−7−
、
せん断流中における三次元部分空洞翼列の特性
（第二報，解析結果）
藤井大樹*，富 中村
樫 賢嘉
一**，伊藤哲也***，
伊藤 惇
CharacteristicsofaThreeDimensionalCascadewithPartialCavitation
inShearFIow(2ndReport,AnalyticalResults)
HirokiFuJII*,Ken'ichiToGAsHI**,TetsuyalTo***, GohNAKAMuRA*andJunlTo*
(2002年11月29日受理）
6
Ananalyticalmethodofathree‑dimensionalcascadewithpartialcavitationinaspanwise shearflowbetweentwoparallelplanewallsispresented・ AnequationofmotionwithreSpect todisturbancepressure istransformedintotwodifferentialequationsbyseparationof variables. Oneofthemistheequationofspanwisedirectionandtheotheristheequationof sectionalplaneofahydrofoil.
Forthedifferentialequationandboundaryconditionsofthespanwisedirection, an existinganalyticalsolutionisadopted. ThedifferentialequationwithboundaryconditionSof thesectionalplaneofthehydrofoilisreducedtoasimultaneousintegralequationwithrespect tosinglaritydistributionsandissolvedbyusingtheanalitiCalmethodpreviouslyproposedby theautherforthethree‑dimensional isolatedhidrofoilwithpartialcavitation. Thesetwo kindsofsolutionscorrespondingtoindividualeigenvaluesarecombinedlinearly,andnumeri‑
calcalculationsarecarriedouttoclarifythecharacteristics.
翼幅方向に速度分布の変化する平行2平面間内せん 断流中において部分空洞を伴う扇次元翼の解析法は，
単独翼について既に提案されている(1)。また同じせ ん断流中において空洞発生を考慮しない三次元翼列 の解析法が最近著者らにより提案された(2)。空洞を 伴う単独翼の解析法と空洞を考慮しない翼列の解析 法の両者が構築されれば， これらの融合によって空 洞を伴う翼列の特性が解析できることが期待されよ
う。
このような考えから本研究では，文献(1)と(2)の方 法を融合させることにより，翼幅方向に速度分布の 変化する平行2平面間内せん断流中にある部分空洞 三次元翼列の理論を構築し， これに基づいて翼列特 性および空洞特性に及ぼすせん断流効果および翼列 効果を前報(3)に引き続いて明らかにする。
緒 言 1．
軸流機械の羽根車の羽根や案内羽根は， ケーシン グとハブあるいは内筒の間にあることから，側壁境 界層，前置翼による後流あるいは翼間からの噴流な ど様々なタイプのせん断流の中に置かれている。一 方, "流体機械の高速化により， これらの羽根には部 分空洞や超空洞等の空洞現象が伴う。よって，平行 な2平面間のせん断流中にある部分空洞三次元翼列 の問題を解明することは，部分空洞発生下にある軸 流機械の羽根車や案内羽根の特性評価や合理的設計 に対して基礎的な資料を提供する上で重要と思われ る。
＊秋田高専専攻科学生
熊*東北大大学院生（秋田高専専攻科卒業生）
零**秋田県立横手技術専門校（秋田高専卒業生）
1.5
1
Q5
ａ︒
0
勺.5
秒 −1
図3圧力係数分布(Neの影響）
８４０４８２６
Ｂ①凸●●００屯幻訓引
処︒Hydrofbilof flatplate
Hydrofbilwith ogivalsection
’
図1 座標系
ソ
。｡｡權信
↑
図4圧力係数分布(Uo/U!の影響）凡I
一 一
キャビテーション係数，空洞圧力分布を具体的に計 算した。圧力係数分布，空洞厚さ分布，揚力係数，
誘導抗力係数については主流の速度分布，空洞長さ，
翼列条件の影響を, ≧局所揚力係数， キャビテーショ ン係数，空洞圧力分布については主流の速度分布，
空洞長さの影響を明らかにした。なお，無限上流速 度の迎え角α+cM̲"(w(−｡o,y,z)/U(y)=tancM̲̲
