スロット・モデルの適用性の向上に関する検討

(1)

水工学論文集,第52巻,2008年2月

スロット・モデルの適用性の向上に関する検討

MODIFICATION OF SLOT MODEL BY COINCIDING WITH THE LATERAL MODEL

Pandit Saroj KUMAR

¹

・重田尚秀

²

・岡佳宏

³

・渡辺政広

⁴

・川﨑達

⁵

Pandit Saroj KUMAR,Naohide SHIGETA, Yoshihiro OKA, Masahiro WATANABE and Toru KAWASAKI

1学生会員工修愛媛大学大学院理工学研究科博士後期課程（〒790-8577 松山市文京町3番）

2正会員工修愛媛大学大学院理工学研究科博士後期課程（〒790-8577 松山市文京町3番）

3学生会員愛媛大学大学院理工学研究科博士前期課程（〒790-8577 松山市文京町3番）

4正会員工博愛媛大学大学院教授理工学研究科（〒790-8577 松山市文京町3番）

5正会員日本上下水道株式会社西部支社松山事務所（〒790-0001 松山市一番町5番地20）

Preissmann Slot concept is one of the most extensively accepted numerical approaches in unsteady free surface pressurized flow. However Courant’s stability condition has imposed this method with limitation on the size of the time step. The slot concept produces large wave celerity and a corresponding strict time step limitation with too small slot width, while inaccuracies may result with too large slot width. The equations for a surcharged flow which form the lateral model are derived incorporating the relaxation effect and compared with corresponding equations of slot model. The friction loss is evaluated in slot model by introducing the coefficient, Γ which modifies the slot model. The pair of differential equations of Slot Model and Modified Slot Model are solved and presented in forms for direct substitution into FORTRAN programming for numerical analysis. The numerical result justifies Modified Slot Model to be more efficient for the modeling of transient flow in sewer network.

Key Words : Slot Model, Lateral Model, slot width, surcharged flow, urban drainage sewer system

１．はじめに

近年，都市域の下水道流域では，都市化による浸透域の減少，集中豪雨の頻発等により，浸水被害の発生が増加しており，浸水を防除・軽減する対策の早期立案・実施が必要とされている．また，これらの対策について検討するには，浸水の状況を精度高く詳細にシミュレートできる流出解析手法が必要である．

本論文では，このような流出解析手法の一つであるスロット・モデル¹⁾に着目した．スロット・モデルは，プライスマン・スロットの手法²⁾を応用したモデルであり，

現在，都市下水道管渠網の流出解析に広く利用されている．しかし，本モデルの下水道管渠網への適用については，以下のような問題点が残されている．

スロット・モデルでは，計算時間短縮のため，しばしば，スロット幅を広げて（圧力波伝播速度aを小さくして）流出計算がなされる．しかし，スロット幅を広くする（a を小さくする）につれ，スロット・モデルではス

ロット壁面の摩擦を無視していることと，スロット中を流下する流量が増加することにより，計算水位が実用上問題となる程度まで低下してくることがある．このことは，特に，氾濫を伴うような場合には致命的欠陥である．

ここでは，上記の問題を解消するための手法について，

検討・考察を行った．

２．スロット・モデルの概念

(1) スロット・モデルの基礎式²⁾

スロット・モデルでは，図-1 に示すように，管頂部に微小幅のスロットを立ち上げ，実際の圧力流れを見かけ上の開水路流れとして取り扱うものとし，以下に示す仮定を設定している（図-2）．

①水は非圧縮性である ②管壁は弾性変形しない

③スロット壁面は摩擦損失には関与しない ④スロット幅は微小である

水工学論文集,第52巻,2008年2月

(2)

⑤スロット幅は圧力波伝播速度によって定まる上記仮定により，管路の非定常流れ（圧力流れ）に対する運動方程式および連続の式は，それぞれ，次式のように表される．

1 0

3 / 4 2

0+ =

∂ − +∂

∂ + ∂

∂

R V V S n

x y x V g V t V

g (1)

0

2 =

∂ + ∂

∂

x V g c x V y t

y (2)

；

(

y D

)

A c B

B c gA

p s a

s

− +

⋅

=

= 1 (3)

；

s p

a B

c = gA (4)

ここに，V：断面平均流速，y：水深あるいは圧力水頭，

R：径深，S₀：管路勾配，n：マニングの粗度係数，g：

重力加速度，t：時間，x：距離，c：圧力波の伝播速度，

Bｓ：スロット幅，A：流水断面積，Ap：下水管渠の断面積，D：下水管渠の直径，c_a：y = D のときの圧力波の伝播速度，である．

図-1 仮想スロットをもつ下水管渠

図-2 スロット・モデルの水理特性

(2) ラテラル・モデルとの関係 a) ラテラル・モデルの基礎式³⁾

下水道管渠網は，通常，下水管渠（マンホール間の管渠部分）とマンホールからなるとして取り扱われている．

ところが，実流域の各下水管渠には，図-3 に示すように，道路・歩道，家庭などからの雨水・汚水を排除するための取付管（laterals，直径 15〜20cm）が数多く接続されている．これらの取付管における流出雨水の貯留作用を考慮すると，下水管渠における圧力流れの運動方程式および連続の式は，それぞれ，次式のように表される

