早稲田大学大学院 理工学研究科
博 士 論 文 概 要
論 文 題 目
非カオス的ストレンジアトラクターの 発生機構と異常拡散現象
Onset Mechanisms and Anomalous Diffusion Phenomena of Strange Nonchaotic Attractors
申 請 者
三ツ井 孝仁 Takahito Mitsui
物理学及応用物理学専攻・統計物理学研究
2010 年 11 月
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ポ ア ン カ レ の 三 体 問 題 に 遡 る カ オ ス 研 究 は ， シ ン プ ル な 決 定 論 的 法 則 が 確 率 的 と さ え 言 え る 複 雑 な 運 動 を 引 き 起 こ す こ と を 明 ら か に し た ． カ オ ス は 現 代 科 学 が 直 面 す る 多 く の 非 平 衡 非 線 形 問 題 に 現 わ れ る ． 理 論 的 に も 応 用 的 に も 重 要 な 非 平 衡 非 線 形 シ ス テ ム の 例 と し て ， 交 流 駆 動 さ れ る 非 線 形 回 路 や 周 期 的 パ ル ス 入 力 を 受 け る 生 物 振 動 子 な ど の 周 期 駆 動 さ れ る 力 学 系 が 挙 げ ら れ る ． 一 般 に ， 周 期 駆 動 さ れ る 連 続 力 学 系 の 解 析 に は ポ ア ン カ レ 写 像 が 用 い ら れ る ． そ の 代 表 例 で あ る 標 準 写 像 や 円 写 像 な ど の 数 理 的 研 究 は ， カ オ ス を 含 む 非 線 形 非 平 衡 現 象 の 普 遍 的 性 質 を 数 多 く 明 ら か に し て き た ． と こ ろ が 現 実 の 非 平 衡 非 線 形 系 が 外 部 か ら 受 け る 影 響 は 周 期 的 な も の ば か り で は な い ． 実 際 ， 多 く の 系 は ノ イ ズ な ど の ラ ン ダ ム な 外 乱 の 中 で 作 動 し て い る ． そ こ で は 確 率 微 分 方 程 式 や フ ォ ッ カ ー ・ プ ラ ン ク 方 程 式 な ど に よ る 現 象 の モ デ ル 化 が 定 量 的 理 解 に 役 立 っ て い る ． し か し ， 周 期 的 な 影 響 を 受 け る 決 定 論 的 系 の 理 論 か ら 無 秩 序 な 外 乱 を 受 け る 確 率 論 的 系 の 理 論 へ 一 足 飛 び に 越 え る こ と は で き な い ． そ の 間 を 繋 ぐ 理 論 が 必 要 で あ る ．
周 期 駆 動 さ れ る 力 学 系 に 対 し て ， 一 段 階 複 雑 な 影 響 を 受 け る 系 と し て 準 周 期 駆 動 さ れ る 力 学 系 を 考 え る こ と が で き る ． こ の 拡 張 は 単 に 現 象 を 込 み 入 ら せ る だ け で な く ， 非 カ オ ス 的 ス ト レ ン ジ ア ト ラ ク タ ー ( S t r a n g e N o n c h a o t i c A t t r a c t o r ; 以 下 S N A と 略 す)と 呼 ば れ る 全 く 新 し い 力 学 的 状 態 を 出 現 さ せ る ． S N A は G r e b o g i ら ( 1 9 8 4 )と K a n e k o ( 1 9 8 4 )に よ り 同 時 期 に 発 見 さ れ ，こ れ ま で 理 論 ・ 実 験 の 両 面 か ら 精 力 的 に 研 究 さ れ て き た ．S N A 研 究 に お い て 「 ス ト レ ン ジ 」 と は ア ト ラ ク タ ー の 微 分 不 可 能 性 や フ ラ ク タ ル 性 な ど の 幾 何 学 的 複 雑 さ を 指 す ．