＝α̲"）はすべて10｡として計算した。
図3， 4は，欠円翼の圧力係数分布に及ぼす主流 の速度分布の影響を示している。 〃eはせん断流領 域の幅であり, 77e=2y@/スである。 刃は翼幅方向 位置を示し, 77=2y/スである。図3より, 77e=0.2 では空洞部分の圧力係数が他の〃・の場合よりも高 くなっている。これは計算断面位置が〃=0.1であ ることから最もシアの強いせん断流領域に入ってい ることが原因と考えられる。図4より，速度比Uo/
U!によって空洞部分と翼下面後端側が特に影響を 受ける。Uo/U!が大きくなって一様流に近づくにつ れて翼上下面の圧力差が小さくなっていく。これは 後に述べる局所揚力係数の傾向を説明する根拠とな る。
今
一
1
図2主流の速度分布
2． 解析結果
図1に示すように，翼幅ス，弦長をcの翼からな る三次元翼列が， ピッチt,食い違い角γで平行2 平面間に両翼端が接するように配置され，翼前縁か らは空洞長さ1の部分空洞が発生している。翼幅方 向に速度分布の変化する無限上流速度のx成分とし て定義した主流u(y)は,翼と迎え角αをなして いるものとする。
厚みと反りのある翼（欠円翼;OgivalSection) については圧力係数分布，空洞厚さ分布を，平板翼 については揚力係数，誘導抗力係数，局所揚力係数，
平成15年2月
α＋'a マ︒＝10 I Uo/U,=04tﾉc=1Thickness
−γ割5 入／C二3
77=0.1 1/c=05
RatjFO､08
一一菅 二な=弓
15 0 5 x/c O.
＝皇／
一一
ーー 一 一
一 一 一コ
﹃
一一
一△
一▲
一 一・ ＝■P;二8ﾝ一
10・ 刀.=04t/c=1
1■■
入／c=3 」 へ 一一−−
』
三一 Z
0． 05 x/c, O.2／
一 △ ▲ − ▲ ‐ 』
底＝ ー ー
▲ ▲ ▲
ー ー
▲ ▲
■
一一 一
ー一＝一
‐
ー
刀
0
=0．1 1/c=0.5 Ogva1Section
｡ ー
−
ThicknessRaUF0.08
ダア 今今谷 ＵＵＵ ｙｙｖ ＵＵＵ 一一一一一一 ０００ ２４６
$-UyU,=0.8
禽一
-U(y)一一
〜 I
−9−
せん断流中における三次元部分空洞翼列の特性（第二報，解析結果）
1．5
1
0．5
ず0
−0．5
−1
−1．5
5
2.5
do
１１１
ー
‑2.5
‑5
図5圧力係数分布(1/cの影響） 図7圧力係数分布(t/cの影響）
５１５０５１５ 1.2
●●１−１１０
一
色○
0.8
﹄︒
’ 0.4
0
0 0.25 0．5 c/t O．75 1
図6圧力係数分布（γの影響） 図8圧力係数分布（"･の影響）
図5は，欠円翼の圧力係数分布に及ぼす空洞長さ の影響を示している。翼上面，特に空洞部分で変化 が見られるが，翼下面はほとんど変化しない。
図6， 7は，欠円翼の圧力係数分布に及ぼす翼列 条件の影響を示している。図6より食い違い角γに よって，翼下面と空洞部分の圧力係数が大きく変化 しているdこれは食い違い角が大きくなると翼上面 前縁側と翼下面後縁側で隣接翼と離れるためと考え られる。図7より，節弦比が小さくなると翼下面の 前縁付近の圧力の低下が著しい。
図8， 9は平板翼の揚力係数に及ぼす主流の速度 分布の影響を示している。図8よりせん断流領域幅 刀eによる変化は小さいが， 〃･が減少するにつれて 多少揚力係数が増加している。図9より速度比Uo/
U]が大きくなっていくほど揚力係数が大きくなる がピッチが狭まるにつれその傾向も弱まっていく。
図8， 9より，主流が一様流に近づくほど揚力係数 が大きくなることがわかる。
図10は平板翼の揚力係数に及ぼす空洞長さの影 響を示している。空洞長さl/cが大きくなるほど揚 力係数が小さくなる傾向がある。
図11は平板翼の揚力係数に及ぼす食い違い角の 影響を示している。食い違い角が大きくなるほど揚 力係数は大きくなっていく。
図12， 13は平板翼の誘導抗力係数に及ぼす主流 の速度分布の影響を示している。図12より，せん 断流領域幅〃 が小さくなるほど誘導抗力係数は小 さくなっていく。図13より,速度比Uo/U!が大き くなるほど誘導抗力係数は小さくなっていく。図12, 13より主流が一様流に近づくほど誘導抗力係数は 小さくなることがわかる。
図14は平板翼の誘導抗力係数に及ぼす空洞長さ の影響を示している。空洞長さの影響による影響誘 導抗力係数の変化は小さい。
図15は平板翼の誘導抗力係数に及ぼす食い違い 角の影響を示している。食い違い角γが大きくなる につれ誘導抗力係数は揚力係数に比べ著しく大きく なっていく。
図16， 17は平板翼の局所揚力係数に及ぼす主流 の速度分布の影響を示している。図16より一様流 部分では，局所揚力係数はほぼ一定の値となるが，
せん断流部分では大きく値が変化している。図17
I
1 0．25
I
I 0.5
1
x/c O.
