開発土木工学教室　高西照彦 開発土木工学教室（大学院）

九州工業大学研究報告（工学）No．391979年9月      1

楕円柱に対する水の付加質量

     （昭和54年4月23日 原稿受付）

開発土木工学教室 高西照彦

開発土木工学教室（大学院）川西政雄

The Added Mass of Water on the Elliptic Cylinder

      by Teruhiko TAKANISHI       Masao KAWANISHI

      」、bstract

  The aim of this paper is to obtain the added mass on elliptic cylinder in viscous fluid theoretically alld experinlentally，

  The usefulness of the theoretical solution was verifiεd by the results of the experirnents using two dirnensional 1110del．

    一       る。しかし，苗α＜1の場合にはb∫πが1より小さくな  1．まエがき

      るに従って実験値の方が理誼値より大きくなって行くこ  水中構造物の設計に関する問題点の1つとして，地震   とが示された。それは，理論解析においては水の粘性を

時に外力として働く動水圧の問題がある。水中構造物が   考慮していないことおよびNavier−Stoke5の式におい 振動する場合，構造物のまわりの水の一部が付加質量と   て非線型慣性項を無視したことが，この主な原因であろ

してそれに作用することはすでによく知られている。こ  うと考えられる。小さな摸型を用いた実験においては，

のことに関しては現在までにも理請的，実験的研究が数   水の粘性の影響がかなり大きいことはよく知られてい 多く行なわれており；郎17川水中構造物に対する動水圧   る。したがって本論においては，楕円柱の水中振動に対 および水の付加質量の問題が詳細に解明されている。円   して粘性を考慮した2次元動水圧の解析理論を導き，こ 柱のような簡単な横断面形を持つ構造物に対しては，粘   の理言自にもとついて楕円柱に対する付加質量係数を求 性を考慮した2次元動水圧の理論解が導かれており，摸   め，さらに楕円柱に対する2次元摸型実験を行なって，

型実験によってもその妥当性が示されているも，しかしな   理論僅と実験値との比較検討を行ない，動水圧に及ぼす がら，実際の基礎構造物は円形断面だけに限らず種々の   水の粘性の影響を明らかにした。

断面の構造物が数多く築造されている。小坪コ1は楕円柱

剛する3次元動水圧の麟解を導き，さら剛々の断 2・理繍止流体中で振動する棚柱の2次元速度ポ

元動水圧を求める実験を行なった。その結果，特に楕円   図一1に示すように長軸2π，短軸鮎の措円柱が長軸 柱については，模型実験によって得られた水の付加質量   方向にξニcosω1で振動しているとする。水の粘性およ 係数（振動方向に直角な面に投影した長さを径とする円   ぴ圧縮性を無視した場合，速度ボテンシヤルφはラブラ 柱が排除した水の質量に対する水の付加質量の比｝と水   スの方揺式を満足する。そこで今，直交座標（培y）で表 を理想流体として理論的に求めたそれとを比較すると，   わされたラブラスの方程式を，楕円座標（晶β）によって

