【1】 次の極限を求めなさい。

微積 I.exm16-3.1

.

微積分及び演習 I (2016 年度 前期 ) 定期試験 2016.08.01

【1】 次の極限を求めなさい。

(1) lim

x → 0

cos(2x) − 1

log(1 + 3x ² ) (2) lim

x →∞

log (

1 + exp(x ² ) ) 1 + 3x ²

【2】次の方程式，

x ⁴ − cos (

π ( x

2 − y

)) − 1 = 0

により定まる曲線について，曲線上の点 (x , y) = (1 , 1) での接線を表す式を書きなさい。

【3】曲面，

z = 1

x ² + 2xy + 4y ² + 3 の (x , y) = (1 , 1) での接平面を表す式を書きなさい。

【4】パラメータ t を用いて表された以下の曲線の，t = 1 での接線を表す式を書きなさい。

x = 5t + t ³ , y = 4t + 4t ² sin(πt) .

【5】 次の関数 f (x) の x = a についてのテイラー展開を f (x) =

∑ ∞ n=0

c _n (x − a) ⁿ

とするとき， c _n を求めなさい。

(1) f (x) = 5

x , a = − 3 . (2) f (x) = e ^3x + 2xe ^5x , a = 0 .

【6】 次の関数

f (x) = (x ² + x)e ^x

の 1 次の導関数を求めなさい。また，− ∞ < x < ∞ での増減を調べ，結果を下の例のようにまとめなさ い。グラフは描く必要はありません。

( 例 )

−∞ < x < −1 ; 減少

x = − 1 ; 極小

−1 < x < 1 ; 増加

x = 1 ; 極大

1 < x < ∞ ; 減少

【7】 方程式，

z ⁴ = 2 − 2 √ 3 i

を満たす複素数の解は 4 つあります。この 4 つの複素数を re ^iθ の形に表しなさい。ただし， r > 0， − π < θ ≤ π として下さい。(x + iy の形を求める必要はありません。)

【8】 条件 5x ² + 4xy + y ² − 4x − 2y = 0 のもとで，2x + y の最大値と最小値を求めなさい。また，最大値と

最小値を与える座標 (x, y) を求めなさい。

微積 I.exm16-3.2

微積分及び演習 I (2016 年度 前期 ) 定期試験 略解

【 1 】 ロピタルの定理を用いた解答を書きます。ロピタルの定理を用いた等号を

^ロピタル

= と書きます。

(1)

x→0

lim

cos(2x) − 1 log(1 + 3x

²

)

ロピタル

= lim

x→0

−2 sin(2x)(1 + 3x

²

)

6x = − 2

3 . (exm16-3.1)

(2)

x

lim

→∞

log

“

1 + exp(x

²

)

” 1 + 3x

²

ロピタル

= lim

x→∞

2xe

^x2

6x(1 + e

^x2

) = 1

3 . (exm16-3.2)

【 2 】 (x, y) = (1, 1) の近くで方程式 x

⁴

− cos(π(x/2 − y)) = 1 で定まる陰関数を y = ϕ(x) とすると，恒等式 x

⁴

− cos

“ π

“ x 2 − ϕ(x)

””

= 0 (exm16-3.3)

が成り立ちます。両辺を x で微分した式 4x

³

+ π

„ 1

2 − dϕ(x) dx

« sin “

π “ x

2 − ϕ(x) ””

= 0 (exm16-3.4)

より

dϕ(x) dx = 1

2 + 4x

³

π sin ` π `

_x

2

− ϕ(x) ´´ (exm16-3.5)

が得られます。 ϕ(1) = 1 なので，点 (x , y) = (1 , 1) での微分係数の値は dϕ(x)

dx

˛ ˛

˛ ˛

x=1

= 1

2 + 4x

³

π sin ` π `

_x

2

− ϕ(x) ´´

˛ ˛

˛ ˛

˛

(x,y)=(1,1)

= 1 2 − 4

π (exm16-3.6)

