+中 辻裕邦*松橋正道*田中和雅*

長崎大学工学部研究報告第

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7 

ビーム波の回折問題に対するモード展開法の一応、用

辻 裕 邦 * 松 橋 正 道 * 田 中 和 雅 *

An A p p l i c a t i o n  o f  Beam Mode E x p a n s i o n  Method t o   D i f f r a c t i o n  Problem 

by 

H i r o k u n i  TSU]I ，  Masamichi MATSUHASHI and Kazumasa TANAKA 

( D e p a r t m e n t  o f  E l e c t r i c a l  E n g i n e e r i n g )  

The beam mode e x p a n s i o n  method which i s   u s e d  t o  d i s c u s s  t h e  d i f f r a c t i o n  o f  a  wave beam by an  a p e r t u r e  i s   a p p l i e d  t o  t h e  a n a l y s i s  o f  c o u p l i n g  between r e c t a n g u l a r  and c i r c u l a r  wave beams t h r o u g h  an  a p e r t u r e .  The c o u p l i n g  c o e f f i c i e n t s  a r e  r e p r e s e n t e d  a s  an i n f i n i t e  s e r i e s .  The f i r s t  term

however

g i v e s  a  good a p p r o x i m a t i o n  t o  t h e  r i g o r o u s  v a l u e  o f  t h e  c o e f f i c i e n t  e x c e p t  when t h e  r e c t a n g u l a r  beam h a s  an  e x t r e m e l y  o b l o n g  f i e l d  d i s t r i b u t i o n .  Numerical r e s u l t s  a r e  shown f o r  t h e  c o e f f i c i e n t  between r e c t a n g u l a r   and c i r c u l a r  f u n d a m e n t a l  beam m o d e s .  The optimum c o n d i t i o n s  which maximize t h e  c o e f f i c i e n t  a r e  a l s o   shown f o r  v a r i o u s  a p e r t u r e  r a d i i  and f i e l d  c o n f i g u r a t i o n s .  

1.まえが き

物体による電磁波の回折あるいは散乱問題の議論 は，入射電磁界と境界を規定する物体の表面が，異なっ た座標系で記述されるとき，一般に複雑な計算を必要 とし，多くの場合，数値解析によらざるを得ないよう である.したがって，これまでは，主に入射波と物体 の表面とが同じ座標系で表わされる場合の取扱いがな されている.我々もこれまで，入射電磁界としてレー ザビームを考え，これが開口に入射した場合の回折問 題を，方形開口に対しては方形ビーム波を，円形開口

に対しては円形ビーム波を考えて議論してきた1)2) 

しかし，最近の半導体レーザの発展，低損失光ファイ

ノfーの開発を考慮すれば，方形ビーム波が，円筒座標 系で記述される伝送路に入射する場合の問題を含め て，円形と方形のビーム波の結合問題が生じて来てい るようである3) 本論文では関口の場合を例にとり，

上記のように円形開口に方形ビーム波が入射する場合 を考察する.なお，入射ビーム波としては基本モード

*電気工学科

を仮定するが，この仮定の下では，円形ビーム波は方 形ビーム波の特別な場合になっているとみなせるの で4)ヘ方形開口による円形ビーム波の回折問題は，方 形ビーム波が方形開口に入射した場合の議論に帰着 し，これはすでに取扱われている1)なお入射ビーム波 は直線偏波しているとして，議論はすべてスカラーで 行なう.

2 .

入射波として ，

z

' x .

