':子

し の補 題 を証 明す るた め に

,以

下 の補 題 を導 く。

補題 6.3九 :Rd→ R∪

_{±

∞

_}(η

∈ヽ を可積分関数列とする。可 積分関数 F:Rd→ R∪

_{土

∞ _}が 存在して ,任意のπ∈Nに 対して

九 ≧

Fで

あれ ば

,1晨

九 はルベーグ積 分可能である。同様 に

,可

積分関

数σ:Rd→ ^R∪

_{土

∞ _}が 存在して ,任 意のπ∈ Nに _{対して九≦} Cで あ れば,sup九 はルベーグ積分可能である

^.

η∈N

証明

%=:ぶ

洗(η ∈

N)と

お くことで

,可

積分関数 の単調減少列 を得

る。また ,%=魁 _手≧ ^{Fよ り}

^,

ス

a%。

^{)あ ≧}

IaF。

^)あ

>丁

∞

を得 る。よって,

鳳 _J[動 ズ″

)α

″ >一

CЮ

である。従 って

,定

^理6.1を用 い る と

思九 ^=鳳 仙∴ ^{}=鳳 %}

はルベーグ積分可能である。

また

,sup九

がルベーグ積分可能 であることも,‐ んπ

=sup∴

とお くこ

れ∈N       /     を<π

とで同様 に示 され る。

       

^□

第

6章  

ルベーグ積分の収東定理

      49

次 に

,フ

ア トウの補題 を導 く.こ れ は

,ル

ベーグの優収東定理 を示すの に重要 な補題 である。

定理 ^6.4(フ アトウの補題 _)九 :Rd→ R∪

_{土

∞

_}(η

∈ヽ を可積分関数 列とする。可積分関数 F:Rd→ R∪

_{土

∞ _}が 存在して ,任 意のη∈ Nに 対して九 ≧ Fを _{満たすとする} .さ らに ,実 数ム が存在して

^,

ス

_̀二^2(″)dπ

≦』

⁽¹

となると仮定する。そのとき ,hm infん はルベーグ積分可能で

^,

π一XЮ

(dtt「

^九

^{Oα Z≦}

^電

Jズ d九 Oα Z  :

が成立つ。同様に,可積分関数 G:Rd→ R∪

_{士

∞ _}が 存在して,任意の

η∈

Nに

対 して 九 ≦ σ を満 たす とす る。さ らに

,実

数 る が存在 して^,

K2≦

ズ

d九

^(・)α″

と仮 定 す る。その とき

,lim sup九

はルベ ー グ積 分 可 能で^,

π■〉CЮ

hΨ (a九 0に _4http九 ^0と

が成 立つ^.・

証明 %=i鋭 ∴

(π

∈N)と おく。補題

6.3よ

り ,す ^べての %は ^ルベーグ

積分可能である。さらに ,%は ^{単調増加列であ り} ,任 意のπ ≧ηに対 し て %≦ ん である。よって

^,

ス

^{d多2(″)d″}

≦

I 

^R̀

^∫

^m(″)̀滋

^≦Й

^fl

がすべての η∈

Nで

成立つ。よって

,定

^{理6.1よ り,}

hmttf九  =  胤

^:ξ{:I現

∴ _} 淑 ‰

{:ダ

ル _}

=hm%

π―〉CЮ

第

6章  

ルベーグ積分の収東定理

      50

はルベーグ積分可能である。さ らに^,

4懐 ^{f九 0山 =(ご} 思 ^%の あ

=  嵐ブ 〔

^d 

θ η

^(″)d″

≦

 hm lnf(a九

(・ )ご″ が成立つ。

また

,hm sup九

に関 して も

,ん

π

=sup九

とお くこ とで同様 に示 され

η―)(Ю       '>π

。

  

^る

.   .       

^□

定理 6.5(ル ベーグの優収東定理 _)九 ^{:Rd→ R∪}

_{士

∞

_}(π

∈ N)を 可積 分関数の列で ^Rdの ほとんどいたるところで関数∫ ^{:Ra→ R∪}

{土

∞ _}に 各点収東するとする。さらに,可積分関数σ:Ra→ ^R∪

{∞

)が 存在し

て

,任

^{意 の η∈}

Nに

対 して

,￨九

￨≦ σ であ る とす る。その とき

,∫

はル ベーグ積分可能であ り^,

か ^{0あ =鳳} ん九 ^0あ

が成立つ。

証明 補題

5.5よ

り ,任 ^{意の■∈ Rdに} 対 して ∫

(π

)=lim九

^(″)と

なるよ うに ,九 と∫の値を零集合上で有限値に変えることができる。

まず,￨九

_￨≦

Gよ り,一 σ≦ん である。また

^,

ブ 〔 ^d九

^{(・ )α}

π ≦ ん

^G:(″)α

″ ^<∞

が得 られるので ,定 理

^6.4の

仮定が満たされる ^.よ って

,

lim九 =hminf九 =∫

η→ αD       れ■>CЮ

はルベーグ積分可能 であ り,

ブ 〔

^{dノ(″ )α}

″   三

 Ì1浮 ゝ 複 ゞ

^JЪ(1)α

″

≦ liln infス

d九

^{(″ )α″}

第

6章  

ルベーグ積分の収東定理 51 が成立つ。同様 に^,

ノ 〔

^{d∫(″)d"≧}

^littpり

^￨̀ブ

Ъ

^(・)α

″

も示 され る。よって,

h影ゴ譜^{pJ〔d ttlZlあ} ≦

4∫

^{lZlあ ≦lim慢「 り〔d ttlrlaπ}

を得 る。また,

Iminf(aJ幌

_{(π )α″≦}

liΨ

。lìJ%(Z)dπ である。従 って^,

liln inf(a九_{(・ )α}

″  = littpス

d'Ъ^{(″ )α}

π

= 

_鳳

ん 九 (π)d"

= J[ノ

(■ )α

″

□     分                 る︒ 積

す

ハ               東

収

る

ア

﹂

す            

・ ０︲

収東 点

               

″ 各

             

∫

″

ろ                   ろ

                   

″α ア﹂

                                                        

．︲′︑ と

      を                               ノ

  る

︒ Ｎ                   ０

√ ︵

ドキュメント内 ルベーグ積分 ： リーマン積分の拡張および現代解析学の基礎として (ページ 49-52)