「 非 カ オ ス 的 」と は 最 大 リ ヤ プ ノ フ 指 数 が 正 で な い こ と を 指 す ．す な わ ち ，S N A 上 の 軌 道 は 初 期 値 に 対 す る 指 数 的 鋭 敏 性 を 持 た な い ． エ ノ ン ア ト ラ ク タ ー や ロ ー レ ン ツ ア ト ラ ク タ ー な ど 代 表 的 な ス ト レ ン ジ ア ト ラ ク タ ー に お い て フ ラ ク タ ル 性 は カ オ ス 性 の 存 在 と 密 接 に 結 び つ い て い る ． こ れ は ， こ れ ら の ス ト レ ン ジ ア ト ラ ク タ ー が 安 定 ・ 不 安 定 多 様 体 の 横 断 的 交 差 に 起 因 す る 相 空 間 の 折 り 畳 み と 引 き 伸 ば し に よ り 形 成 さ れ る こ と に 原 因 が あ る ． し か し ， 準 周 期 駆 動 さ れ る 力 学 系 に は 周 期 点 が 存 在 せ ず ， 安 定 ・ 不 安 定 多 様 体 も 存 在 し な い の で ，S N A の 形 成 は 相 空 間 の 折 り 畳 み と 引 き 伸 ば し 機 構 で は 説 明 で き な い ． そ し て こ の 形 成 機 構 の 違 い を 反 映 し て ，S N A に は 従 来 の カ オ ス 理 論 で は 説 明 の 難 し い 興 味 深 い ダ イ ナ ミ ク ス や 統 計 法 則 が 現 れ る ．
本 論 文 で は S N A の 示 す 非 線 形 現 象 を 二 つ の 観 点 か ら 詳 し く 研 究 す る ． 先 行 研 究 で は ， 準 周 期 駆 動 さ れ る 力 学 系 の 分 岐 現 象 が 精 力 的 に 調 べ ら れ ， こ れ ま で に 複 数 の S N A の 発 生 メ カ ニ ズ ム が 明 ら か に さ れ て 来 た ．し か し 一 方 ，S N A の ダ イ ナ ミ ク ス が 持 つ 統 計 的 性 質 は 未 だ 十 分 理 解 さ れ た と は 言 い 難 い ． 本 論 文 で は
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S N A の 統 計 的 性 質 を 現 す も の と し て ，S N A に 起 因 す る 異 常 拡 散 現 象 を 詳 し く 研 究 す る ．も う 一 つ の 観 点 は S N A の 遍 在 性 に 関 わ る も の で あ る ．こ れ ま で の S N A 研 究 は 準 周 期 駆 動 さ れ る 連 続 力 学 系 か ら ポ ア ン カ レ 写 像 と し て 導 か れ る ス キ ュ ー プ ロ ダ ク ト 写 像 に お い て な さ れ て き た ． ス キ ュ ー プ ロ ダ ク ト 写 像 と は ， 写 像 を 構 成 す る 変 数 を 駆 動 す る 側 の 変 数 y と 駆 動 さ れ る 変 数 x に 分 離 で き る 写 像 で あ り ， 一 般 に 次 の よ う に 書 け る ：x=F(x,y) , y=G(y)． 一 方 ， 非 ス キ ュ ー プ ロ ダ ク ト 写 像 と は 上 記 の 様 に 変 数 を 分 割 で き な い 写 像 で あ る ：x=F(x,y) , y=G(x,y)．本 論 文 で は ， 周 期 駆 動 さ れ る 準 周 期 ポ テ ン シ ャ ル 系 か ら 導 か れ る 非 ス キ ュ ー プ ロ ダ ク ト 写 像 に お い て ，S N A の 発 生 メ カ ニ ズ ム を 詳 し く 解 析 す る ．
1 章 で は S N A に 関 す る 基 礎 的 事 柄 を 述 べ る ． 準 周 期 駆 動 さ れ る 力 学 系 で は ， 駆 動 す る 側 の 変 数 θ と 駆 動 さ れ る 側 の 変 数 x の 直 積 空 間 に お い て ア ト ラ ク タ ー が 定 義 さ れ る ． 本 論 文 で は S N A を 「 有 限 個 の 点 の 集 合 で な く ， 区 分 的 に 微 分 不 可 能 な ア ト ラ ク タ ー で ， そ の ア ト ラ ク タ ー に 吸 引 さ れ る ほ と ん ど 全 て の 軌 道 の 最 大 リ ヤ プ ノ フ 指 数 が 正 で な い も の 」と し て 定 義 す る ．S N A の 実 例 と し て G O P Y 写 像 の S N A を 紹 介 す る ． そ こ で は ，S N A が 内 部 に リ ペ ラ ー を 含 ん で お り ， そ の リ ペ ラ ー の 吸 引 ・ 反 発 効 果 に よ り ア ト ラ ク タ ー が フ ラ ク タ ル 化 し て い る こ と を 解 説 す る ．