仇伽州

o ( μ

ι

(

x

士争折伊材仇

σ

+中

t a n ‑I' ; 1   +  t a n ‑I  ' ; 2 ) }  

8 ビーム波の回折問題に対するモード展開法の一応用

ここで

ξ・一2（z−98ﾁ1），

     語        「（〜＝1，2）    （2）

  ηゴ；勘、廊

  σ9＝1＋ノξゴ ，

である．このビーム波は前述のように恥＝地のとき円 形ビーム波と同じ分布になる．このビーム波が，z＝z。

にある半径αの円形開口に垂直に入射し，その伝搬軸 が開口の中心を通るとすれば，そのときの回折界

％。（■，〃，z）は， Kirchhoff近似を用いれば， Fresnel領 域では次式で与えられる6｝．

％・（・，θ，・）一2。（義。）・x・｛一油（・一・・）｝

      ∬ズπ輪〃・・為）・x・卜2（ノ々9一ZO）

      ｛・・＋・・2−2…c・・（θ一θ・）｝］脚θ・

      （3）

この積分は一般に複雑で，得られる結果も無限級数を 含んだ式で表わされる．したがって，その結果を使っ て解析的な議論を行ない，見通しの良い結果を引き出 すことは困難と思われる．そこで，ここでは，上式を 直接積分することを避け，まず入射ビーム波を円形 ビーム波の重ね合わせとして表わし，問題を円形開口 による円形ビーム波の回折の場合に帰着させ，これま でに得られている結果を利用しながら，し｝まの問題を 考察するという方法をとる．すなわち，まず入射ビー ム波を次のように表わす．

  φoo（κo，〃。，Zo）＝ΣD論ηψ●η。（γo，θo，Zo）  （4）

         切，η＝0

ここで，聾。（7，θ，z）は円形ビーム波を表わし，次式で 与えられる．

  砂一（・，θ，・）一。、。（篇），ex・｛一団為）｝

         η（ηγ）加1，禦（η272）

         ・x・｛一去η2σ2・2

         ＋ノ（2η＋〃z＋1）tan−1ξ｝cos（〃zθ）

       （5）

ただし

   ・・一｛ll瀦

    ξ一2（9−zε々1〃2）    （6）

    η＝ ，五華

躍（冒x）はLaguerreの多項式である．これはz＝z・に

ビームウェイストを持ち，そこで最小のスポットサイ ズが〃であるビーム波を表わす．式（4）で用いられる円 形ビーム波ψ●伽のビ74ウェイストが，φ。。のそれと一 致する必要はなく，任意の位置に取ることが出来るが，

ここでは，両ビーム波のビームウェイストの位置は，

同じ点z＝為にあるとする．

 式（4）を（3）に代入すると，回折界y6。（γ，θ，ξ）は次の ようになる．

  レも。（ノ ，θ，z）＝Σ1）i鰹ση。（1 ，θ，z）   （7）

        η〜・η＝0

ここで，砺。（7，θ，z）は， z＝g、にある半径召の円形開口 に，円形のビーム波ψ 加。（γ，θ，g）が入射した場合の Fresnel領域における回折界で，次式で与えられる1）

齢，θ，・）一。、。（2ηノﾅ十〃z），2，濃。）

…（吻θ）・x・｛一ノ々（・一轍）

＋ブ（2η＋〃z＋1）tan−1ξo

−2（ブ々72y一ZO）｝｛2衡（1≒）｝1

臨臨（一1）q（ρ十（〜十〃z （1）十〃z）！4！）！（腸土7）

｛と月・η♂護一。。ア｝ρ

即…）（2β2）・・9一土1

｛1一・x・（一斗・8β2・2）

響÷（η02号202）・｝ （8）

ただし，ξ。，η。等は，式（6）で与えまれるパラメータの，

g二z。での値を表わし，、4は任意のパラメータ，Bは次 式で与えられる量である．

ガー・8＋，1（ノ々Z−ZO）午2，8月・護一ぴ （9）

この0η。（7，θ，のをさらに円形ビーム波望「臓（7，θ，g）の 重ね合わせとして，次のように表わす．

         の

  び臓（γ，θ，乙）＝ΣC魏ψ 禰（7，θ，z）「  （10）

        れカニむ

このとき，展開係数｛c綴｝は，さきに現われたパラメー タ五を適当に選べば，次式で与えられることがわかっ

ている2）．

 一．     〃！    宛！

c瀦＝δ痂

      （〃十〃2）！ （宛十励）！

   exp｛ノ（2η一2戸）tan−1ξo｝

   禽禽（一1）等甥＋溺）！（劣亡7）（劣±7）

   ｛1−exp（一η02α2）ρ罫（η誓）s｝ （・・）

辻 裕邦・松橋正道・田中和雅 ⁹

ここで，δ痂はKroneckerのデルタである．

 以上の結果を用いれば，回折界％。（7，θ，のは次のよ うになる。

         ロ       の

  レ㌔。（7，θ，9）＝ΣD認｛ΣC纏ψ 痂（ナ，θβ）｝

        ηε，η＝0      一一       ηZ，π＝0

      （12）

係数｛C瀦｝については，これまで詳しく議論されてい るので，ここでは，式（4）で現われた｛D品 ｝を得ること が問題となる．この係数は，関数｛4「η。｝の正規直交性 を用いれば，次式で与えられる．