一子彫諄夛
a ▲
、 ■■■ ■■■
＝ ユ ▲
一
』■ ▲
I■■ ＝一一
一一．
r＠ー ー ■■
〆
U
Thic畑eSSRaUo二0.08 I
α＋a…
■
=10。
■ 』
Up/U,=O.4 入/C=3
へ 一 I
令咋=5↑ぜ 咋睦
=2.5
＝1
永←⑥−−5−4‑一−0‑‑壷
̲03valSection̲
ThicknessRauo=0.08
･ 〜
碇α＋a■Dｰ1=10 Ub/U,=0.40WvalSection1 1 刀･=0.4t/c=1 入/c=3 ThicknessRatjo=0.08 ‑
刀罰.1 1/c=0.5
■ ▲ 上一̲→̲し一も一ざ
、廷
一一
ロ＝ 、ロー ‐ ＃ ･ −
一 一 一
1 0.15
‐T‐′ ‐､一 、.。
。i2""
0．5 x/c
l
−− 一 一
戸一 一 一
L ▲ ▲ ▲
ロ− − −
口 ▲ ▲
＝q■■ ■■■ ＝
一 一 −−
ー ー 一コ
▲ ▲ ▲ ■
ー ー 一口
△ ▲ ▲ ■
!■■ ー I■■■
一一一
rシヱ
「
=0 30
＝
=45．
=60・
γγγγ↑令寺一
1.5 1.2
1 0.8 I
ざ ◎
0．5 0.4
）
I
①
0 0
O.25 0｡5 o/t O.75 0 0.25 0.5 c/t O．75 1
0 1
図9揚力係数(Uo/U!の影響） 図11 揚力係数（γの影響）
1.5 0.8
1
1
1
0.6 1
４
００
も一×固○
１４４
望
︒
0.5
0．2
１１卜 −１
0
0.25 0.5 c/t O.75
0.25 0.5 c/t 0.75 0
0 1 1
図12誘導抗力係数（恥の影響）
図10揚力係数(1/cの影響）
より,Uo/U]が大きくなって流れが一様流に近づく ほど翼幅方向の断面位置〃による値の変化は小さく なっていく。図16， 17には，側壁に向かって局所 揚力係数の急激な上昇が見られる。原因は，せん断 流による縦渦の変形が高速側を減速し，低速側を加 速させることと，せん断流特有の随伴渦が局所的迎 え角に影響することが考えられる。
図18は平板翼の局所揚力係数に及ぼす空洞長さ の影響を示している。空洞長さl/cが大きくなるほ ど局所揚力係数が小さくなっていく。
図19, 20は欠円翼の空洞厚さ分布に及ぼす主流
の速度分布の影響を示している。図19より，せん 断流領域幅"e=0.2が他の〃鱈の結果と異なっている。
圧力係数分布と同じくシアの影響が強く出たものと 思われる。図20より，速度比Uo/U!が大きくなる
ほど空洞厚さが小さくなっていく。
図21は欠円翼の空洞厚さ分布に及ぼす空洞長さ の影響を示している。空洞長さl/cが大きくなるに つれ空洞後端部分では厚さが大きくなっていく。
図22， 23は欠円翼の空洞厚さ分布に及ぼす翼列条 件の影響を示している。図22より，食い違い角が
大きくなるほど空洞厚さは大きくなっていく。図23 より，節弦比が小さくなってピッチが狭まるほど空 洞厚さは押さえられることがわかる。
3． 結
一 一 二 目
空洞を伴う既存の単独翼の解析法と空洞の無い翼 列の解析法とを融合させることにより，平行2平面 間内せん断流中にある部分空洞三次元翼列の理論を 展開し， これに基づいて翼列特性と空洞特性を明ら かにした。本研究の内容は以下のように要約される。
(1) 既存のせん断流中の三次元部分空洞単独翼の理 論と同様の方法で変数分離を行い，翼幅方向に空洞 長さ一定の仮定を行うと，翼列の場合でも翼幅方向 と翼断面の二つの問題に分けて扱うことができ， そ れぞれの解の線形結合として一般解が得られること を示した。