比占加がユより大きい場合には両者はよく一致してい

 2

1：：蒜1；β｝  ・｝蹴臓式（6蜘よう幽

跳ただい一ぽ（訓2、は2焦点1司 1惣罐｝  （6ド

の距離，また楕円柱表面を表わす座標をαoとすると，αoは

       ここでαニα。のときの∫2を∫〜。とすると

゜・＝tanh−Wσ） @   ｛2） ∫提＝1／｛。・（、。曲．一、。、・β）｝  （5y

で表わされる試ωの関係鯛い才・ば描円座標で紬 となる．したカ・って，鮒（41の㈹は式｛6｝ をもちいて

されたラプラスの方程式は次のようになる。

旦＋禦＝。   〔3〕 麗i一占ω…β・i・ω   ｛4γ

  ∂α2躍        と劾せる嗅件｛4）の（i｝と甜囎界条件端足するラ

境懸件は酷嚇向唖軸に平行な場合は次のよう プラスの方程式の齢，

になる。

      φ＝一ω占θ゜占『cosβsinω       （8｝

1：：：鴨㌧∋｛4㌶：璽瓢一一変位

ただし、嚥繊小率で     ・＝一∫・書・＝一曙   〔9）

  ∫12＝1「｛ピ（coshコα一cos2β｝｝        ｛5）  によって与えられるので

である。また，pは図一一1に示すように楕円柱面上の法     〜rニーω肋e山一㍗⑪sβsinωr         O8

線と瀬の正の向きとのなす角である・    〃〒一ω∫め・ 犀・i・β・i耐    肛］］

       となる。また点Qにおける動水圧は        「オ

       μ    ガ

α   b

β   N

    ㌃     ll

『

2c

一占

  ， Q（仏β）       ∂1

       となる。ここに，疏は水の密度である。また，楕円柱に

ﾄ趨   対する単憾さ当た卿鋤水圧1ま

ノ β＝0

＼ノ    ρ一ρ。生一輌、…・c。，β，。，ω， Ol｝

゜ ‥   

^P＝

で求められる。ここでゴε＝ （ぬ）2十（砲）2である。

また

  由継＋｛融・吻一竃由＋｛融

   ．   図一1 楕円座標系

      であるが、楕円桂表面ではαは一定なので4α＝0となる。

 このとき，ロとロ，βとの問には次の関係がある。    したがって

・…ニ∫・嘉＝∫1晋＝J…i・h・…β1  ゴ・＝〜…h2・・i品♂・i輌・・♂閾

・i・，＝∫・嘉ノ毒＝∫一・h・・i・β1｛6） 二醐    ω

       と表わせる。よって式肛3）は

      P＝一ω2ρ。占2πc・sω       05）

1：：：㍑｝   ｛7｝となる蕊水の付加質量はPを獅で臓よ、，

ので，すなわちP／（一ω㌔osω川より求まりπがρ、、・・となる。      〃

したがって，付加質量係数臨は前述の定義より1となる。      「。、  σ。

      」｝   ，1  以上は振動方向が長軸に平行な場台であったが，次に       η

短軸に平行な場合には，境界斑件は次のようになる。      ／

       ー占 以下同拭にして，連度ポテンシャルは

       ⇔ξ

  φニーω直θ゜ 一゜sinβ5inω∫      ｛lr｝

      図一2

P＝一ω嗣。，。、ω∫   閲 ii一鵠＋・｛∫・くil：÷i；：）一己醐篇

となる。したが。てこ一，ホの1寸燃1ま。。，ρ『 ＋己ノ戸・i・h2借÷〜∫・』（…h2・＋・⇒巴0｝

となり付加質：！1｛係数α用は1となる。      ここに，♪：動水圧，ン：水の動粘性係数

       〜 ，p：α，β方向の水の変位遼度  3．水の粘性を考慮した場合の剛な楕円柱への水の付

      また，連続の式は    加質丑

3．1微分方程式      調噺㌃）一・   巴1〕

 水の粘性を考慮した場合の円柱に対する2次元動水圧    水中の応力は

罵㌶瀧霞≧き籔蕊」㍑㌻；llO5｝ ・＝−P＋2・∫・（書謝    ｛鋤

蹴働・て・・るが・M・・hi輌1…i・・の購tl・お 石・＝・｛量｛∫…）＋融・・）｝  ・］〕

いて・初項のみを採用した近似解を示しているに過ぎない。

そこで，本論では粘性流体中における剛な惰円注の滅衰   と表わせる。ここに，μは水の粘性係数である。

自由振動に悶する解析を行って，楕円柱に対するホの付    したがって，式（19｝，⑳，ωの3式を解けば求める解が 加ξ丁景および減衰定数を求める解折解を導いた。また，   得られる。ここで、次式を満足する連度ポテンシャル

 楕円柱のまわりの水分子の運洞に対しては，厳密には   冑動的に満足さ］1る。

驚：蕊㌶慧1蠕蒜た篤㍍，il罐0   脚

項はこ嚥撹し瀧聯のぷ1匠して卵こお il＝・が（il〈＋劉   ・5〕

㌶謬曾翼翼二〜1：震：二1糎臓1 〃＝一∫・書」・欝     （25〕

脚碍剛占なる則酬・1繊水中で縦｛由 ・ニー∬・旙＋ノ・麗    ・τ｝

麸 鷲蕊墓曇…1遼：：：蕊㌶1に ♪＝・裂      ㈱

       すなわち式佃1，倒｝，（2Dを解くかわりに次節で示す境界患

   イ∫ ・i・h2・量一丁〜ノ〜1（・・』剛・ （19｝：i㌶；虫：llじ蕊諜：：㍊1α β方

 3．2境界条件      ここに，λは分離定数である。また，

細勘榊で @      2σ＝。・（γ一∫ωyω   ・ 13η

  ．ξ＝De一打一 酊       四

          である。これら両式はMatl1｛euの徹分方程式であり，そ で表わされる減衰自由振動をする場合，〜r，f：に閲する   の解はそれぞれMathieu fUl〕ctionおよびmodjned 境界条件は図一2から次のように表わされるロ      Mathieu flmctionと呼ばれている。式㈲の解はMathieu  振動方向が長軸に平行な場合       fUncti引1を局いて次のように得られる。