2 章 で は S N Aの 特 徴 で あ る 位 相 鋭 敏 性 と 局 所 指 数 不 安 定 性 に つ い て 説 明 す る ． こ の 章 で 導 入 す る 位 相 鋭 敏 性 指 数 は ア ト ラ ク タ ー の 微 分 不 可 能 性 を 判 別 す る 指 標 で あ り ，S N A の 数 値 的 研 究 に お い て 極 め て 有 用 で あ る ． 位 相 鋭 敏 性 指 数 を 理 論 的 に 決 定 す る こ と は 一 般 に 困 難 で あ る が ， 本 章 で は 変 形 G O P Y 写 像 を 用 い て 位 相 鋭 敏 性 指 数 が 解 析 的 に 導 出 さ れ る 例 を 示 す ． こ れ に よ り S N A の 軌 道 が 持 つ 局 所 的 な 指 数 不 安 定 性 を 明 ら か に す る ． さ ら に ， こ の 局 所 的 指 数 不 安 定 性 が 局 所 リ ヤ プ ノ フ 指 数 の 分 布 関 数 に よ っ て 特 徴 付 け ら れ る こ と を 示 す ．
3 章 で は S N A の 位 相 鋭 敏 性 に 起 因 す る 異 常 拡 散 現 象 を 探 究 す る ． 第 一 の モ デ ル と し て R×T 上 の 準 周 期 駆 動 さ れ る 円 写 像 M: (x,θ)→(x+b+ (a/ 2π) s i n ( 2πx) +εs i n ( 2πθ) , θ+ω( m o d 1 ) )を 用 い る ．こ の 写 像 は ト ー ラ ス 面 上( T2 上)で も 定 義 で き ， T2 上 で ア ト ラ ク タ ー を 持 ち 得 る ． こ の ア ト ラ ク タ ー は ， パ ラ メ ー タ の 変 化 に 伴 い ， 滑 ら か な 不 変 曲 線 上 の 準 周 期 ア ト ラ ク タ ー( 1 ト ー ラ ス)か ら S N A を 経 由 し て カ オ ス ア ト ラ ク タ ー へ と 遷 移 す る こ と が 知 ら れ て い る ． さ ら に S N A の 発 生 に 伴 い ，R 上 で は 平 均 二 乗 変 位<∆x2>が 対 数 関 数 的 に 増 加 す る 非 常 に 遅 い 拡 散 が 発 生 す る こ と も 報 告 さ れ て い る ． 本 章 で は 写 像 M の 拡 散 現 象 を 非 可 逆 領 域 も 含 め て 詳 細 に 解 析 す る ． そ の 結 果 ，S N A 領 域 で は ト ー ラ ス 領 域 近 傍 に お い て 対 数 的 拡 散 が 発 生 し ， カ オ ス 領 域 へ 近 づ く に つ れ 劣 拡 散 へ と 徐 々 に 変 化 し ， カ オ ス 領 域 に お い て 通 常 拡 散 へ と 遷 移 す る こ と を 発 見 し た ． こ こ で 劣 拡 散 と は 平 均 二 乗 変 位 が<∆x2>〜 t2 H( 0 <H< 1 / 2 )の よ う に 線 形 法 則 よ り 遅 い ベ キ 的 増 加 を 示 す 拡 散 現
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象 で あ る ． さ ら に ， 準 周 期 駆 動 さ れ る 振 り 子 系 や ニ ュ ー ロ ン モ デ ル に お い て も S N A か ら カ オ ス へ の 遷 移 に 伴 い 劣 拡 散 か ら 通 常 拡 散 へ の 遷 移 が 起 こ る こ と を 観 測 し た ． こ れ ら の 結 果 か ら 「 劣 拡 散 か ら 通 常 拡 散 へ の 遷 移 」 が S N A か ら カ オ ス へ の 遷 移 を 示 す 系 に お い て が 広 く 成 立 す る シ ナ リ オ で あ る と い う 予 想 を 提 案 し た ． さ ら に 3 章 で は S N A 領 域 に お い て 劣 拡 散 が 発 生 す る 原 因 に つ い て も 解 析 す る ． フ ラ ク タ ル 解 析 に お け る 局 所 二 次 モ ー メ ン ト 法 を 用 い て ， 劣 拡 散 が S N A の ダ イ ナ ミ ク ス に お け る 反 持 続 的 性 質 (過 去 の 変 位 と 未 来 の 変 位 の 間 の 負 の 相 関) に 起 因 す る こ と を 明 ら か に し た ． こ の 結 果 か ら ，S N A は 非 整 数 ブ ラ ウ ン 運 動 の 力 学 的 生 成 装 置 で あ る と 言 う こ と が で き る ．