  D灘一∬∫2πφ・・（・・，〃・，・・）

     ψ●加姦（70，θo，90）704π04θo       （13）

ただし・は，複素共役を示す．これにφ。。，砂襯を代入し て積分を行えば，次式を得る．

躍一 烽P総1！・x・｛壕（・an−16・

     一＋一tan−1ξ20）一ブ（2η＋〃z＋1）tan−1ξo      ＋ノ誓｝禽（η十2吻 η一ρ）（一1）ρ（1ナ2勉 ）！

      れレヰ カキユ

     η18・謄1麟（・・／・・）  （14）

ここで，〃2＝2扉（偶数）で，〃zニ2〃z 一1（奇数）のとき，

D謝＝0となる．また，式（14）の中のパラメータは，次 式で与えられる．

  ・・一÷（η％σ多。十η30σ書。一｝一2η8σぎ＊）

  ・・一÷ノ嚇一斑）

  γ。＝濡

また，P （X）はLegendreの陪関数である．

3．モード結合係数

 前節で行なった議論は，回折界％。を求めるための 解析法を示しているが，回折界の分布そのものを調べ るには，このモード画趣法は，必ずしも最適な方法と は言えない．すなわち，無限級数で表わされた式（12）

から得られる界分布が，式（3）から直接数値解析によっ て得られる結果と一致するためには，一般に，・多数の モードを重ね合わ．せる必要があり，計算機を用いても その収束があまり早くないため，．正確な値は容易に得 られない．しかし，ここで展開された手法を，見方を かえて円形開口を通して方形ビーム波φ。。と円形ビー ム波罫「禰が結合され，その結合係数がΣD灘C魏で与 えられると考えると，これには別の応用が考えられる．

すなわち，方形系から出たビーム波が円形系に入射し て，その系の固有モードを励振する時の議論がこの結

果から得られる．この場合，円形系の固有モードΨ顧 が予め決められており，入射ビーム波φ。。のパワーのう ち，どれだけがそのモードに移るか等の議論もただち に行える．ここでは実用上薬もよく用いられる基本 モード皿。。を例にとり，モード結合の問題を考察する．

この場合，z＝g。にある半径αの円形開口を通しての ビーム波φ。。と，ψb。の結合係数を8。。とすれば，これは 次式で与えられる．

     の

  Boo＝ΣD88 C82          （16）

     η＝0

数値的な議論を行なうためには式（16）を用いるが，こ のうち｛C89｝については前述のように詳しく検討され ているので，ここでは主に｛1瑠｝について調べる．

Fig．1（a）〜（d）にFO〜4に対する1）88のグラフを示 す．ここでは，方形ビーム波を円形ビーム波の重ね合 わせとして表わす位置として両方に共通なビームウェ イストを選んでいる．すなわちξ。＝9。である．Fig．1に おいて〃2／〃1＝1．0の場合，入射ビーム波は円形ビーム 波に帰着する．したがって2〃／助＝LOのときはD88のみ が1となり，D88＝0（ηキ0）となることは物理的にも明 らかであり，また解析的にも示される．比3〃2／〃1が1以 外の時，D88はりF痂「のとき最大となることは容 易に示されるが，このとき他の係数D8ぎ（η‡0）は一般 に非常に小さくなっている．特にZ珊は為＝gεと選ん だとき〃＝石砺（これを最適条件と呼ぶことにす る）では零となることが示される．比地んノ1が1よりず れるにしたがって，方形ビーム波は円形ビーム波の形 からずれてくるから，D88はすべてのηについて次第に