      C存2刀（β，引＝Σ、4罫川CO52」β

       アコロ

i：ii籔三：遷i⇒ 御｝1：：：1㌶㌫灘

      ロ

      s已：，，，2｛β、の＝ΣB漂…21sin（21・十2）β ここにほは楕ｲ欄難・は疏に関する鯨    r㌔＝oコ2．…〕

ωは水中における楕円柱の円振助数，藪は虚数単位であ  

i：：曇き二1遷ご司 副〕ここ二∵㌶誉∴軌］ 鯉剛

             また，

振動方向が短翰に平行な場台         ・・

｛3帥

る。また，αoは楕円柱と水との境界面を表わす。甲とα，  さらに，地㍗，．4巳 1］1〕、Bぽ評，8禦㍗はMathi巴1 βとの閏倍は式㈲で表わさ五る。       functiOI1に固有の係数であって，それぞれ式㈲のηおよ  3．3微分方程式四，四の解       び次数，」の関数である。これらの求め方については付録  式ωの解としてそれぞれαおよびβのみの関数の硫の   に述べた。     、

型のものを仮定し，条件伽｝を考慮すれば解φは次式のよ    条件棚の｛目，（ii｝を満足する式｛35）の解としては

うぽわすことがで議      γ＝D 、，，＿嗣（，、ニ0山2，．．．．．．）㈹

，φ＝F c−  ▲°c°s｛2」 ÷1）βθ一…

@ ｛31］を採用せ］、ぱな、5ない．馴卿まm。din，d M、thi，u

ここに，戸は未定係数，π＝0，］，2，……である。    funcUonを用いて表わされるが，条件｛珊の圃を満足する  次に式㈲の流れ関数ψが      解として

ψ二θ （ω1！｛β）e−「「 ωf      ｛3ヨ〕      θ』＝・EGek詞．：（α，σ）  （」 ＝0，1，2，……） 抽

のように表わされろと仮定すれば，これを式㈲に代入す   を得る。こ二に，Eは采定係数である。また

＝一?{己禦醐r ㌧ら、こ，戸＝∴＿） ＿の＿劇

となり，培局［ノ｛副，1へβ〕はそれぞれ次の微分方程式を   Bessel functionである。 Mathieu functionの」二部の・印

溝足すろ関数として求められる。       はαに閲する微分を表わす。

  〃 ，      ， m°d緬Mathieu funcLi〔m Gek・・一々）は式㈹から

ぽ埠一2・c°52β〕1／o   〔ヨ・｝ もわかるように，引如醐貢寸値の増大に対して指故関

煕弔一2。、。，刷u＝⑪   （猫 鋤に融す醐数窃ろ・一方パ醐揃の漱と 血           ともに粘性の酬が急速にi妙Lついには粘性撫視

5

することができるようになる。楕円柱の径の大きさが増  ※2式が成立せねばならない。その際に，式固，｛7〕の関係 すとσの絶対値が大きくなるので，径の大きい楕円柱に   を用いると

対しては水の粘性の影響はほとんどこれを考慮しなくて

     、      D（一γ＋fω）6cosβ＝〔27〜＋1）F e に 1寸1）ロ・cos（2」r＋1）β もよいとい乳る回       ．

さて試㈹と式佃を用いれば流れ関数ψは式卿    一ξ㌔一1（垣）Gek・・−1〔α・・の ｛16｝

      −D〔一γ＋∫ω）ロsmβ＝伽÷1）F e一閨 1，°。sin（21耳＋1）β

       ロ

 ψ＝E ∫e2π守1（β，のGekコn÷1（α， d召一7ピロ∫耐      ＋五 s色，田｛β，φGek⊇n↓1（α。，4）   ㈲

         （，〜＝0，1，2，…∴・）      ㈹

      となる。そこで，式の㈹，㈲の両辺にそれぞれ 色．・1（β，の，

のように表わすことができる・上式では改めてE ＝E・D

によって変位運度π，ψを求めると       性によりH＝0のときは未定係数，E ， F は⑪となる。

      したがって，，r＝0の場合にっいてE ， F を定めれば，

μ：1熟㌫：1慧；1：＿㈹境界条｛i〔3・の・L｛i剛を丁べて満足する卵ら］・て

       ．       次のよっになる。

  Lr＝｛（2，」十ユ）F e−｛：n＋1）σsln（2｝〜十1）β

       ロ

   十E ∫e2冊．1（β，穿）Gek2π＋1（α，の｝∫τ己一ケ 一佃「  帖｝    φ二F；e一αcosβゼγ国副       ㈲       ψ＝E6∫｛21（β，のGekI（α，σ）θ一γ‥汕       ｛｛9〕