4 章 で は 非 ス キ ュ ー プ ロ ダ ク ト 写 像 に お け る S N A の 発 生 メ カ ニ ズ ム を 探 究 す る ．S N A を 発 生 す る 非 ス キ ュ ー プ ロ ダ ク ト 写 像 は ほ と ん ど 知 ら れ て い な い が ， B a d a r d 写 像 は そ の 一 例 で あ る ． 本 章 で は 準 周 期 的 に 回 転 を 拘 束 し た キ ッ ク さ れ る 二 つ の 回 転 子 か ら B a d a r d 写 像 を 理 論 的 に 導 出 し ，パ ラ メ ー タ 平 面 に お け る 分 岐 現 象 を 数 値 計 算 に よ り 詳 し く 解 析 し た ． そ こ で は ２ 章 で 述 べ ら れ て い る 位 相 鋭 敏 性 指 数 の 方 法 を 非 ス キ ュ ー プ ロ ダ ク ト 写 像 に 適 用 で き る よ う に 拡 張 し て 用 い た ． そ の 結 果 ， こ れ ま で に 知 ら れ て い る ト ー ラ ス 崩 壊 に よ る S N A の 発 生 ル ー ト に 加 え ， 安 定 ・ 不 安 定 不 動 点 の 連 続 的 対 消 滅 に よ る 新 た な S N A の 発 生 ル ー ト (間 欠 性 ル ー ト)の 存 在 を 発 見 し た ． さ ら に ， こ の 間 欠 性 ル ー ト の 特 徴 と し て ， 不 動 点 の 最 終 消 滅 点 近 傍 へ の 軌 道 の 平 均 滞 在 時 間< T >が ， 分 岐 点 か ら の 距 離 ∆ Ω に 対 し 対 数 特 異 性< T >∝−cl n∆Ωを 持 つ こ と を 理 論 的 に 導 い た ．
5 章 で は ，4 章 で 述 べ た 間 欠 的 S N A の 発 生 点 近 傍 に お け る 回 転 数 の 緩 和 過 程 を 詳 し く 解 析 す る ．B a d a r d 写 像 の y 軸 方 向 に 対 す る 間 欠 的 ダ イ ナ ミ ク ス は 準 周 期 ポ テ ン シ ャ ル を 持 つ 一 階 の 常 微 分 方 程 式 で 近 似 で き る ． こ の 準 周 期 ポ テ ン シ ャ ル 系 に お い て ， 運 動 の 淀 み 時 間 Tn の 更 新 過 程(Tn)n≧1 を 有 理 数 近 似 の 定 理 を 用 い て 明 ら か に し た ． そ の 結 果 ，B a d a r d 写 像 に お い て ， 典 型 的 な 軌 道 の 回 転 数 W(t)の 収 束 過 程 が 対 数 関 数 の 入 れ 子 型 の 公 式 で 記 述 さ れ る こ と を 理 論 的 に 導 出 で き た ． こ の 公 式 は 典 型 的 な 軌 道 に 対 す る 回 転 数 の 緩 和 が 対 数 緩 和 1 / l nt よ り も 僅 か に 遅 い 緩 和 型 で あ る こ と を 意 味 し て い る ．
6 章 で は 本 論 文 の ま と め と 今 後 の S N A 研 究 に 対 す る 展 望 を 議 論 す る ．4 章 で 指 摘 し た 摂 動 に 対 す る S N A の 構 造 不 安 定 性 は ， 実 験 に お け る S N A の 観 測 不 可 能 性 を 示 唆 し て い る ． し か し 本 章 で は ， 摂 動 の 強 さ と そ れ に よ り 生 じ る 周 期 点 の 周 期 長 の 関 係 を 明 ら か に す る こ と で ， 十 分 小 さ な 摂 動 に 対 し て は S N A と 周 期 点 は 区 別 で き ず ，S N A は 実 行 的 に 観 測 可 能 で あ る こ と を 述 べ る ．
Ｎｏ.1
早稲田大学 博士（理学） 学位申請 研究業績書
氏 名 三ツ井 孝仁 印
（２０１０年 １０月 現在）
種 類 別 題名、 発表・発行掲載誌名、 発表・発行年月、 連名者（申請者含む）
論文 (査読付)
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プ ロ シ ー ディング
国際会議 発表
(1) Takahito Mitsui and Yoji Aizawa , “Intermittency Route to Strange Nonchaotic Attractors in a Non-Skew Product Map”, PHYSICAL REVIEW E 81, 046210 (2010).
