平成
27年
度
学 位 論 文
ルベーグ積分
一 リーマ ン積分の拡張および現代解析学の基礎 と して一
兵 庫 教 育 大 学 大 学 院 教 育 内容 ・方 法 開発 専 攻 自 然 系 教 育 分 野M14148K
学 校 教 育 研 究 科 認 識 形 成 系 教 育 コ ー ス(
数学
)
森 本 哲 平目 次
第1章
準備 第2章
半連続関数 第3章
半連続関数のルベニ グ積分 第4章
上積分,下
積分 第5章
零関数,零
集合 第6章
ルベーグ積分の収東定理 第7章
可測関数 参考文献4
5 1120
40
44
55
65
序 文
解析学 は数学の一分野である一方,物
理学,工
学な ど他の学問に応用 さ れることも多い。この解析学の中核 を担 っているのが微分積分である。積 分の うち,高
校数学で導入 され るのは リーマ ン積分である.しか し,リ
ー マ ン積分は数学の理論 を展開する上で不便な点がある。第一に,有
界閉領 域上の有界 な関数 であることが積分 を定義す る前提である.そ
して,こ
の前提 を満 た していて も,次
の ような関数,す
なわち,有
界閉 区間上の 各点 に対 して,有
理数 に対応す る値が1,無
理数 に対応す る値 が0で
ある ような関数 は積分不可能である.第
二 に,積
分可能 な関数列の極 限 は一 般 的 に積分可能 とは限 らない。 リーマ ン積分可能 な関数列 が一様収東 す るな らば,極
限関数が リーマ ン積分可能であるのだが,一
様収 東 とい う 条件 は厳 しいものである。 本論文で考察す るルベーグ積分 は,こ
れ らの問題点 を部分的 に解決す る。す なわちルベーグ積分で は,
リーマ ン積分可能 な関数 を含 めて,よ
り多 くの関数 が積分で きる。また,積
分可能 な関数列 の極 限関数 が積分 可能であるための条件 が,関
数列が積分可能 な関数でおさえ られ るこ と であ り,
リーマ ン積分 において一様収束 を確認す ることに比べて簡単で ある,こ のルベーグ積分 を基礎 として,調
和解析,関
数解析,微
分方程式 論,変
分法な どの現代解析学が発展 している. ルベー グ積分論 を記述 した文献 は数多 い。そ して,参
考文献 pl,14,Iq で は測度論 か ら始 めて抽象的測度空間で積分論 が展 開 されてい る。従 っ て,ユ
早 ク リッ ド空間における積分 は,特
殊 な場合 とい う位置づ けであ る。一方,気
体や流体の運動,人
口増加 な ど,自
然科学や社会科学 におけ る問題 は重要 な研究対象であ り,そ
こで はユー ク リッ ド空間上で定義 さ れた関数が研究 される.本
論文では,ユ
ーク リッ ド空間上の関数 に限定 し て積分論 を展開す る。そ して,ユ
ーク リッ ド空間における測度 を積分を用 いて定義 し,そ
の性質 について述べ る。実 は,こ
の性質 をもとに抽象的な 測度 を定義 し,抽
象的測度空間の積分論 に発展 させ ることがで きる.本論文は
,参考文献
p]を主に参考として用いている。特に,誤解をま
3 ね く表現 や誤 りを修 正 し
,証
明 の省 略 されて い る部 分 を補 って い る。 本論 文 で は,重
積 分 が累次積 分 と して表 す こ とが で きる とい うフ ビニ の定理 な ど,ル
ベ ー グ積 分論 で重要 な定理 のい くつか を記述 していない. それ は,ル
ベ ー グ積 分 と リーマ ン積分 の違 い を際立 たせ る ことも 目的の一つだからである
.さ
らに,plで は述べられていない具体例を加えてい
る。定義や定理 の条件 を満たす もの と満 た さない ものの例 を挙 げること で,よ
り理解が進むように している。さらに,ル
ベーグ積分 とリーマン積 分 の違 いが明 白になる例 も挙 げてい る。この よ うに,適
切 な例 を挙 げて 説 明す ることは学校現場 でも大変重要である と思われ る。 第1章
では,記
号の導入お よび用語の説明 を行 う。第2章
では,半
連続 関数 を定義す る。そ して,連
続であ り,か
つ,単
調増加列の極限に関 して 閉 じている関数のクラス を定義す る。第3章
では,こ
のクラスに属する関 数 に対 して積分 を定義す る。その後,半
連続関数の積分 を定義 し,積
分 と 極 限の交換が可能である条件 を述べ る.第
4章
では,半
連続関数の積分 を 用 いて,上
積分 と下積分 を定義す る。さらに,一
般 の関数 に対す るルベー グ積分 を定義す る。また,ル
ベーグ積分が リーマ ン積分の拡張であるこ とを述べ る。第5章
で は,ル
ベーグの優収東定理 を導 くため,零
関数 と零 集合 を定義す る.第
6章
で は,ル
ベーグの優収東定理 を導 く。また,優
収 東定理か ら得 られ る事項 をい くつか述べる。第7章
では,可
測関数,可
測 集合の概念 を導入 し,そ
れ らの性質 を述べ る。 なお本論文では,一
変数 の微分積分,多
変数 の微 分積分,集
合論,位
相空間論 の基本事項 は既知の もの とす る。第
1章
この章では,記
号の導入 お よび用語の説明 を行 う. 本論文では,αを自然数,Rdを
ご次元ユーク リッ ド空間,Rlを
Rと
し,Nを
自然数全体 の集合,Qを
有理数全体 の集合 とす る。 ″=(πl,・2,・ …,″d)∈Rd,y=(υ
l,ν2,・ …,助 )∈Rdに
対 して, ￨″―ν
l=y(″
1_ν
l)2+(z2 yr2)2+…
。
十
(″α二助
)2 とす る。また,″ ∈Rα,ε>oに
対 して,
び
(・ ,ε):={υ∈
Rd:￨"―
υ
l<ε} とす る。また,7を
Rdの
部分集合 とし,″ ∈Rdに
対 して,正
の数 εが 存在 して び(■ ,ε)⊂ ″ が成立つ とき,α を7の
内点 とい う。″ の内点す べての集合 を ″ の内部 といい,7と
表す。 任意の実数 ν>0に
対 し,α>ν
となる αを+∞
と表す。同様 に,任
意の実数 ν>0に
対 し,α<一
ν となる αを 一∞ と表す。また,大
小関 係 と演算 を以下で定義す る。任意 の α∈Rに
対 し,α
+(土
∞
)=(土
∞
)+α =(■
∞
),上
∞ ―α=土 ∞
. (十∞)十 (十∞)=∞
,(―∞)+(一
∞)=T∞
. 0。 (土∞)=(上
∞)・ 0=0・さらに,Ω ⊂