したがって，長軸に平行な減衰自由振動の場合，楕円柱

表面σニα。において上の2式と条件｛30）の〔i），｛ii）より次のノ  ここで，

       ロ       リ       ロ

      胡11℃ekt（ロ。，・）Σ（』蓑｝㌧1）2一αβ〜1，Gekl〔α。，哩）Σ（2r＋1）湛∵．1B呂｝．1

F6＝D（一γ＋∫ω）・°・   「：°     i＝° ．。    醐

       口11，Gεkl（α・，η）Σ（21・＋］）〆1〜1〜・1Bl』＋／111｝Gekl｛α。，のΣ｛β誤1）2       r＝O       rロo

       一D〔一γ十「ω）〆111〕刮1ハ（α十占）

E；＝        m       ．    。。       伍1）

  Bl］，Gek1（α・，σ）Σ（2r＋］）、虫1〜。1斑∵・1十正lll】Gekl（α。，σ）Σ〈Bl∵．］）2          「耳O       rにo

一方，変位速度π，び，動水圧♪は，式但丘｝，鋤，08｝より   したがって，上式の［ ］内について若干の計算を行

，F嘔。一・，。，β一E6，セ1（細）G，kl（副。一・一伍2｝つた後・鍵すると獄が得られる・

〃＝晒牛nsi・β＋E；・・1［且・｝G・』）｝・  （田｝F＝4∫三L緬百σ・占〔一・＋∫ω）・・s2β

ρ＝ρ泌F；（ブα（一γ一｛一ゴω）COSβ〔ヨー 古山∫      ｛5」）

      ＋2μ∫〜言、片（ゴα・（ロ5in2β一占cos2β）

 また・上式の〜G 担・♪を用いて式囲，㈲のσ・，「目     一2μ掃F：e−・瑠cos：β（庁一c2sinコβ）

を求めれば長軸に平行に振動する楕円柱の長さ方向単位    ＋2μ届E；θs邑1（β，仔）Gek1（α。．o）cosβωL c35inこβ）

長さ当たりの水の抵抗力Fは・図一2を参照して次式で     ＋2μ届闘e−・。占sin：β（正＋c：cosごβ）

       ロ

計算される。      十2μ∫〜；」E；占5〔rl｛β．σ）Gek1（砒，σlsil1β（ロコ十cコcos：β）

      コ       コ

ゴ師（ ・甲一si・甲）ゴ・ 価］蕊：蹴蕊：1；〕

      コ  

上式は式固㌔ωの関係を用いれば・次のように書き表わ     一μ届E6σsn1βs加β，引Geki（α。，ロ）｝巴一，1一ぱゴβ  闘 される。

      ここで，上式の第2，3，5項を共通国数2エ 届F己噛で

6

   F＝4丹・・闘・…占（一・＋∫ω）・…β＋2μ1柵・…（・＋δ）げsin2β一ゲc・s2β）

     ＋蹴輌のG・k1（血1・｝…β（δ・一・・sm・β）一・∫・』El・・i・M昆礁（・・，の｝・一 4・｛5勘

となる。ここで，式㈹，岡においてフ1＝0としたときの関係式を用いてMathieu function肥1（β，川，5壱1（β，川を

消去すれば上式は次式のようになる。

   F−4∫き［一・・F；・…占（一γ＋∫ω）・・s2β＋2μ1・』F6・ （・＋占）（・2si・ β一占2c・s2β）

        ÷μ∬1拓｛Fi e一α・−D｛一γ＋∫ω｝占｝（占ユーc2sin：β）c・s β

       ＋醐D（一・＋ ω）硫一α・｝・i・2βG；k1｛・・1・）／G：k1（・・1・）］・ 酬 ｛59）

上式の積分を実行して蔓理すれば

   Fニ［一ρ轟e一伽西（一・＋rω）＋圧闘・一・・−D（一・＋軌駕

      ウ ザ

       ＋｛D｛一γ＋∫ω｝・＋卵蕊謝㌃ii｝」・百    （60｝

を得る。ここで

       ロ       ロ

      AlnGek1（α。，のΣ（BIP−、）2

      」v1＝       。。       「＝°  ．    。．       （闘

         五lllGek1（αo，0）Σ｛2？ 十1）ノ1程．1君1％十、411℃el｛1（α。，のΣ（βIP−1）2       r＝o      τロロ

      ロ

      、日11℃ek1〔α。，のΣ〔27・＋1）A1〜−1、81P，1

      ∧㌔＝       。。      「°°   ．   。，      ｛62｝

         Bil｝GEkl（σ。．のΣ（2r十1）、4〜1〜−18騨．1十Al1▲Gekl（ロ。，引Σ（β▲P〒1）2        r＝o       rEO

とおくとFは∧「1，ハ「コを用いて次のように表わせる。

  F＝｛一・・占（一・÷∫ω脚r・）−2μ∧・・＋2μNIG三k1（・・1の／G：k1』）｝・D（一・＋iω）・ …㈹

以上は振動方向が長軸に平行な場台であったが，次に短軸に平行な場台を考える。その場合の境界条件はすで に式（3Dにあげておいた。以下振動方向が長軸に平行な場合と全く同様にすればよい。まず・速度ポテンシャル

