司 Ｈ

第

6章  

ルベーグ積分の収東定理 51 が成立つ。同様 に^,

ノ 〔

^{d∫(″)d"≧}

^littpり

^￨̀ブ

Ъ

^(・)α

″

も示 され る。よって,

h影ゴ譜^{pJ〔d ttlZlあ} ≦

4∫

^{lZlあ ≦lim慢「 り〔d ttlrlaπ}

を得 る。また,

Iminf(aJ幌

_{(π )α″≦}

liΨ

。lìJ%(Z)dπ である。従 って^,

liln inf(a九_{(・ )α}

″  = littpス

d'Ъ^{(″ )α}

π

= 

_鳳

ん 九 (π)d"

= J[ノ

(■ )α

″

□     分                 る︒ 積

す

ハ               東

収

る

ア

﹂

す            

・ ０︲

収東 点

               

″ 各

             

∫

″

ろ                   ろ

                   

″α ア﹂

                                                        

．︲′︑ と

      を                               ノ

  る

︒ Ｎ                   ０

√ ︵

第

6章  

ルベーグ積分の収東定理

      52

リーマ ン積 分 にお ける積分 と極 限の順序交換 について

,以

下の ことが 知 られている。

定理 (p,p.11,5)])九

(″)(η

=1,2,… 。 _)が

_[α,切 _(α,b∈

R)で リーマン積分 可能関数列で _{,レ ,4上} ノ

(■)に

一様収東すれば ^,∫

(″

)は し

^,切

でリーマン 積分可能で

^,

り

ib∫^{(″ )α}

″ _==鳳 。

11ノ

Ъ

(・)a・

が成立つ。

ルベーグの優収東定理 を用 いて

,以

下の定理 が得 られ る^.

定理 6.61/⊂ Rd,節 ∈びとする。さらに ,関 _{数 ∫} ^{:RC× び→ R∪}

{士

∞ _}(c∈ ヽ が ,以 下の

(i),(li),(iii)を

満たすとする。

(i)各

υ∈びに対して ,関 _数∫

(■ ,ν

)が ルベーグ積分可能である。

(五

)ほ とんどすべての■∈ ^RCで ,関 _数∫

_(π,ν

)は 約で連続である。

(iii)可

積分関数 F:RC→ R∪

_{∞

_}が 存在して ,各 ν∈びに対して

^,

￨∫(・ ,ν)￨≦ F(″

)が RC上 ほとんどいたるところで成立つ。

この とき

,関

数

は 蜘 で連続である^.

証明 蜘に収東する任意の列

{免}π

∈ N⊂ びに対し

,

hm g(免 )=g(蜘

⁾

が成立つ ことを示 す

.任

意 の π∈

Nに

対 して

九

(″

)=∫ (2,L),」

^o(・

)=∫

^(″,蜘)

とおく

.(ii)よ

り ,ほ とんどすべての″∈ RCで

,

̀      虐 L九

^(″

)=ん

^{(・ )}

θ(ν

)=4∫

^(・,υ)dC

第

6章  

ルベーグ積分の収東定理

      53

である。_(i),(iii)よ り

,定

理 6.5の 仮定が満た され るので^,

鳳 θ

^(υ

π

) =  liIIlり

(cJ幌^{(π )α}

Z

ス ^c鳳 九 ^Oα π

lcん Oα ^Z

= ,(釣

)

よ り

,主

張 が成 立 つ。

      

^□

定理

6.7」

⊂ Rを 開区間とする。関数∫ ^:RC× J→ R∪

_{土

∞ _}(c∈ ヽ

が ,以 下の

_{(i),(五),(iii)を}

満たすとする。

(i)各

ι∈fに 対 して ,関 数 ∫

(α^,ι

)がルベーグ積分可能である。

(ii)ほ

とんどすべての″∈ RCで ,関 数 ノ

(″,t)は

有限の値をもち ,I上

微分可能である。

(iii)可

積分関数 F:RC→ R∪

_{∞

}が 存在して ,各 ι∈」に対して

^,

1響(″,t)￨≦ F(・

)が ほとんどすべての″∈ RCで 成立つ。

この とき

,関

数

は

I上

微分可能で^,

が成立つ。

証明

_{硫}π

∈ Nを 0に 収東する任意の列とする。また

^,

1       ノ

^L(・

)==舟

 {￨(・

,t+λ ‐

)―

―∫

(″,t)}(η

∈バ

^I)

とお く。_(11)と 平均値 の定理 よ り

,ほ

とん どすべての ″∈

RCに

対 して

,0

とんπの間の数 銭

=偽

(π

)が

^{存在 して,}

1イk″^,t―

卜 θ れ

)==      ==J鴨^{(″ )} 勒

    枷 丼

  む π

第

6章  

ルベー グ積分の収東定理

      54

を満たす。_(i)よ り

,九

はルベーグ積分可能であ り,(iii)よ り_{￨九(″)￨≦ F(・)} が成立つ。よって

,定

^{理6.5よ り,}

解 ^=鳳 (c九 0空 =(c%し

^,の

α ″

を得 る。

       