Rd,関
数 ∫,g:Ω →
Rが
任意の″∈Ωに対してノ
(″)≦ g(″)を満たすとき
,ノ≦gと 表す。
5
第
2章
半連続関数
この章では,半
連続 関数 を定義 し,そ
の性質 を考察す る.そ
の後,ル
ベーグ積分の構成のために,連
続 であ り,か
つ,単
調増加列の極 限 に関 して閉 じている関数 の クラス を導入す る。 まず,次
の定理 が成立つ ことに注意す る。 定理2.lΩ
をRdの
コンパ ク ト部分集合,九
:Ω → R(η ∈Wを
連続 関 数で,任
意の π∈Nに
対 して, 九 ≦ 九+1 (2.1)
を満たすもの とす る.さ らに,任
意の ″∈Ω に対 して,∫(π)=lim九
(″)が存在し,関数∫
:Ω→
Rも
連続とする。このとき
,{九
}お∈
Nは
Ω上∫
に一様収 東す る。証明 εを任意の正の数とする。
{九}π∈
Nが
∫に各点収束するので,任 意
のあ∈Ωに対してⅣ
(″)∈Nが
存在して
, ￨∫(・)一ん
0(b)1下:
となる。ムゅ
)とノはともに連続なので
,δ(″)>0が
存在して
,￨″―υ
l<
δ
(■)となる任意のν∈Ωで
￨{∫(ν)一ん
Ч
al(υ)}― {∫(″)一ん
lal(り}￨<:
となる。従って
,「
￨∫
(υ)一∫
N(2)(ν)￨<εを得る
.また
,(2.1)より
,η≧Ⅳ
(π)に対 して
、
￨∫
(υ).ニニズν
)￨≦ ￨∫(υ)―ん
(c)(ν)￨である
.よって
, ￨バυ
)一ニズυ
)￨くε
第
2章
半連続関数 を得 る.一
方,Ω
はコンパ ク トであ るので,有
限個 の点zl,″2,…・,″λ∈ Ω(た ∈Mが
存在 し,び
(″1,δ(″1)),び(Z2,δ("2)),…・,び(″た,δ (″λ))に よっ て Ω が被 覆 され る。 その とき,任
意 のz∈
Ω に対 して,自
然数 η ≧m表
(N(″1),N(″2),一,N(a))に
対 し, ￨∫(Z)― 九(Z)￨<εとなる。従って
{九}π∈
Nは
Ω上∫に一様収東する。
□
定理
2.1では
,連
続な関数列が連続な関数に収東する場合に成立つ。と
ころが
,単
調増加する連続関数列の極限は連続 とは限らない.そ こで
,連
続関数を含み
,単
調増加列の極限に関して閉 じている関数のクラスを構
成するために
,ま
ずは下半連続 と上半連続の定義をする。
定義
2.2関
数 ∫
:Rα→ R∪
{∞}お よび″∈
Rdに
おいて
,c<ノ
(″)とな
る任意の
c∈Rに
対 し
,αの近傍 びが存在 して
,任
意の υ∈びに対 して
∫
(ν)>cな
らば
,αで下半連続であるという
.そして関数 ノは
,す
べての
α∈
Rdで
下半連続ならば
,Rd上
で下半連続であるという。
また
,関
数∫:Rd→
R∪
{―∞
}お
よび
Z∈Rdに
おいて
,c>∫
(″)となる任意の
c∈Rに
対し
,■の近傍びが存在して
,任
意のケ∈びに対し
て∫
(ν)<、Cならば
,″で上半連続であるという
.そ
して関数∫は
,す
べ
ての
z∈Rdで
上半連続ならば
,Rd上
で上半連続であるという。
また,π ∈Rdに
おいて,下
半連続 であることを以下の ように表現す る ことも出来 る。任意 の ε>0に
対 して,δ>0が
存在 して,lπ 一νl<δ となるすべてのυに対し∫
(z)一バν
)≦εであるとき,関数ノは下半連続で
ある。 以下で は,下
半連続関数の性質 を述べ る。なおぅ上半連続関数 も同様 の 性質 をもつ。補題
2.3関
数∫
:Rd→
RU{∞
)が
″∈
Rdで
下半連続であるのは
, lim″れ
=π
となる任意の列
{″π
}η∈
N⊂
Rdに
村
11lRttf∫(″η
)≧∫
(″)と η―〉CЮなるとき
,ま
たそのときに限る。
証明
関数 ∫は″
=lim″
れで下半連続で
,c<ノ
(Z)とする。そのとき
, π■>CЮ″の近傍 びが存在して
,任
意のν
cび
でバν
)>Cで
ある。一方
,Ⅳ
∈
N
が存在して
,■≧Ⅳ となるすべての働∈
Nで
ππ∈びとなる。よって
,第
2章
半連続関数7
次に
,lim″
れ
=α
となる任意の列
{″π
}π∈
N⊂ Rdに
対し
hminf∫(″π
)≧ π―〉OCl∫
(■)と仮定する。さらに∫はπ∈
Rdで
下半連続でないとすると
,c<∫
(″)が存在して,す べての″の近傍びに対しν∈びが存在し
,ノ(ν)≦Cで
あ
る。すると
,￨″=%￨<分
,ノ(%)≦
C(η=1,2,…
。
)となる点列
{%}η∈
、
が構成できる。しかし
,hm%=zで
,か つ
littinf∫(%)≦
C<∫
(″)と れ―〉(Юなり
,仮
定に矛盾する。よって
,∫は■∈
Rαで下半連続である。
□
補題
2.4関
数∫,g:Rd→
R∪{∞}は下半連続とする。そのとき
,sup{∫,g}, inf{∫,g}:∫十θもまた下半連続である。
証明
∫は
Rαで下半連続である。よって
,″∈
lRdにおいて
,任
意のε
>0
に対 して
,δl>0が
存在 して
,￨″一υ
l<δ
lとなるすべての νに対 し
∫
(″)一∫
(υ)くεである。ここで
,∫(zb)≧ g(・o)となる″
0∈Rdに おいて
,δ
=δlとおくと
,￨″o一ν
l<δかつ ∫
(ν)≧ ,(υ)となるν∈
Rdに
対 し
,Sup{∫,g}(Zo)― Sup{∫,g}(ν
)=∫
(・o)一∫
(ν)<ε
を得る。
￨■0-ν
l<δかつθ
(γ)≧∫
(ν)となるν∈
Rdに
対し
,Sup{∫,θ}(・o)一 Sup{∫,g}(ν
)=∫
(″o)一θ
(ν)<∫
(・o)一∫
(υ)<ε
を得る
.よって
,∫(■0)≧ ,(・o)となるπ
。∈
Rdに
おいて
,sup{∫,9}は下
半連続である。また
,g(3o)≧
∫
(・o)となる″
。∈
Rdに
おいても同様に示
される。従って
,sup{∫,θ}は
下半連続である
.下
限の場合も同様に示さ
れる。
次に
,∫十
gが
下半連続であることを示す。ノは下半連続であるので
,すべての ″∈
Rd,ε>0に
対 して
,δl>0が
存在 して
,￨″一νl<δ
lとなるすべてのνに対 しノ
(″)一∫
(ν)<ε となる。同様にgは 下半連続より
,あ
>0が
存在 して
,lπ一ν
l<あ
となるすべてのυに対 し
g(″)一 g(υ)<ε
となる。ここで
,δ=min{δ
l,あ}とおくと