φ（ロ，β｝，およ．び流れ関数ψ（α，β）は次のようになる。

φ＝F；百一ロsinβε一γ‥曲よ      ｛〔｝0

ψ＝」E；c召1（β，のFek1〔ロ，σ｝｛ブ丁 ▼f副      （6ヨ〕

ここで

       ロ      エ      ロ

罵＝D（一ア甜跡・k1（血・ ai腺醐｛C〕Fek1［飾；σ混（≡1みIB竺1 ｛肪｝

      A〜 F・k1（・・，鳴（2・＋1）A〜 −1蹴1＋81 F・kl｛・・，・顯A▲1〜一・）一

E6＝       』］（一γ＋「ω）A？｝刮1｝（α＋占）．     。。      ㈹

    、411｝Fek］｛α自，dΣ（2プ＋1）墨且み1β巳1．1＋。β11）Fek1｛α。，ロ）Σ（A〜9．1）2       rロo      r＝o

7

      ・：1（÷品リロ

F輌の・一 ﾁ11・恩・1騨一1κ一（−2びc°shの   閲

よって，任意の点における変位速度π，〃と動水圧ρは

       f ＝」1｛」F；ε■σsinβ一E；c｛21（β，ロ）Fek1（σ，の｝巴一γ ＋価        （59〕

       ユ

       抄＝∬〜｛一、F「輌｛ブαcosβ＋E6 c召1（β，σ∫Fek1（α，の｝θ一「（〒」叫      （了O）

♪＝ρ。F6召一゜（一ア＋∫ω〕sinβε 耐副         田

のように表わすことができる。ま・た，楕円柱の長さ方向単位長さ当たりの水の抵抗力をFとすれば，図一2を参

F一五。，（・・s岬…C…｝4・

＝｛一・。・（一・』X・N一占N・）−2μN・＋2・酋1（・…）／F：k1｛・…）｝・D（一・＋∫ω）・ 「｛r2）

ここに，

      リ       ロ

         8㌍Fek1（α01のΣ（堪1〜．1ア

Ar1ニ       。。     「ヒ゜    ．   。。 ．      （了3〕

   柵・』嘱（2用）・ll1み1β具1−1ナB蹴1』恩（温1 一・）2

      ロ

        ／lil】Fek1（ロo，σ）Σ（2r十正レli∵．1Bl∵−1

∧「コ＝       ㏄     「＝°     ．    ロ       抽   〆11nFekl（α。、η｝Σ（2r＋1）子1〜IJ、18聾）．1＋Bll］Fek1（α，．dΣ｛ぷ1み、P

        r＝O       rヒロ

である。

 3，4 振動方程式      鳳二一Dμレζ3tanh（ζのe一ア ±撤      岡

 以上のようにして，剛な楕円柱に作用する動水圧が得    」㌦＝−Dμレζ㌔弔 畑       ㈲

二刷；言欝竺謬麗巴：麗認 輪一一ゾピD4拓（ζσ嶽；㍍｛ζ白）百 ㌦

柱の減衰自由振動を定める理請解が得られる。いま，図

一3のように長軸2α，短軸2占の楕円柱が長軸に平行に    」Fは式｛悶で表わされる。また

酬する胎拷える・鯉全体を1まね定融伽仙  ζニ＿，＋〜ω／μ     （rgl

ばねでつるし，これが水中でξ＝Dε弔副の減衰自由

振動をしている時の運動方程式は式㈲を用いて次のよう   である。孔，拓は図一3に示すアルミ板のA面・B面

になる。ただし，ここでは図一3に示すように，摸型実   における単位面積当たりの水の粘性抵抗で・F rは針金を 験において楕円柱の両端に正方形のアルミ板をと1〕つけ   細長い円柱とみなした場合の単位長さ当たりのホの抵抗 針金でつっているので，それらを考慮して迎動方程式を  力を表わす。これについては既に文献（Dに詳論したので・