(2) 翼断面の問題においては，空洞部分における圧 力一定条件と，翼表面の接線流れの条件にじょう乱 速度を代入することにより積分方程式が導出され，
級数解法の導入により連立一次代数方程式に変換さ
平成15年2月
α＋a…
↓ リ
=10･ Uo/UI=04 刀.=0.4入/c二3 1/c二0.5 FIBtPlate ｜
｜1●γ＝0０５０詔当毛γγγ一七寺
、、垂二ご*〜
−−−
＝−‑三思こミ這
α＋a γ二45
−‐
●
＝ 0
10・ Uo/U,=0.4 入／c二3 1/c二 te
8 1
‑T
令令
■ 刀。
せ−刀．
きり．
２４屯幻
＝
=0.8
〜
− ↓一 一
一 一一
− =3ミ＝
−11−
せん断流中における三次元部分空洞翼列の特性（第二報，解析結果）
1.6 1.5
１１４４
1.2
1
８Ｑ
も一×遍○ 食︾○
0．5
0.4 １１
0 R
0.25 0．5 77 0.75
0 0.25 0.5 c/t 0.75
図13誘導抗力係数(Uo/U!の影響）
0 1
1
図17居所揚力係数(Uo/U!の影響）
0.9 1
0.75 治一×石○ 0.6
へ
go5
0.3
0.25
｜I
0 0
0.25 0.5 c/t O.75 1 0 0.25 0.5 " 0.75
0 1
図14誘導羽抗力係数(1/cの影響） 図18居所揚力係数(1/cの影響）
0.8 0.3
0．6
I 0．2
４Ｑ
も一×一．○ ︒︑Ｎ
0.1
0．2 卜Ｉ１１
0 0
0.25 0．5 c/t O.75 0.25 0．5 x/c O．75
0 I 0 1
図15誘導抗力係数（γの影響） 図19空洞厚さ分布（"･の影響）
1.2 0.3
α+d‑｡｡=10･
''･晨0．4 1
t/c=1 γ二45･
A/c=3"=0.1 1/c=0.5 OdvdSection
２４６●●●訓鋤屯１０１刈刈００ｏＵＵＵ ２４６刈刈 ８●●●●訓鋤銅調
刊
厚
山山山山質一一寺一一 雛
0.8 0.2
l
Thickness Ra箇醇0，08
︵ら一○ ︒︑
0.4 0.1
､●◆−
0 0
O.25 0．5 x/cO．75 1
0.25 0．5 刀 0．75 1
0 0
図16居所揚力係数（"･の影響） 図20空洞厚さ分布(Uo/U,の影響）
秋田高専研究紀要第38号
α＋a…二10
U
● flo=0.4 t/c=1 7'=45. 入/c=3 I/c剤.5
更"1
−
２４００一一一一ＵＵ．ｙ〃〆ＵＵ令今
~UJU1司.6
÷U／U＝0.8
ご ■
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一 ー 一 一 ＝
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=10
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● 刀F0．4 入/C=3
FlOtPlateー「令↑ ＵＵ ⑳訓鋤２４
士UVU1調.6
÷UW1=
､a
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一 〜
一
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1 1
α+α̲四二10･WUi=0.4
刀 =0.4 γ FlatPIate
=45. 入/c=3
５５１２５７●●●●００００一一一一一一一一ｃｃｃｃ／ノノノー１１１今令寺寺
、●、＝凸
−−一一
α＋a
● U
垂=10 lh/UO=0.4 t/c写1 γ＝45
late
鑿■ 一 ￥ 一＝I■ ー一 弓■ ＝
α＋a一画＝
8
10．
UO/Uo=0.4 t/Vc=1 7=45