,￨″一ν
l<δとなる任意のνに
対 し {∫(・)+g(・)}一 {∫(ν)十g(υ)}={∫
(π)一∫
(ν)}十 {,(″)一g(ν)}<ε
+ε = 2εである
.よって
,∫+gも
下半連続である
.第
2章
半連続 関数 補題2.5コ
ンパ ク ト集合 κ ⊂Rd上
で下半連続である関数 ∫は,最
小値 をK上
で とる。 証明 μ=j墓
∫(ν)とお く。li地ノ(Zη)=μ
とな る列 {″れ}れ∈N⊂
Kを
とると
,Kは
コンパクトなので
,″∈κに収東する部分列
{"った
}れた
∈
Nが
存
在する
.ここで
,補
題
2.3より
,ノ(■)≦ li鳳勢
f∫(ππ
ん
)=μ
を得る。一方
,μの定義より
,∫(z)≧ルである。よって ∫
(π)=μ
とな り∫は点″で最小
値をもつ。
□
補題
2.6ん
:Rd→
R∪
{∞}(α∈
N)は
関数の族で
,す
べてのん が
″
0∈Rdで下半連続とする。そのとき
,ノ(■)=Supん
(″)もまた■
0∈Rd
α∈Nで下半連続である
.証明
c<ノ
(■o)とする。∫
(π。
)=Supん
(Zo)なので
,β∈
Nが
存在して
,α∈N
C<ん
(・o)となる。ルは下半連続なので
,″0の近傍びが存在して
,任
意
のυ∈びで
c<ん
(υ)となる。ノ≧ルなので
,任
意のυ∈びに対して
,C<∫
(ν)である。よって
,∫は■
。で下半連続となる。
□
注意 特 に,単
調増加す る連続関数列の極限は下半連続であるが,必
ず し も連続であるとは限 らない。 ここで,連
続 関数 を含 み,単
調増加列の極 限 に関 して閉 じている関数 のクラスを構成す る。定義 2.7関 数∫
:Rd→
Rと
する。
(″∈
Rd:∫
(″)≠0)の
閉包を∫の台
といい
,supp∫と表す。コンパクトな台をもつ連続関数∫
:R`→
R全
体
のなす空間を
Qttα
)と表す。
以下の定理で,Q(Ra)に
属す る単調増加列の極 限が下半連続であるこ とを述べ る.定理
2.8関
数∫:Rd→
R∪
{∞}に
対して
,以
下
(i),(ii)は同値である
. (i)∫は下半連続
,か
つ,コ ンパクト集合
K⊂
Rdが存在して
,任
意の
″∈
Rdヽκで∫
(・)≧0を
満たす。
︲ｉｍ¨
(ii)単調増加列
{九}π∈
N⊂
QSd)が
存在して
,∫=
九 を満たす。第
2章
半連続関数証明
単調増カ
ロ
列
{九}π∈
N⊂
Qttd)が
存在して
,∫=hm九
を満たすと
η―〉(Ю仮定する。
{九}π∈
Nは
単調増加なので
, hm九
=Sup九 を得る。さらに
, π→ ∞ π∈Nすべての自然数ηに対しん は連続なので
,補
題
2.6より∫
=supん
は下
π∈N半連続である。さらに
,Kを
suppAと するとノ≧
Aな
ので
,″∈
Rd＼κ
に対して∫
(■)≧0で
ある。
次に
,∫は下半連続と仮定する
.まず
,コ
ンパクトな台をもつ連続関数
の列
{多れ
}m∈Nで
ノ
(″)=Sup,π
(″ ) π ∈Nとなるものを見つける。実際,九
(″)=Sup{gl(・
),g2(″ ),…。
,L(″ ))とす
ると
{九}π∈
Nは
Qtta)の
単調増加列で∫
=hm九
となる。
π一>oo補題
2.5より,コ ンパク ト集合上の下半連続関数は下に有界なので
,有
理数 π
l≧0が存在 して
,任
意のπ∈
Rαで ノ
(■)>一
π
lとなる。ここで
0:={(9,r,s):g,r,S∈ Q,S≧ 一 π l,lπ一gl<rと な る 任 意 の zで ∫(z)≧ S}とおく。集合 のは可算集合であるので
,す
べての
(9,r,S)∈0に
対して
,ブ∈
Nを
対応させると
,関
数の ∈
Q(Ra)が
存在して以下の性質を満たす
:・″∈び
(g,号)で 助
(・)=S.
・
"∈び
(9,r)でヵ
(″)≦ S.。″∈κ＼び
(g,r)での
(″)=一
π
l・・″∈
Rα＼
(κ∪び
(g,r))での
(″)≦ 0。このように構成することで
,す
べてのプ∈
Nで
∫≧勁である。
またここで
,″∈
Rd,c<∫
(″)とする。また
,3∈
Qで
3≧
―
ml, C≦3<∫
(″)となるものをとる。∫は下半連続なので
,δ>0が
存在して
, ￨″一υ
l<δ
となるすべてのνに対し∫
(ν)>3で
ある
.0<F≦
:と
なる
F∈Qと
￨″―α
l<:と
なるσ∈
Qを
とると
,(α ,F,3)∈0で
ある。よつて
,対応するゴ∈Nに 対して
c≦勁
(″)<∫
(・)となる。従って
,ノ=Sup坊 を
′∈N
得 る。□ 定理2.8と 同様 に次 が示 され る。
・ ‐
定理
2.9関
数∫
:Rα→
R∪
{―∞
}に
対して
,以
下
(i),(ii)は同値である。
(i)ノは上半連続
,か
つ,コ ンパクト集合κ⊂Rdが存在して
,任
意の
″∈
Rdヽκでノ
(■)≦0を
満たす
.第
2章
半連続関数 (ii)単調減少列
{九}れ∈
N⊂
Qtta)が
存在して
,∫=hm九
π―>cЮを満たす。
次章以降で は,半
連続 関数 であ り,単
調増加 す る連続 関数列の極 限で あるような関数 の集合 を以下の ように表す. 定義2.10定
理2.8(i)または(ii)を満たす関数 ∫の集合 をЛL(Rう と表す。また定理
2.9(1)ぎたは
(ii)を満たす関数∫の集合を
Jfsttd)と表す。
Jf・(Ra)と Jfstta)の性質として,定 理
2.8と定理
2.9から以下が導か
れる。
定理
2.1l Jff(Ra)∩Jfs(Rd)=Q(Ra)が
成立つ
.証明
まず
,関
数 ∫∈
Jfrtta)∩ Jfsttd)とする。そのとき
,任
意のε
>0
に対 して
,δl>0が
存在 して
￨″一υ
l<δ
lとなるすべての νに対 し
,∫
(π)一∫
(υ)<ε である。さらに
,あ
>0が
存在 して
lπ一ν
l<あ
となるす
べてのνに対し
,一
{√(″)一ノ
(υ)}<ε
となる。よって
,δ=min{δ
l,あ}が
存在して
,lz一
ν
l<δとなるすべてのυに対し
￨∫(″)一∫
(ν)￨<εを得る
.よって
,∫は連続である。また
,定
理
2.8より,コ ンパクト集合
L⊂
Rd
が存在して
,π∈
Rd＼」
晩 において∫
(・)≧0を
満たす。また,定理
2.9より
,コ
ンパクト集合κ
2⊂Rdが
存在して
,″∈
Rdヽκ
2において∫
(″)≦ 0を満たす。よつて,"∈