たてた。      本論ではこれ以上述べない。

・1礁＋止ξ一2臓端臼ψ榔禰 ア蕊あ鷲：li；≧㌶㌶鷲巖、

      ＝0   ㈲   径を轟，針金の長さをr、とした。また，∫Cn｛ ），拍（）

上式において       は第2種のmodi臼d Bessel fullctiOI1である。

8

÷｛1＋警（一＋・僻 」＋；頴㌫れ蕊＝∴戸

÷2蒜｛隔）t・nhぽ）＋申  漂㌶膿竺；竃算を打切ってω

＋辮鵠P   ；繊㌶；二認澱㌔蕊鷺ぽ

＋辮｛晶一凡lil鷲レ ＋1−・闘f舳nの計劇ま次の関繍肌

となる．ここに        Gek1（α副二（°1−2・c°s1〜2α・）Gek・｛α・，σ）

λ。＝㎜両   脚  ＝（・一2・峡2）G・k・（・・，・）㈱

；：：、＝：  ，： Fa煽）一（與一2剖F・』｝㈹

  Z＝エ÷垣      ｛田   このようにすれば式ωのzの係数を求めるのに，Mathieu   ω／，rb＝尋       鰯〕  functionの第2次微係数を計算する必要がなくなる。ま   ∫』＝γ／恥＝（ゲー二r2V2       6i〕  た，式㈹は己に関する4次方程式であるが，左辺の第2，

とぎ：二蕊鷲惣中にお＿霊鑑瓢ご鴇蕊㍊

柱の減衰舶振勤固有円測数および澱定数を求め 眺その解法が非常に胸こなる・

ることができる試㈹において。の係数を計算するため 以上三ようにして試｛8Dを齪する麟めると試

鵬ωの初廻として空気中醐る働：麗㌶鷲三竺蕊〜《㌘ ㌔；！

固郁瓢融を繊係鋤醐値γ｛1，としてγω＝°ぺて複撒なる。

をそれぞれ採用すれぱ，式（3ηよリロが定まる。また式㈱

〜勧よりzの第1近似値z＝zωも定められる。       4．付加質量に関する模型実験

｛i剛 Oうにして得られた・を用』1砿欄を参照 著辮の理諸の妥当性を鯖するた鵬図一3に示

㌶蕊蕊1；忽㌫≧：…㌃㌘ぼ一一まそれぞれ下記

に対するm°d桁ed Be田el functi°nのf蒔が計算できて， 鯉1：酬．98，m，鞠1』。，m

蜘の・醜｛轍の値欄られる・     1鯉n、馴4．98，m，短軸L50，m

㈱1］を・について酬てz ）第2次近似輌＝z［2

を得る。

いま， 押、＝、硫      ㈹    ㈹己倒より式㈹・問を用いてω田およびγほ｝を求めて，

       適当な小さな正数ε血，εrに対して

        コ，   口］       にL＿  〔】｝

」      実験は・醐0・71〜0・95秩振幅02〜3mm・水温］7

8    コイルばね        〜18℃の範囲で行なった。減衰定数は，空気中において

     針金       は∫〜。≒0であり水中においては∫〜町＝O．026〜0．036で    〜      あった。実際の水中構造物に対しては，その付加質量に

τ。

r コ：：津

笥ピ」㎞ 1  ‡謬麗竺篇：霊㌶：諜竃

       持しているアルミ板への水の付加質量等が含まれている。

      図一3 2次元模型      いま水の粘性を考慮しない場合の桁円柱の振動方向の断

      面形状に基づく付加質量を』r1（」1r1は第2章より振動方向       およぼす水の粘性の影響はこれをほとんど無視してよい       が，本論におけるように小さな摸型が水中で比較的ゆっ       くり振動する場台に対しては，ホの粘性がかなり大きく

摸型は，楕円柱の両端を2枚のアルミ板で固定し，図一   に直角な面に投影した長さを径とする円柱が排除した水 4に示すように摸型全体を2本の針金（1．9mmφ）を通   の質量に等しい〕，水の粘性のみによる水の付加質丑を姑，

してコイルぽね（ばね定数走二60g∫cm）で水槽中につ   アルミ板の表面へのホの粘性に基づく付加質量を』ム，ア       ルミ板の振動方向の断面形状に基づく付加質量をM、，

     ．／ひこみゲージ  ．      針金の断面形状及び水の粘性に基づく付加質意をM、と

コイルはね

姫ばね

  ．      すれば，楕円柱摸型について粘性を考慮しない場合の水

〒 針金

．  」＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿司 L＿＿−

       2100      1600

丁      の付加質五｝係数偏は

5．理論値と実験値との比較

     図一一4 実験装置（単位mm）         式㈹より摸型全体の空気中と水中における固有円振動        数の比が，理論的に求まるので，疏，』も，』占，』『5は