（図-4）．

1 0

3 / 4 2

0+ =

∂ − +∂

∂ + ∂

∂

R V V S n

x y x V g V t V

g (5)

0

2 =

∂

′ ∂

∂ +

∂

x V g c t

y (6)

；

( )

l P

A A N

g L

c′= sinθ₀ (7) ここに，c’：圧力波の伝播速度，L：下水管渠の長さ，

N：取付管の接続本数（L 当たり），θ0：取付管の傾斜角度，Al：取付管の断面積，である．

Ground Surface

Laterals Street Inlet

House Inlet

Combined Sewer Pipe Free-surface

Hypothetical Slot (Surcharged Flow)

(Open-channel Flow)

図-3 下水管渠と取付管

0.0 0.5 1.0 1.5

B/2/D, A/A_full, R/R_full, Q/Q_full

y/D

B/2/D A/Afull

R/R_full Q/Q_full

D y

θ0

Laterals Laterals Ground Surface

Combined Sewer Pipe Ap

図-4 下水管渠と取付管（横断面図）

(3)

b) 基礎式の比較

スロット・モデルの基礎式(1)，(2)とラテラル・モデルの基礎式(5)，(6)を比較すると，ラテラル・モデルでは，取付管が貯留にのみ関与するため，流水断面積変化

を表す項 V・(∂y/∂x)は存在しない．一方，スロット・モ

デルでは，スロット部が流水断面として作用するため，

本項が存在することになる．

３．スロット・モデルの水位低下補正手法

スロット・モデルによる下水道管渠網における流れの計算の過程において，c = a =10〜数10m/secになると，

下水管渠のスロット幅は極度に広がり，スロット断面は全流水断面積の数%〜数 10%を占める．このため，スロット壁面は摩擦損失には関与しない仮定により，流れの摩擦損失は過小評価され，圧力水頭（管渠底から測った）は数%〜数10%程度も低下してくる．

こうした点を改善するため，運動方程式(1)の摩擦項に係数Γ を乗じて，

3 / 4 2

R V V

n ⇒

3 / 4 2

R V V

⋅n

Γ (8) と置き換え，そうした水位低下を補正する方法を提案する．すなわち，Γ の評価式は，定常圧力流れを想定し，

スロット・モデルにおける流れの基礎式を，下水道管渠網の実状に近いモデルであるラテラル・モデルのそれと一致させることにより導出する．

スロット・モデルにおける定常圧力流れの基礎式は，

スロット幅が微小でない場合，Γ を導入した運動方程式(1)および連続式(2)より，次式のように表される（下添字s ）．

( )

2 2 43

2 0

1 1

s s

p s

s s

s

c V

D A y

R B

V V S n

x y

−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ − ′

+ ′

′

⋅

−

∂ =

∂

Γ

(9)

ここに，R’：スロット部を除く径深，D’：管渠底からスロット接合部までの長さ，A’_p：スロット部を除く管路側の流水断面積，である．

図-5 水位低下補正係数Γ とy/Dの関係（D=0.25m）

ラテラル・モデルによる定常圧力流れの基礎式は，運動方程式(5)および連続式(6)より，次式のように表される（下添字l ）．

3 / 4 2

0 R

V V S n x

y_l _l _l

−

∂ =

∂ (10)

ここで，両モデルの基礎式が一致する，すなわち，

∂ys /∂x = ∂yl /∂xが成立することより，Γ は次式のように表される．

( )

F c F V c V A

D y

B full

p s

2 2 2

2 2

1

1 ⎟⎟ ±

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −

⎪⎭ ⋅

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −

+

Γ = (11)

；

(

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ − ′

+ ′

= ′ y D

A B R

F R

p

1 s 3 / 4

3 /

4

)

(12)

ここに，V_full：満管等流流速（Manning式），複号は順流のとき＋，逆流のとき−，である．

水位低下補正係数Γ とy/Dの関係を図-5 に示す．管径に対してスロット幅が微小である場合 (Bs=0.0001D〜

0.001D) は，管渠内の流量に対してスロット内のそれは

わずかであり，補正の必要がないため，Γ は 1.0 で良い．一方，スロット幅が大きくなる (Bs=0.01D〜0.05D) と，摩擦損失を考慮していないため，スロット内の流量が過大となって水位低下が起こり，これを抑えるため，