Rd＼ (Kl∪κ
2)において
,∫(″)=0で
ある
.よっ
て,関 数∫はコンパクトな台をもつ。従って
,∫∈
Qtta)で
ある。
次に
,∫∈
Qtta)と
すると
,コ
ンパクト集合κ ⊂
Rdが
存在し
,″∈
Rd、Kに
おいて
,∫(″)=0と
なる。また
,∫は連続なので,下 半連続
かつ上半連続である
.従
って
,∫∈
Jffttd)∩ Jfsttd)である。よって
, Jf・(Ra)∩Jfs(Rd)=Q(Rd)が
成立つ。
□
10１ ■ １ ■
第
3章
半連続関数のルベーグ
積 分
この章では,階
段 関数 か らルベーグ積分 を定義す る。Qtta),助
侭a), Ifs(Ra)の それぞれに属す る関数 の積分 を定義 した後,そ
れ らの性質 を述 べ る. まず,立
方体上の階段関数 を定義す る。その後,階
段関数の積分 を定義 し,階
段関数 の積分の極 限か らルベーグ積分 を定義す る。 定義3.l Rdの
単位 立方体 を, Id:={(・1,″2,_.,πd)∈Rd:0≦
″
'≦1(j=1,2,…
。
,a)} で定める。また,辺
の長 さが ″>0の
立方体 は,づ=1,2,…
.,αに対 して,0<″
う<″ とする. 定義3.2″
⊂Raを
立方体 とする。″ の小立方体%,″
Ъ,… .ル‰(た ∈N)
た への分割で,″
=∪ L,t∩ t=φ
(り,」 三1,2,…,た ,り ≠ゴ)を満た す ような7の
小立方体 を考 える.さ
らに,各
咤 上,一
定であるような 関数 ι:″
→Rを
階段 関数 とい う。 また,7の
小立方体t上
の,階
段 関数tの値 をQと
す る。この とき, 階段関数 tの 積分 を (E)〕 lit(1)d"豊 :]:(助″
ダ
で定める。ただし
,4>0は
″ の小立方体
tの
一辺の長さとする。
定義
3.3関
数 ∫∈
Q(Rd)に
対 し
,supp∫⊂″ となる立方体 ″ 上の階
段関数
{ιっ
}π∈
Nの
列で
,ノに一様収東するものをとる。このとき
,ノのル
第
3章
半連続関数 のルベーグ積分 ベーグ積分を 12 で定める。注意 関数∫に一様収東する階段関数列
{場}π∈
Nの
存在は以下でわかる。各
η∈Nに 対して分割した各小立方体をフ
‰
,。 (り∈ヽ とし,一辺の長さをら
,`とする。さらに
,″∈″
,″π
,こ∈フ
レ
Ъ
,ぅとする。階段関数をι
η
(■)=∫
(″れ
″
)とおくと
,∫は有界閉領域上で連続なので
,■。∈″ において
,任
意のご
>0
に対して
,馬
∈
Nが
存在して
,す
べてのη≧
Nl lこ対し
ltπ(πo)一∫
(・o)￨<εである
.ここで
,Ⅳ
=М
とおくと
,す
べてのπ≧Ⅳ
,″∈″ に対し
, lιπ
(″)一∫
(π)￨≦既習静
lιη
(・°
) ∫
(″o)￨<εを、
得る。従って
,∫に一様収東する階段関数列
{ιπ
}π∈
Nが
存在する。
また,(3.1)の極 限の存在 と一意性 は以下でわか る。{ιれ}π∈Nが
ノに一様 収東するので,任
意の ε>0に
対 して,N∈ Nが
存在 して任意の り,m≧
Ⅳ に対 して, Sup l∫(π)一tπ (・)￨<ε π∈7 Sup l∫(・)一ι
π
(・)￨<ε "∈7 とな る。よ って,三
角 不 等 式 を用 い る と,任
意 の π,π ≧ Ⅳ に対 して, Sup ltη(π)一 ιれ(″)￨<2ε ‐ π∈7 となる。従 って,任
意 の η,π ≧ Ⅳ に対 して,“
7)ブ ￨`∫(π )α″
==夕 hm (」E)twιπ
`″ )a" ιm(・)d"￨ <2ειd 0・1) ￨(E)フ ￨:ιれ
(π )α″―
(1フ)ん
を得る.ゆ えに
,{(E洵
勝 ち
(″)あ}⊂
Rは
コーシー列であるので極限が
存在 し
,そ
の極限は一意である。よって
,関
数 ∫のルベーグ積分は存在
し
,∫に一様収東する列
{ιπ
}π∈
Nの
選び方にも
,supp∫を含む″ のとり
方 にもよらない.以下の補題で,関 数∫∈
Qtta)の
積分の性質を述べる。
補題
3.4関
数∫
,θ∈
Qtta),α
∈Rに 対して,次が成立つ
.第
3章
半連続 関数 のルベーグ積分 (1) 13 ″ α ″ θゴ
Ｌ
Ｃ
あ
十
０
助
か
か
Ю
の
〓
一
一
ン
ル
中
山
ゴ
為
＋
の
″ ノ ｆ ■ゴ
Ｌ
θ (ii)∫≦gの とき
, (C】 )ブ ld∫(2)d“≦
(Cr)〕(ag(Z)d".証明
まず
(i)を示す。″ ⊃
supp∫∪
Supp gを立方体とする.一 辺の長さ
ら
,o(η,づ∈
N)の
各小立方体を吼
,ことし
,″π
″∈
t,ぅとする。階段関数を
ι
π
(・)=∫
(″機
),Sπ(π)=g(π
")と
おき
,階
段関数の小立方体フ
‰
,を上の値
をそれぞれ硫
,を,4,ことする。そのとき
, (σ)ブ [∫(・)d"+ (σL(dg(")d" == hIIll(E)プ )ιπ(″ン ″ ―十 IIョL(E)twSn(π )d" た た= hm
Σ
E硫
,,4,ぅ+hm
Σ
E4,,4,を ,=1 う=1=鳳
(1:ら
4,十
を
4‐4″)
_ = hm (E)フ 4:{tη(・ )―卜
Sれ (π)}αZ
= (CI)プ (d{∫(″),「 g(・)}d" となる.第
3章
半連続 関数 のルベーグ積分14
また, lCI)プ〔
dα∫
(″ )α“
=
鳳
(I')フ4′α
ι
π
(・ )α″
た=鳳
Σα
硫ノ脅
″
,=1 た=α
l魂
Σ
Cλ″
4″ う=1 ヽ=
α鳳
(E)〕(:tη(″ )α″
= α
(CI)フ (d∫(・)d"となる。よって,(i)が 成立つ
.次に
(ii)を示す。∫≦gの とき
,tπ(α)≦、
Sπ (″)より
, (θ)く,ル
レ
=hm(E)ん
ι
π
し
ル
< linl(17)ブ i′ sη (・ )απ
= (Cr)プ 1,ク(″)a"とな り
,(ii)が成立つ。
□
補題
3.5関
数 ∫∈
Q(Rd)は
一辺の長さ″の立方体に
supp∫が含まれる
・
ものとする.そ のとき
,IC)(aノ
OJ≦
郡げ
Ord oo〔
が成立つ. 証明 立方体 を ″ ⊂
Rdと
す る.補
題3.4(i)よ り, ￨(CI)プld∫ (・)d“ ￨≦
￨(C))ブ〔
df』fi∫(″)a"￨≦郡静
011ω
)ん
引
< Sup lノ(″ )￨′α
“ ∈Rι よ り成立つ。□