：：蕊：㌶警≧≧き：t霊 一÷』醜一晶｛耐劇 （回

は次のようにして行なった。すなわち，摸型をつるした   によって与えられる。

コイルばねをさらに剛性の大きな板ばねに固定して，こ   また，実験に用いたアルミ板は厚さゴ。＝0．3cm，辺 の板ばねに抵抗線ひずみゲージを貼付し，これに動ひず   長♂ロ＝20cmの正方形板であるが，断面形状に基づく付 み計を接続して，その出力を電磁オッシログラフに記録   加質量を少なくするために各辺から約1Cmの所まで，ヤ

した。       スリをかけてくさび状に先を尖らせている。したがって，

 楕円柱摸型に対する水の付加質量M。は次式によって   このアルミ板をその振動方向の断面形状が短軸∂。，長軸 求めた。      rロの長楕円であるとみなせば，付加質量Af、は次式によ        って求めることができる。

  脇譜一鼎｝璃     （g① 砿＝綱謝、     脚

ここに，」V。は空気中における振動質量，T。，・丁已はそれ    著者らが行なった摸型実験について，式OUをもちいて

それ空気中，水中における減衰自由振i肋周期，妬，彪は   捕正を行なうことによって完全流体中における｝n円柱の

空気中，水中における減衰定数である。      水の付加質M係数α門を求めて，それを図一5に示した。

1〔｝

       数的に滅少していくことがわかる。また，振動数が高い       川  ．      ほど水の粘性の影智は小さいといえる。 さL2

↑

 1」      ξ＝Dc ケ °

       L］o

     O O o       芝

     0．20．30．5 1 23 58    ^二……

       →占／π         壬1』呂

 ng      ≡

       図一5付加⌒   ド

       1．0、1 第2章に示したように完全流体中では，振動方向が長軸

に平行な場合も，短軸に平行な場合でも臨の理論値はl     Lo2

である。図一5より、本論の理誌値は実験値とほぼ一致

していることがわかる。したがって，水の粘性を考慮し     LOO

て網桂に対する水の付瀬量を勅る本理請の妥当性   ゜ 2    ＿三剛1°

が示されたといえよう。ただ，振動方向が短軸に乎行な

      図一6

表一1 減衰定社に関する理請値と     実験値との比較

1実 験 値 i理 論 値    三

＿1．IO 巨

振醐向已．軸已司長1岳短軸  三 』8

摸型llO』36 0．032｜〔｝．02dO．02G   ｝^占

摸型ul O．03510．02910．02510．Ol9

摸型ml⑪．0331n．026 0』2310』19

↑L°6

1』．1

場合は，楕円の長軸の両端で流速の変北が大きく，Navier−     LO2 Stokesの方程式において非線型慣性項を無視したことの

影響が現われたため，両者の間に多少誤差が生じたもの     1．00

と思われろ．またぷ型難による水中の糎定数と式  ゜ 2 』 6＿i剛1°

㈲をもちいて求めた理論解による水中の滅衰定数とを比

較すれば，表一1に示す適りである。．これより理請値が       図一7 実験値より多少小さくなっていることがわかる。これは

理詰解析においては水の粘性だけによる減衰を考慮した

      6．結誇 ためである。また，図一6は振動数を3Hz（一定）とし

て，いろいろの占畑の値に対して楕円柱の長径を増して   上述の結果から次のような結論を導くことができる。

いった時の，水の付加質量に対する粘性の影響を示して   川小型の楕円柱基礎極型が水中で比較的ゆっくり振動す いる。ここで，綾轄は水の粘性を考慮した場合と考慮し   る場合には，水の粘性の影響が無視できない。著者らが ない現合の水の付加質量の比である。図一7は，却σを2  示した補正理讃によって粘性の影響を消去すれば，付加

（一定）として振動払をいろいろ変えた時に楕円柱の径の   質量に関する実験結果は理論値とよく一致する。

増加に対する水の粘性の影響を示したものである。これよ   ｛2）楕円柱が水中で振動している時，振動方向の径肪 と

り，水の粘性の影響は楕円柱の径が増すにつれて指数関   振動直角方向の径2αとの比が2より小さい（占加≦2）よ

11

うな楕円柱に対しては，その付加質垂に及ぼす水の粘性   のためロ1：〕で代表させる）とする。

の影響はα＞10cmでは1〜2％以下となる．したがっ    次に式（付一1）において連分数の第2項までを取り出す。

：㌫ぎ叉莫霊㌶㌶≧讐il鷲㌢ ・1＝1÷・＋吉9−，1竺25   欄

（3｝一般に紳における綱柱の振動数が高くなると水の 式（惜）の右辺1、。1・を代入して得た。1の値を、識す 付加質量に及ぽす水の粘性の影響は小さくなるといえる。   る。話1｝と沽品の平均値をθllhとして，これを再び式