となります。以上より，接線を表す式が以下のように得られます：

y = 1 +

„ 1 2 − 4

π

«

(x − 1) =

„ 1 2 − 4

π

« x + 1

2 + 4

π . (exm16-3.7)

【 3 】 偏導関数は

z

x

(x, y) = ∂z

∂x = ∂

∂x

` x

²

+ 2xy + 4y

²

+ 3 ´

−1

= du

⁻¹

du

˛ ˛

˛ ˛

u=x²+2xy+4y²+3

∂u

∂x

= − u

⁻²

˛ ˛

u=x²+2xy+4y²+3

(2x + 2y) = −2 x + y

(x

²

+ 2xy + 4y

²

+ 3)

²

, (exm16-3.8) z

y

(x, y) = ∂z

∂y = ∂

∂y

` x

²

+ 2xy + 4y

²

+ 3 ´

−1

= du

⁻¹

du

˛ ˛

˛ ˛

u=x²+2xy+4y²+3

∂u

∂y

= − u

⁻²

˛ ˛

u=x²+2xy+4y²+3

(2x + 8y) = − 2 x + 4y

(x

²

+ 2xy + 4y

²

+ 3)

²

(exm16-3.9) となります。従って，接平面を表す式は

z = z(1, 1) + z

x

(1, 1)(x − 1) + z

y

(1, 1)(y − 1) = 1 10 − 1

25 (x − 1) − 1 10 (y − 1)

= − x 25 − y

10 + 6

25 = − 2x − 5y + 12

50 (exm16-3.10)

となります。

微積 I.exm16-3.3

【 4 】 t = 1 で

x(1) = 6 , y(1) = 4 + 4 sin(π) = 4 (exm16-3.11) となります。また，

dx(t)

dt = 5 + 3t

²

, dy(t)

dt = 4 + 8t sin(πt) + 4πt

²

cos(πt) (exm16-3.12) より x = 6 での微分係数は

dy dx

˛ ˛

˛ ˛

x=6

=

» dy dt

ffi dx dt –

t=1

= 4 − 4π

8 = 1 − π

2 (exm16-3.13)

となります。以上より接線は次の式で表されます：

y = 4 + 1 − π

2 (x − 6) = 1 − π

2 x + 1 + 3π (exm16-3.14)

【 5 】 ここでは (53.2) ∼ (53.6) に与えた基本的な関数のテイラー展開に関係づけて ∆x = x − a のべき級数の形を求めて

みます。 (51.10) に従って高次の微分係数を計算してもかまいません。

(1)

5

x = 5

− 3 + (x + 3) = − 5 3

1

1 − ∆x/3 = − 5 3

X

∞ n=0

„ ∆x 3

«

n

= − X

^∞

n=0

5

3

ⁿ⁺¹

(x + 3)

ⁿ

. (exm16-3.15) 従って，

c

n

= − 5

3

ⁿ⁺¹

, n = 0, 1, 2, · · · . (exm16-3.16) (2)

e

^αx

= X

∞ n=0

(αx)

ⁿ

n! =

X

∞ n=0

α

ⁿ

n! x

ⁿ

(exm16-3.17)

より，

e

^3x

+ 2xe

^5x

= X

∞ n=0

3

ⁿ

n! x

ⁿ

+ 2

X

∞ n=0

5

ⁿ

n! x

ⁿ⁺¹

= 1 + X

∞ n=1

3

ⁿ

n! x

ⁿ

+ 2

X

∞ n=1

5

ⁿ⁻¹

(n − 1)! x

ⁿ

= 1 + X

∞ n=1

„ 3

ⁿ

n! + 2 5

ⁿ⁻¹

(n − 1)!

«

x

ⁿ

. (exm16-3.18)

従って，

c

0

= 1 , c

n

= 3

ⁿ

n! + 2 5

ⁿ⁻¹

(n − 1)! = 2 5

ⁿ⁻¹

(n − 1)! 1 + 3 2n

„ 3 5

«

n−1

!