第
3章
半連続関数のルベーグ積分
15
次に
,助
侭
a),Jfstta)に属する関数の積分を定義する
.定義 3.6関 数ノ∈
JfI(Rd)に対し
,(Lrを
(aノ(π
力α
:=sup{(σ
、
4ag("》鯰
:g∈ CIIRl),θ≦ノ
}∈
]R∪ {∞}と定める
.また
,関
数∫∈
Jfstta)に対し
, (」ば
、
4a∫(″)d":=―
(fr、4`{一∫
(″)}イπ
と定める。注意 ∫∈
Qtta)と
なる関数∫に対しては
,助
Sa)の
元としての積分の
定義 とJfs(Rd)の元 として の積 分 の定 義 が一致 し, (」曰
リ
フ
(aノ(″ )απ
==(Cγ)フ(a∫(″)d" である.以下では
,Iffttd)に
属する関数の積分における性質を述べる。
補題
3.7関
数∫
,g∈ JfI(Rd),α≧
0に
対して
,次
が成立つ。
(i) (」F)ブ (d{∫(・)・g(・ )}α"==(I)フ(dノ(Z)dC‐十
(〃)フ(ag(・)αF, (働r)プ ldα∫
(・ )α″
E=α (月「
)](d∫(・ )α″
・
(ii)∫≦クのとき
, (」口
「
)ブ〔
d∫(″)d"≦ (fr)フ(ag(″)a".証明
まず
,(i)を示す。定義
3.6より
,(IL(aノ
(″ 'α″
==sip{(c)と (dJ:(π)d":「∈
CIc(Rd),「≦
∫
},
第
3章
半連続関数 のルベーグ積分16
(・r)ブ ldg(″)α″
==Sup{(Cγ)ブ〔
`ク (″ )απ
:J∈ Cc(IRa),」≦
g}・ 補題3。4(i)よ り, (」曰
リ
ブ
la∫(″)d“―
十
(〃 )フ (ag(″)d∝ == Sup((3)フ (a∫(・ )α″‐
十
Sup((3)フ(dク(・)d“= Sup(σ
)フ (a{JF(・)十」
(π)}d" = (」口
「
)フ ld{∫(″)+g(F)}d%
となる。 また, (・r)プ ldα∫
(・ )α″
= Sup((3):lidαJ (・)α″
=
α
sup((3)フ〔
d JF(″)απ
=
α
(」日
、
4`∫(・)a"とな り,(1)が 成立つ
.次に
(ii)を示す。定義
3.6より
,∫≦ θのとき∫≦」なので
,補
題
3.4 (ii)より
, (・)フ〔
`∫ (π )απ
=l Sup(CI)フ (ar(・)dω < Sup((3)フ (ab(Z)απ
(」ぼ
)ブ ld'(・)α"
とな り,(ii)が成 立 つ。□
なお,補題
3.7は,ノ,g∈〃
bttd)で
も同様に成立つ。
補題
3.8 (i){九
}η∈
N⊂
働
町Sa)は単調増加列とする。そのとき
,ノ=
Sup九
∈力L$d)に 対して
, ηCN (Lr)ブ ld∫(″ )α″
==准R(月「
)ブ ldノЪ
(″ )α″
=〒 71im (I)1llaJ%(″)α“
が成 立 つ。第
3章
半連続 関数 のル ベー グ積 分´
_ 17
●){九
}π∈N⊂
Jfs(Rつ は単調 減 少列 とす る。そ の とき,∫=悪
九 ∈ Jfs(Ra)に対 して, (」ぼ
)プ (αノ
(Z)αα
==inf(月「
)フ (aノЪ
(π )α″
==γ lim (″)ブ〔
aノЪ
(π )α″
が成 立つ。証明
(i)を示す。まず
,{九
}π∈
Nは
単調増加列なので
,補
題
3.7(ii)より
,・ 灘尽
(」り
):lidJ%(π)απ
= hnlD(」り
):(ldJ%(″)α″
が成 立 つ。次 に,Fttα
ノ
Oα
乍れに
)(d九
Oα
, 0→
または, (・)ブ ld∫(・ )α″
==lup(Л「
)フ ldノЪ
(・)α″
が成立つことを示す
:まず
,ノとすべての九 が
Q(Ra)に
属している場合
を考える。そのとき
,九
の単調性より
,任
意のπ∈
Nに
対して
supp九⊂
supp∫が成立つ。よって,supp九 はコンパクト集合であるので
,定
理
2.1より
,{九
}η∈
Nが
ノに一様収東する
.また
,(3.2)より
,IC)ス
メ九
0-∫
0}α
J≦
α
星盤
脇
0-∫
01け
定勾
を得るしよって
,{九
}れ∈
Nが
ノに一様収東するので
,sup l九(■)一ノ
(″)￨が π∈RdOに
収東する。従つて
,￨(σ)■d{九(・)一∫
(″)}山￨も0に
収東するので
, (3.3)が成立つ
.次に
,ノとすべての九が
Jff(Ra)に属している場合を考える。∫
=sup九
n∈Nより
,九
≦∫であるので
,任
意の働∈
Nに
対して
(」F)プ laノL(・)d"≦ (〃)フ(dノ(″)d“ が成立つ。よって, S[ミ(」ぼ
)フ〔
`九 (″)d"≦ (I)フ〔
d∫(2)d"第
3章
半連続関数のルベーグ積分18
であ る。従 って,0(aズ
→に 深
01dH→
″
を示せばよい。よって,定義
3.6から,g≦ ∫となる
g∈Qtta)に 対して
, (Cr)ブ lag(″)απ≦灘く
(力 r)フ (aブЪ
(″)J“ が成 立つ ことを示 す.定
理 2.8よ り,任
意 の η ∈Nに
対 して,単
調増加列
{ψπ
π
}m∈N⊂
Q$a)が
存在して,九
=Sup 9印
となる.こ こで
, π ∈Nん
η
=supら
9,L=inf{g,ん
π
)とする
.{んπ
}π∈
N⊂
Qttd)は 単調増加列
であり
,∫=supん
れである。また
,ク≦∫より
,θ=sup%が
得られる。
"∈N π∈Nさらに
,g∈ Qttd)で
あるので
, (Cγ)ブ〔
dg(″)d∝ == Sup((9)フ〔
dgれ(b)d%< Sup(σ
)フ (aんπ
(Z)a"< Sup(月
「
)ブ ldノ %(・)α″
が成立つ。 なお,同
様 に(ii)も示 され る。□
補題
3.9{九
}れ∈
N⊂ Jff(Rd)を非負関数列とすると
, (」ぼ
)ワ(d二
九
(・ )α"==II](」口
「
)i(aJ%(・)d" が成 立つ。証明
鳥
=A+ん
+…
・+九 とおく。
{九}れ∈
N⊂
五
し
(Ra)は非負関数列よ
第
3章
半連続関数 のルベー グ積分19
り,{几
}π∈
N⊂
Jf.(Ra)は単調増加列である。従って
,補題
3.8,3.7より
ば現じ
Σ九
0あ
=鳳
F)ス
伍め
+ん
0+…
十
九
0レ
Ra=
五
地
{(lr、4a∫l(″》
b十
(」り
)1liaん (1ン鯰
十
・
…
+(」り
):4こ九
(″)d"}
九(・ )α″ が成 立 つ。なお,補題