水中における綱柱の馴数力轍なるとNavie「一

St・kes筋観中の糊型雌卿影響力輔できなく 。1・・，。1｛；。，li』，晶を剛て付図＿1i、示すよう襯．

なる・この瀦をも雛した水中の楕円柱に対する水の 型馴を行って得た。1の値を識する．すな品，

付加瓢の解析については現在研究中である・   ，lll，は

         謝 辞   品撫竃li騨1螺隠）胸

本論文に対して酪始御指導いただし｝た九州大学工学 によって勅ら〜、る．式（付．4）によって勅抽｛捷式

部搬小坪瀬博士に謝意を表します・詰先生のい

つも変らぬ懇切な購靴臓達に心から感謝します・ る．次 、蹴、し端1。臨鵡識を馳式

付録、Ch、，a、t，，i，ti＿b，，。1，占1および係数 （付 4）の線型竺行な≡｛1を勅る・以下それを

    溢1；．‥跳について    剰返し・あ倉適当な小さな止数ξ・1に対して

ロll七

面｛i1

沽11

       付輌繍間   苗元詩く…   件6）

       が成り立っようにする。式（付一6｝を溝足する時のロ㌍を        Characteristic numberπ1の植とする。ところで，前述

雅定融・ ・・1などはCha「acte「lsti剛mbe「

@のように解，11・は2個離するが，その・剛個は熱

では

?p』1∴I」11み1力噸であるのでこれらの てる．。が、1、さい胎収勅早いが，．カ・大き幅と

求肺を示しておく・  ・    収束しにくくなる。

       ロ 

       一くε。、       ｛付一5）

      口1｛nマ］）

撮1，     が成り立つまで続ける。そして上式が成立した時のロ鴇．n         をあらためてロ㍗とおく。

         次に，連分数の第3項まで取り出し，ロ12｝を初期値とし         て上と全く同様の操作を行う。さらにこれを，それぞれ         第4項，………第η碩まで採用した場合について行う。

12・      そしてある適当な小さな正数ε。旦に対して

r71｛引

       ｛百｝   （ロー1｝

・1を連欄表示すれば91

        り       リ      ザ

・・＝1婦≠百一。三25−，島・一卵） 酬A㌍・・ボ・一とおけば靴元tより田

・1＝1＋・＋志「   （付2）と縦」、る．概緬，はわかっn、るので＿，

とする。上式は凸についての2次方程式となる。その解   出，……が次々に求まる。ここでは，さきほど晒を求め

12

は，、41：日．41n＝ρ、，A〜1｝μII｝＝抄1恥，鴻゜μ11）＝び曲び、，

……

ﾌように、41Uに対する比として求めることができる。

 一方占1は，連分数表示すると，

        コ       ゴ       コ

占1一已＋占1竺9≠25一占1竺49−一・（付一8）

と表わされる。以下創の場合と全く同様にして占1を求め

β｝目／βL1［＝〃5，……とおけば，

：：：文≒ご［lli：二∴｝㈱

となり，1h，凸，り5，・・…・が次々に求まる。よってB盤刊 は．811ソ811｝＝防，B；1ソBP r迦，五11ソBln＝1栖力5，・・…

のように811｝に対する比として求めることができる。

      参考 文 献

1｝小坪苛真，高西照彦1多柱基礎への水の付加買且について，土 木学会論文集，ト言o．248，昭5王．4．

2）小坪清真：だ円形水中矯脚に働く地震力とその弾住振動，土木 学会請文集，No．120、昭40．8．

3）後藤尚男，秋吉卓：弾性地盤中にある基礎構造物の地震応答特 性、土木学会詣文婁，No．177，昭45．5．

4）Mclachlan， N． W．：Theory訓】d A叩lication of E lathieu Function． DoΨer，196』

5）MonohaT Ray：Vibration of an inhnite olliptic c｝・1inder in

avis￡os liquid． Zt5ch．￡angelv． Math．1md． IMech、， Band I6，      I Heft2 April］936．

6）桜井彰雄．：水中に立てられた柱状構造物の担莇，土木技術，第 16菩，6号，昭鵠．6．

7）後藤尚男，土岐璽三：水中揺脚の痘動と詞震設計に関する基礎  的研究，土木学会詞文堕，No． loo，昭38．12．

8）Stokes G． G，：On t｝旧e什ect onhe internal friction of fluids on the motion of pendulums， Trans Camb． PhiL Soc．，9， PL．

 II，1851．

9｝牽口繁一 他1数学公式In，岩波全書， P241〜2脂