一入/C=3刀＝0．1−
l/C=050dvalSeCUon ThicknessRa箇o=0.08
￨ ‐一合一毎
一
I
−
÷刀●
÷刀。
二0 2
二
壬−刀．=0.6 一凸一刀。=0.8
…．.･翼厚
冤一ー
｡●.●●●■･●●●●■●●●q●■ ､●●●●｡
,●●･●●守り●。､●●●●●･●●．●●●
●●●
0．
ー
α＋a‐
1 1
=10･ UO/Uo=
可.=0.4 入ノc=3 1/c＝
FIatPIate
、､ 1−丁
I
−
ロ０５０●●●珊詞雪電γγγγ令↑号舎
蕊ﾐミミデ−−士〜＝ ▲
、:ﾐミミミ
一 一 一
−へ
α＋α…
U
=10。 Uo/U8".4 t/c=17=45. 入/c=3
I
q 『
一寸
一２４６８屯覗珊屯恥氾恥恥令今寺寺
、̲三二一一ー ー.△ ー＝一理q■■一■■■L 一 ー▲．
一一
0.3 0.3
0.2 0．2
︒︑ ︒︑Ｎ
0.1 0.1
0 4 0
0．25 0.5 X/c O．75
Q25 0.5 x/c O.75 1
0 1 0
図23空洞厚さ分布(t/cの影響）
図21 空洞厚さ分布(1/Cの影響）
0.3
0.2
︒︑側
0.1
0 ’
0.25 0.5 x/c O．75 1
0
図22空洞厚さ分布（γの影響）
参考文献 れ， ガウスの消去法により解が得られた。
(3)翼幅方向の問題は， スツルム・ リュウヴィル型 の固有値問題となり，与えられた主流の速度分布に 対して既存の方法を用いることにより固有関数は解 析解が得られ，固有値については超越方程式が成り 立ち， これはニュートンの接線法により解かれた。
(4)翼断面の問題で得られた圧力関数と，翼幅方向 の解である固有値，固有関数及び線形結合のスペク トルを用い，平板翼欠円翼について，翼列特性と 空洞特性に及ぼす主流の速度分布，空洞長さ，食い 違い角， ピッチの影響を明らかにした。
(1)伊藤（惇)，日本機械学会論文集, 57‑536（1991‐
4)， 1289.
(2)伊藤（惇）・伊藤（哲） ・富樫， 日本機械学会論 文集, 68‑665(2002‑1), 94.
(3) 富樫・伊藤（哲） ・伊藤（惇)，秋田工業高等専 門学校研究紀要， 37（2002‑2)， 1．
本研究は平成13年度文部科学省研究費補助金（基 盤研究(c), ロケットポンプインデューサのキャビテー ションに関する基礎的研究）による研究の一部とし て行われたものである。
平成15年2月
α＋α−−＝
Uo/UO=0 刀F0.4
５５２１一一一一一一咋改比
一一寺
….‑重厚
〆一
〆ー ,
γ I
=45. 入/c=3
刀=0．1 1/c=0.5 0gVaISeCtion 一ThicknessRatio=0.08 ‐
b●1●●●●｡｡ ･■◆･･･
●●●■●｡●■｡
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0･■Q■
●●●
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●●●0
ー
α＋a一一=10･ 刀.二0‑4 Uo/UO=q4t/c=1 γ=45. 入/c=3
刀＝0.1 ‑r一一一
OpvdSection Th雁knesS
RDti吟0.08Lグ諄輻
〆ー■
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万・=0.4 一入／C=3
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●
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