3.9は,{九
}π∈
N⊂
Jfsttd)でも同様に成立つ。
４
〃 ∞ Σ ［ 〓 □20
第
4章
上 積分ヮ下積分
この章 で は,上
積分 と下積分 を定義 し,そ
の性質 を述べ る.次
に,ル
ベーグ積分 を定義 し,ル
ベーグ積分が リーマ ン積分の拡張 になっている こ とを示 す.そ
の後,関
数 が積分可能 であ るための条件 を述べ る。最後 に,ル
ベーグ測度 を定義 し,和 ,差
,積
集合の公式 を導 く。 まず,上
積分 と下積分 を定義す る。定義
4.1関
数∫
:Rd→
R∪{土∞
}に対して
,上
積分と下積分をそれぞれ
/ズ
→
あ謝仲
(aズ
→
脇
:g∈助
$tg≧
1∈
R咋
叫
, Rd/∫
し
)あ:=Sup{(〃
)(dズ
″
)α″
:g∈ Jfs(]Ra),g≦∫
}∈
]R∪ {土∞
} Rd i で定め る。 以下で は,上
積分 と下積分の性質 を述べ る.補題
4.2 (i)任
意の関数∫:Rd→
R∪
{土∞
}に対して
,/∫
(Z)α":≦/∫
(″ )α″
RI Raが成立つ。
(ii)任意の関数 ノ∈島 鰺
d)またはノ∈
Jfsttd)に対して
,/∫
(″)d"==/∫
(″ )απ
==(″)(∫
(・ )α″
Rtt Rd が成 立 つ。第
4章
上積分,下
積分21
証明
まず
,(i)を示す。
9∈ Jfftta),ψ∈
Jfs(Ra),ψ≦りのとき
,(〃):liaψ(″ )α
″
< (」り
':llaψ (″ )α″
が成立つことを示せばよいことが
,定
義
4.1よりわかる
.今
,一ψ∈
Jflttd)なので補題
2.4より
,9-ψ
∈
Jfrtta)であり
,9Tψ
≧
0で
ある。よって
,補題
3.7より
, (「を
(a{9(″)一ψ
(・)}d"≧ 0 が成 立つ。従 って, (1口「
)フ (dψ(・ )α″
≦
(〃)j(d9(・)α″
を得る
.次に
,(ii)を示す。∫∈
Jfr(Ra)のとき
,/∫
(・ )イ″
==(″)ブ la∫(・)d" (4.1) Rdを得る
.また,定理
2.8より
,{%}れ
∈
Nこ
Q(Rd)を
∫に収東する単調増加
列 とす る。ここで,補
題3.8よ り, (」げ
)ブ ld∫(・ )α"==Sup((9)フ(a gπ(″)a“、
(4.2)である。また,定理
2.11より
,{%}π
∈
N⊂
Jfsttd)である。よって
,(i) よ り‐
Sup(I)フ〔
d gπ(″)a"==/∫
(・)d・11/∫
(π )απ
(4.3) Rl Rd を得 る。従 って,(4.1)―(4。3)よ り,/∫
(″)d″==/ノ
(π )α″
==(〃と
1[∫(・ )α″
悸Ra
が成立つ。また
,ノ∈
Jfs(Ra)のときも同様に示されるので
,主
張が成立う。
□
第
4章
上積分,下
積分22
補題
4.3 (i)関
数∫
,g:Rd→
R∪
{土∞
)とする。そのとき
,ル胴
+ズ
→
ルギ胸あ
+ル
の
あ
, Rd R` Ra/{∫
(Z)+g(″)}α″≧
/∫
(″》
b―十
/g(π
)αZ, Rd Rd Rd が成 立 つ。 (iii)関数ノ,g:Ra→
R∪
{土∞
},ノ
≦
gとすると
,/∫
(″)a"≦/g(1)d"
Rd Rdが成立つ。
証明
まず
,(i)を示す。定義
4.1より
, / {∫(Z)1-g(″)}απ
==
ん
≧
∫
+glI庭LこI(Ra)(Л「
)ブ〔
こ
ん
(・)d" Rd < J 7∫ ,」≧
gi7t[If.(Rd)(Л「
)〕 (:{JF(″)+」
(″)}d"‐
=た
∴
肌
(囀F)(ス
リ
α
π
+σ」
θ
魁
(mば
)スピ
JO酵
= /∫
(″》陽二
十
/g(″
ン″
Ra Rd を得 る.ま た,下
積分の場合 も同様 に示 され る。よって,(i)が
成立つ。 き と の そする。
助
と ∫ 刈 一 ＊ λ／ ぼ λ 〓負関数，
動
緋
＊
′
ノ
静
■ ∫ ∞ ∫ ■ ∪ Ｒつ
↓
滋
Ｒ
力 ∫23
″ 勧
″勧
一 一 一 一 〓＆
″ 分 一 八 稀 一 す 。 ＊ た μ ノ 薦上積分，
い
章 に ４ 次 第 □ き と の 。 そ帯
到
ヽ
ル
Ｊ
興
補
題
４
。
３
瓢
¨ ｎ ４ ， お ４ り な 理 よ 定である。よって
,(ii)が成立つ。
次に
,(lii)を示す
.∫≦gと 補題
3.7(ii)より
,/∫
(Z)αZ = inf{(■
r)フ(a「(・ )απ
:∫∈
・
巨
(Ra),∫≧
∫
}
Ra
≦
inf{(」り
):li」「
(Z)α″
:∫∈
I・(Ra),「≧
g}
= /g(″
)d" Raが成立つ。
証明
上積分の定義より
,任
意のε
>0と
任意のη∈
Nに
対して
,%∈
助
(Ra)が存在して
%≧
ん で
, (″)スピ%←
)α多≦/九
0)あ
十フ２４
である。
︹幽
枷
叫
︲
，Ｊ
レ
補題４．３
ハ ツ ロ “ を Ｒ↓
抄
Ｒ
る お ア ヽ ４ 得 な ア ﹂ 義 を 定 で定める。 以下で,ル
ベーグ積分を定義する。第
4章
上積分,下
積分25
定義
4.6関
数∫
:Rd→
R∪
{土∞
}は
,一α
D</∫
(″》腸
=/∫
(αンπ
<CЮ * R` : Rdならば
,ル
ベーグ積分可能
,も
しくは
,可
積分であるという。上積分と下
積分が一致 したとき
,そ
の値を∫のルベーグ積分といい
,ノ
la∫(″)d" と表す。また
,集
合ス⊂
Rd,関
数∫
:A→
R∪{土∞
}とする。そのとき
,ノχス
(″)がルベーグ積分可能ならば
,関
数 ノはルベーグ積分可能
,も
しくは
,可
積分であるという.上積分と下積分が一致したとき
,そ
の値をノのルベー
グ積分といい
,ノ
i∫(″》
b:=1[∫
χ
ス
(″ )α″
と表す。
ルベーグ積分可能な関数 と不可能な関数について例を挙げる。
例
1)関
数∫
:[0,コ→R,∫
(″)=1と
する。そのとき
, ￨や,21∫ (π )απ
==
り
〔
∫
χ
l°,21(■ )α“
= /∫
χ
10,2](″ )α″
R (」げ
)ブ〔
∫
χ
l°,21(π)d“=2
< ∞ ,第
4章
上積分,下
積分=2
>
一∞ である。よって,ル
ベーグ積分可能である。 とき, ∞ である。よって,ル
ベーグ積分不可能である. 定理 4.7で示す ように,リ
ーマ ン積分可能な らばルベーグ積分可能であ る.こ こで,
リーマ ン積分可能である とは,次