(2) Takahito Mitsui, “Nonchaotic Stagnant Motion in a Marginal Quasiperiodic Gradient System”, PHYSICAL REVIEW E 78, 026206 (2008).
(3) Takahito Mitsui, “Latent Instability in the Nonchaotic Stagnant Motion in Marginal Quasiperiodic Gradient System”, Prog. Theor. Phys. Suppl. 173, 243 (2008).
(4) Takahito Mitsui and Yoji Aizawa, “Geometrical Resonance in the Refractory-Activation Oscillator Model for the Crossbridge Formation in the Actomyosin System”, Journal of Korean Physical Society 50, 272 (2007).
(5) Y. Aizawa, T. Mitsui, and T. Kameda, “Refractory-Activation Oscillator Model for the Cross-Bridge Formation in the Acto-Myosin System- Two Cooperative Phenomena in the Hill's Relation”, Nonlinear Phenomena in Complex Systems 9, 150 (2006).
(1) Takahito Mitsui and Yoji Aizawa, “A Theoretical Model for Muscle Contraction based on Refractory-Activation Systems”, Journal of Physics; Conference Series 31, 233 (2006).
(1) Takahito Mitsui, “Subdiffusion due to Strange Nonchaotic Dynamics”, The 13th Slovenia-Japan seminar on nonlinear science and Waseda AICS symposium on nonlinear and nonequilibrium phenomena in complex systems, November 4-6, 2010, Waseda University, Japan.
(2) Takahito Mitsui, “Subdiffusion related to strange nonchaotic attractors”, Dynamic Days Asia Pacific 6 (DDAP6), July 12-14, 2010, UNSW, Australia.
(3) Takahito Mitsui, “Spectral analysis of the nonchaotic stagnant motion in a marginal quasiperiodic gradient system”, Dynamics Days Asia Pacific 5 (DDAP5), September 9-12, 2008, Nara, JAPAN.
(4) Takahito Mitsui, “Nonchaotic Stagnant Motion in a Marginal Quasiperiodic Gradient System”, 7th International Summer School/Conference, “Let’s Face chaos through Nonlinear Dynamics”, Center for Applied Mathematics and Theoretical Physics CAMTP, University of Maribor, Slovenia 29 June - 13 July 2008．
Ｎｏ.2
早稲田大学 博士（理学） 学位申請 研究業績書
種 類 別 題名、 発表・発行掲載誌名、 発表・発行年月、 連名者（申請者含む）
国 際 会 議 発表 (続き)
国内学会 及び 国 内 研 究 会発表
(5) Takahito Mitsui and Yoji Aizawa, “Quasi-periodic one-dimensional ordinary differential equation generating stagnant motion”, Nishinomiya-Yukawa International &
Interdisciplinary Symposium 2007. What is life? The Next 100 Years of Yukawa’s Dream, October 15-20, 2007 CO-OP Inn Kyoto Conference Hall
(6) Takahito Mitsui, “A mathematical model for the intermittent behaviors of animal locomotion”, Waseda University The 5th 21st century COE symposium on Physics of Self-organization Systems, September 13-14, 2007, Waseda University．
(7) Takahito Mitsui and Yoji Aizawa, “Geometrical Resonance in the Refractory-Activation Oscillator Model for the Crossbridge Formation in the Actomyosin System”, Dynamics Days Asia Pacific 4 (DDAP4), The 4th International Conference on Nonlinear Science. Pohang, Korea, July 12-14, 2006．
(1) 三ツ井孝仁，“非カオス的ストレンジアトラクターに起因する劣拡散”, 日本物理学 会 秋季大会，大阪府立大学，2010年9月23日‐9月26日
(2) 三ツ井孝仁，相澤洋二，“ある自励的写像における非カオス的ストレンジアトラクタ ー”, 熊本大学, 日本物理学会 秋季大会，熊本大学，2009年9月25日‐9月28日.