・小さくなり，ηについての値の差が〃ん・1の値にかかわ らず小さくなる．このことは，その方形ビーム波を円 形ビーム波の重ね合わせとして表わすには，多くの

ビームモードを必要とすることを示している．ここで 示した図では，〃2ん・、は1．0以下であるが，1．0以上の場 合については，方形ビーム波のκ軸と〃軸を変換して考 えれば，ここでの結果がただちに利用出来ることがわ

「かる．Fig．2， Fig。3にはそれぞれ018，1）38を示して いるが，これから高次モードの展開係数は一般に急速 に小さくなっていることがわかる．これは，式（4）が数 式では無限級数となっているが，実際上，はじめのい

くつかの項を考慮すれば，十分良い近似値が得られる ことを示している．以上で得られた展開係数｛D品 ｝を 用いて，開口によるビーム波の回折界の議論に現われ たL8・・1について計算した結果を， Fig．4（a）〜（d）に 示す．これらの各図には；1β。。1の収束を調べるため に考慮に入れた項数Nの種々の値に対する変化も示

10 if ‑ l), 21ili a) @)EFf maee e: N'3‑ 6 e ‑ F R ca iilk (D ‑‑‑･JJE re

Dg:

to

05

o

‑O.5 nt4

n:2

n.:O

t

n;2 n.

z=zs

te, =t,o

 D::

,o

i

O.5

nt4 _uc,

n:3

n:l

1,O 2.0' 3.0 ,4.0 s.o o

‑O.5

ft:o

nst nsi.s

W,=O.5Z=k

n#4

uz

to 2.0 3,O 4.0 5.0

(a) w2hlli=1.0

(b) w,hv,=O.5

 Dg:

1.o

O.5

o

‑O.5

n#o n:t

V,=O･25Z=k

# ts

nt4

"

l.O 2.0 3.0 4.0 5.0

Dgn,

LO

O.5

o

‑O.5 n:o

Z=k

ee;O.t25

n n=

x

as  n:t

s.o 2,O 3.0 4.0 5,O

(C) W2fu7i=O.25 (d) w,/w,=O.125

Fig. 1 Coupling coefficients between rectangular fundamental beam mode TEMoo and circular beam mode TEMo.. wi and w2 are spot sizes of the rectangular wave beam in x and y directions, respectively, and w is the spot size of the circular wave beam.

D::

O,4

O.2

o

‑O.2 n=o n=2

"UP, =05z;zs

w,

o.l

D::

O.05

n o

tu5 nst

1.o 2.0 3.0 4.0 5.0

‑O.05

‑2 n:e

pa1

n"

NMZ=k^ifiI:o,s

w,

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Fig. 2 Coupling coefficients between rectan‑

gular fundamental beam mode TEMoo and circular beam mode TEM2n.

Fig. 3 Coupling coefficients between rectan‑

gular fundamental beam mode TEMoo and circular beam mode TEM4n･

i! ta;K･taes[ilEpt･ ^N Ii$UglE 11

lBeol 1,O

O.5

N:1 N:2

&/;l.OZe=k

･Y!!= O.5 Wl

  ng

.N=4

N=6

N:t

‑vvlw

o

      1.0 ' 2.0 3.0

(a) IBool as a function of the ratio wbei where w is the spot size of the circular wave beam and wi is that of the inci‑

dent wave beam in x direction.

IBool l.O

O.5

N=l6 t".2 Ntt

Zo=Zs Z:l.o

wl W2.0.5 wt

g

o

      1.0 2.0

(b) IBool as a function of the ratio a/wi where a is the radius of the aperture and wi is the spot size of the incident wave beam in x direction.

IBool

l.O

O,5

N=1 N=2

k= Zs W,=c.o

e,= i.o

Y!L2

o wt

IBool

l.O

O.5･

N=l.

N:l6

Zo= Zs W,=O.5 eel=l･O

vewt

        O･5 l.O l.5 O O.5 l,O L5

(c) IBool as a function of the ratio (d) IBool as a function of the ratio u'2/wiwhere za;i and ii,2 are spot sizes u,2/wi for the case u?/u,i=O.5. The of the incident wave beam in x and y parameters u,i and u,2 are the same as directions, respectively. The ratio in Fig.4 (c).

w/u･, is 1.0.

       Fig.4 Coupling coefficient between rectangular and circular fundamental       beam modes through a circular aperture. N is the number of terms       considered in calculating the sum given by Eq. (16).