を満たす こ とをい う。Tsa)を
階段関数のなすベクトル空間とし,Ω ⊂
Raを
有界閉集合と
する。また
,%,%⊂
慮 をΩを含む立方体 とする。
%の
小立方体
Z″
(を∈
N)上
の階段関数 りの値を
cψをとする。同様に
,レら の小立方体
カレ上の階段関数ψの値を物をとする。
そのとき
,関
数∫
:Ω→
Rは ,任
意のε
>0に
対して
,9,ψ
∈
Tttd)
が存在して
,ψ
≦∫≦りで
,Σ吻
4二
Σ
%ぅ場を
<ε を=1 を=1ならば
,リ
ーマン積分可能であるという。ただし
,η∈
Nは
"し,π ∈
N
はし の小立方体の個数とする。また
,%づ>0は
Иらの小立方体И
%ぅの
一辺の長さとする。同様に,もぅ
>0は
И
%の
小立方体
"毎
の一辺の長さ
とする。
π m Σ %づJん,Σ
%`Jιぅの極 限を とった ときの値 が一致 した とき,そ
の値 を=1 '=1を∫のリーマン積分といい
, 26＆
あ
０
０
加
∫χ︲０
，２
︲
ス ／ ネ Ｒ 一 一 〓あ
″ ∫ ｆ ノ ︲。 の 〓そ
醗
１ ■率
Ｌ
ｌ 〓一
一
あ
０
０
∫ ∫町
＊
√
ノ
Ｒ
↓
Ｒ ∫ 数 関 ２ 例 = (」り
):〈 ￨∫χ
[0,21(■ )α″
IR)三ノ
(″)d"第
4章
上積分,下
積分27
と表す。定理
4.7Ω
こRaを 有界閉集合とする.関数 ノ
:Ω→
Rは
,
リーマン積
分可能ならばルベーグ積分可能で
,そ
の値が一致する。
証明
レ
予
し
,予‰ ⊂
Rdを
Ωを含む立方体とする。ノはリーマン積分可能な
ので
,任
意のε
>0に
対して
,ψ
≦ノ≦ψで
,Σ
C・″
ι
ぅ
一Σ
%をう
o<ε
づ=1 ,=1を満たすようなり
,ψ∈
Tttd)が
存在する。ただし
,%の
小立方体
"し ,(づ∈
N)上
の階段関数りの値を
cψことする。同様に
,ら
の小立方体ン
ちを
上の階
段関数ψの値をり
,とする。また
,π∈
Nは
ら
,m∈
Nは
予
ら の小立方
体の個数とする。また
,′ヴ
>0は
И
%の
小立方体Иりの一辺の長さとす
る
.同
様に
,も
ぅ
>0は
"しの小立方体И
%ぅの一辺の長さとする。
ここで
,ψの各小立方体の境界上の値を変えて
Jfr(Ra)に属するように
φを構成する。同様に
,Jfsttd)に
属するようにψを構成する。よって,任
意のε
>0に
対して
,ψ
∈島鰺
1),`∈
Jfstta)が存在して
,ψ
≦ノ≦ψ
で ,｀
(」り
)1(dψ
χ
Ω
(・ )α″―
(」り
)1lidψχ
Ω
(π )(ね9<ε である.従
って, ∞ ＜あ
″ Ω χ ∫ ＊ ｒ ′ ノ ロ 〓 π α ″ Ω χ ∫ ′ ′ ′ ・′﹂ 蝉 ＜ ∞ 一より
,∫はルベーグ積分可能である
.また
, i」 (〃項
aψχ
Ω
o)■
≦
西
C・′
ι
う
'´
Sup(」
り
):(ldψχ
Ω
(・ )απ≧
を
Gクを
ζ
;づ である,よって,任
意 の ε>0に
対 して,Σ
%・イ
:づ―Σ
%j″ι
j<ε
を=1 '=1第
4章
上積分,下
積分 よ り,inf(II)プ
iaψ
χ
Ω
(″ )α″―
―
Sup(」り
):(laψχ
Ω
(″)a″く
(εで あ る。従 って, 28
ブ
lノ(π )α″
==←R),1∫(1)α″
を得 る。□ 定理 4.7は
,ル
ベーグ積分が,リ
ーマ ン積分の拡張であることを示 して いる.しか し,ル
ベーグ積分可能であつても,リ
ーマ ン積分可能 とは限 ら ない。例
関数∫
:Ю,珂→
Rを
(π が有理数)(zが
無理数)とする。
まず
,リ
ーマン積分について述べる。
%,"し
⊂
Rを
閉区間 Ю
,司を含
む立方体とする
.ら
の小立方体 И
%。 (`∈N)上 の階段関数
9の
値を
c.
とする。同様に
,"し
の小立方体 И
%を上の階段関数 ψの値を物ぅとする。
ここで
,ε=1と
おくと
,ψ
≦∫≦りを満たす任意のり
,ψ∈
T鰺
)に対
して
, れ れΣヴヴーΣ物
・
%`≧
1 `=1 づ=1を満たす。よって
,リ
ーマン積分可能ではない
.た
だし
,η∈Nは
'し ,π∈Nは И%の 小立方体の個数とする。また
,%を>0は
Иらの小立方体
Zれ
の一辺の長さとする。同様に
,%を
>0は
'らの小立方体ブ
%ぅの一辺
の長さとする。
次 に,ル
ベニグ積分について述べる。まず,自
然数 の集合か ら有理数の 集合への全単射 を一つ と り,こ
の写像 でn∈Nが
″η∈Qに
対応す るもの を とる。また,ε を正の数 とす る。任意 の η∈Nに
対 して,硫
‐
日刷―州
う
J‐
これ
とす る。ここで,び
はすべての有理 数 を含む。従 って,ノ≦χ
び≦Σ
Eχ鴫
れ=1 １ ０ ｒ り ヽ ｔ 〓 ″ ∫に
.6)第
4章
である。 上積 分,下
積 分 さ らに,定
理 4.4よ り, ノ l[lγびれχ10,11(″ )α″ ≦ 29 一 一 〓 π α Ｚ ｐ χ，
晩
ｒ
Ｒ
・
一
料
∞
Σ
Ｔ
Σ
ダ
を得る。よって
,(4.6)より
,/∫
(″)χ10,1]α″
1≦ 2ε Rを得る。ここで
,εは任意に小さくできる。一方
,関
数 ∫は非負なので
,ルの
和メ
π
≧
0
囲
(4.7) R で あ る。従 って,補
題 4.2と (4.7),あり
,Jl。 ,コノ
(″)a"=oで
ぁる。
広義 リーマ ン積分可能であるが,例
関数∫
:p,∞ )→
Rを
1-2 1
3 1 (4.8)より
,∫はルベーグ積分可能で
ルベーグ積分可能でない場合がある。
(0≦α<1)
(1≦ π<2)
(2≦ ″<3)
: `∫
(・)=
(-1)η lη1(η
-1≦
π<η
)とする。交代級熱 Σ)-1)た
1ん 11ま収東する。よって
,無
限級数に対する
コーシーの収東条件 より
,任
意のε
>0に
対 して
,Ⅳ
∈
Nが
存在 して任
意のれ >π ≧
Nに
対 して
, ε ＜ 一 た 一 た １ ■ 一π
Σ
間
一 一 た 一 た １ 一れ
い
＞
一
日
第
4章
上積分,下
積分 が成立つ.こ
こで,ス
=Ⅳ
とお く。P,9≧
ス かつ2(s-1)≦
p<2(s―
1)+1,2(s-1)≦
g<2(s-1)+1(S∈
Wを
満たす任意の P,9∈ Ю,∞) に対 して,η:π をそれぞれP,9+1を
超 えない最大の 自然数 となるように お くと, 30 ￨(2)プ19∫(・)d・―
