2:S2‑>

.3表現の定義に単射性は不要である．今後表現の一般論を学んだ際には混乱しな いように．単射な表現は忠実表現と呼ばれる．

6

M@,2(R)を

〃(･ '=(; !)｡,,((12))‑(,Ⅲ 』 ）

で定めると， p2も線形表現になっているし' p3 : S2 ‑>

Mi,1(R), p3(Oid) := (1),p3((12)) := (‑1)も線形表現であ る．参考までに表現β,,p2にあらわれた行列たちの乗積表を書いて

おく．

１１

間￨(：

上の例でも分かるように線形表現は一意ではないが， ここでは1つ の探し方を示す．

定義5.20.グES"に対し，正方行列P(o)=(pij(o))fjEMm,"(R)

を次で定める：

pj､o)=6i｡(j).

たとえばP((123))は次のようになる. ((123)ES3))

′側‑(州)

"… 小111…

例．

Ｉｉｉ

)(I) )(:）

)(1)

(:）

(1) (i)

０１０ ００１ １００

P((123))e,= ^＝=＝ =e27

０１０ ００１ １００

P((123))e2= ==e37

一一

０１０ ００１ １００

p((123))e3= ^{｜ ==el･}

行列の積と置換の合成は次のようにうまく対応している．

補題5.22．任意のび,ぴ'ES$に対し，

P(o)P(ぴ')=P(ooぴ').

P7℃qメ

P(o)P(｡')=(E'#"(")pkj(｡'))"

た

=(E4．(k)6偽｡,(j))fj

上＝1

=(E6'.(k)6o(h)o(｡,(j)))jj

ﾙ＝1

祀

＝(E !.(｡'(j)))ij

！＝1

＝(6"｡,(j))jj=P(oo｡')．

k雪・'(1)

） ③ 《ぃ

^､(｡i(J))

□

この補題のもう少し見通しの良い別証明を与えるために1つ有用 な補題を示しておく．

補題5.23． ｛U,,…,U"}cK"をK'nの基底とする.A,BE M","(K)がAU1=BU1,AU2=BTJ2,. . . ,ATJn=BU,mを満たすなら

A=Bである．

P『℃q/:ひ,,…,U"の任意の線形結合Zi('i"'に対し，

(A‑B)(E"")=Z｡i(A‑B)"i=Zqi(紬一BUi)=O.

{e,,. .. ,e"}をK"の標準基底とする．各ejはり,,…,U の線形 結合で書けるので, (A‑B)ei=0である. Ih=(e,, . . . ,e")E M","(K)をA−Bの右から掛けると，

(A‑B)=(A‑B)(e,, . . . ,e")=((A‑B)e,,…,(A‑B)e")=O.

よってA=B. □

補題5.22の別証明．行列の積は対応する線形写像の合成になるの だったから*4，補題5．21より，

P(o)P(o')ef=P(d)e°,(f)=e･･,(f)=P(ぴ。o')ef が任意のj=1, ･ ･ ･ ,"について成り立つ． el7 ･. ･ 7enは基底である から，補題5.23よりP(o)P(o')=P(OoO'). D

以上により，対称群恥の線形表現が求まった．

車4あるいはefたちをれ×1行列とみて積の結合法則を用いると (P(o)P(o'))ej=P(o)(P(｡')ei)が分かる．

8

命題5.24.p:Sｹ､→M2,"(R), p(o) :=P(o)は線形表現である．

この講義では， この線形表現を島の行列表示と呼ぶことにする．

例(s3の行列表示).

(I

P(pid)=

(i

P((23))=

)川''一(！

0 0 1

0

)川昨（

1 0

)川馴! (；

小仙'一（

)

０１０ ００１ ０１０１００ １００

）

００１ ０１０ ００１ ００１ １００ ０１０

群を線形表現することの利点は，線形代数の知識を使って群を解 析できることにある．たとえばSizの線形表現である行列表示を利用 すると，符号を行列式で解釈することができる．

補題5.25.任意のびeamに対して, sgn(o)=IP(O)￨が成り立つ．

P7Uqメ互換に対応する行列は基本行列であり，先週示した補 題5．3によりその行列式は−1であるから正しい･ T17…,恥 を任意の互換とするとき, sgn(T1…7XE)=sgn(T,)…Sgn(7Xs), IP(T,…承)￨ = ￨P(T1)…P(77c)￨ = IP(T')l ･ ･ ･ IP(TI:)￨ より Sgn(T,･･･7'c)=￨P(7i…γk)l.任意の置換は互換の積で書けるから

すべての置換について正しい． ロ

注意.上の補題を逆手にとり, sgn(d) :=IP(")￨を置換の符号の定義 としてしまえば，符号のwell‑defined性（置換を互換の積で書いたと き， その偶奇は表示によらない）は証明不要である．

対称群を用いた行列式の記述

置換と符号を用いると行列式を直接書き下すことができる．

定理5.26.A=(α")ijEMm,"(K)に対し，

IAI=7 Jsgn(o)"｣｡(1)a2.(2)…α狐｡(蝿ル

oESrn

定理の証明のために対称群に関する主張をひとつ示しておく．

補題5.27．任意のびE鴎に対し，た：ふ→S", /b(T) :=oTは 全敢射．

１１

Pmqメ任意の〃ES"に対して,た(o‑'")=〃なのでんは全射であ る． また，た(丁1)＝た(危）とすると， 丁,＝ぴ−1oγ,＝グー'ん(γ,)＝

o‑'/b(7z)=o‑'ぴ通＝吃であるからたは敢射である． □

定理5．26の証明この式の右辺が帰納的定義を満たしていることを 確かめればよい． 九＝1のときは明らか. oES"のうち, o(1)=j