12 ビーム波の回析問題に対するモード展開法の一応用

している．これらの結果から，回折界の展開に用いる 円形ビーム波の最小スポットサイズ ・が小さいとき は，ほとんど第1項を用いて議論してもよいが，【B。。1 が最大となる〃の値から大きくなるにつれて，次第に 四三をたくさん用いなければならないことがわかる．

これは開口半径αが与えられたとき，血肥／勘＝一定の 下で励〃1が大きくなるにしたがってηが大きくなって も，D88は急速には減衰しないことに起因している．

Fig．4（b）には開口半径を変化させた場合を示してい るが，このときのパラメータをFig．1（b）で調べれば，

D38≒0．9でD88（η≧1）はηが大きくなると急激に小さ くなること，およびα／〃1→。。のとき開口がない場合に 相当するから，B。。＝D88＝0，9に漸近することがわか る．この収束の速さは最適条件〃＝偏とすればよ り良くなるはずである．

 Fig．5にB。。の最大値を与えるときの〃／勘と〃、／〃1 の関係を示す．ただしここでは，B。。としてD88C88のみ を考慮している．最適条件〃；偏（破線）とのずれ は，開口および1）88（η≧1）の高次モードの影響を示し ている．

1．5

LO

0．5

W

Zb＝Z8

ノ

！

！

！ ノ

！

！

     ！！

    ！ o・   ！     且＝2．O

煽●OD！！

    Wl

 ！！

！^！

＆・1・。

島・α5

蟄W匿 3．O

ば方形ビーム波から完全な円形ビーム波を得るには，

かなり精密な調整を必要とする．本論文では，この状 態からずれた場合の影響を，ビーム波のモード展開法 を用いて行なった．これは，開口によるビーム波の回 折を議論するとき，あるいはレーザ増幅器の雑音軽減 装置として開口を用いたときの作用を解析するときに 用いた方法で，ビーム波を記述する関数系の直交性を 利用した簡便な方法である．ここで得られた結果から，

方形ビニム波を円形ビーム波の重ね合わせとして表わ す場合，必要なモードの個数のめやすを知ることが出 来た．これを用いて方形系から円形系ヘビーム波を入 射させるとき，あるいはその逆のとき，高次モードが 発生する割合を知るには，その境界面での入射，反射 の影響を考慮すればよい．このような問題の解析もこ の手法により行なえる．

 おわりに，日頃御指導御間捷いただく，九州大学福 光教授に深謝する．

o ^1．o 2ρ

Fig．5 The condition which maximizes IBool．

    The dotted line shows the optimum     condition 〃＝偏 which maxi−

    mizes the coupling coefficient D88．

4．む す び

 レーザビームの形は円形，方形いずれのものもよく 用いられるが，この間の変換には，通常cylindrical lensを用いている．しかしこれを厳密に行ない，例え

 参考文献

1） 田中，福光：唱方形開口によるビーム波の回折 ，  弾帯論（B），第53−B巻，4号 pp．184−191（昭和45  年4月）．

2）K．Tanaka， M． Shibukawa， and O． Fukumitsu：

  Diffraction of a wave beam by an aperture，

 IEEE Trans．， Vol． MTT−20， No．11， pp．749−755  （Nov．1972）．

3） L．G． Cohen： Power Coupling from GaAs

 Injection Lasers into Optical Fibers， B． S． T． J．，

 Vol．51， No．3， pp．573−594（March 1972）．

4） G．D． Boyd and J． P． Gordon： Confocal  Multimode Resonator for Millimeter Through

 Optical Wavelength Masers， B． S． T． J．， Vol・40，

 No．3， pp．489−508（March 1961）．

5） G．D． Boyd and H． Kogelnik： Generalized  Confocal Resonator Theory， B． S． T． J．， Vol．41，

 No．5， pp．1347−1369（July 1962）．

6）S．Silver： Microwave antenna theory apd  design， McGraw Hill Book Co． Inc．， New York  （1949）。

7） 北川，福井，森臥田中：黙開口によるビーム波  回折界の半値幅 ，長崎大学工学部研究報告 第7号  pp．27・31（昭和51年7月）．