(3) 三ツ井孝仁，相澤洋二，“Strange Nonchaotic Attractors in a Torus Map out of Skew-product Paradigm”, 研究集会: Dynamics of complex systems 2009 - 複雑系 解析における未解決問題への新しい挑戦 -,2009年8月31日-9月2日， 北海道大学
(4) 三ツ井孝仁，相澤洋二，“決定論的慣性ラチェットにおける非カオス的ストレンジア トラクター”，日本物理学会 第６４回年次大会，立教学院池袋キャンパス，2009 年 3月27日‐3月30日．
(5) 三ツ井孝仁，“臨界的な準周期外力項を持つ常微分方程式の漸近挙動”，日本物理学会 第６３回年次大会，近畿大学，2008年3月22日‐3月26日．
(6) 三ツ井孝仁，“臨界的且つ準周期的な勾配系の漸近挙動”，九州大学 産業技術数理研 究センターワークショップ，2008年3月6日 - 3月8日．
(7) 三ツ井孝仁，“時間フラクタル性を持つ動物行動のモデル：異なる要因が生み出す間 欠性”，日本物理学会 第６２回年次大会， 北海道大学，2007年9月21日‐9月24 日．
Ｎｏ.3
早稲田大学 博士（理学） 学位申請 研究業績書
種 類 別 題名、 発表・発行掲載誌名、 発表・発行年月、 連名者（申請者含む）
国内学会 発表 (続き) その他
(8) 三ツ井孝仁，“Metabolism-Repair systemsと計算についての考察”，2006年度 第5 回COEワークショップ，早稲田大学，2007年3月．
(9) 三ツ井孝仁，相澤洋二，“不応期を持つアクティブエレメント集合系におけるコヒー レンスの生成と複雑さ: 筋収縮現象の理解へ向けて”, 日本物理学会 秋季大会，青 森大学，2004年9月12日‐9月15日
(1) 渡橋 憲司，三ツ井 孝仁, “早稲田大学における Web 上での新入生向け情報倫理教 育”，平成21年度情報教育研究集会，東北大学，2009年11月．
(2) 大足 恭平，三ツ井 孝仁，木村 浩章，上田 高徳, “早稲田大学「PC・ネットワー ク利用ガイド2009年度版」の改訂点と2010年度への展望”，平成21年度情報教育 研究集会，東北大学，2009年11月．
(3) 三ツ井 孝仁，大足 恭平，朱 槿, “早稲田大学における「User's Guide for PCs and
Network 2009-2010」の編集方針：国際化への取り組み”，平成21年度情報教育研究
集会，東北大学，2009年11月．
(4) 朱 槿, 星 健太郎, 三ツ井 孝仁, “早稲田大学における留学生向け情報セキュリティ 教育への取り組みについて”，平成21年度情報教育研究集会，東北大学，2009年11 月．
(5) 星 健太郎，三ツ井 孝仁，楠元 範明，瀧澤 武信, “早稲田大学における PC サポ ート業務用FAQシステムについて”，2009年度PCカンファレンス，愛媛大学，2009 年8月．
(6) 三ツ井 孝仁，金光 永煥，小林 直人，渡橋 憲司，“早稲田大学における「PC・ネッ トワーク利用ガイド２００８年度版」の改訂点と２００９年度版への展望”, 平成20 年度 情報教育研究集会論文集，ISSN 0919-9667, p.527
(7) 星 健太郎，金光 永煥，三ツ井 孝仁, “早稲田大学における学内PCサポート・TA業 務用システムについて−FAQ システムの構築と運用−”, 平成20 年度 情報教育研究 集会論文集，ISSN 0919-9667, p.527