, n = 1, 2, · · · . (exm16-3.19)

【 6 】 1 次の導関数は以下の様になります；

df(x)

dx = (x

²

+ 3x + 1)e

^x

=

„

x − − 3 − √ 5 2

« „

x − − 3 + √ 5 2

«

e

^x

. (exm16-3.20)

e

^x

> 0 なので， 1 次の導関数の符号と 0 となる点を表にまとめると

x −∞ · · · −

³⁺₂^√5

· · · −

³⁻₂^√5

· · · ∞

f

⁰

(x) + 0 − 0 +

f(x) 0 % ( √

5 + 2)e

⁻³⁺

√5

2

& −( √

5 − 2)e

⁻³⁻

√5

2

% ∞

極大 極小

となります。これから f(x) の増減は以下のようになります：

−∞ < x < −

³⁺₂^√5

; 増加 x = −

³⁺₂^√5

; 極大

−

³⁺₂^√5

< x < −

³⁻₂^√5

; 減少 x = −

³⁻₂^√5

; 極小

−

³⁻₂^√5

< x < ∞ ; 増加

. (exm16-3.21)

微積 I.exm16-3.4

【 7 】 r =

˛ ˛

˛ 2 − 2 √ 3 i

˛ ˛

˛ = √

4 + 12 = √

16 = 4 なので，

2 − 2 √ 3i = 4

“ 1 2 −

√ 3 2 ,

¯

”

= 4 e

^−iπ/3

(exm16-3.22)

なので， z = r e

^iθ

とすると，問題の方程式は

r

⁴

e

^4iθ

= 4 e

^−iπ/3

(exm16-3.23)

となります。これより，

r

⁴

= 4 4θ = − π

3 + 2nπ (exm16-3.24)

が成り立つ必要があります。ただし， n は整数を表します。 r > 0 なので r = `

2

²

´

1/4

= 2

^1/2

= √

2 . (exm16-3.25)

また，

θ = − π 12 + nπ

2 (n = 0, ± 1, ± 2, . . .) (exm16-3.26) より，異なる解は n = 0, 1, 2, − 1 から得られます。従って解を z

1

， z

2

， z

3

， ， z

4

とすると

z

1

= √

2 e

^−iπ/12

, z

2

= √

2 e

^i5π/12

, z

3

= √

2 e

^i11π/12

, z

4

= √

2 e

^−i7π/12

(exm16-3.27) となります。

【 8 】 条件

g(x, y) = 5x

²

+ 4xy + y

²

− 4x − 2y = 0 (exm16-3.28) のもとでの

f(x, y) = 2x + y (exm16-3.29)

の極値をラグランジュの未定係数法を用いて求めます。

L(x, y) = f(x ， y) − λg(x, y) = 2x + y − λ(5x

²

+ 4xy + y

²

− 4x − 2y) (exm16-3.30) とおいて， ∂L

∂x = 0 , ∂L

∂y = 0 より

2 − λ(10x + 4y − 4) = 0 , 1 − λ(4x + 2y − 2) = 0 . (exm16-3.31) 1 番目の式と， 2 番目の式の 2 倍の差をとると

2λx = 0 (exm16-3.32)

となるので， x = 0 が得られます。これより

y = 2λ + 1

2λ , x = 0 . (exm16-3.33)

(exm16-3.33) を条件 g(x, y) = 0 に代入して 1

4λ

²

− 1 = 0 より λ = ± 1

2 (exm16-3.34)

が得られます。 λ の値を (exm16-3.33) に代入して，極値を与える座標の候補

(x, y) = (0, 0) , (0, 2) (exm16-3.35)

が得られます。 ( 実は λ を求めなくても， x = 0 を条件 g(x, y) = 0 に代入して得られる式， g(x, 0) = y(y − 2) = 0 から，

y = 0 , 2 が得られます。 ) 上で得られた座標を f(x, y) に代入して得られる値を比較して， (x, y) = (0 , 2) で f(x, y) は

最大値 2 を， (x, y) = (0 , 0) で f(x, y) は最小値 0 を，とることが分かります。