^□

定理 6.7は

,微

分 と積分の順序交換が可能 な ことを示 してい る。

55

第 7章

この章では ,可 測関数 ,可 測集合の概念を導入 し ,そ れらの性質を述 べる .そ の後 ,可 測関数は単関数の各点収束の極限として特徴づけられ

ることを導 く。

関数 ノがルベーグ積分可能であるためには ^,ノ の上積分 と下積分の値 がともに有限であることが必要である。従って ,す べての連続関数が Rd 上ルベーグ積分可能であるとは限らない。そこでまず ,中 間値関数を定義 する。

定義 7.1∫

_,θ,ん

を

Rα

上で定義された関数で

,θ

≦ んとなるものとする。

そのとき ,中 間値関数

^med(g,ノ,ん)を

med(g,ノ_,ん):≡ inf{sup{∫_,g},ん

}       ̲

で定める。

中間値関数 か ら

,Rdの

連続関数 と可積分関数 を含む ような関数 のクラ スを定義する。

定義 7.2関 数 ∫ :Rd→ R∪

_{土

∞ _}は ,任 意の立方体 ″ ⊂ ^Rd,μ >0

に対して ,med(一 μχ %ノ

,μ

χ 7)が ルベーグ積分可能なとき ,可 測関数と いう

^.

以下で

,可

測関数の例 を挙 げる。

例   関数∫ ^{:[‑1,11→ R∪}

{士

∞ _}を

∫

^(・

)=={ : II:::￨

とする。 まず ,″ _{⊂ 卜}

^1,」

^を立方体 ,μ >0と _{する。 関数 ∫χ 7は}

Ifs(卜

1,1)に 属し ,有 限である .ょ って ,∫ χ 7は ルベーグ積分可能で ある。これより,med(一 μχ %∫

,μ

χ 7)は ルベーグ積分可能なので ,ノ は 可測関数である。

可 沢

第 7章   可測関数        56

次に ,可 測だがルベーグ積分可能でない関数の例を挙げる。

例   _関数∫ ^{:R→ R∪}

{士

∞ _}を

ノ

(■

)=eF

とする。まず ,″ ⊂ Rを 立方体 ,μ >0と する。関数∫χ 7は

Jfs鰺)に

属し ,有 限である。よって ,∫ χ″はルベーグ積分可能である。これより

^,

med(一

μχ %∫

,μ

χ″

)は

ルベーグ積分可能なので

,∫

は可測関数である。し かし

^,

ス

eCα″

=∞

である。よって ,ノ は可測だがルベーグ積分可能でなぃ

^.

以下では ,可 測関数の性質を述べる。

定理 7.3関 数∫ ,g:Rd→ ^R∪

{土

∞ _}と する。

(i)す べての連続関数

,可

積分関数 は可測である。

(五)∫

,gが 可測ならば

,￨∫ ￨,∫

+,∫ ,α ∫ ^+β

^g(α,β

∈ R),Sup{∫

_,θ},

inf{∫

,g}も 可測である。

(iii)可

測関数の列

_{九}η

∈ Nが ほとんどすべての点でノに収東するとき

^,

∫は可測である

^.

証明   まず

,(ii)を

示す。″ ⊂ ^Rdを 立方体 ,μ >0と する。ここで

,t

med(一 μχ

^7,￨ノ￨,μ

χ″ )=lmed(― μχ″

^,∫,μ

χ

^7)￨

である

.∫

が可測ならば定義

^7.2よ

り ,med(一 μχ″

^{,ノ ,μ}

χ7)は ルベーグ積 分可能である。よって ,定 ^理

^4.11よ

^{り ,lmed(一} μχ %∫

^,μ

χ″

)￨も

ルベー グ積分可能である。従って

_{,￨∫ ￨は}

可測である。

次に ,任 意のπ∈ Nに 対して

^,

九 =med(一 πμχ

^7,ノ,π

μχ 7),%=med(一 πμχ

^7,g,η

μχ 7)

とおく。そのとき

,∫

,gは 可測なので ,九,%は ルベーグ積分可能である

^.

ここで ,任 意の″∈

^Ra＼

″ に対して ,九 (C)=0,%(″ )=0で ^ある。ま

た ,任 意の″∈″ に対して

^,

hm九

_(″

_)=∫

_(α

_{),hm L(・ )=g(3)}

π→ ∞

ドキュメント内 ルベーグ積分 ： リーマン積分の拡張および現代解析学の基礎として (ページ 52-58)