Γ は 1.0 より大きくなる．また，y/Dが大きくなるにつれ，Γ も大きくなる．

４．数値実験による水位低下補正係数の有効性に関する検討

スロット・モデルの水位低下補正について，都市域の下水道管渠網を代表する下水管渠システムを想定し，数値実験による検討を行った．

(1) 下水管渠システム

検討に用いた管渠システムは，実流域の下水道管渠網で見られる標準的（代表的）な諸元⁴⁾をもつ4種のプリズマティックな下水管渠システム（表-1 および図-6）

である．

1 2 3

0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

y/D Γ

B_S = 0.0500D BS = 0.0100D BS = 0.0010D BS = 0.0001D

表-1 下水道管渠システムとその諸元

Type D

(m) L (m)

S0

(‰) TG

(m) FM

(m²) LT

(m)

1 0.25 30 8.3 1.75 0.611 510

2 0.50 45 5.4 2.10 0.900 765

3 1.00 60 3.8 2.50 2.332 1,020

4 2.00 80 2.5 3.80 2.935 1,040

FM：マンホール面積

(4)

(2) 対象出水

流出シミュレーションには，上流端から洪水流入があり，下流端水位が一定に保たれる場合のサーチャージ流出を用いた．

ここで，システム下流端における水位は，管底からの高さが管径の 1.05 倍となる水位で一定とし，上流端よりの洪水流入ハイドログラフは，図-7 に示すように，

定常状態から単一のピーク (Q_p≒1.3×Q_full) をもつsine 型の洪水を与えた．また，洪水流入ハイドログラフの周

図-6 下水管渠システムの概要（D = 1.00 m の場合）

(ⅰ) 補正なし

期Tは5〜60分とした．

(3) 流出シミュレーション結果

管渠径および流入ハイドロの周期を種々組み合わせ，

スロット幅B_sを 0.0001D〜0.05Dとし，流出シミュレーションを行った．補正ありの場合と補正なしの場合について，スロット幅Bsを0.0001D〜0.05Dとしたときの上流端マンホールの水深ハイドログラフの例（D=1.00m）を図-8に示す．

図-7 洪水流入ハイドログラフ

t Q

0 200 400 600 800 1000

0 5 10

Level (m)

Distance (m)

(ⅱ) 補正あり

(ⅱ) 補正あり (a) T = 5 min

(b) T = 10 min

(c) T = 30 min

(d)T = 60 min

図-8 流出シミュレーション結果の水深ハイドログラフ（D=1.00m，上流端）

T Qfull

Qp

0 200 400 600 800 1000 1200

1.0 2.0 3.0 4.0

Time (s)

Depth (m)

B_S = 0.0001D B_S = 0.0010D BS = 0.0100D B_S = 0.0500D

0 200 400 600 800 1000 1200

1.0 2.0 3.0 4.0

Time (s)

Depth (m)

B_S = 0.0001D B_S = 0.0010D BS = 0.0100D B_S = 0.0500D

0 300 600 900 1200 1500 1800

1.0 2.0 3.0 4.0

Time (s)

Depth (m)

B_S = 0.0001D B_S = 0.0010D BS = 0.0100D B_S = 0.0500D

0 300 600 900 1200 1500 1800

1.0 2.0 3.0 4.0

Time (s)

Depth (m)

B_S = 0.0001D B_S = 0.0010D BS = 0.0100D B_S = 0.0500D

0 600 1200 1800 2400 3000 3600

1.0 2.0 3.0 4.0

Time (s)

Depth (m)

B_S = 0.0001D B_S = 0.0010D BS = 0.0100D B_S = 0.0500D

0 600 1200 1800 2400 3000 3600

1.0 2.0 3.0 4.0

Time (s)

Depth (m)

B_S = 0.0001D B_S = 0.0010D BS = 0.0100D B_S = 0.0500D

0 1200 2400 3600 4800 6000

1.0 2.0 3.0 4.0

Time (s)

Depth (m)

B_S = 0.0001D B_S = 0.0010D BS = 0.0100D B_S = 0.0500D

0 1200 2400 3600 4800 6000

1.0 2.0 3.0 4.0

Time (s)

Depth (m)

B_S = 0.0001D B_S = 0.0010D BS = 0.0100D B_S = 0.0500D

Ground Surface

Manholes Q L

TG

D LT S0

(5)

また，スロット幅Bs=0.0001Dを基準としてピーク水深の相対誤差（式(13)）を算出した結果を図-9に示す．

D y

y Error y

o o c

05 .

−1

= − (13)

(ⅰ) 補正なし

ここに，Error：ピーク水深の相対誤差，yc：スロット幅B_s＝0.0001D 〜 0.05D の場合のピーク水深，y_o：ス

ロット幅 Bs＝0.0001D の場合のピーク水深，である．

0 20 40 60 80 100

Slot Width

Error (%)