―
(Rlフ (p ε ＜ 一 た 一 た １ ■ 一 η Σ Ｈ 一 一 ん 一 ん １ 一ｍ
Σ
Ｈ
＜ 一山
″ ∫ ｐゴ
Ｌ
Ｒ 一 π α ″ ∫ を得 る。P,9≧ スかつ2(s-1)≦
p<2(s-1)+1,2s11≦
g<2sを
満たす任意の
P,9∈p,∞
)に対して
,η,πをそれぞれ
P,gを超えない最大
の 自然数 とな る よ うにお くと, ￨(RL19∫(″)aC――
(Rlブ F′(″)d"￨≦ IΣ](-1)た 1ん 1-―Σ」
(-1)た -1た11<ε
を得 る。P,9≧Aか
つ2s-1≦
p<2s,2(s-1)≦
9<2(s-1)+1を
満 たす任意の P,9∈p,∞
)に 対 して,π,π をそれぞれp+1,9+1を
超 えな い最大の 自然数 となるようにお くと, ￨(2)19を得る。
P,9≧スかつ
2s-1≦
p<2s,2s-1≦
g<2sを
満たす任意の
P,9∈ 10,“)に対 して
,η,πをそれぞれ
P+1,gを
超えない最大の自然数
となるようにおくと
,
‐
￨(R)ブ19∫(″ )α"――
(Rlブ F∫(“)d″￨≦ IΣ](-1)λ -1た-1-―Σ
](-1)λ 1た11<ε
を得る。従って
,広
義積分に対するコーシーの収東条件が成立つので
,∫は広義 リーマン積分可能である。
一方
,∫
(″)d"￨≦ IΣ](-1)た -lλ -1-―Σ」
(-1)た lλ 11<ε4,。
Ⅸ
矧
あ
π α ″ ∞肺
・
・
ｒ Ｊ ・ η角
畿
Σ
冨
一 一 一 一 〓第 4章
上積分
,下
積分
31
より
,￨ノ ￨はルベーグ積分可能ではない。ここで
,定
理
4。11で
,可
積分関
数の絶対値をとった関数もまた可積分関数である。この対偶をとると
,絶
対値をとった関数が可積分でないならば
,絶
対値を除いた関数も可積分
でない。よって
,∫はルベーグ積分可能ではない
.以下では
,関
数がルベーグ積分可能であるときの性質を述べる。
補題 4.8関数∫∈
Jff$a)が
ルベーグ積分可能なのは
,0(a胴
あ
<∞
のとき
,ま
たそのときに限る。また同様に
,関
数∫∈
FfsSa)が
ルベーグ
積 分可能 なの は, (〃)(aズ
")α ″>一
∞ の とき,ま
たその ときに限 る。 証 明 ∫がルベー グ積 分可能 で あ る とき,定
義 4.6よ り, (〃)ス a∫し
)あ==/∫
し
)とく∞
Rd である。 次 に,(″
)■d∫(″ル<∞
で ある とき,∫ ∈助 (Rd)なので,補
題4.2 (ii)よ り,一α
)</ノ
(π》
b=/∫
(・ンπ
<CЮ Rtt Raが成立つ。従って
,ノはルベーグ積分可能である。
ま・
た
,関
数 ∫∈夏
s(Ra)の場合も同様に示される。
□
注意 定義
3.6で定めた積分可能とは異なり
,ここでは関数∫の積分島 ∫
(")あは
,定
義されれば自動的に有限となる。
また
,補
題
4.8より特に
,す
べての ∫∈
Q(Ra)は
ルベーグ積分可能で
ある。
以下の補題 と定理は
,ル
ベーグ積分可能の定義の別の表 し方として与
えられる。
第
4章
上積分,下
積分32
補題
4.9関
数∫:Ra→
R∪
{土∞
}に対して
,以下の条件
(i),(ii)1(iii)は 同値 である. (i)関数√はルベーグ積分可能である。
(ii)任意のε
>0に
対して
,′∈
Jfsほa)とん∈
Jf・ttd)が
存在して
θ≦∫≦んを満たし
,(∬
)塊dん(″)α■
(″)iag(″)ααは有限で
, (」ぼ
)フ (dん(″)dC‐―
(〃)ラ ([g(3)α″
<ε´
である。 (iii)Jfs(Rd)に属する単調増加列
{%}η∈
Nと働
酵
Sa)に
属する単調減少列
{んれ
}π∈
Nが
存在して
,%≦
∫≦ん
れを満たし
,一
∞
<鳳
(1日)プ〔
dんη
(″ )απ
==liln(″)フ〔
dθ
π
(・ )α″
<∞
であり
;二
つの積分の共通の値は漁ダノ
(■)あである。
証明
まず
,(i)から
(ii)を示す
.関
数∫はルベーグ積分可能とする。その
とき
,任
意のε
>0に
対してぅ
g≦
∫となる
g∈Jfssa)が
存在して
,/∫
(・ )απ
―
―
(〃)ブ〔
`g(π )ご″
<:,
Rdん≧∫となるん∈
Jfftta)が存在して
,(I)ス どん
o)山
一
/∫
しン
￨<:
R` である。よって,上
積分 と下積分の値 が一致す ることよ り, (デ)4ん
(″)a"‐―
(〃)〕 (ag(・)αZ<ε
を満たす。次に
,(ii)から
(i)を示す。
p≦
∫となる任意の
p∈ Jfstta)に対して
,Sup(lF)ブ
〔
第
4章
上積分,下
積分33
g≧∫となる任意の
g∈ Jfrttd)に対して
, `
(1ビ )プ ￨こん
(・)a"__inf(Л「
)フ (d9(・)d“>0
である。よって,任
意 の ε>0に
対 して, inf(Л「
)フ (ag(″)dC――
Sup(Л「
)〕 (ap(″)α″
<εを満たす。従って,上積分と下積分が存在して,そ れらの値が一致する。
よつて
,ノはルベーグ積分可能である。
次に
,(li)から
(iil)を示す.す べてのη∈
Nに
対 し
, (〃)ん
gり (・)a・‐
―
(「)フ〔
d Pπ(″)d"<;, P覧
≦
∫
≦
gη とな る よ うに {%}π ぶ ⊂ 月町(Ra),{%}π
∈N⊂
Jfs(Rd)を 構 成 す る。ここで,ん
π
=1墨
"れ
},%=lSup{2}し
=1,2,_)
<を<ηとおく。そのとき
,%≦
∫≦ん
れを満たす。また,{転
}π∈
Nは
Jfr(Rd)に属する単調減少列
,{%}れ
∈
Nは Ifssa)に
属する単調増加列である。また
, 任意の ε>0に
対 して,Nを
:+1を
超 えない最大 の 自然数 とお く。その とき,π ≧Ⅳ を満たすすべての π∈Nに
対 し, (・)フ (dんπ
(・)dC‐―
(II)フ (a gπ(・)d"“く
「
が成立つ。よって,一∞
< 1lllll)(〃)スd娩
。
)山 =〓 linlDttr)ス a動し
)と ,く∞
である。また,鳳
(・)ブ〔
dぬη
(・ )αα
==γlm (I)ん
争
(・)απ
==I`ノ
(・)a″である
.よって
,(iii)が成車つ。
次に
,(iii)から
(ii)‐を示す。εを任意の正の数とする。十分に大きな自
然数 れに対 して
,第
